Влияние обшивки на фоновые напряжения при статическом деформировании ферменных конструкций из композитов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Научный вестник НГТУ. - 2012. - № 3(48)

УДК 539.3

Влияние обшивки на фоновые напряжения при статическом деформировании ферменных конструкций из композитов*

Т.В. БУРНЫШЕВА

Оценивается степень влияния обшивки на напряженно-деформированное состояние системы ребер ферменных оболочечных конструкций из композиционных материалов. Приведены упрощенные аналитические оценки напряжений в ферменной оболочке с обшивкой в безмоментном приближении и вычисленные к ним поправочные коэффициенты, учитывающие изгиб ферменной структуры. Оценено влияние модулей упругости обшивки, геометрических характеристик ферменной конструкции на напряженно-деформированное состояние оболочки. Практическая значимость результатов заключается в уточнении методики расчета напряжений в оболочечных ферменных конструкциях с обшивкой.

Ключевые слова: ферменные конструкции, композиционные материалы, фоновые напряжения, обшивка, напряженно-деформированное состояние, концентрация напряжений.

ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования является цилиндрическая композиционная оболочка с регулярной структурой ребер и обшивкой (рис. 1). В случае однородного напряженного состояния, не изменяющегося или слабо изменяющегося по поверхности оболочки, она может быть описана на основе континуальной модели, предполагающей осреднение ферменной структуры по поверхности конструкции. Однако наличие вырезов приводит к возникновению концентраций напряжений в их окрестности. Континуальная модель в этом случае резко завышает реальные напряжения в углах отверстий.

а б

Рис. 1. Цилиндрические оболочечные конструкции: а - без вырезов; б - с усиленными вырезами

* Получена 10 июня 2011 г.

Избежать появления сингулярностей подобного типа позволяет модель, основанная на полном дискретном моделировании ребер. Использование такой модели дает реальную картину полей напряжений в окрестности вырезов. Для выбора рациональных размеров и формы отверстий необходимо проводить исследование коэффициентов концентрации напряжений при варьировании параметров оболочки. В качестве коэффициентов концентрации можно рассматривать отношения максимальных значений напряжений к фоновым напряжениям такой же конструкции без вырезов.

В работах [1, 2] рассматривалось однородное напряженное состояние ферменных структур без учета обшивки. Дискретная модель системы ребер строилась на основе балки типа Тимошенко [3], так как ребра имеют высоту сечения, соизмеримую с размером треугольной ячейки, и представляют собой, таким образом, короткую балку, для которой существенно влияние сдвиговых деформаций на напряженное состояние. За координатную поверхность конструкции выбиралась срединная поверхность ребер. Напряжения относились к криволинейной системе координат (5, t, п), в которой ось п направлена по нормали к поверхности оболочки, ось t - по окружности и ось 5 - вдоль образующей. В работе представлен анализ фоновых напряжений, рассчитанный с помощью аналитических и численно-аналитических методов. В работе [2] полученные численные результаты подтверждены данными экспериментальных измерений, в [4] получены аппроксимирующие аналитические оценки напряжений и деформаций и поправочные коэффициенты.

Однако наличие обшивки, даже весьма тонкой, существенно изменяет напряженно-деформированное состояние (НДС) ребер сетчатой оболочки. В настоящей статье оценивается степень влияния обшивки на НДС системы ребер и конструкций в целом.

1. УЧЕТ ЖЕСТКОСТИ ОБШИВКИ В БЕЗМОМЕНТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Для получения аналитических оценок напряжений и деформаций ферменной оболочки с обшивкой рассмотрим структурный элемент оболочки, состоящий из отрезка спирального ребра, половины отрезка кольцевого ребра и прямоугольника обшивки (рис. 2).

>1-\чн

н

а б

Рис. 2. Схема нагружения: а - ромбической ячейки; б - треугольной ячейки и поперечное сечение ребер с обшивкой

Энергия деформации растяжения-сжатия ребер в безмоментном приближении может быть найдена интегрированием работы продольных сил в сечениях ребер по их длине. Поскольку каждое ребро примыкает к двум соседним треугольникам, будем включать в энергию деформации ячейки работу продольной силы только в половине сечения ребра. Тогда энергия деформации ячейки

Ш - Ш + Ш + 1/ ш "эя _ "обш ^ ' 'с ^ /2 "к

п

где Wс - энергия деформации спирального ребра, Wк - энергия деформации кольцевого ребра, Wобш - энергия деформации обшивки. Выразим каждую из составляющих энергии деформации ребер через осевую деформацию оболочки:

Wc = lcEFc — в2 = — lcEFc cos4 а

cos а( Е.к + sin а • cos а) 2

_ 'к3-=-^2а

, Fк + sin а + Ек cos а

кк

(2)

1 2 1

Wк = 1кEFк— В2 = — lcEFк sin а

^ cos а( Е.к + sin а • cos а)

ч Fкк + sin3 а + Eкcos а

2

•в2.

(3)

Энергию деформации ортотропной обшивки найдем, учитывая, что ее деформации вдоль образующей и окружности постоянны по ячейке и равны деформациям ячейки в. и вк соответственно, а деформация сдвига отсутствует:

1с1к С08 а, ^бш = КВ. + СТквк)"^-к .

(4)

При плоском напряженном состоянии напряжения в обшивке

Е. в. + 'У.к Еквк

1 — V V

. к к.

^кЕ. В. + Еквк

1 — V V

. к к.

(5)

Условия минимума потенциальной энергии структурной ячейки в этом случае принимают вид

сП

= EFsls

в.(Е. sinа^С08а + со8 а) +

+вк (Е.к sin а • cosа + sin2 а • cos2 а)

1 N

+ 1с— cos а = 0,

(6)

сП

аВГ

= EFclc

— 2 2 в.(Е.^та^cosа + sin а^cos а) +

+вк (Ек sin а • cos а + sin а + Fк sin а)

= 0,

(7)

где обозначено

Е. = -

(1 — ^к ^ ) Щ

Ек К

(1 — V .к ^ ) Щ

Е = -

СI/*

VкSEShlc

V.к Ек К

(1 — ^к ^ ) Щ (1 — V .к ) ЕГс

е =

к EF„

(8)

Из уравнения (7) получаем

cos а • (Е.к + sin а • cos а) Fк + sin3 а + Ек cos а

(9)

Подставляя в (9) уравнение (6), находим

( 3 - . (Е.к + sin а • cos а)2 . ^

cos а + Е. sinа —^-—---sinаcosа

V

Fк + sin а + Eкcos а

N

/

2EF„

(10)

2

8

2

2

=

=

2

в

Отсюда находится осевая деформация

N

2EF

- х

c

FK + sin3 а + Ек cos а

(cos3 а + Es sin a)(FK + sin3 а + EK cos а) - sin а cos а(ESK + sin а • cos а)2

(11)

Далее, используя обобщенный закон Гука, получим остальные деформации и напряжения. Соответствующие выражения приведены в табл. 1.

Рассмотрим изгибные напряжения в спиральных ребрах, которые могут быть выражены через угол поворота сечения

0 = (ss-sK)sin a cos а . (12)

Таблица 1

Сводка аналитических результатов

Безразмерные параметры конструкции

Функции угла между спиральными ребрами и образующей: cos а = — , sin а = —

¡c lc

Безразмерные комплексы, характеризующие жесткость:

Е,к • l - Екк • lc — EF„ - v^Esh • ¡c У,кE^ • I,

к

77 77 к c 77 к 77 frS s c ^к к c

Es =-, Eк =-, F к =- , Esк = -

(1 -vsкvкs )EFc (1 )EFc EFc (1 )EFc (1 - vsкvкs )EFc

Деформации

Осевая деформация ферменной структуры:

N F + sin3 а+ E cos а

х

к

2EFc (cos а+ Es sin а)^к + sin а+ E^os а) - sin а cos а(£ж + sin а^ cos а)

_ , _ cos а^ (EsK + sin а- cos а)

Деформация растяжения кольцевого ребра: вк = -Bs —=—-_-i

F,j + sin а + E]5 cos а

Деформация сжатия спирального ребра: вс = в s cos2 а + вк sin2 а

Угол поворота опорного сечения спирального ребра: 0 = (ss - sK)sin a cos а

Напряжения

Напряжение в спиральном ребре: стс = Ec (в s cos2 а + вк sin2 а) • k5c

Напряжение в кольцевом ребре: стк = Eквк • k5

E B l - 21

Максимальное напряжение изгиба в спиральных ребрах: = c c —6(bs -вк)sin а cos а^ kC

2 l

2E в l2sin2 а

Максимальное напряжение изгиба в кольцевых ребрах: ст™ = —^^^--k^

Rh_

E в + v E в

Продольные напряжения в обшивке: as = -L-s-ж к к • kf3T

Окружные напряжения в обшивке: стк = VsкEs&s + EкBк • к°бш

1 - v v..

•як v кя

X

Тогда, интегрируя угол поворота по длине (без учета поперечного сдвига) и учитывая граничные условия на опорах, получаем верхнюю оценку прогиба и кривизны

( п »2 о, > Л

^ = I-9-

1212 31 ,

—- +--1

12 I

с

=9.61Ц72!. (13)

си2 12

Верхняя оценка изгибных напряжений в ребрах имеет вид

изг ЕсВс к - 21 _ сизг = - с 2 69 . (14)

2 I:

с

Однако эта оценка не учитывает влияние обшивки на моментные эффекты и поэтому является завышенной. Напряжение, обусловленное изгибом кольцевого ребра, также представляет собой верхнюю оценку

изг 2стк12 2Ек£к1с2 sin2 а

СТк =-=-. (15)

к КИк

Заметим, что окружные напряжения в обшивке зависят от соотношения окружных и осевых деформаций, которое, в свою очередь, существенно зависит от угла между спиральными ребрами. Поскольку знаки этих деформаций различны, окружное напряжение в обшивке может обращаться в нуль и даже менять знак при изменении угла между ребрами.

Учитывая приближенность формул 14-15, для практических расчетов в них необходимо ввести поправочные коэффициенты, которые в дальнейшем будут определены численно. Полученные аналитические оценки напряжений в ферменной структуре с учетом обшивки приведены в табл. 1.

2. ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ И МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ОБШИВКИ

НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ

Для изучения влияния толщины на НДС самой обшивки и ребер конструкции проводился численный эксперимент при варьировании следующих параметров: толщины обшивки И и модулей упругости обшивки Е\ и Е2. Варьирование модулей упругости обшивки проводилось с учетом постоянства безразмерных комплексов для каждого численного экспери-

мента , Ек,

Е,

як .

2 -ст

1.5

0.5

-0.5

0.04 '

__-I. — -+■ — 1

0.08

0.12

0.16

-0,2 И/

Рис. 3. Зависимости значений напряжений в обшивке от ее толщины И:

1

2

0

0

1 - СТ, 2 - ст

Рассматривалась цилиндрическая оболочка ферменной структуры с приложенной к верхней кромке сжимающей силой. Расчетная модель содержала 128 пар спиральных ребер. Нагрузка на одну пару спиральных ребер бралась из условия с0 -1. Спиральные и кольцевые ребра задавались материалом со следующими физико-механическими характеристиками: ЕС = ЕК = 30000 МПа, GС = GК = 5000 МПа, ц = 0,2. Исходные физико-механические характеристики материала обшивки до варьирования: Е1/ЕС = 0,136, Е2/ЕС = Е3/ЕС = 2,11, Gобш / GС = 0,734, ц1 = 0,72, ц2 = 0,046, = 0,046.

Полный факторный вычислительный эксперимент показал, что с увеличением толщины обшивки значения напряжений с5 и сг в обшивке уменьшаются по абсолютной величине

(рис. 3). При этом отношения и остаются постоянными.

3. ВЛИЯНИЕ УГЛА МЕЖДУ СПИРАЛЬНЫМИ РЕБРАМИ И ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ КОЛЬЦЕВЫХ И СПИРАЛЬНЫХ РЕБЕР

Для изучения влияния обшивки на НДС ребер ферменной оболочки был проведен полный факторный вычислительный эксперимент [5], в котором варьируемыми факторами являлись угол между спиральным ребром и образующей а и отношение площадей поперечного

сечения кольцевого и спирального ребер Fk — ^^ .

Использовалась цилиндрическая оболочка, описанная выше. Толщина однослойной обшивки = 0,05, радиус оболочки = 20,8, что обеспечивает малость влияния кривизны / ¡к /¡к оболочки на напряженное состояние. Обшивка, спиральные и кольцевые ребра изготовлены из одного и того же материала со следующими физико-механическими характеристиками: Е1 = Е2 = Е3 = 30000 МПа, = G13 = G23 = 5000 МПа, V = 0,2.

Варьирование а производилось за счет изменения высоты элементарной ячейки 1ц при фиксированной ширине ¡к . Варьирование безразмерного комплекса Fk производилось за счет изменения ширины сечения кольцевого ребра Вк при фиксированной ширине спирального ребра Вс. В качестве функции отклика в факторном эксперименте рассчитывался безразмерный поправочный коэффициент к — °чи// , где сч

напряжения, рассчитанные числен-

но, ^теор - напряжения, вычисленные аналитически.

При расчете средних напряжений с5 в ребрах в качестве расчетных точек выбирались центры средних поперечных сечений элементов ребер: точка 5, сечение 2 (рис. 4). Для оценки изгибных напряжений использовались значения напряжений, рассчитанные в точках 6, 8 этого же сечения и сечения 1, что позволяло получить распределение напряжений как по длине, так и по сечению ребра [1].

7 ! 8 кп 9

4 5 6

1 2 3

1 2 3

- 1 ->

а б

Рис. 4. Схема расчетных точек балки: а - в поперечном сечении, б - в продольном сечении

Результаты факторного эксперимента представлены в виде графиков зависимости поправочных коэффициентов кп (верхний индекс указывает номер точки в сечении соответственно

рис. 4) от параметров конструкции. Коэффициенты к5 для средних напряжений в спиральных и кольцевых ребрах в зависимости от соотношения размеров ячейки представлены на рис. 5.

1.004-

кС 1

1.06 к!

0.98

4

5 1и/1к 6

2

3

4

а б

Рис. 5. Поправочные коэффициенты для стх :

а - спиральные ребра, б - кольцевые ребра. Отношение Вк/ : 1 - 0,1875; 2 - 0,125; 3 - 0,0625

/1к

Если отношение высоты к ширине ячейки составляет два и более, поправочные коэффициенты для в спиральных ребрах отличаются от единицы менее чем на 0,016, независимо

от ширины кольцевых ребер. При > 3 отклонение поправочного коэффициента от едини/ 1к

цы составляет менее 0,004. Поправочные коэффициенты для в кольцевых ребрах зависят

1.02 к°6ш

5 6

2 3 4 5 4/4 6 2 3 4

а б

Рис. 6. Поправочные коэффициенты для напряжений в обшивке:

а - осевые напряжения ст^ , б - окружные напряжения ст,. Отношение : 1 - 0,1875; 2 - 0,125; 3 - 0,0625

1.04

0.996

1.02

0.992

0.988

0.984

2

3

6

0.98

0.96

0.94

от угла между спиральным ребром и образующей и от отношения площадей сечений кольцевого и спирального ребер. Как видно из рис. 5, б, при 2 < ¡у^ < 6 отклонение поправочных коэффициентов от единицы не превосходит 4,5 %.

На рис. 6 представлены поправочные коэффициенты для напряжений в обшивке. При высоте ячейки, превышающей ее ширину втрое, поправочные коэффициенты для осевых напряжений с5 отличаются от единицы не более чем на 1 %, а при ¡^ — 2 - на 6 %. Поправочные коэффициенты для окружных напряжений в обшивке в большей степени зависят от изменения

'/к и Fк.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены упрощенные аналитические оценки напряжений в ферменной оболочке с обшивкой в безмоментном приближении и вычислены поправочные коэффициенты, учитывающие изгиб ферменной структуры.

Показано, что окружные напряжения в обшивке зависят от соотношения окружных и осевых деформаций, которое, в свою очередь, существенно зависит от угла между спиральными ребрами. Изменяя угол между ребрами, можно уменьшить окружные напряжения в обшивке до нуля и даже изменить их знак.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бурнышева Т.В., Каледин В.О., Решетникова Е.В. Исследование концентрации напряжений в окрестности вырезов сетчатых оболочек из полимерных композиционных материалов // Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии: Сб. науч. тр. - Кемерово: ИНТ, 2007. - С. 273-275.

[2] Васильев В.В., Никитин М.В., Разин А.Ф. Исследование влияния формы ячейки на напряженное состояние композитной сетчатой конструкции при локальном нагружении // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. - М.: НТЦ «Информтехника», 2008. - Вып. 1(138) - 2(139). - 90 с.

[3] Работнов Ю.В. Механика деформируемого твердого тела // Учеб. пособие для вузо.в - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

[4] Каледин В.О., Аникина Ю.В., Бу рнышева Т.В., Решетникова Е.В. Математическое моделирование статики сетчатой оболочки с учетом концентрации напряжений // Вестник ТГУ, 2006. - № 19. - С. 233-237.

[5] Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании технологических процессов. - М.: Машиностроение, 1981. - 184 с.

Бурнышева Татьяна Витальевна, кандидат технических наук, заведующая кафедрой информационных систем и управления Новокузнецкого филиала института ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». Основное направление научных исследований - расчет напряженно-деформированных состояний машиностроительных конструкций. Имеет более 60 публикаций. E-mail: tburn@mail.ru.

^V. Burnysheva

The influence of the shell plating for background stresses in static deformation of truss Structures made of composites

In this paper we evaluate the degree of influence of ribbed system of truss shell structures made of composite materials on the stress-strain state. We present a simplified analytical evaluation of stresses in the truss shell with a shell in the momentless approximation, and calculated correction coefficients to them, taking into account the bending of the truss structure. The effect of the elastic modules of plating, the geometry parameters of the truss structure on the stressstrain state of the shell were also included. The practical significance of the results is to clarify the methodology for calculating the stresses in the truss structure tiwith the shell plating.

Key words: truss structures, composite materials, the background stress, the shell plating, stress-strain state, stress concentration