Влияние несферичности электронной оболочки возбужденного иона на его торможение в электронном газе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.534.74 537.533.74

ВЛИЯНИЕ НЕСФЕРИЧНОСТИ ЭЛЕКТРОННОЙ ОБОЛОЧКИ ВОЗБУЖДЕННОГО ИОНА НА ЕГО ТОРМОЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННОМ ГАЗЕ

JI.JI. Балашова, A.A. Соколик

Сниияф)

E-mail: balash@annal9.npi.msu.su

Рассмотрено влияние несферичности электронной оболочки ионов, возникающей при их возбуждении в ходе прохождения через вещество, на параметры их торможения. Количественные расчеты выполнены в рамках диэлектрической теории для тормозного эффективного заряда быстрых нерелятивистских ионов Li+ при прохождении через углеродную мишень. Установлено существенное различие эффективных зарядов иона для случаев равномерного, вытянутого и сжатого (по отношению к направлению движения иона) распределений его электронной оболочки.

Введение

Возбуждение быстрых ионов в процессе их прохождения через вещество оказывает большое влияние на распределение зарядовых фракций ионного пучка и параметры его торможения [1-5]. Так, эффективный заряд иона, характеризующий тормозную способность среды по отношению к иону в том или ином конкретном («замороженном») состоянии, зависит от степени экранировки заряда ядра иона электронами его оболочки и, следовательно, от степени и характера его возбуждения. Недавно Цучида и Ка-неко [6], используя модель бинарных ион-атомных столкновений, обратили внимание на возможную зависимость эффективного заряда возбужденного иона от формы углового распределения его электронного облака. Мы расширяем начатое в работе [6] исследование применительно к процессам торможения быстрых ионов в твердом теле и плазме и, чтобы учесть коллективный отклик электронов среды на проходящий заряд, обращаемся вместо модели бинарных ион-атомных столкновений к диэлектрической теории торможения [7], взяв за основу ее наиболее известный вариант Брандта-Китагавы [8]. Рассмотрение проводится с использованием общей теории выстраивания углового момента атомов и ионов в процессах столкновений. Это позволяет, применив аппарат матрицы плотности, исследовать влияние угловой анизотропии электронного облака иона на его эффективный заряд применительно не только к «чистым», но и к смешанным состояниям.

Формализм

Рассмотрим торможение иона заряда q = Zl — N, где Z\ — заряд его ядра и N — число связанных электронов, в промежутке между последовательными актами столкновений, приводящими к изменению его зарядового состояния или состояния возбуждения. Следуя принятой терминологии, будем называть такой ион «замороженным» в определенном

состоянии. Пусть V — скорость иона, а е(к, ш) — диэлектрическая функция среды. Плотность заряда иона Рюп(г, в системе координат мишени имеет вид

Рюп(г, г) = ^¿(г - V*) - Ре (г - V*), (1)

где ре(г') — плотность заряда электронной оболочки иона, нормированная согласно условию

Ре(г')с13г' = N.

Индуцируемое движением иона электрическое поле Е(г, действуя на сам ион, приводит к его торможению с силой вели-

чина которой, т. е. тормозная способность среды йоп = Чж) = 1^оррт6(^)|, рассчитывается по формуле

^оррт6(г) = -е- J Рюп(г, ¿)Е(г, ¿)сРг. (2)

Распределение напряженности электрического поля найдем из уравнений Максвелла:

Т> = еВ, Х7Т> = 4жеркт, (3)

для этого перейдем от представления (г, к (к, а;)-представлению:

pion(k,w)= / (haa(T,t)e-i^kr-wt^rdt =

= 1ix\Z\ — pe(k)]<S(w — kv),

где

pe(k) = I pe(r)e-jM43r

(4)

(5)

— формфактор электронного облака проходящего иона. Согласно (3), в (к, а;)-представлении имеем

Б (к, ш) = 4тгерюп(к, и),

6(ш — ку).

e(k,w)

[Zi-pe( к)]

гк

= ^4же е(к, ш)

Отсюда находим

Е(г, t) = t^tj [ Е(к, w)ei(kr-wi) d3k du =

4îre

Jbïf

(2тг Y гк 1

.¿k(r-vt) d3k

(7)

и, подставляя (1) и (6) в (2), получаем выражение для тормозной способности среды в виде интеграла в трехмерном пространстве импульсов:

в2 /* "ук 2 ^

-d3k. (8)

В изотропной среде диэлектрическая функция е(к,а;) не зависит от направления вектора к: е(к, а;) = е(к,ш). В такой среде заселение возбужденных состояний проходящего иона и форма углового распределения его электронного облака в этих состояниях характеризуются осевой симметрией относительно направления движения ионного пучка, а также в силу определенной четности состояний иона симметрией «вперед-назад» относительно этого направления. Величина анизотропии этого распределения прямо связана со степенью выетроен-ноети углового момента иона J относительно оси симметрии, при этом основной параметр выетроен-ноети отражающий степень квадруполь-

ной деформации электронного облака, определяется относительной заселенностью Ш^М) = Ж(«7, —М) магнитных подуровней | ЛМ) рассматриваемого состояния [91:

A2o(J,J) =

1/2

(2 J + 3) J( J + I) (2 J — 1)_

x - J (J + 1)] • W(JM),

M

^W(JM) = 1.

м

С учетом этих соображений общий вид углового распределения заряда электронов в ионе — в координатном и в импульсном представлениях — передается формулами

Ре(г) = Pe(r, COS2 вг), ре(k) = ре(к, COS2 вк).

Далее обратимся к формуле (4) и, применив соотношение

ш = kv = kv ■ cos 0fc,

перейдем при вычислении интеграла в (7) от угловой переменной в& к эквивалентной переменной ш:

d3k = k2 dk sin d9¡~ d= = —к2 dk d(cos Ok) d4>k = —к2 dk^-йф}.

KV

с соответствующими пределами интегрирования

(Ok)min = о ^Uj = kv, (вк)тах = 180° = -kv.

Наконец, воспользовавшись общими формулами Крамерса-Кронига [10]

Re[e(fc, —w)] = Re[e(fc, w)], Im[e(fc, —w)] = — Im[e(fc, w)],

(9)

получаем итоговую формулу для тормозной способности изотропной среды по отношению к проходящему сквозь нее иону:

Sinn —

2е2

7ИГ

dk

kv

Zl- Ре

х Im

(*> (йУ

е(к, ш)

(10)

ш dio.

Эта же формула после замены выражения в квадратной скобке на заряд Zp = 1 дает тормозную способность среды по отношению к проходящему протону Бр. По определению их отношение есть квадрат эффективного заряда иона, «замороженного» в зарядовом состоянии д:

I Su

<?eff =

Sr)

к v

Iff

о о

Zi

Ре {к, (й)2)

Im

e(k,üi)

LU dio

oo kv

fffb»

о о

e(k,üi)

00 dio

Заметим, что опустив в формулах (9), (10) аргумент (|^)2 в выражении ре (к, , можно вынести

ку

множитель [^х —ре(к)]2 за знак интеграла / .. .оосЬо

о

и тем самым вернуться к обычным формулам диэлектрической теории торможения ионов, когда электронная оболочка иона полагается еферичееки-еим-метричной [8, 11, 12].

При больших скоростях проходящего иона вычислим диэлектрическую функцию среды по модели коллективных плазменных колебаний вырожденного электронного газа [13], когда тепловой разброс электронов, размазывающий границу Ферми, не учитывается:

е(к, оо) = 1

оо"

+ ¡к2рк2 + \к4 - ш(ш + ijY

где параметры частоты плазмона шр = и им-

пульса Ферми fci? = (Зя-2^)1/3 определяются плотностью числа электронов в рассматриваемой среде пе ; параметр оод вводится для учета энергетической щели в спектрах диэлектриков и полупроводников; 7 отвечает за затухание плазменных колебаний.

В пределе -у —> 0 выражение под интегралом в формулах (9), (10) принимает вид

Im

e(k, ш)

иш„

2 А(к)

¿[о;-A(fc)], (И)

где для сокращения записи дальнейших формул мы, следуя работе [8], ввели дополнительное обозначение

А(к) = ■ к2 ■ О2---2 1 "2

= Шр + Lûi. (12)

Корни уравнения

О2

-к2к2 + -к4 = ш I b 4

(13)

при oj = kv определяют пределы интегрирования \

к± =

2 v

:кр ) ± 2

ткр

П2 (14)

по переменной к в выражениях для тормозной способности среды и эффективного заряда иона, следующих из формул (9), (10):

(15)

<?eff =

Расчеты: эффективный заряд возбужденных ионов 1л + в углеродной мишени

В качестве примера рассмотрим прохождение через углеродную мишень возбужденного гелие-подобного иона лития в синглетном состоянии \s2p-}?! (его энергия возбуждения составляет 62 эВ [14]). Форма угловой анизотропии в распределении заряда электронов такого иона определяется выетроенноетью его полного момента J = 1 (в рае-смативаемом случае он совпадает с орбитальным моментом иона Ь). Мерой выетроенноети служит параметр А.2о(1,1)- При выборе оси квантования вдоль направления проходящего потока он связан с относительной заселенностью Ш(М) различных состояний 1з2р:1Рхум формулой (8):

А2 „(1,1) =

а его предельные значения равны Аго(1,1)тш = = —(случай заселения «чистого» состояния 1з2р:1Ргум=о) и ^2о(1!1)тах = (когда заселены

состояния 1й2р:1Р1)м=±1. каждое с весом 50%).

Пространственное распределение электронов в общем случае смешанного состояния 1з2р:1Рх

находим по известным правилам [9]: = ^ *

R

Is

(г) + R%(r) (l - л/2Аго(1,1) P2(cos0r))'

где Ris(r) и R2P(r) — радиальные волновые функции электронов в соответствующих состояниях иона, а (cos 0) — полином Лежандра. Расчет отвечающего ему импульсного распределения (5) сводится к радиальным интегралам

оо

1(Х=0Чк)= f [Rl(r) + R22p(r)] jo(kr)r2dr,

1{Х=2)(к)= / R%(r)j2(kr)r2dr,

ре(к, COS2 0fc) =

= /(A=°)(fc) + Aw(l, 1)V2 Р2(созвк)1^=2Цк),

где jx(kr) — сферические функции Бесселя. Для их вычисления воспользуемся водоро-доподобными функциями Ru (г) = Zz!2 ■ 2e^Zr и R2p(r) = r > считая, что из-за час-

тичной экранировки ядра ls-электроном 2р-элек-трон находится в кулоновском поле заряда (Z — 1).

Параметры частоты плазмона шр = и им-

пульса Ферми fci? = (3я"2^)1/3, нужные для вычислений (11)—(15) (при этом шд = 0), найдем, отправляясь от средней плотности электронов пе в твердотельной углеродной мишени:

пе = 0.052, шр = 0.810, kF = 1.160

(все в атомных единицах). Результаты расчетов показаны на рисунке.

В интервале скоростей v = 4-20 а.е. (что соответствует энергии иона Li+ примерно от 3 до 70 МэВ) эффективный заряд иона монотонно возрастает с увеличением его скорости при любой форме углового распределения плотности его электронов. В случае, когда собственное электронное облако иона вытянуто вдоль направления его движения, торможение иона ослаблено по сравнению со случаем, когда все три состояния ls2p:1Pi с M = 0, ±1 заселены равномерно. В противоположном случае ион тормозится сильнее, при этом отклонение от случая, когда распределение электронной плотности иона изотропно, менее значительно. В целом расхождение между значениями тормозных способностей мишени

<Sion = Sp ((jfeff) !

соответствующих предельно вытянутой и предельно сжатой формам распределения электронного облака

0 5 10 15 20

Эффективный заряд иона в возбужденном состоя-

нии 1«2р:1Рх при прохождении через углеродную мишень; нижняя кривая — предельно вытянутая (М = 0; А-2о = — л/2). верхняя кривая — предельно сжатая вдоль направления движения иона (М = ±1; А-2о = 1 /л/2) конфигурация электронного облака; пунктир — случай сферически-симметричного распределения заряда

иона в состоянии 1$2р-}Р]_, составляет в рассмотренном интервале скоростей иона около 10%.

Заключение

В работе предложена общая теория учета несферичности электронной оболочки иона при исследовании его торможения в вырожденном электронном газе. Расчеты, выполненные в рамках диэлектрической теории торможения применительно к прохождению нерелятивистских ионов через твердотельные мишени, дают количественную оценку масштаба исследуемого эффекта, которая оказывается того же порядка, что была получена ранее Цучидой

и Канеко [6] в рамках модели бинарных ион-атомных столкновений. Тем самым дополнительно обосновывается итоговый вывод указанных авторов о важности использования теоретических результатов, относящихся к влиянию возбуждения ионов на их торможение при проведении компьютерного моделирования прохождения ионов через вещество.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-02-16742).

Литература

1. Bohr N., Lindhard J. // Kgl. Danske Vid. Sels. Mat.-Fys. Medd. 1954. 28. P. 7.

2. Betz H.D. // Rev. Mod. Phys. 1972. 44. P. 465.

3. Rozet J.P., Stephan С., Vernhet D. // Nucí. Instr. and Meth. 1996. B107. P. 67.

4. Vernhet D., Rozet J.P., Lamour E. et al. // Proc. of XXI Int. Conf. The Physics of Electronic and Atomic Collisions. N. Y., 2000. P. 666.

5. Balashov V. V. // Nucl. Instr. and Meth. Phys. Res. 2003. B205. P. 813.

6. Tsuchida H., Kaneko T. // J. Phys. 1997. B30. P. 1747.

7. Bohr N. // Kgl. Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 1948. 18(8); Бор H. Прохождение атомных частиц через вещество. М„ 1950.

8. Brandt W., Kitagawa M. // Phys. Rev. 1982. B25. P. 5631.

9. Balashov V. V., Grum-Grzhimailo A.N., Kabachnik N.M. Polarization and Correlation Phenomena in Atomic Collisions. N. Y., 2000. P. 188.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Электродинамика сплошных

сред. M., 1992. И. Yang Q. H Phys. Rev. 1994. A49. P. 1089.

12. Балашова Л.Л., Кабачник H.M. // Изв. РАН. Сер. Физ. 1998. 62. N 4. С. 763.

13. Echenique P.M., Ritchie R.H., Brandt W. // Phys. Rev. 1979. B20. P. 2567.

14. Радциг A.A., Смирнов Б.M. Параметры атомов и атомных ионов. М., 1986.

Поступила в редакцию 16.11.04