CC BY
37Эффективный заряд многозарядных ионов при торможении в Максвелловской плазме
Самарский А.А.(2), Гуськов С.Ю. (3), Змитренко Н.В.(2), Левковский А.А.( levkovsk@AL5889.spb.edu) (1), Розанов В.Б. (3), Шерман В.Е.(1), Губинская Н.Б.(1)
(1) Санкт-Петербургский институт машиностроения, (2) Институт прикладной математики РАН, (3) Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН
1. Введение.
Исследования в области пучкового ТЯ синтеза [1] и разработка возможных схем быстрого поджига ТЯ мишеней с использованием пучков многозарядных ионов [2] стимулировали интерес к проблеме торможения в плазме сильно надтепловых ионов высокой кратности заряда [3]. В отличие от протонов многозарядные ионы обладают сложной структурой и в процессе торможения при скоростях, соизмеримых со скоростями электронов на их оболочках, динамически захватывают электроны из окружающего их вещества, изменяя свой эффективный заряд, обуславливающий их торможение
Исторически это явление впервые наблюдалось при исследовании треков многозарядных ионов космического излучения, останавливающихся в фотоядерных эмульсиях [4]. Известно, что удельные тормозные потери ядер dE/dx, определяющие ширину трека в проявленной фотоядерной эмульсии пропорциональны отношению (22/и2), где 2-заряд ядра, а и - его скорость. По мере торможения и уменьшается, ^ЕМх) возрастает, а, следовательно, растёт и ширина трека. Такое возрастание наблюдается для протонов вплоть до их остановки. Однако другая картина наблюдается на треках многозарядных ионов, останавливающихся в фотоядерной эмульсии. Трек к концу пробега действительно уширяется лишь до некоторого максимального значения. Далее наблюдается отчётливое сужение трека (уменьшение dE/dx) вплоть до нуля в момент остановки. Длина пробега, на которой это происходит, получила название "длины сужения", и используется в качестве идентификационного параметра для космических ядер [5] . Объясняется это явление тем, что по мере
торможения ядро начинает динамически захватывать электроны вещества на свои оболочки. В результате для данного значения скорости устанавливается некоторый равновесный эффективный заряд Z* и тормозные потери становятся пропорциональны (Z*)/u2. При этом по мере торможения величина Z* уменьшается значительно быстрее чем растёт множитель 1/u2, что и приводит к уменьшению dE/dx.
Многочисленные дальнейшие эксперименты по измерению Z* позволили получить масштабно - инвариантную зависимость Z* от приведённой скорости иона. Оказалось, что эффективный заряд при высоких скоростях практически не зависит от химического состава и плотности среды, являясь некоторой универсальной функцией Z*=Z*(Z, u) заряда Z и скорости иона u [6]. При малых скоростях надтепловых ионов, сравнимых со скоростью электронов в холодном веществе, наблюдается отклонение от универсальной зависимости, связанное с влиянием движения электронов в веществе. Замена скорости u в зависимости Z*=Z*(Z, u) на относительную скорость иона и электрона вещества v= | u - ve | с последующим усреднением по распределению электронов в холодном веществе позволяет достичь хорошего согласия с экспериментом и при низких скоростях ионов, сравнимых со скоростью Ферми электронов среды [6].
В настоящей работе схожий метод учета влияния движения электронов в веществе применяется для расчета эффективного заряда иона в максвелловской плазме. Значения эффективного заряда получаются путем усреднения экспериментальной скейлинговой зависимости Z*=Z*(Z, v), полученной для холодного вещества, по максвелловскому распределению электронов в плазме. Если при этом так же, как и в [5, 6], описывать многозарядный ион с помощью статистической модели Томаса - Ферми, результаты расчетов для относительной величины эффективного заряда y=Z*/Z в плазме могут быть представлены в виде однопараметрического семейства кривых y=y(u/Z23, T/Z43), дающих значение эффективного заряда иона любой кратности в максвелловской плазме при произвольной скорости и температуре.
В рамках разработки программного комплекса «ТЕРА» [7] для математического моделирование динамики процессов в мишенях ИТС авторами ранее были получены относительно простые интерполяционные формулы вычисления удельных тормозных потерь быстрых протонов в полностью
ионизованной плазме с произвольной степенью вырождения [8] и в частично ионизованной плазме [9]. Исследования, выполненные в данной работе, позволяют распространить эти математические модели и на торможение многозарядных ионов.
2. Модель расчета эффективного заряда в плазме
Как правило, понятие эффективного заряда вводится с помощью соотношения, связывающего тормозную способность тяжелого иона в среде Б = -р-1^ЕМх) (р - плотность среды, Е - энергия иона, х- длина пробега) с тормозной способностью протона 8Р в той же среде при одинаковых скоростях частиц (см., например, [6]):
Б = Бр (Ъ*)2 = Бр(Ъ)2 у2 . (1)
Здесь Ъ - атомный номер тормозящегося иона, у=Ъ*/Ъ- относительная величина эффективного заряда. При очень высоких скоростях иона, когда эффективный заряд перестает зависеть от скорости, соотношение (1) переходит в широко известное эмпирическое правило скейлинга для тяжелых ионов:
Б(У2) _ Бр(У2)
(2)
Б(У1) БрК)
Для описания зависимости эффективного заряда от скорости иона и Бор предложил модель [10], согласно которой ион в холодной среде теряет все электроны, чья классическая орбитальная скорость меньше его скорости. Выводы, следующие из этой модели, в дальнейшем нашли широкое подтверждение в эксперименте [5, 6]. Если для описания электронной системы иона воспользоваться статистической моделью атома Томаса - Ферми, в которой характерная скорость электронов уе <х Ъ2/3, то выражение для эффективного заряда можно представить в виде у = у(и/у0Ъ2/3). Здесь у0 -боровская скорость электрона. Аналитическая форма выражения для эффективного заряда в этой модели была получена в работе [11]:
у = 1 - ехр [- (и/УоЪ2/3)]. (3)
Для наилучшего согласия с экспериментальными данными используются различные параметризации выражения (3) [6, 12]. Типичная параметризация этого соотношения имеет вид [6]:
у = 1 - ехр [-0.92(и/УоЪ2/3)]. (4)
Полученное в работе [13] выражение для эффективного заряда:
у = [1 + (0.62 Уо22/3/ u)L7]-L7. (5)
существенно отличается от (3) поскольку в [13] используется иное, отличное от (1) определение эффективного заряда. Учитывается, что в формуле для тормозной способности Б от заряда зависит не только предлогарифмический множитель, но и Кулоновский логарифм. Тем самым усложняется соотношение, связывающее Б и но при этом описывается примерно та же совокупность экспериментальных данных, что и в работе [6] с той же точностью. С точки зрения физической картины процесса торможения этот подход кажется более привлекательным, но в настоящей работе мы будем пользоваться более простым, традиционным соотношением (4).
Анализ экспериментальных данных по энергетическим потерям различных ионов в различных холодных средах, проведенный в [6], показывает, что при скоростях u>3vo выражение (4) согласуется с экспериментом с точностью ~ 10%. При меньших скоростях необходимо учитывать влияние движения электронов в веществе.
Естественная поправка в рамках модели Бора заключается в том, что вместо скорости иона u в выражение (4) должна входить относительная скорость иона и электронов вещества [14]:
v= | и - ve | = (^ + ve2 -2 u ve cos9)1/2. (6)
Усреднение по распределению электронов в холодном веществе позволяет достичь хорошего согласия с экспериментом и при скоростях ионов, сравнимых со скоростью Ферми электронов среды [6].
Нам представляется разумным применить эту же методику для расчета эффективного заряда в максвелловской плазме. Можно надеяться, что модель, работающая при скоростях ионов, сравнимых со скоростью электронов среды при низких температурах, будет давать хорошую количественную оценку эффективного заряда и при высоких температурах, поскольку характерным параметром в обоих случаях является отношение скоростей u/ve.
Для получения относительной величины эффективного заряда в плазме выражение для у(у) усредняется по максвелловскому распределению электронов Сп^). Учитывая, что число столкновений иона с электронами вещества в единицу времени пропорционально относительной скорости v, усреднение
проводится с весом ~ у£п(у^ и нормируется на общее число столкновений в единицу времени. Окончательно, выражение для эффективного заряда имеет вид:
Гл Гш ( \ ту 2
| sine • de| Т(у)•у- юре—9 • уe• dуe
у_ *-=-21- . (7)
гп <•<» ту 2
I sin0 • d9 I у- exp(---) • у„ • dуe
Jo ^ e
В выражении (7) у - относительная скорость иона и электронов плазмы, определяемая выражением (6), Т - температура плазмы. В качестве усредняемой относительной величины эффективного заряда у(у) в настоящей работе при расчетах использовалось выражение (4).
3. Результаты расчетов
Расчеты проводились для ионов с малым, средним и большим зарядовым числом Ъ: алюминия (Ъ=13), меди (Ъ=29) и золота (Ъ=79). Результаты расчетов относительной величины эффективного заряда ионов в зависимости от их скорости при различных температурах максвелловской плазмы приведены на Рис. 1 ^ 3. Для сравнения на рисунках приведена кривая, соответствующая холодному веществу (формула (4)). Как видно из рисунков с ростом температуры плазмы увеличивается относительная величина эффективного заряда у при малых скоростях ионов. При фиксированной температуре значение у уменьшается с ростом Ъ.
Рис.1. Зависимость относительной величины эффективного заряда ионов алюминия у=2*/2 от их скорости при различной температуре плазмы.
Рис.2. Зависимость относительной величины эффективного заряда ионов меди у=2*/2 от их скорости при различной температуре плазмы.
Рис.3. Зависимость относительной величины эффективного заряда ионов золота у=2*/2 от их скорости при различной температуре плазмы.
Из соображений размерности понятно, что при описании тормозящегося иона с помощью модели Томаса - Ферми зависимость относительной величины эффективного заряда ионов от их скорости обладает характерным скейлингом: величина у зависит не от температуры плазмы и заряда иона по отдельности, а от их комбинации ~ T/Z4 3. Действительно, в рассматриваемой задаче имеется три характерных скорости: скорость иона u, скорость связанных электронов в ионе ve ~v0Z23 и тепловая скорость электронов плазмы vT ~(T/m)12. Безразмерная величина у может зависеть только от двух независимых безразмерных отношений этих скоростей. Если в качестве масштаба для всех скоростей использовать величину Томас - Фермиевской скорости VoZ23: v' = v/v^^3, интегралы в формуле (7), выраженные через безразмерные штрихованные переменные, практически не изменятся. Единственный зависящий от температуры множитель - максвелловская экспонента -
mv2 z 4/3
при°бретет „ид: exp(-Таким образ°м, «чикгертым па^ме^м
задачи является отношение а = ——473 : y=y(u/v0Z2 3, а). Здесь E0=mv02/2
E0 Z
боровская энергия связи: E0=13.6 эВ.
На Рис.4 приведено однопараметрическое семейство зависимостей относительного эффективного заряда иона любого элемента от его скорости при различных значениях параметра а. Для холодного вещества (а=0) величина у определяется выражением (4). При высоких температурах (а >5) надтепловые ионы практически полностью лишены электронов на всей длине пробега. Возможно именно этот эффект объясняет существенное уменьшение пробегов ионов по сравнению с пробегами в холодном веществе, наблюдавшееся в недавних экспериментах по торможению ионов меди в плазме [15].
Рис.4. Зависимость относительной величины эффективного заряда ионов у=2*/2 от их скорости при различных значениях параметра а=Т/Б024/3 в диапазоне 0 < а < 5 Соответствующие каждой кривой значения параметра а приведены на рисунке.
Существует проблема, связанная с применимостью вышеизложенного метода расчета эффективного заряда в плазме при низких скоростях иона, существенно меньших тепловых скоростей электронов плазмы. (Энергия иона при этом по-прежнему надтепловая). Дело в том, существует равновесная степень ионизации покоящегося иона в горячей плазме, определяемая условиями теплового равновесия и соответствующими уравнениями Саха.
Рассчитанный с помощью (7) эффективный заряд иона падает с уменьшением скорости и в процессе торможения может стать меньше равновесного. На первый взгляд кажется естественным, начиная с таких скоростей и вплоть до остановки, использовать равновесный заряд в качестве эффективного, и возникает вопрос об определении граничной скорости.
По логике используемой в настоящей работе модели покоящийся ион теряет электроны, имеющие скорость меньше, чем скорость тепловых электронов плазмы, иначе говоря, электроны, чья энергия связи Е = Т. С точки же зрения теплового равновесия определяющим параметром для энергии связи электронов является химический потенциал: Е = (-д) [13]. (Химический потенциал для идеального газа отрицателен). Поэтому ключевым является вопрос о соотношение между д и Т. Используя известное выражение для химической активности идеального больцмановского газа [16]:
'2П2
I п
z = exp(^/Т) = 1
ч/ 2\3/2
V meT J
где ne -концентрация электронов, получим для дейтерий-тритиевой плазмы следующую численную оценку: z =1.26х10-3 (p/T32). (Здесь р - в г/см3 , T - в кэВ). В плотной лазерной плазме (р ~100 г/см3 ) с температурой ~ 1 кэВ величины (-д) и T одного порядка, и выражением (7) для эффективного заряда с этой точки зрения можно пользоваться вплоть до остановки. При существенно более высоких температурах относительно малозарядные ионы с Z<40 согласно нашим расчетам практически полностью ободраны при любой скорости, и проблем с уравнением Саха также не возникает. Вопрос о торможении ионов с большими Z в малоплотной плазме при высокой температуре требует дополнительных исследований.
При отсутствии достаточной экспериментальной базы по измерению энергетических потерь ионов в горячей плотной плазме, можно надеяться, что приведенный в настоящей работе метод расчета и численные оценки изменения эффективного заряда при торможении ионов в плазме окажутся достаточно точными и будут полезными при расчете прохождения ионных пучков в плазме. Работа поддержана грантами УР 03. 01. 363 и РФФИ 04-01-00416-а.
Литература
1. Caruso A., Stranglio C., Laser Part. Beams, 18, 35, 2000.
2. Basko M.M., Plasma Phys. Contr. Fusion, 45, A125- A132, 2003.
3. Гуськов С.Ю., Розанов В.Б., Черкасов АН. ЖЭТФ, 124, вып.5(11), 10411057, 2003.
4. Trier, Rofgren, Oppenheimer, Phys. Rev. 74, 213, 1818, 1948
5. Корнев Ю.К., Левковский А.А., Остроумов В.И., «Приборы и техника эксперимента», №6673-73 Деп., 1973
6. Ziegler J.F., Biersack J.P. and Littmark U., "The Stopping and Rang of Ions in Solids", Pergamon, N.Y., 1985.
7. Левковский А.А., "Математическое моделирование ТЯ реакций методом Монте-Карло", автореферат докторской диссертации, М., препринт ИММ РАН, 1993 г.
8. Выговский О.Б., Ильин Д.В., Левковский А.А., Розанов В.Б., Шерман
B.Е. Препринт 72, Москва, ФИАН, 1990.
9. Самарский А.А., Змитренко Н.В., Левковский А.А., Шерман В.Е, Гуськов
C.Ю., Розанов В.Б., Электронный журнал "Исследовано в России", 229, 2448-2459, 2004. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/229.pdf
10. Bohr N., Phys.Rev. 59, 270, 1941.
11. Northcliffe L.C., Phys.Rev. 120, 1744, 1960.
12. Brown M.D., Moak C.D., Phys.Rev., B6, 90, 1972.
13. Баско М.М., Физика плазмы 10, 1195, 1984
14. Mann A., Brandt W., Phys.Rev., B24, 4999, 1981.
15. Баско М.М., Голубев А.А., Кулевой Т.В., Куйбида Р.П., Мутин Т.Ю., Фертман А.Д., Шарков Б.Ю., Тезисы доклада на XXXII Звенигородской конф. по физике плазмы и УТС, (14 - 18 февраля 2005 г.)
16. Керзон Хуанг. "Статистическая механика", М., Мир, 1966.
