Математическое моделирование кулоновского торможения ядерных частиц в ионизованном веществе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование кулоновского торможения ядерных частиц в ионизованном

веществе.

Самарский А.А.(1), Змитренко Н.В.(1), Левковский А.А.( levkovsk@AL5889.spb.edu) (2), Шерман В.Е.(2), Гуськов С.Ю.(3), Розанов В.Б.(3)

(1) Институт прикладной математики РАН, (2) Санкт-Петербургский институт машиностроения, (3) Физический институт им. П. Н. Лебедева

РАН

1. Введение

Процесс передачи энергии веществу мишени быстрыми заряженными частицами является одним из основных энергетических процессов при ИТС. Диссипация переданной электронам энергии в тепло и излучение практически определяет временную эволюцию мишени [1]. Особую важность имеет знание тормозных потерь в расчетах пучкового синтеза [2, 3], схем быстрого поджига мишени с помощью пучка протонов, ускоренных лазерным импульсом релятивистской интенсивности [4, 5], а также при решении диагностических задач [6].

Уникальность условий взаимодействия ядерных частиц с веществом мишени при ИТС заключается в том, что частицы в процессе торможения могут проходить через слои классической и вырожденной плазмы, частично ионизованного и холодного вещества. При этом их скорости могут становиться сравнимыми с характерными скоростями электронов плазмы и атомных оболочек. Достаточно надежное теоретическое описание энергопотерь при таких условиях отсутствует, а вся совокупность экспериментальных данных относится в основном к области неионизованного вещества (см. обзоры [7-9]). В то же время математическое моделирование процессов в лазерных мишенях требует многократного обращения к вычислениям ёЕ/ё1 при всех возможных параметрах. Возникает необходимость иметь достаточно надежные и относительно простые интерполяционные формулы вычисления удельных тормозных потерь. Получение таких формул и является целью настоящей работы.

Расчеты проводятся в приближении локальной плотности электронного газа [10], в рамках которого ранее удалось добиться весьма точного описания

энергетических потерь на электронах неионизованного вещества [11-13]. Результаты работ [11-13] указывают на перспективность использования приближения локальной плотности электронов для расчета ёЕ/ё1. В то же время сложное поведение используемой при этом электронной плотности внутренних электронов [14], близкой к модели Хартри-Фока, не позволяет получать аналитические выражения для ёЕ/ё1 в общем случае и использовать эти результаты для построения экстраполяции за рамками исходных условий.

В предлагаемой работе мы используем два существенных упрощающих предположения. Во-первых, используется более простое описание поведения электронной плотности в атоме, учитывающее только наиболее существенный фактор, влияющий на энергетические потери - различие между электронами внутренних и внешних оболочек. Во-вторых, аналитическое описание энергетических потерь на электронах использует аппроксимацию, ранее полученную авторами для ёЕ/ё1 в электронном газе с произвольной степенью вырождения [15, 16]. Используемая модель для неионизованного вещества приводит к правильным выражениям для энергопотерь в области высоких энергий, качественно правильно описывает поведение потерь в области малых скоростей и находится в хорошем количественном соответствии (~10%) с экспериментальными данными в промежуточной области. В полностью ионизованной плазме модель приводит к известному выражению для ёЕ/ё1 идеального электронного газа. Модель качественно правильно описывает электронную подсистему частично ионизованного атома и содержит небольшое число физических параметров. Можно поэтому предполагать, что результаты расчетов в рамках данной модели будут адекватно описывать энергетические потери заряженных частиц и в малоизученной области частично ионизованной плазмы.

В настоящей работе рассматриваются потери протонов. Вопросы, касающиеся поведения эффективного заряда ионов при низких скоростях, лежат вне рамок данного исследования.

2. Торможение быстрых заряженных частиц на электронах полностью ионизованной плазмы.

В этом разделе мы коротко остановимся на результатах, полученных ранее для энергопотерь заряженных частиц в электронном газе плазмы с произвольной степенью вырождения [15, 16], поскольку они лежат в основе используемых ниже физических моделей и расчетов. Было показано [16], что энергетические потери ёЕ/ё1 надтепловых заряженных частиц в электронном газе могут быть представлены в следующем виде:

Е __ 4п(*е2) пеЛе (у)

--2-f(у) (1)

meу2 (1)

Здесь 2*е и V - эффективный заряд и скорость тормозящейся частицы; т(; и п -масса и концентрация электронов; А^у) - электронный кулоновский логарифм;

- доля электронов, со скоростями у^у, полученная интегрированием по распределению Ферми-Дирака. Выражение (1) было получено в приближении кулоновского логарифма с точностью до членов - т(/М, где М - масса тормозящейся частицы. Последнее обстоятельство существенно, в частности выражение (1) неприменимо для электронов и позитронов, тормозящихся в вырожденной плазме.

Быстро меняющийся предлогарифмический множитель определяется функцией Ду), параметрически зависящей только от химической активности электронного газа 2=ехр(|/кТ), а не от температуры Т и концентрации п по отдельности. Удобней в качестве параметра использовать величину отношения энергии Ферми ЕР к тепловой, а точнее величину 1=(4/3^)(Ер/кТ)3/2 [17]: Г(у) = Г(у, I). Если в качестве характерного масштаба скоростей частиц в плазме выбрать величину ус:

Ус = Ур[1+ехр(-|д/кТ)]1/3 (2)

(уб - фермиевская скорость электронов), то при этом доля электронов Ду), как функция безразмерной скорости х = у/ус: Ду) = Г(х, I), слабо зависит от степени вырождения электронов I, и в первом приближении может быть представлена в виде универсальной масштабно-инвариантной зависимости: Г(у, 1)^Г(х). При малых (х«1) и больших (х»1) скоростях частиц скейлинговая зависимость является точной [16]. Величина характерной скорости ус для абсолютно вырожденного газа совпадает со скоростью Ферми, а для Максвелловской плазмы - близка к тепловой у^^Т/т^^2: ус =ауТ, (а=3 ^/4)1/3.

Выражение для кулоновского логарифма может быть представлено в виде [18]:

Л е _ 1п

2туУ Пюр

1 +

^ *е йу е /

(3)

где шг, - плазменная частота, у=се^1.781_ - постоянная Эйлера. Эффективная скорость тормозящейся частицы у^ при высоких скоростях совпадает со скоростью частицы у, а при низких - порядка характерной тепловой скорости внутреннего движения электронов плазмы.: ^^(ус/а^Пу/ус),

п(х)= 0.353 + (ах)2[(х3+1.76)/ (х3+8.28)] (3я)

(Мы воспользовались аппроксимацией [18] для произвольного вырождения с помощью естественной замены тепловой скорости ут на ус/а). Выражение (3) имеет правильную асимптотику как в "классическом" (Ъе2/Н у»1), так и в "квантовом" (Ъе2/Ну«1) случаях и хорошо (~10%) согласуется с результатами расчетов методом случайной фазы. Наличие зависимости от Ъ в кулоновском логарифме приводит к отклонению от скейлинговой зависимости ёБ/Ш ~Ъ2 для тяжелых ионов в области малых скоростей, что качественно согласуется с результатами расчетов [19] с учетом эффектов сильной связи в плазме.

Если пренебречь слабой зависимостью кулоновского логарифма от скорости тормозящейся частицы, заменив его на некоторое среднее значение Ле(у)«<Л>, выражение для энергетических потерь и интегральных пробегов частиц в плазме с произвольным вырождением электронного газа могут быть представлены в масштабно-инвариантном виде:

ёБ/ё = (Б<А0)А(Е/Е0); (Мо) =Ф(Б/Б0) (4)

где характерные масштабы энергий Е0(р,Т) и пробегов А,0(р,Т) быстрых частиц определяются соотношениями:

Е0 = Мус2/2 ; Х0 = meЕo2/п(Z*е2)2Мne (5)

Функции Г(Б/Б0) и ф(Б/Б0), входящие в соотношения (4) параметрически зависят от степени вырождения электронного газа I. Однако эта зависимость не слишком сильная [16] и в первом приближении для оценок с точностью ~ 10% можно пользоваться универсальной усредненной зависимостью.

3. Торможение быстрых заряженных частиц на электронах

неионизованных атомов.

При высоких скоростях заряженных частиц формула Бора-Бете-Блоха [20] для ёБ/Ш на связанных электронах по форме совпадает с выражением (1) для потерь в идеальном электронном газе (У»УС, Ду)=1). Единственное отличие заключается в замене в кулоновском логарифме Н на средний потенциал ионизации I. При малых скоростях частиц характер энергетических зависимостей ёБ/Ш в экспериментах на различных веществах [7-9]:

ёБ/рё = АЕ1/2 ( 6)

также согласуется с поведением энергетических потерь в электронном газе. Таким образом представляется разумным использовать приближение локальной плотности электронов [10], в основе которого лежит представление о связанных электронах как об идеальном абсолютно вырожденном электронном газе, находящемся в некотором потенциале.

В этом приближении тормозная способность связанных электронов вещества Б^ёБ^п^) записывается в виде интеграла по объему атомной ячейки от тормозной способности газа свободных электронов Б*(у, п^ с переменной концентрацией электронов п^

Б = (^ )-1 \ Б *(у, пе )пе(У (7)

Здесь Ъ -порядковый номер элемента: Ъ = | nedV.

Простейшее предположение о постоянстве плотности электронов существенно противоречит данным экспериментов. В соответствии с (1) коэффициент А в выражении (6) определяется скоростью Ферми: А ~Z/yF3~Z/ne ~Ъ/(шг,)2 ~Ъ/12, а максимум энергетических потерь достигается при скоростях

2 2/3 4/3

порядка уб: Етзх~ уб ~1 . Поскольку средний потенциал ионизации примерно пропорционален порядковому номеру элемента Ъ в такой модели с ростом Ъ коэффициент А быстро падает, а Е^х быстро растет. Фактически же А медленно растет, а Е^х слабо изменяется с ростом Ъ [7].

Этот же недостаток присущ и статистической модели Томаса - Ферми.

1/3

Радиус атома Томаса - Ферми , соответственно плотность электронов

п^Ъ2, а скорость электронов у(;~Ъ2/3. Для среднего потенциала ионизации при этом получаем разумную зависимость от порядкового номера элемента: Г^п^Ъ. Но положение максимума ёБ/ё^ Е^х~ Ъ4/3 и коэффициент А ~Z/ve3~Z"1 с ростом Ъ ведут себя так же, как и в рассмотренном выше простейшем случае однородного распределения.

Причина в том, что в моделях такого типа средний потенциал ионизации I, связанный с потерями при высоких энергиях, одновременно определяет и поведение коэффициентов при ведущих степенях Е в области низких энергий. В то же время с физической точки зрения понятно, что при низких энергиях торможение связано в основном с электронами внешних оболочек атомов, энергии связи которых у различных элементов близки, в то время как средний потенциал ионизации при высоких энергиях в большой степени зависит от внутренних оболочек.

Естественно этого недостатка нет у оболочечных моделей типа Хартри -Фока - Слетера. Но с точки зрения нашей задачи детальное описание распределения плотности электронов в атоме с использованием реальных волновых функций при расчетах ёБ/ё! не рационально. Во-первых, при этом теряется возможность получения достаточно простых интерполяционных формул вычисления удельных тормозных потерь при всех необходимых параметрах плазмы в условиях ИТС и, во-вторых, само приближение локальной плотности электронов имеет ограниченную точность.

Для разумного и простого описания энергетических потерь заряженных частиц при произвольной энергии достаточно, сохраняя общую идеологию приближения локальной плотности электронов, разделить электроны на несколько различных групп, рассматривая их параметры как свободные параметры модели. Простейшая реализация этой идеи заключается в том, чтобы электроны внешних и внутренних оболочек рассмативать как газы, имеющие различные постоянные усредненные плотности (и, соответственно, плазменные частоты шг, и потенциалы ионизации 1= Н шД В качестве независимых параметров удобно выбрать средние потенциалы ионизации 11, 12 для внутренних и внешних групп электронов, и относительную долю внешних электронов 5: N = 52, N = (1-5)2. Плотности п, скорости и энергии Ферми определяются с помощью потенциалов ионизации 1^:

Таким образом удается разорвать связь между параметрами, отвечающими за поведение энергопотерь при низких и высоких энергиях.

Ограничение (9), накладываемое на параметры модели, снижает число независимых параметров до двух. Оптимальный набор параметров для каждого элемента находился, исходя из наилучшего согласия с экспериментальными данными во всем диапазоне энергий. Особое внимание при этом мы уделяли хорошему согласию с экспериментом в области энергий ~ 100 КэВ, где находится максимум энергопотерь, поскольку при высоких энергиях наличие условия (9) автоматически приводит к правильному асимптотическому выражению для ёЕ/ёх, а экспериментальные данные при энергиях ниже максимума для большинства элементов имеют значительные разбросы, да и энергетические потери при этих энергиях не столь существенны в задачах ИТС.

В качестве базовых использовались аналитические аппроксимации усредненных экспериментальных данных из монографии [7], содержащие в общей сложности 12 подгоночных параметров, поскольку изменение усредненных данных для более поздних экспериментальных работ составляет 1-2% [9],что лежит вне рамок точности рассматриваемой модели. При оптимальном выборе параметров 11, 12 и 5 отличие расчетов в предложенной

(10)

(8)

(9)

здесь модели от аппроксимаций [7] не превышает 10% в области максимальных значений dЕ/dх.

В качестве характерного примера приведем результаты расчетов энергетических потерь протона в алюминии (Рис.1). (Оптимальный набор параметров 11 = 1140эВ, 12 = 33эВ, 5 = 0.42.) Алюминий выбран потому, что для него имеется наибольшее количество экспериментальных данных по потерям во всем диапазоне энергий. для алюминия: Для сравнения на том же рисунке представлены усредненные экспериментальные данные [7] и результаты расчетов в различных приближениях, взятые из работ [18, 21, 22].

алюминии: кривая 1 - усредненные экспериментальные данные [7];кривая 2 (пунктир) - результаты расчетов в предлагаемой модели; кривые 3-5 - результаты расчетов, взятые из работ [18], [21] и [22] соответственно.

В работе [21] вычисления проводились для атомов с 2<37 с помощью волновых функций Хартри-Фока-Дирака. В работе Баско [18] общий подход к проблеме был довольно близок к нашему: электроны разбивались на отдельные подоболочки, для каждой из которых вводилась своя средняя частота возбуждения шп] Последовательное выключение внутренних оболочек также учитывалось введением некоторой универсальной зависимости, которая, в отличие от (1), была связана не с функцией распределения Ферми-Дирака, а ориентировалась на значение кулоновского логарифма: Н(Л) = 1П [ 1 +Л/(1+3,5^Л)] Л nej=[pmax/pmin] пе] .

В работе [22] были рассчитывались потери только на электронах проводимости. В настоящей работе при низких энергиях торможение определяется внешними электронами, число которых в атоме N = (1-5)Ъ^8, поэтому на первый взгляд кажется странной относительная близость результатов в области низких энергий. Следует однако помнить, что при скоростях ниже скорости Ферми ёБ^ ~ (ру)/уБ3. Поскольку у^п^ то потери энергии при этом зависят не от общего количества электронов, а только от плотности заполнения А, доли занимаемого ими объема: А^Ьб^рК^/^А), который в нашей модели составляет величину А~0.6. (Здесь р, А- плотность и атомный вес вещества мишени, N - число Авогадро). От общего количества электронов и, соответственно, их концентрации зависит сама энергия Ферми и положение максимума ёБ/ёЬ В [22] положение максимума ёБ^ находится при Е ~ 20 КэВ, что существенно отличается от экспериментального значения Е ~ 60 КэВ. При энергиях выше 25 КэВ результаты расчетов в [22] в несколько раз ниже экспериментальных значений.

Хорошее согласие с экспериментальными данными и малое количество параметров в предложенной модели наряду с правильными асимптотиками при высоких и низких энергиях подтверждают разумность физических предположений, лежащих в основе рассматриваемой модели и позволяют опираться на нее при расчете потерь в средах с частичной ионизацией, где экспериментальные данные практически отсутствуют.

4. Торможение быстрых заряженных частиц в частично ионизованном веществе.

Для расчета энергетических потерь в частично ионизованном веществе необходимо прежде всего рассчитать степень ионизации атома при фиксированной температуре. Для демонстрационных расчетов мы воспользовались простой аналитической оценкой [23], которая находится в хорошем согласии с затабулированными данными в диапазоне температур 0 -100 КэВ:

6ъ= [1 + (Т0/Т)(р0/р)Ь]"1 (11)

где бЪ - доля оторванных электронов, Т0 = 4,3 *Ъ эВ, р0 = (А/10) г/смЗ, Ь=0.05.

После того, как вычислено число свободных электронов, вычислялось количество оставшихся связанных электронов на внешних и внутренних оболочках, считая что сначала отрываются электроны с меньшей энергией связи. Средние потенциалы ионизации 11 и 12 при этом считались неизменными. Окончательно энергетические потери в частично ионизованной плазме рассчитываются как результат торможения на трех подсистемах электронов:

сильно-, слабосвязанных и свободных - с соответствующими весами, при этом выражение для dE/dl в каждой из подсистем определялось выражением (1).

На Рис.2-4 представлены расчеты энергетических потерь протона в алюминии, углероде и серебре при различных степенях ионизации. (Одинаковые степени ионизации для каждого из элементов соответствуют различным температурам). При высоких скоростях протона с ростом степени ионизации энергетические потери растут, хотя и незначительно. Это связано с тем, что по мере увеличения ионизации средняя плотность электронов в веществе падает, соответственно падает плазменная частота шр~^е и растет кулоновский логарифм.

степенях ионизации. Кривые 1-6 отвечают значениям 5^0; 0.2; 0.4; 0.6;

0.8; 0.9 соответственно.

Зависимость dE/dl от степени ионизации при низких скоростях протона носит более сложный характер. С одной стороны, сильно связанные электроны, будучи выбиты из атома, начинают участвовать в торможении на равных со слабо связанными электронами. Это приводит к увеличению тормозных потерь. С другой стороны, увеличение степени ионизации связано с ростом температуры. По мере роста температуры пик потерь сдвигается в область более высоких энергий, и, в соответствии с выражением (1), dE/dl падает: dE/dl ~ (ne/mv2) (^г)3 ~ пе v/T3/2. Для атомов алюминия и серебра с более высоким зарядом температуры ионизации относительно высоки и превалирует последний механизм: энергетические потери монотонно падают. Для углерода

при малой степени ионизации (5Ъ=0.2^0.4) температура достаточно низка (Т<15эВ) и энергетические потери растут, при дальнейшем росте температуры

гр-3/2

вступает в действие закон Т и потери падают.

Рис 3. Расчеты энергетических потерь протона в углероде при различных степенях ионизации. Кривые 1-6 отвечают значениям 5^0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 0.9 соответственно.

Рис 4. Расчеты энергетических потерь протона в серебре при различных степенях ионизации. Кривые 1-6 отвечают значениям 5^0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 0.9 соответственно.

5. Заключение.

Основным достоинством предложенного метода расчета энергетических потерь быстрых заряженных частиц в веществе является его относительная простота и общность - возможность единым образом получить приближенные значения тормозных потерь и пробегов во всем диапазоне параметров, характерных для термоядерного топлива и оболочки в процессе эволюции мишеней при ИТС. Достаточная надежность получаемых оценок в частично ионизованных средах связана с разумностью физических предположений, лежащих в основе рассматриваемой модели, которые автоматически обеспечивают правильную асимптотику при высоких и низких энергиях в неионизованном веществе и в полностью ионизованной плазме.

В принципе возможно увеличение точности расчетов за счет увеличения количества групп связанных электронов и, соответственно, числа свободных параметров модели вплоть до разбития энергетических потерь на сумму по отдельным оболочкам атома аналогично тому, как это сделано в [18]. Поскольку в основе физической модели лежит представление о плотности электронов, существует возможность естественным образом обобщить ее и на сверхплотное состояние вещества, тем самым эффективно учесть ионизацию за счет сжатия. Это является предметом дальнейших исследований.

Работа частично поддержана грантами Минобразования РФ Т02-07.4-395 и ур.03.01.026, а также грантом РФФИ 04-01-00416-я.

Литература.

1. Левковский А. А., "Математическое моделирование ТЯ реакций методом Монте-Карло", автореф. докт. диссерт., препринт ИММ РАН, М. 1993 г.

2. Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 464, 2001 (Heavy Ion Inertial Fusion)

3. Basko M.M., Plasma Physics and Controlled Fusion (UK), 45, A215, 2003

4. Roth M., Cowan T.E., Key M.H.et al. Phys. Rev. Lett, 86, 436, 2001.

5. Temporal M., Honrubia J.J., Atzeni S. Physics of Plasmas, 9, 3098, 2002.

6. Gus'kov S.Yu., Levkovsky A.A. et al. Laser and Part. Beams 16, 129, 1998.

7. Andersen H.H., Ziegler J.F., "Hydrogen Stopping Powers and Ranges In All Elements", Pergamon, N.Y., 1977.

8. Ziegler J.F., Biersack J.P. and Littmark U., "The Stopping and Rang of Ions in Solids", Pergamon, N.Y., 1985.

9. Paul H., Semrad D., Seilenger A., Nucl. Instr. Method Phys. Res. B61, 261, 1991.

10. Lindhard J., Sharff M., K. DanskeVidensk. Selsk. Mat.-Phys. Meddr., 27, 1953

11. Wang Neng-ping,et al., J. of Phys: Condensed Matter, 7, 3655, 1995.

12. Wang Neng-ping, Ho Yu-kun, Phys. Rev., A52, 3953, 1995

13. Wang Neng-ping, Ho Yu-kun, Jornal of Phys. B29, 47, 1996

14. Gertner I., Meron M., Rosner B., Phys. Rev., A21, 1191, 1980

15. Басов Н.Г., Выговский 0.Б., Гуськов С.Ю., Ильин Д.В., Левковский А. А., Розанов В.Б., Шерман В.Е., Физика плазмы 12, 916, 1986;

16. Выговский О.Б., Ильин Д.В., Левковский А.А., Розанов В.Б., Шерман В.Е. Препринт 72, М., ФИАН, 1990.

17. Керзон Хуанг. "Статистическая механика", М., Мир, 1966

18. Баско М.М., Физика плазмы 10, 1195, 1984

19. Gericke D.O., Schlanges M., Phys. Rev., E 60, 904, 1999. 2 0. Bloch F., Ann. Der Physik, 16, 285, 1933

21. Oddershede J., Sabin J.R., Atomic Data and Nuclear Data Tables 31, 275, 1984.

22. Яковлев Д.Г., Котельников С.С., ЖЭТФ 84, 1348, 1983.

23. Atzeni S. Caruso A. Rapp. tech. ENEA, № FUS 17, 1985