Влияние неравновесных процессов силового сопротивления на потери обжатия при повышении трещиностойкости железобетона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Байдин О. В., канд. техн. наук, докторант, Редькин Г. М., д-р техн. наук, проф. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

ВЛИЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ СИЛОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА ПОТЕРИ ОБЖАТИЯ ПРИ ПОВЫШЕНИИ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ

ЖЕЛЕЗОБЕТОНА*

Oleg.v31@yandex.ru

Приведена расчетная оценка потерь предварительного напряжения при повышении трещино-стойкости поврежденных коррозией изгибаемых железобетонных элементов.

_Ключевые слова: силовое сопротивление, коррозионные повреждения, обжатие, напряжения.

Целью настоящих исследований является построение расчетной оценки изменения во времени напряжений обжатия, в изгибаемых железобетонных элементах поврежденных коррозией, с учетом неравновесных процессов си-

лового сопротивления железобетона [3, 4]. В работах [1, 2] повышение трещиностойкости осуществляется за счет обжатия его растянутой части сечения, где получено разрешающее интегральное уравнение (1):

. й

С«, )¿0 - Аак (/)¿0 + } Аак Т) — А Т)йт = 0 ,

йт

где:

¿0 =

Е

+ С (/,

А

А

жб

Е

+С* (/, О

жб

(1)

(2)

4 = Ск (/, О + 4^ сж б (/, /0),

А

жб

Ск (/, /0) = Ср [1 -дг™

сж б (/, /0) = с; [1 -рг^-/0) |

(3)

(4)

(5)

Заметим, что в формулах (2)-(5) и далее по тексту, значок «*» (звездочка) относящийся к различным параметрам, характеризует поврежденный коррозией материал, в нашем случае это относится к железобетону, а арматура (канат) не поврежден.

Выражение (1) необходимо для вычисления изменяющихся во времени напряжений обжатия в канате Аак(/), т.е. определении потерь уровня обжатия железобетонного элемента поврежденного коррозией для обеспечения заданной трещиностойкости эксплуатируемых конструкций.

Ниже приведем решение (1) в интегральной форме.

Сначала уравнение (1) продифференцируем по / и получим линейное неоднородное первого порядка уравнение:

а (/0 ж - а ' а (04 - Аа ж+А^к (/ж=0,

(6)

представив его в следующем виде:

АЧ(0 + ¿-¿^(0 = . (7)

¿0 ¿0 Уравнение (7) будем решать методом вариации произвольной постоянной. В этой связи, левую часть уравнения (7) приравняем к нулю и запишем в виде линейного однородного уравнения:

Т' - V

Аак (/) + Г—1 Аак (/) = 0, (8) ¿0

решая его способом разделения переменных, получим общее решение:

Таким образом, получено общее решение уравнения (8). Отметим, что в решении (9) произвольную постоянную с представили как функцию от времени /, т.е. с = с(/) .

Далее решение (9) подставим в уравнение (7), найдем функцию с(/) :

с(/) = а к (/0)} ¿'г

П

Л

й/ + с.

-к (/0)} ¿0г й ■ с . (10)

Затем решение (10) подставим в решение (9), получим:

Аак (/) =

а

(О} ¿0

п.

^ й/ + с

} ^ й/

, (11)

Аак (/) =с^ г

^ й/

и

(9)

где под неопределенным интегралом понимают конкретную первообразную, которую получим при переменном верхнем пределе / и, следова-

0

1

1

*

г

0

тельно, формулу (11) представим следующем виде:

А^к (Г) = ^

О

I

■(О/Це

-Г Ц йх

Г Ц

йт + с

ГЦ йт Ц . (12)

и найдем их производные:

Ц = ауе~у'~'о) - Ъуе

-у (г-<о)

Ц' = ауе~г(Го) + Ъу е

,-у (Г-о)

(18) (19)

Т.е., получено в интегральной форме общее решение (12) уравнения (7).

Далее, для удобства записи и простоты интегрирования показателей степени в решении (12), введем следующие обозначения (замены):

а = ср р, (13)

Ъ =

А

к /"<* О *

А ^крР ,

Ажб

г =

Е,,

+ СР - А

А

'жб

1

Е

■ + С

кр

жб

(14)

(15)

Найдем частное решение уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям:

Г = Го, АОк (0 = АОк (Го), (20)

с учетом общего решения (12) получим:

АОк (Го) = ^ с, (21)

Цо ( 'о )

откуда выразим произвольную постоянную с с учетом (16) запишем:

с = Ьо('о)Аок ('о), (22)

где Ц (Г0) с учетом (16) и (20) запишем в сле-

дующем виде:

Ц(О = г - а + Ъ.

(23)

Следовательно, запишем (2), (3) с учетом (13)-(15) в следующем виде:

Ц = г - ае-у("о) + Ъе-у -'о), (16)

а

Ц =--ае

1 Р

у (г-о) +

Ъ - Ъе(Г-о),

Затем подставим (22) в общее решение (12) и получим удовлетворяющее начальным условиям (20) частное решение уравнения (7) в интегральной форме:

(17)

АОк (Г) =

Ц

Ц йх

О

к(Г0)|Ц,е1оЦ йт + Ц0('0)АОк(Г0)

'о

Г^ йт 1 Ц

(24)

Для выражения частного решения (24) в функциональном виде требуется вычислить следующие три интеграла:

1. Интеграл показателя степени стоящий в решении (24) за скобкой справа:

' Ь'

\-т<1т; (25)

'о Ц

2. Интеграл показателя степени стоящий в квадратных скобках решения (24):

/ ^;

(26)

г„ о

решениях данных интегралов и, следовательно, приближенное решение (24) в функциональном виде. Таким образом, частное решение (24) удовлетворяет двойному неравенству:

АОк (Г) <Аок (Г) <А2ок (Г), (28)

где: Аок (Г) - оценка снизу; А2ок (Г) - оценка сверху.

В целях установления оценок снизу и сверху интегралов (25)-(27) выразим функцию Ц

через функцию Ц соответственно сложением и вычитанием (16) и (17), получим:

3. Интеграл, стоящий в квадратных скобках решения (24):

Цо = г + а + Ъ - 2ае ^ - Ц1; о Р Р 1

(29)

1

Ц'

йх

Це'о

йт.

(27)

Ц = Ц + 2Ъе(Г-Го)

Ввиду сложности вычисления интегралов (25)-(27) и при этом громоздкости записи решений, предлагается находить их оценки снизу и сверху, которые дают некоторые упрощения в

+г - а-Ъ. (30)

р р

Далее при Г = Г0, выражение (29) принимает минимальное, а выражение (30) - максимальное значения. При этом справедливо двойное неравенство:

а

г + — + ■

Ъ

а

Р Р

- 2а - Ц < Ц < Ц + 2Ъ + г---

Ъ

РР

(31)

1

*

1

е

т

Аналогично выражениям функции ^, приведенным выше, находим выражения её производной через производную функции Ц на основе равенств (18) и (19) запишем:

(32)

(33)

L[- 1Ъу < Ц < lay- L[.

(34)

Ц = 2ayTy(t-0) - Ц;

Ц = Ц- lby e

y (t-to)

Затем при t = t0 будет верно двойное ра-

Исходя из двойных неравенств (31) и (34) оценим интегралы (25)-(27) снизу:

1. В знаменатель подынтегральной функции ¿о интеграла (25) подставим его максимальное значение (31), затем интегрируем путем подведения функции под знак дифференциала, получим с учетом (23):

венство:

t т t t

Ц

tn 0

a

t0 L + 1Ъ + r---

-dz = ln

P P

a Ъ

L + 1Ъ + r-----

1 P P

Lo(to)

(35)

В силу основного логарифмического тождества:

(36)

eln х = х,

имеем запись следующего вида:

dT L + 1Ъ + r-—--„.

>

a Ъ

Lo(to)

í ^х >-í

(37)

которое используется в готовом виде при решении (24).

2. По аналогии с п.1 применительно к (26) подставляем минимальное значение функции ¿0 согласно (31), затем интегрируем тем же методом, получим с учетом (23):

L1

t0 L0

a Ъ

¡o r + - + — - la - L

P P Ll

dx = ln

a Ъ

r + - + — - la - L

P P Ll

Lo(to)

(38)

Следовательно, с учетом (36) запишем:

a Ъ

r + — + —г - la - L1

-í Ldx J Ln

>

P P

Lo(to)

(39)

-f L dx J L

3. В подынтегральную функцию интеграла (27) подставим её минимальное значение (34), проинтегрируем путем непосредственного интегрирования и подведения функции под знак дифференциала с учетом (39) получим: ( а Ь

I г + I г- - Г

íL'0e'oL° dz> í(Ц - 1Ъу )

P P

Lo(to)

t0 Lo(to)

a Ъ

-dz =

+ a + Ъ - la\{Li - Li(to))-1 {Ц - Ll(to))-

p p

l

- 1Ъу {r-la)tt-10)+ ^ЪУ-{e-y(í-í0) -1)+ 1Ъ2{e^*^ -1)

(40)

Таким образом, оценки снизу (35), (38), (40) оценку снизу Аа(/) в функциональном виде, соответственно интегралов (25), (26), (27) под- с учетом (23): ставим в частное решение (24) и получим его

(t) =

a Ъ

L+ 1Ъ + r----^

1 P P

L0 L0 (t0 )

- tn)+:

^к (О

Lo(to)

*

y

r + a + Ъ - la j{A - Li (to)) -1 Ц - L? (to))

+ A^ (to)Lo(to)].

(41)

1Ъу (r - la)t -10)+ aУ-(e-y(t-to) -1)+ ?Ъ2(e"y(t-0) -1)

y _

Далее, исходя из двойных неравенств (31) и 1. В знаменатель подынтегральной функ-

(34) оценим интегралы (25)-(27) сверху: ции Ц интеграла (25) подставим его минималь-

Ъ

0

e

т

e

о

1

r

ное значение (31), затем интегрируем путем ла, получим с учетом (23): подведения функции Ц под знак дифференциа-

t т,

JLdr<J

l;

t„Lo

a

t0 r + — +

b

-dr = ln

ß ß

Следовательно, с учетом (36) запишем: Lo(to)

-2a~L

iL dr

J La

<

a b

r + — + — -2a- L ß ß 1

(43)

Lo(to)

ab

r +---1--¡r - 2a - L

ß ß

(42)

2. По аналогии с п.1 применительно к (26) подставляем максимальное значение функции Ц согласно (31), затем интегрируем тем же методом, получим с учетом (23):

r J t r

-J<-J-

L

tn o

a

to L + 2b + r---

-dx = ln

ß ß

Lo(to)

ab

L+ 2b + r----^

1 ß ß

. (44)

Итак, с учетом (36) запишем:

-J f

1 dx

<

Lo(to)

ab L + 2b + r-----

1 ß ß

3. В подынтегральную функцию Ц интеграла (27) подставим её максимальное значение (45) (34), проинтегрируем путем непосредственного интегрирования и подведения функции Ц под знак дифференциала с учетом (45) и (23) получим:

-J L

J L'0e L dr<J(2ay- L[)

Lo(to)

i ab L, +1 2b + r----¡г

11 ß ß

dr <

< Lo('o)

2a^(' - 'o)+in

Lo('o)

Lo('o)

ab

L + 2b + r----;

1 ß ß

(46)

Далее, оценки сверху (42), (44), (46) соответственно интегралов (25), (26), (27) подставим в частное решение (24) и получим его оценку

сверху A2gk (') в функциональном виде, с учетом (23) запишем:

А гок (') = ■

L2o('o)

a b

r +---1—üt -2a- L

ß ß Ll

^к ('o)

2a у Lo('o)

(' - 'o)+ in

Lo('o)

ab

L + 2b + r----;

L ß ß

+ Аак (to)

. (47)

Таким образом, получено решение, которое позволяет учитывать изменение во времени напряжений обжатия при повышении трещино-стойкости изгибаемых железобетонных элементов поврежденных коррозией.

*Научный консультант В.М. Бондаренко, д-р техн. наук, профессор, академик РААСН.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Байдин, О.В. К вопросу повышения тре-щиностойкости поврежденного коррозией железобетона / О.В. Байдин // Вестник БГТУ им. В. Г. Шухова. - 2012. - № 1. - С. 46 - 49. - ISSN 2071-7318.

2. Байдин, О.В. Повышение сопротивления образованию трещин поврежденного коррозией железобетона обжатием / О.В. Байдин // Строительная механика и расчет сооружений. - 2012. - № 2. - ISSN 0039-2383.

3. Бондаренко, В.М. Некоторые вопросы нелинейной теории железобетона / В.М. Бонда-ренко. - Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1968. - 234 с.

4. Бондаренко, В.М. Расчетные модели силового сопротивления железобетона / В.М. Бондаренко, Вл.И. Колчунов. - М.: Изд-во АСВ, 2004. - 472 с.: 182 ил. -ISBN 5-93093-279-4.

b

e

\

J