CC BY
38
Влияние неопределенности спроса на стоимости опционов инвестирования и оптимальные инвестиционные пороги
Ткаченко Денис Дмитриевич, кандидат экономических наук, доцент, докторант Кисловодского института экономики и права;
Аннотация: Разработана модель инвестиционного процесса с учетом неопределенности спроса и исследовано ее влияние на оптимальный инвестиционный порог и стоимость инвестирования.
Ключевые слова: моделирование, инвестиции, неопределенность спроса, оптимизация, риск
Abstract. We build a model of investment process taking account of demand uncertainty and prove that the threshold of investment decreases with uncertainty.
Keywords: modeling, investment, demand uncertainty, optimization, risk
Корпоративные инвестиционные возможности могут быть представлены как набор (реальных) опционов (возможностей) для приобретения производственных активов. Текущие величины денежных потоков, генерируемых этими активами, неопределенны, и их эволюция может быть описана стохастическими процессами. Поэтому определение оптимальных стратегий исполнения для реальных опционов играет принципиальную роль в бюджетировании капиталовложений и в максимизации прибыли фирмы [1-4].
Проанализируем воздействие неопределенности на стоимость опциона инвестирования. Сначала покажем, что стоимость ожидания, отраженная в уровне инвестиционного порога, всегда возрастает с ростом неопределенности, если инвестиционный проект рассматривается на бесконечном временном горизонте, или если ставки дисконтирования не испытывают влияния
неопределенности. Во-вторых, если равновесная ставка дисконтирования содержит положительную рисковую премию, установлено, что стоимость опциона инвестирования (стоимость ожидания) снижается с ростом неопределенности в случае, если инвестиционный проект рассматривается на конечном временном горизонте и уровни неопределенности невысоки. Предложена экономическая интерпретация полученных результатов.
Утверждение 1. Если инвестиционный проект рассматривается на бесконечном временном горизонте, то величина оптимального инвестиционного порога возрастает с ростом неопределенности доходности проекта.
Доказательство. Вычислим производную от выражения
А
г + Хро - м
Ах -11 - ехр[-(г + Хро - м)Т]
I,
где
А _ 1 М- ХРо + А _ 2 о^ +
1 м - Хро V 2 о
.2
л2 2г
+
у
о
2
определяющего оптимальный инвестиционный порог, по волатильности о характеризующей неопределенность доходности проекта:
1
о
1
X
1 - ехр[-(г + Хро - м)Т]
(М - Ж),
X
где введены следующие параметры
г
1
л
М _ (А1 -1) А1 +— Хро +(А - 1)(г - м)о + V 2
+ А1(м - Хро)Хр - гХр,
(1)
( 1 ^ 2 N _( А -1) А1 + — Хро +( А - 1)(м - Хро )Хр. V 2 У
А _ (г + Хро - м)Т(ехр[-(г + Хро - м)Т] -1) 1.
Обозначим
Ь1 _ М - NА.
Первые три сомножителя в выражении (1) всегда положительны, поскольку имеет место неравенство
А1- ^ о + М - Хро _
V
> 0:
А_А
дА
которое объясняется тем, что производная вычислена для большего корня выпуклой квадратной функции L0. Поэтому знак выражения L1 определяет знак производной от выражения, определяющего оптимальный инвестиционный порог, по волатильности о . Из выражения (6) следует, что
А(м - Хро) _ - 2 Ахо2 + 2 А о +г.
Используя это выражение в соотношениях для М и N, получаем
М _ 2(А -1)2 Хр<у2 + (А1 - 1)(г + Хро - м)Хр, (2)
N _ 2(А-1)2дро2 + (г+Хро-м)Хр (3)
Для доказательства Утверждения сначала предположим, что имеет место неравенство Хр > 0. Учитывая, что инвестиционный проект рассматривается на бесконечном временном горизонте, т.е. Т ^ да, и используя соотношения (2) и (3), получаем цепочку неравенств
_ Рі
1
х
(р - 1)2 а2ґ
V
V 2 У
где первое неравенство следует из того, что
|(А +1) > 1,
а второе - из предположения
г + Хро - л = 8 > 0 .
Другие две ситуации Хр _ 0 и Хр < 0 рассматриваются доказательствах Утверждений 2 и 3.
Теперь перейдем к исследованию влияния неопределенности доходности инвестиционного проекта на оптимальный инвестиционный порог при условии, что инвестиционный проект рассматривается на конечном временном горизонте. Сначала рассмотрим ситуацию, когда влияние систематического риска на доходность инвестиционного проекта отсутствует или не оценивается рынком. Это означает, что ставка дисконтирования постоянна, и либо рыночная цена риска (рисковая премия) Х _ 0, либо корреляция доходности проекта с доходностью рыночного портфеля отсутствует, т.е.
Утверждение 1. Если ставка дисконтирования постоянна и либо рисковая премия равна нулю, либо корреляция доходности проекта с доходностью рыночного портфеля равна нулю, инвестиционный проект рассматривается на бесконечном временном горизонте, то величина оптимального ин-
р = °.
вестиционного порога растет с ростом неопределенности доходности проекта.
Доказательство. В рамках рассматриваемой модели можно учитывать отсутствие воздействие систематического риска на доходность инвестиционного проекта, полагая р _ 0. Производная от выражения (8), определяющего оптимальный инвестиционный порог, по волатильности о, характеризующей неопределенность доходности проекта, принимает вид
1 (А - 1)о(г - л)
(ОД -1)2 _2 ( о _ О, Л_Хро1 - ехР[-(г + хр° - Л)т]
о
Это выражение всегда положительно при условии г > л, которое имеет место благодаря сделанному предположению о том, что £ > 0.
Утверждение 1 устанавливает, что при отсутствии воздействия рисковой премии величина оптимального инвестиционного порога растет с ростом неопределенности доходности проекта независимо от того, рассматривается ли инвестиционный проект на конечном или бесконечном временном горизонте.
В следующем Утверждении рассматривается один из случаев, когда ставка дисконтирования не постоянна.
Утверждение 2. При условии Хр < 0 величина оптимального инвестиционного порога всегда растет с ростом неопределенности доходности проекта.
Доказательство. Пусть Хр < 0 . Тогда предположение о том, что 8 > 0 выполняется тогда и только тогда, когда о е [0,0), где
~ Л - г
о _------.
Хр
Рассматривая функции 8(•) и А (•) как функции о , имеем
8(0)_ 0 и А0~) _ 1.
Поэтому интервал [0,о) является соответствующей областью изменения волатильности о в рассматриваемом случае. Докажем, что имеет место неравенство
2(а+1)о < ° (4)
при всех о е [0, <г). Чтобы убедиться в этом, заметим, что справедливы соотношения
2(рі+1)о
о
А - — + л - Хро 2 У
-1
х
х
1 о2 (эр -1) + (р - 1)л- Хро
2
> 0
и
2(А(о) +1)о _ °.
Следовательно, для положительных значений волатильности о , меньших о, неравенство (4) действительно справедливо.
Теперь заметим, что условие Хр < 0 означает, что N < 0 . Объединяя (4) и (2), получаем
М = (А - 1)о
г+2(р1+1)хро - л
>
> (А - 1)о(г + Хро - л) = (А - 1)о8(0) = 0
Поскольку
М > 0, N < 0 и 0 < Д < 1, производная (1) также положительна, что и доказывает результат Утверждения.
Утверждение 2 показывает, что в случае отрицательной рисковой премии (что возможно при условиях, когда корреляция доходности проекта с доходностью рыночного портфеля или рыночная цена риска равна нулю) соотношение между оптимальным инвестиционным порогом и степенью неопределенности положительно.
Итак, анализ показывает, что и при условии бесконечного временного горизонта инвестиционного проекта, так и в модели с неположительной рисковой премией воздействие неопределенности, характеризуемой волатильностью <г , на величину оптимального инвестиционного порога всегда положительно, т.е. оптимальный инвестиционный порог всегда растет с ростом неопределенности. Указанные случаи являются интересными частными и предельными ситуациями, однако условие отрицательности рисковой премии в Утверждении 2 является достаточно редким явлением на финансовых рынках.
Литература
1. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 1. - С. 3-33.
2. Dixit, A. K. & Pindyck, R. S. (1994), Investment under Uncertainty, Princeton
University Press.
3. Caballero, R.J. and Pindyck, R.S.: 1996, Uncertainty, investment, and industry
evolution, International Economic Review 37, 641-662.
4. Caballero, R. J. (1991), 'On the sign of the investment-uncertainty relationship.',
American Economic Review 81, 279-288.
