Моделирование и оптимизация инвестиционных стратегий в условиях неопределенности с учетом конечного срока реализации проекта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование и оптимизация инвестиционных стратегий в условиях неопределенности с учетом конечного срока реализации проекта

Ткаченко Денис Дмитриевич, кандидат экономических наук, доцент, докторант Кисловодского института экономики и права;

in63@mail.ru

Аннотация: Построена модель инвестиционного процесса с учетом неопределенности спроса и доказано, что оптимальный инвестиционный порог может снижаться с ростом неопределенности прибыли при условии, что уровень этой неопределенности невысок и инвестиционный проект имеет конечный срок реализации.

Ключевые слова: моделирование, инвестиции, неопределенность спроса, оптимизация, риск

Abstract. We build a model of investment process taking account of demand uncertainty and prove that the threshold of investment decreases with uncertainty, if the uncertainty level is low.

Keywords: modeling, investment, demand uncertainty, optimization, risk

Несмотря на большое число теоретических работ, посвященных применению метода реальных опционов к исследованию корпоративного инвестирования [1-3], в литературе отсутствуют исследования влияния неопределенности на инвестиционный процесс при условии, что инвестиционный проект имеет конечный срок реализации. Во всех известных работах по теории реальных опционов делается предположение о неограниченном сроке осуществления инвестиционного проекта, которое существенно упрощает математическое описание процесса инвестирования, однако далеко не всегда оказывается адекватным. В действительности большинство реальных инве-

стиционных проектов имеют конечный срок реализации. Это в особенности справедливо для современной экономики знаний, когда инновации ограничивают срок экономической жизни технологий. Анализ, проведенный в настоящей работе, показывает, что отказ от упрощающего предположения о неограниченном сроке осуществления инвестиционного проекта приводит к принципиально новым выводам относительно влияния неопределенности на инвестиционный процесс. Важнейшим результатом исследования является то, что оптимальный инвестиционный порог может снижаться с ростом неопределенности прибыли при условии, что уровень этой неопределенности невысок и инвестиционный проект имеет конечный срок реализации. Тем самым при ограниченном сроке реализации проекта может иметь место отрицательное соотношение между неопределенностью и стоимостью опциона инвестирования, что фактически приводит к пересмотру основного результата теории реальных опционов.

Анализ показывает, что рост неопределенности прибыли воздействует на оптимальный инвестиционный порог тремя путями. Первый эффект представляет собой эффект дисконтирования. Рост неопределенности приводит к повышению ставки дисконтирования посредством рисковой премии. Второй эффект представляет собой воздействие волатильности стохастического процесса эволюции прибыли, который оказывает положительное воздействие на опцион инвестирования: более высокая степень неопределенности повышает верхнюю границу потенциального выплаты от исполнения опциона, оставляя нижнюю границу потенциального выигрыша неизменной и равной нулю. Увеличение стоимости опциона инвестирования приводит к тому, что фирма имеет больше стимулов к откладыванию инвестирования, что означает, что интервал времени до момента осуществления инвестирования увеличивается с ростом неопределенности. При этом также повышается оптимальный инвестиционный порог. Третий эффект воздействия неопределенности прибыли на оптимальный инвестиционный порог представляет собой эффект рисковой доходности инвестиционного проекта. Увеличение рисковости проекта при-

водит к росту ставки дисконтирования и, следовательно, рисковой доходности инвестиционного проекта. Это приводит к сокращению интервала времени до момента осуществления инвестирования, и оптимальный инвестиционный порог также снижается.

Эффекты дисконтирования и волатильности, таким образом, приводят к росту оптимального инвестиционного порога, в то время как эффект рисковой доходности действует в противоположном направлении. Проекты с коротким сроком реализации относительно нечувствительны к изменению ставок дисконтирования. Аналогично, при низких уровнях неопределенности эффект волатильности также мал. Следовательно, отрицательный эффект рисковой доходности может превосходить первые два эффекта в ситуациях, когда проект имеет ограниченный срок реализации, и уровень неопределенности невысок. В этих случаях оптимальный инвестиционный порог снижается с ростом неопределенности.

Заметим, что в ряде работ [4,5] выводы о снижении оптимальных инвестиционных порогов с ростом неопределенности сделаны при условии нелинейности (выпуклости) функции предельной прибыли. Полученные же в настоящей работе результаты не основываются на предположении о выпуклости функции предельного продукта капитала.

Рассматриваем невозвратный инвестиционный проект, имеющий конечный срок реализации, равный Т лет, который может быть предпринят фирмой в любой момент времени. Предполагаем, что фирма характеризуется нейтральным отношением к риску. После того, как инвестирование произошло, инвестиционный проект генерирует прибыль Qt, которая стохастически эволюционирует со временем в соответствии с геометрическим броуновским движением

^ , (1) где dZ - приращение стандартного Винеровского стохастического процесса, dt - приращение времени, л - тенденция (трендовая составляющая стохастического процесса), с - волатильность (мгновенное среднее квадратическое

отклонение), которая является источником неопределенности в модели. Обозначим инвестиционные затраты фирмы через I. При стандартном предположении о полноте рынка ожидаемая ставка доходности проекта л определяется равновесием на финансовом рынке. Формула CAPM связывает л, безрисковую процентную ставку г , корреляцию доходности инвестиционного проекта с доходностью рыночного портфеля р и рисковую премию X следующим образом

л = г + Хрс . (2)

Разность между л , ожидаемой ставкой доходности проекта, и л , ожидаемой

ставкой изменения Q, известна как рисковая доходность инвестиционной

возможности. Последняя обозначается через д и удовлетворяет следующему соотношению

д = л - л = г + Хрс - л. (3)

Будем предполагать, что имеет место неравенство д > 0, которое обеспечи-

вает, что инвестиционный проект вообще предпринимается; в противном случае фирме никогда не оптимально исполнять опцион инвестирования.

Рассмотрим ситуацию, когда временной горизонт инвестиционного проекта конечен, и ставка дисконтирования устанавливается в равновесии на рынке капитала с положительной рисковой премией. Анализ, проведенный ниже, показывает, что в общем случае зависимость величины оптимального инвестиционного порога от неопределенности немонотонно.

Утверждение 1. Если временной горизонт инвестиционного проекта конечен и Хр > 0, то воздействие неопределенности доходности проекта на величину оптимального инвестиционного порога немонотонно: оптимальный инвестиционный порог убывает по волатильности с при малых значениях волатильности, а затем с ростом волатильности оптимальный инвестиционный порог возрастает с ростом неопределенности. Длина интервала значений волатильности с, на котором оптимальный инвестиционный

порог убывает по волатильности, снижается с ростом временного горизонта инвестиционного проекта.

Доказательство. Предполагаем, что временной горизонт инвестиционного проекта T конечен и Хр > 0. Нужно доказать, что функция L1 отрицательна при малых значениях неопределенности с > 0, а затем с ростом волатильности с функция L1 становится положительной. Во-первых, полезно заметить, что

0 <Д< 1 и — < 0. (4)

dс

Непосредственной проверкой можно убедиться также в том, что справедлива цепочка неравенств

Ь1 < 0 ^ (Р - 1)с - Хр < 0 ^ ^ > 0. (5)

dс

Далее заметим, что при нулевой волатильности с = 0 функция L1 отрица-

dQ*

тельна: L1 = -(г - л)ХрД < 0 . Поэтому производная------- также отрицатель-

dс

на при с = 0. С ростом неопределенности с функция Д сходится к нулю, и функция Ь1 становится положительной.

Покажем теперь, что функция Ь1 меняет свой знак с отрицательного на положительный только один раз при возрастании волатильности с . При

т п л M

Ьл = 0 имеют место соотношения: Д = — и

1 N

dL dM dN dД dM dN 1

—1 =---------------------------------------------------N— >-Д = —

dс dс dс dс dс dс N

^Мт dN '

--N-----M

dс dс

(6)

дХр

N

— с + Р -1 <1с

{(Р - 1)[Хр - (Р - 1)с]с + д} > 0.

Неравенство (6) следует из (4) и (5). Следовательно, функция Ь1 начинает возрастать по волатильности в точке, в которой Ь1 = 0. Далее, непрерыв-

ность функции Ь1 означает, что она меняет свой знак только один раз с отрицательного на положительный при некотором значении волатильности

с* > 0. Тем самым первая часть Утверждения доказана.

Для того чтобы доказать, что длина интервала значений волатильности с , на котором оптимальный инвестиционный порог убывает по волатильности, снижается с ростом горизонта инвестиционного проекта, исследуем знак

венство следует из того, что---< 0 и производная (6) положительна.

dT

В табл. 1 представлены результаты численных расчетов, иллюстрирующие доказанное Утверждение. Численные расчеты проведены в широких интервалах изменения практически реализуемых ключевых параметров модели. Из табл. 1 видно, что имеет место отрицательное соотношение между

волатильностью с и оптимальным инвестиционным порогом Q* при невысоких уровнях неопределенности. Этот эффект более выражен для краткосрочных проектов, однако даже для проекта, имеющего 30 - летний срок

реализации, оптимальный инвестиционный порог Q * убывает по волатильности вплоть до значений с ~ 0,12. Приведенные примеры расчетов показывают, что положительное воздействие неопределенности на инвестирование (соответствующее отрицательному воздействию на оптимальный инвестиционный порог) имеет место для экономически значимых параметров модели. Табл. 1 подтверждает, что для инвестиционных проектов с бесконечным временным горизонтом соотношение между неопределенностью и оптимальным инвестиционным порогом Q* монотонно, и величина оптимального инвестиционного порога возрастает с ростом неопределенности доходности проекта.

с=с

с=с

< 0. Это нера-

dД

Таблица 1

Инвестиционный порог как функция волатильности для различных сроков реализации проекта Т при ц = 0,08; г = 0,1; р = 0,7; X = 0,4; I = 10

Т

10 15 30 да

0,0 5,46 3,81 2,23 1,00

0,05 3,52 2,49 1,58 1,07

0,10 2,84 2,15 1,46 1,13

0,15 2,71 2,02 1,50 1,24

0,20 2,77 2,11 1,61 1,43

0,25 2,81 2,27 1,78 1,68

0,30 3,05 2,56 2,25 2,07

Проведем экономическую интерпретацию немонотонного воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог. Из соотношений (3) и (7) следует, что величина оптимального инвестиционного порога может быть представлена в виде

д*=_Рг----------------------------------------------1-1 (7)

/1 -11 - ехр[-дТ ]

Целесообразно идентифицировать все переменные, испытывающие воздействие неопределенности, и рассматривать величину оптимального инвестиционного порога как функцию трех переменных: д*[с,д(с), /1(с,д(с))]. Тогда производная от величины оптимального инвестиционного порога по волатильности с может быть представлена в виде следующих трех составляющих:

dQ* = д_д^ 81 + д дА + гд^ дА ад (8)

dс дд дс д/ дс ЭД дс дс

V д____д___J д______д______J

эффектдисконтирования эффект волатильности эффект рисковой

доходности

Эти три составляющие имеют ясную интерпретацию и определенный знак (при условии Хр > 0). Первая составляющая в правой части выражения (8), которая представляет собой эффект дисконтирования, является мерой воздействия неопределенности доходности инвестиционного проекта на ставку,

используемую при дисконтировании стоимости инвестиционного проекта. Рост неопределенности приводит к повышению ставки дисконтирования, что снижает чистую настоящую стоимость инвестиционного проекта. Это означает, что менее выгодно инвестировать в такой проект, что приводит к росту величины оптимального инвестиционного порога. Следовательно, эффект дисконтирования всегда положителен.

Поскольку вторая и третья составляющие производной от величины оптимального инвестиционного порога по волатильности воздействуют на оптимальный инвестиционный порог посредством /1, они отражают влияние неопределенности на стоимость опциона инвестирования. В дальнейшем будем называть совместное действие этих составляющих эффектом опциона инвестирования. Воздействие волатильности, описываемое производной

дд* дд

--------, описывает прямое влияние неопределенности на стоимость опцио-

дд дс

на инвестирования. Более высокая неопределенность приводит к росту верхней границы потенциального выигрыша от исполнения опциона, оставляя нижнюю границу потенциального выигрыша неизменной и равной нулю. Этот эффект оказывает положительное воздействие на стоимость опциона инвестирования. Увеличение стоимости опциона инвестирования означает, что фирма имеет больше стимулов к откладыванию инвестирования. Это приводит к повышению альтернативных издержек инвестирования, так что величина оптимального инвестиционного порога будет расти. Следовательно, эффект волатильности однозначно положителен.

д£* д/ дд

Произведение----------1--- в выражении (8) представляет собой воз-

д/1 дс дс

действие неопределенности на стоимость опциона инвестирования посредством рисковой доходности, и поэтому этот эффект будем называть эффектом рисковой доходности. Рост неопределенности приводит к повышению рисковой премии ожидаемой ставки доходности и поэтому на рисковую доходность, что в свою очередь повышает альтернативные издержки владения оп-

ционом инвестирования и, следовательно, снижает стоимость опциона инвестирования. По этой причине повышается привлекательность более раннего инвестирования, что приводит к снижению оптимального инвестиционного порога. Следовательно, эффект рисковой доходности отрицателен.

Подытоживая проведенный анализ, заключаем, что эффекты дисконтирования и волатильности положительны, в то время как эффект рисковой доходности отрицателен. Очевидно, что отрицательное соотношение между неопределенностью и оптимальным инвестиционным порогом может иметь место только в том случае, если эффект рисковой доходности превосходит два других эффекта. Следующее Утверждение показывает, как уровень неопределенности и временной горизонт инвестиционного проекта влияет на относительную величину отмеченных трех эффектов.

Утверждение 2.

1. Определим с = {с > 0 : (/1 - 1)с - Хр = 0}. Суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог отрицателен при с < с и положителен при с > с.

2. Чем меньше временной горизонт инвестиционного проекта Т, тем меньше эффект дисконтирования и больше по абсолютной величине обе составляющих опциона инвестирования.

Доказательство. Запишем выражение для двух составляющих опциона инвестирования:

дд * д/1 дд * д/1 дд =

д/1 дс д/1 дс дс

(9)

1/1 д(с) (/1 - 1)с - ХР

(/1 -1)21 - ехр[-д(с)Г ]

.2

Г 1 Л

с

Поскольку /1 > 1 и с2 /1 - — + г - д(с) > 0, знак выражения (9) зависит

V 2)

от знака функции Ь2 = (/1 - 1)с - Хр в соответствии с Утверждением, т.е.

V

1

суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог отрицателен при с < с и положителен при с > с .

Осталось показать, что существует единственное неотрицательное значение с. Заметим, что если Хр > 0, при с = 0 получаем L2 = -Хр < 0, и суммарный эффект воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог отрицателен. Чтобы проверить, что эффект опциона инвестирования изменяет свой знак с отрицательного на положительный только один раз при возрастании с , покажем, что функция L2 (непрерывная по переменной с > 0) всегда возрастает по волатильности при условии L2 < 0. Дейст-

dL2 Хрс - (А - 1)с2 _ 1 л

вительно, имеем —2 =--------- Г-1----------+ рл -1 > р -1 > 0 при

Сс (А -1)2 с + ц- Хрс 1 1

L2 < 0 . Эффект дисконтирования можно преобразовать следующим образом

дд * дд = А1 1 - ехр[-д(с)Т ] - д(с)Т ехр[-д(с)Т ] х

~дд ~дс ~ (/1 -1)2 (1 -ехр[-д(с)Г])2 р.

Это выражение всегда положительно и возрастает по длине инвестиционного

горизонта Г. Из (18) непосредственно следует, что составляющие

дд * д/1 дд * д/1 дд

---------и--------------

дА1 дс дА1 дс дс

убывают по абсолютной величине с ростом инвестиционного горизонта Т .

Первая часть Утверждения 2 устанавливает, что знак воздействия неопределенности на оптимальный инвестиционный порог неоднозначен, однако существуют две области изменения волатильности, в которых этот знак положителен или отрицателен. При относительно высоком уровне неопределенности положительный эффект волатильности преобладает над отрицательным эффектом рисковой доходности. При относительно низком уровне неопределенности отрицательный эффект доминирует. В таком случае предельное увеличение неопределенности оказывает слабое воздействие на вероятность достижения экстремальных значений стохастическим процессом, определяющим динамику доходности проекта и, следовательно, эффект во-

латильности относительно мал. С другой стороны, эффект рисковой доходности также значителен при низких уровнях неопределенности, поскольку эффект рисковой доходности Ô линеен по волатильности <г, что означает, что предельный эффект волатильности <г в Ô постоянен (в действительности эффект рисковой доходности не постоянен, однако снижается при повышении <г , поскольку полный эффект действует через дисконтный фактор).

Вторая часть Утверждения 2 устанавливает, что эффекты дисконтирования и опциона инвестирования реагируют по-разному на изменения инвестиционного горизонта проекта. Эффект дисконтирования снижается при сокращении инвестиционного горизонта. Очевидно, что проекты с малым инвестиционным горизонтом относительно нечувствительны к предельным изменениям ставки дисконтирования. С другой стороны, эффекты опциона инвестирования возрастают при сокращении инвестиционного горизонта. Это объясняется тем, что более короткий инвестиционный горизонт проекта означает, что текущий поток прибыли должен быть больше, чтобы инвестирование было оптимальным, что приводит к более высоким эффектам опциона инвестирования.

Литература

1. Abel, A. B. & Eberly, J. C. (1994), 'A unified model of investment under uncer-

tainty.', American Economic Review 84, 1369-1384.

2. Аркин В.И., Сластников А.Д., Аркина С.В. Инвестирование в условиях неопределенности и задачи оптимальной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, выпуск 1. - С. 3-33.

3. Dixit, A. K. & Pindyck, R. S. (1994), Investment under Uncertainty, Princeton

University Press.

4. Caballero, R.J. and Pindyck, R.S.: 1996, Uncertainty, investment, and industry

evolution, International Economic Review 37, 641-662.

5. Caballero, R. J. (1991), 'On the sign of the investment-uncertainty relationship.',

American Economic Review 81, 279-288.