Влияние неоднородности тонкостенного цилиндра на осевые критические усилия Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 539.3

Э.В. Антоненко, С.Ю. Аляев

ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ

ТОНКОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА НА ОСЕВЫЕ КРИТИЧЕСКИЕ УСИЛИЯ

Проблеме устойчивости цилиндрических оболочек при осевом сжатии посвящены сотни публикаций [1, 2]. В их абсолютном большинстве случаев рассматривались гладкие оболочки постоянной толщины и подкреплённые оболочки. Единицы работ связаны с расчетом оболочек переменной толщины (с геометрической неоднородностью).

Ниже предлагаются результаты численного эксперимента по влиянию закона изменения толщины оболочки вдоль образующей 6(х) на величину погонных критических усилий при осесимметричной форме потери устойчивости. Вместо традиционно используемых для однородных оболочек осевых критических напряжений здесь берутся N = а(х)6(х). Исследования проводились с использованием прямого метода [3], построенного на законе сохранения энергии, из условия безразличного равновесия при потере устойчивости. Этот метод даёт [1]

Е / 63(х)[ш"(х)]Чх + ЕЯ-2 / 6(х)п)2(х)йх N = ^-1-0--(1)

о

где обозначения общепринятые: Е = Е/[12(1 — Д2)], гш(х) - функция прогиба, зависящая от граничных условий. При шарнирном закреплении и защемлении краев оболочки принимались функции

(х) = А 8т(шпх//); (х) = А Бт(тлх/1).

Закон изменения толщины оболочки представляется в виде6(х) = 60ф(х), где 6о - толщина оболочки в сечении х = 0. Вид функций ф(х) приведен в таблице. При ф(х) = 1 имеем однородную оболочку толщиной 60.

Результаты расчетов по формуле (1) для некоторых неоднородных оболочек удалось представить в виде

E 52

N = ^ = ТКт^уR • (2)

где No - осевые критические усилия шарнирно опертой одномерной однородной оболочки толщиной 5o, а корректирующие функции, учитывающие закон изменения толщины оболочки. Для оболочек с защемлёнными краями

N o3 = V3N,o.

Введем удельные критические усилия, приходящиеся на единицу массы оболочки m:

i

N = —, m = 2nRp i 5(x)dx. (3)

m J

o

Будем сравнивать удельные критические усилия неоднородной и однородной оболочек одинаковой массы при одинаковых габаритах R и l Для такой неоднородной оболочки, эквивалентной однородной по массе, получим

i

m = m3 = 2nRp53; 5Э = 50/3; в = J 4>(x)dx, (4)

o

где 5Э - толщина однородной оболочки с осевыми критическими усилиями Na = No (2), где 5Э = ¿o •

Эффективность оболочек будем оценивать показателем

п = io = f = (5)

Корректирующие функции а, формирующие осевые критические усилия неоднородных оболочек, и эффективность оболочекп определялись для ряда законов изменения толщины оболочек (таблица). Результаты вычислительного эксперимента отражены на рис.1 - 4.

Законы изменения толщины 1-2 соответствуют составной оболочке, состоящей из двух и трех участков (рис. 1, 2). Для оболочки, состоящей из трех участков на рис. 2, диапазон для l = 0 ^ 1 следует заменить на диапазон I = 0 ^ 0.5.

Пятый закон линейного изменения толщины, обозначенный на рис. 3, 4 5(x) = lin(a,x), потребовал для получения обозримых результатов замены линейной функции отрезком ряда степеней синусов с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа пятой степени.

Шестой закон изменения толщины, обозначенный на рис. 3, 4 5(x) = opt5(a,x)7 получен численным поиском максимума многочлена синусов 5-й степени при ограничениях, соответствующих физическому смыслу задачи.

Таблица

№ в = S/So Ф1; Ф2

1 1 0 < x < 1ь S, l1 < x < l. l + (1 — Щ Ф1 = l(1 — S3) + S3, Ф2 = l(1 — S) + S

2 1 0 < x < li; S, l1 < x < l — l1; 1, l — l1 < x < l. 2/(1 — S) + S Ф1 = 2l(1 — S3)+ S3, Ф2 = 2l(1 — S) + S

3 1 + a sin(nx/l) 1 + 2a/n Ф1 = 1 + (6a)/п + (3a2)/2 + (4a3)/n, Ф2 = 1 + (2a)/п

4 1 + a sin(nx)/l 1 + a/2 Ф1 = 1 + (3a)/2 + (9a2)/8 + (5a3)/16, Ф2 = 1 + a/2

5 1 + (2ax)/l, 0 < x < l/2; 1 + 2a(1 — x/l), l/2 < x < l. 1 + 0.515a Ф1 w 1 + 1.546a + 1.077a2 + 0.284a3, Ф2 w 1 + 0.515a

6 1 — 0.493a sin3 nx/l+ + 1.493a sin5 nx/l 1 + 0.298a Ф1 w 1 + 0.893a + 0.666a2 + 0.184a3, Ф2 w 1 + 0.298a

¿о=¿i, S = ¿2Л1, l = li/l-

Из представленных результатов следует вывод о выгодности применения неоднородных оболочек.

Замечание. Результаты получены прямым энергетическим методом расчета устойчивости с использованием правил приближенного анализа и не претендуют на высокую точность. Они могут быть полезными на этапе эскизного проектирования оболочечных конструкций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1974. 640 с.

2. Товстик П.Е. Устойчивость топких оболочек. М.: Наука, 1995, 308 с.

3. Kami, С.Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966, 508 с.

4. Anmon.en.Ko Э.В., Хлопцева Н.С. Осесимметричная форма потери устойчивости тонкостенных цилиндров переменной толщины // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 2006. Вып. 8. С. 165-167.