CC BY
17
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ
уда: 539.3
Э. В. Антоненко, II. С. Хлопцева
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
1. При равномерном осевом сжатии тонкостенной круговой цилиндрической оболочки погонными осевыми усилиями д ось оболочки остается прямолинейной, а поверхность её при потере устойчивости получает осе-симметричные радиальные перемещения мфс), зависящие только от координаты х.
При потере устойчивости оболочки с переменной вдоль её оси толщиной 5(х) напряжения сжатия в различных поперечных сечениях оказываются различными, а величина критического погонного усилия Ы, = сг(.с)б(У) остается постоянной. Задача потери устойчивости в этой ситуации сводится к определению ./V».
Несущая способность такой оболочки оценивается величиной осевой критической силы Р, = М.2пЯ, если И - радиус срединной поверхности оболочки.
Определим Л\ прямым энергетическим методом в ситуации безразличного равновесия, когда работа внутренних сил (энергия деформаций) равна работе внешней осевой критической силы. Полагаем справедливым закон Гука и гипотезы Кирхгофа-Лява.
Энергия деформации в осесимметричной задаче формируется за счет изгиба образующих погонными моментами тх и растяжения - сжатия поперечных сечений усилиями Лгф, где обозначения соответствуют [1, 2]
(штрихами обозначены производные по координате х).
Полная потенциальная энергия оболочки
(1)
о
где Г— потенциальная энергия единицы длины оболочки.
пЯ,
(2)
где
5 = 5(лг), V = ы(х), Е =
12(1 - Ц2)
Из условия безразличного равновесия, когда и — 0, получим
Г_1 I \ I
£}б3(х)|У (х)]2Л + ЙГ2 }5(х)м>2(х)<£с I (1х. (3)
V о
У о
2. Рассмотрим устойчивость составной цилиндрической оболочки, когда 8 = 5, (0 < л < /,), 5 = б2 (/| ^ х < /), края шарнирно оперты,
м>(х) = ^эт
т их
Выражение (3) принимает вид
£(/, + /2) + £/Г2(/3+/4)
I,
(4)
(5)
Л = И*)]2 Ах\ /2 = |б32 И*)]2 А; /3 = )б, и>2 (х)с1х-о /, о
/ I
/4 = }5 2м,2{х)с1х- /5 = Д*'(х)]А.
Величина М, - характеристика всей оболочки: Лг. =сг.15, =ст.252,
здесь используется первое равенство. Подстановка (4) в (5) дает:
\2
/
Я2 \rn-n.)
(6)
Ф, = <аГ1 - 531 + 53, Ф2=а(1-б)+5, а = 1-
5\п2тп1 1
2ттс 5, ' /
Число полуволн т в (6) необходимо выбирать из условия минимума
ЛГ»:
тп \ К
Т
Тф 2
тп
4
I =0;
тп
X = Г 1 02
I ) я2?,2 Ф\
(7)
С учетом (7) из (6) находим:
Е 82
N. =Аг»1л/ф^; 1
>/3(1-Ц)
2 л
где Лт«, - критические усилия для оболочки с толщиной 5,, а величина Л/Ф1Ф2 - поправочный коэффициент.
3. Критические усилия гладкой оболочки с толщиной, меняющейся по закону 5(х)= 30е~сх, при шарнирном опирании краев оболочки получим из зависимости (3):
Е 5п
N. „=-■-(8)
л/3(1-й)2 R
l-e~3cl 3cl[l-e~3d) __
-е-зы
£ ____\ / £ =
3с! 9(с1)2 + 4(тк)2 ' 2 с1 (с/)2 + 4(тп)2
В формуле (8) N.0 — критическое усилие оболочки с толщиной 80. Это выражение совпадает с известными зависимостями [!, 3].
Более точные выражения для критических усилий оболочки с переменной толщиной можно найти из дифференциального уравнения задачи.
4. Дифференциальное уравнение задачи устойчивости оболочки переменной толщины получим из условия минимума функционала (1) с учетом (2). Используя уравнение Эйлера вариационной задачи
ЭГ с1 (дГЛ{ (12 ( дГ\ = 0 дк <Ь\дк')+ сЬсАдк")
и выполняя предписанные им действия, получим:
\
w"(x) +
5(х)
/ 6 Г8'(*)1
V LSMJ
5(х) ЕЬ\х)
/
+ —
ER282(X)
44=0. (9)
Из уравнения (9) как частный случай получим результат для б(х) = 5 = const
W
- ,, rv I I - _ _ rv 1 .-V I — J Т * — г---.
£5 ER 5 л/з(1-ц2) R
Последние зависимости совпадают с известными результатами. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кан С. Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966. 508 с.
2. Антоненко Э. В., Хюпцева Н. С. Критическое давление составных цилиндрических оболочек // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 156- 158.
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1974. 640 с.
