CC BY
0
2024
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 91
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.17223/19988621/91/10
Влияние начальных напряжений на распространение звуковых волн в гипоупругих анизотропных материалах
Марина Юрьевна Соколова1, Алексей Александрович Маркин2
12 Тульский государственный университет, Тула, Россия 1 [email protected] 2 [email protected]
Аннотация. Для гипоупругих изотропных и анизотропных материалов получено линеаризованное уравнение распространения акустических волн в телах с предварительными конечными деформациями и начальными напряжениями. Уравнение записано относительно поля скоростей, приводящего к возмущению начальной конфигурации среды. Для плоских монохроматических волн выписано выражение для акустического тензора. Проведен анализ влияния вида начальных напряжений на фазовые скорости распространения волн в анизотропных материалах с кубической симметрией свойств и в изотропных материалах.
Ключевые слова: гипоупругость, анизотропия, конечные деформации, динамические уравнения, акустические волны, начальные напряжения, фазовые скорости
Благодарности: Работа выполнена при поддержке госзадания Минобрнауки РФ (шифр FEWG-2023-0002).
Для цитирования: Соколова М.Ю., Маркин А.А. Влияние начальных напряжений на распространение звуковых волн в гипоупругих анизотропных материалах // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 91. С. 113-124. doi: 10.17223/19988621/91/10
Original article
The effect of initial stresses on sound wave propagation in hypoelastic anisotropic materials
Marina Yu. Sokolova1, Aleksey A. Markin2
1, 2 Tula State University, Tula, Russian Federation 1 [email protected] 2 [email protected]
Abstract. A linearized equation for the propagation of acoustic waves in bodies with preliminary finite deformations and initial stresses is obtained for hypoelastic materials. The equation is written in terms of the velocity field, which leads to perturbations of the
© М.Ю. Соколова, А.А. Маркин, 2024
initial configuration of the medium. The formula for a symmetric acoustic tensor is written for plane monochromatic waves.
It is shown that if a plane wave propagates along one of the anisotropy axes in cubic material, then the normal stresses in the plane of the wave front affect the phase propagation velocities of both longitudinal and transverse waves. The normal stresses acting perpendicular to the wave normal vector affect only the magnitude of the phase velocity of the transverse wave polarized along the stress direction. The shear stresses acting in the plane of the wave front have an effect on the propagation velocities of quasi-longitudinal and quasi-transverse waves. The shear stresses acting in the plane perpendicular to the wave front affect only the phase velocities of transverse waves. Analysis of the effect of initial stress on wave propagation in an isotropic material allowed revealing the occurrence of anisotropy in the acoustic properties of the medium and to describe shear wave splitting.
Keywords: hypoelasicity, anisotropy, finite strains, dynamic equations, acoustic waves, initial stresses, phase velocities
Acknowledgments: This research was carried out within the state assignment of Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (theme No. FEWG-2023-0002).
For citation: Sokolova, M.Yu., Markin, A.A. (2024) The effect of initial stresses on sound wave propagation in hypoelastic anisotropic materials. Vestnik Tomskogo gosu-darstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 91. pp. 113-124. doi: 10.17223/19988621/91/10
Введение
Классической задачей эластодинамики является задача о распространении акустических (упругих) волн в безграничной среде [1]. В основном в работах о распространении волн в упругой среде с предварительными конечными деформациями и напряжениями используются гиперупругие модели материалов, как изотропных [1-3], так и анизотропных [4-6]. Значительно меньшее число работ посвящено распространению акустических волн в гипоупругих материалах [7-10]. В этих работах рассматривается изотропный материал, а в качестве объективной производной тензора напряжений используется производная Яуманна. В [7-10] исследуется распространение волн в недеформированной среде с начальными напряжениями. В [7, 8] отмечается, что наличие начальных напряжений в гипо-упругой среде приводит к несимметрии акустического тензора. Из этого делается вывод, что при некотором распределении начальных напряжений происходит «блокировка» определенных видов акустических волн. На наш взгляд, описываемый в [8] эффект требует экспериментального подтверждения. Влияние поля начальных напряжений на фазовые скорости распространения упругих волн и появление акустической анизотропии свойств, индуцируемой внутренними напряжениями, в моделях гипоупругих материалов отмечается в работах [7, 9, 10]. Проявление этих эффектов в начально изотропных средах наблюдается и в экспериментальных исследованиях [3, 11]. Эксперименты, в которых регистрируется влияние предварительных напряжений на фазовые скорости распространения упругих волн в анизотропных материалах, описаны, например, в работе [12].
Динамические уравнения распространения акустических волн в средах с предварительными напряжениями и деформациями в [1, 13] записаны относительно поля перемещений. В работах [13, 14] распространение акустических волн рас-
сматривается как процесс наложения малых возмущений поля перемещений на начальные конечные деформации материала. В статье [15] динамические уравнения записаны в смешанной форме Лагранжа-Эйлера относительно поля скоростей, рассмотрен пример распространения волн в гиперупругом изотропном материале с квадратичным относительно деформаций упругим потенциалом.
Целью данной работы является исследование влияния начальных напряжений на распространение волн в гипоупругих анизотропных материалах. Для этого будет получена линеаризованная форма уравнений распространения акустических волн, записанная относительно поля скоростей. В отличие от работ [7-10] будет использован вариант соотношений гипоупругости, связывающий скорость изменения тензора напряжений относительно полярного базиса и тензор деформаций скорости [16].
Уравнения распространения акустических волн в гипоупругой среде
Процесс распространения звуковых волн в предварительно деформированном гипоупругом материале будем рассматривать в рамках теории наложения на конечные деформации малых возмущений поля перемещений [13, 14]. Обычно при этом рассматривают три конфигурации среды: отсчетную, соответствующую моменту времени / = /0, начальную (/ = А) и конечную (/ > А) [14]. Полагают, что в отсчетной конфигурации материал находится в естественном состоянии, т.е. в нем отсутствуют напряжения и деформации. В результате движения среда переходит в начальное состояние, которое характеризуется полем перемещений u1(x0, /1) и аффинором деформаций
Ф, = Е + , У„() = а, , (1)
ох0
где Vo - набла-оператор отсчетного состояния, E = alal+ a2a2+ aзaз - единичный тензор, al, a2, aз - единичные ортогональные базисные векторы, радиус-вектор точки в отсчетном состоянии х0 = хо^,-.
Напряжения характеризуются тензором истинных напряжений Коши S1. Считаем, что в начальном состоянии поля деформаций и напряжений однородны, поэтому выполняются условия равновесия
V, • 8, = 0, (2)
и, = —г1 = 0 .
1 л2
В уравнениях (2) введен набла-оператор начального состояния
= а, ^ X = х0 + ы[. дх;
Переход из начальной конфигурации в конечную связан с возмущением поля перемещений, определяемым вектором В конечной конфигурации поле перемещений определяется выражением
и2(х,,О = и,(х0,+ и12(х,,т), где т = t-^ . (3)
Аффинор деформаций (1) в конечном состоянии может быть представлен в виде: Ф2 = Ф, • Ф,2, Ф,2 = Е + ^и,2. (4)
Поле напряжений в конечном состоянии характеризуется тензором
82(Х2,0 = ад,О + Мх,т), (5)
где Sl2(xl,т) - изменение поля напряжений, вызванное возмущением перемещений т).
Напряжения (5) удовлетворяют уравнениям движения, Эйлерова форма которых имеет вид:
У2-82=р2й2, (6)
где набла-оператор конечного состояния
у2() = а х2 = х0 + и2 = х + и>2.
Набла-операторы конечного, начального и отсчетного состояний связаны известными соотношениями [13, 16]
У2() = Ф221 -У0() = Ф-2-У,() . (7)
Плотность среды в конечном р2 и начальном р1 состояниях связана с плотностью среды в отсчетной конфигурации ро выражениями
Р2 = ,/-1ро = Р1 = ,1-1ро, где .1к = det фк. (8)
Подставляя напряжения (5) в уравнения (6), учитывая соотношения (2)-(4), (7) и (8), после преобразований получим уравнения движения в виде:
/12ф-21-У1-(/1812) = р0й12. (9)
При рассмотрении акустических волн принято считать, что перемещения и их градиенты малы [13, 14]. В связи с этим предположением сохраним в уравнениях (9) только члены первого порядка относительно градиентов и получим линеаризованные уравнения распространения малых возмущений поля перемещений в виде:
У1-(/1812) = р0й12. (Ю)
Определяющие соотношения для гипоупругих материалов устанавливают связь между объективной производной обобщенного тензора истинных напряжений Е = J S и тензором деформации скорости W:
Ед = N, (11)
где N - тензор четвертого ранга, определяемый свойствами среды.
В качестве объективной производной в (11) используем полярную производную [16]
£д =± + £М:-1:-£1, П = Ы' Й, (12)
где П - тензор спина, R - тензор поворота, входящий в полярное разложение аффинора деформаций Ф = U ^ Ц1 = ^ RТ = R-1.
Полярная производная ЕЛ (12) определяет скорость изменения тензора Е относительно полярного базиса, вращающегося со скоростью П относительно неподвижного базиса al, a2, aз. Полная производная тензора Е определяет скорость его изменения относительно неподвижного базиса.
Пусть Е1 = J1 S1 и Е2 = J2 S2 - обобщенный тензор напряжений в начальном и конечном состояниях. Обозначим через Е12 изменение обобщенного тензора напряжений, связанное с возмущением поля перемещений:
ад, т) = ад,0 - ад,О . (13)
На основании представлений (5) и (13) связь между тензорами Б12 и £12 определяется соотношением
= 1 (^12*^12 + (^12 - 1)£1 ) ' которое после линеаризации принимает вид:
Зх ЪХ2 = Е12 -(У1 • Ы12) £1. (14)
Подставим (14) в уравнения (10) и преобразуем полученные уравнения к виду:
УГ212-2ГУ1УГЦ12 =Ро"12- (15)
Продифференцируем уравнения (15) по времени т:
У1-±12-Е1-У1У1-у = р0у, (16)
( \ 5Ц12
где у(х, т) = —- скорости перемещения частиц среды, конвективные произ-
5т
5£
водные опускаем как малые второго порядка; £12(х ,т) = —— - скорость изме-
5т
нения напряжений относительно начальной конфигурации.
Скорость изменения тензора £12 определим из выражений (12):
или с учетом определяющих соотношений (11):
£12 = N • -\¥12 - Ц2 •£[+£[• Ц2. (17)
Тогда уравнения (16) принимают вид:
N... у, \У12 - V, • П12 •£,+£,• • У^12 - £, • У^ • V = р0у. (18)
В соотношениях (17), (18) тензор деформации скорости определяется выражением
^2 = 1 (^у + УУ1 ). (19)
Для отыскания тензора спина представим тензор поворота Я2 конечного состояния в виде произведения Я2= И12 и линеаризуем тензор поворота И12 с учетом малости градиентов перемещений и12:
«12 - Е + 1 (У^ - Ц^ ) ,
тогда линеаризованное представление тензора спина после преобразований имеет вид:
"12 - 1 (У^ - уу ) . (20)
Подставляя (19) и (20) в уравнения (18), после преобразований получим уравнения распространения акустических волн, записанное в скоростях:
К.-.у^у-!^ -(V, .^у + У^ •у) + 1(£1 •-V, V, у - V, уУ, ••£,) = Роу . (21)
Уравнения (21) позволяют в гипоупругой среде учитывать влияние однородных начальных напряжений £1 на распространение акустических волн. При этом возмущение начального состояния среды определяется полем скоростей у(х1; т).
Пусть возмущение начального состояния связано с прохождением плоской монохроматической звуковой волны с полем скоростей
у(Х , т) = Ар ехр (/'(£п • х +ют)). (22)
В представлении (22) А - амплитуда, p - вектор поляризации единичной длины, к - волновое число, ю - частота, п - единичный вектор волновой нормали. Для поля скоростей (22) воздействие набла-оператором равносильно умножению на вектор /Ъп, а дифференцирование по времени приводит к умножению на /ю [13]. Вычисляя входящие в (21) дифференциальные операторы, после преобразований получим уравнения вида:
А • р = р0с2р , (23)
где с = ю/к - фазовая скорость распространения волны, А - акустический тензор [13].
Акустический тензор из уравнений (23) определяется выражением
А = п • N • п +1 (^ ••ппЕ - ^)-1 (^ • пп + пп • ^). (24)
Из уравнений (23) следует, что фазовые скорости определяются через собственные значения акустического тензора, а векторы поляризации являются его собственными векторами. В отличие от результатов, полученных авторами работ [8, 9], акустический тензор (24) при любых начальных напряжениях является симметричным, его собственные значения являются действительными числами, а векторы поляризации ортогональны.
Влияние начальных напряжений на фазовые скорости распространения волн в анизотропном теле
Рассмотрим анизотропное тело с симметрией свойств, присущей кристаллам кубической сингонии [16-18]. Для таких материалов тензор N можно представить разложением по собственным упругим состояниям в виде [16-18]:
N = NI00 + N (I11 +122) + N (I33 +144 +155), (25)
где М, N2, N - константы материала, Рв (а, в = 0, 1, ... ,5) - тензоры, определяемые в базисе канонических (главных) осей анизотропии a1, a2, a3 [17] выражениями
!<#=1 (Г1Р+1РГ), (26)
10 = ^ (а1а1 + а2а2 + азаз ) > 11 =^ (2азаз " а1а1 " а2а2 ) > 12 =^ (а1а1 " а2а2 ) >
13 =(а1а2 + а2а1 ) > 14 = ^ (а2аз + аза2 ) > 15 =^ (аза1 + а1аз ) ■
Из представлений (25), (26) следует, что для рассматриваемого анизотропного материала с кубической симметрией свойств канонические оси равноправны. Свойства материала одинаковы в направлении каждого из векторов al, a2, aз.
Далее для констант материала М, Ы2, N используем обозначения
N = зх + 20, N = 20, N = 20'.
Пусть в направлении одной из канонических осей распространяется плоская монохроматическая волна с вектором волновой нормали п = a1. Тогда тензор Кристоффеля анизотропного материала с кубической симметрией свойств определяется выражением
М = п • N • п = (X + 20) а1а1 + О' (а2а2 + азаз). (27)
Рассмотрим некоторые частные случаи начальных напряжений в теле. Пусть в плоскости, параллельной фронту волны и имеющей нормаль п, действуют только нормальные или только касательные напряжения. На рис. 1 показаны векторы напряжений Р = в этой плоскости. В первом из этих случаев тензор напряжений £1 = с а1а1, т.е. тело подвергается одноосному растяжению или сжатию в направлении распространения волны (см. рис. 1, а). Акустический тензор (24) с учетом (27) в этом случае принимает вид:
а = м -а а а + 0.5 а(аа + аа),
а его собственные векторы и собственные значения определяются выражениями
Pi = a; Poci2 = ^ + 2G-а; p2 = а; Poс\ = G' + 0.5а; p = а; Poс32 = G' + 0.5а.
(28)
Из (28) следует, что в этом случае в теле распространяются продольная волна с вектором поляризации р1 и фазовой скоростью с1 и две поперечные волны с векторами поляризации р2 и р3 и равными фазовыми скоростями с2 = с3.
a b
Рис. 1. Векторы начальных напряжений Р в плоскости с нормалью n: a - нормальные напряжения; b - касательные напряжения Fig. 1. Vectors of initial stresses P in the plane with normal n: (a) normal and (b) tangential stresses
Рассмотрим случай, когда в плоскости, параллельной фронту волны, действуют касательные напряжения Ei = т (aia2 + a2ai) (см. рис. 1, b). Акустический тензор (24) имеет вид:
a = M -x(aa + a2ai),
а решение задачи о его собственных векторах и собственных значениях дается выражениями
p = cos Фа + sin Фа; РоС2 = 0.5 (х + 2G + G' + ^/(Х + 2G - G')2 + 4т2); p2 =-sinфа1 + cosфа2; р0с22 = 0.5(х + 2G + G' + 2G - G')2 + 4т2); (29)
Рз = аз; Р0сз2 = G'.
Выражения (29) показывают, что если в плоскости фронта волны действуют касательные напряжения, то в теле распространяется квазипродольная волна с вектором поляризации pi, отклоняющимся от вектора волновой нормали на угол ф, причем
Ф = 1 (*- + 20 - 0'-^(Х + 20 - О')2 + 4т2).
В теле также распространяются квазипоперечная волна с вектором поляризации р2 и поперечная волна с вектором поляризации р3 и фазовой скоростью с3, которая не зависит от начальных напряжений.
Пусть начальные напряжения действуют в плоскости, перпендикулярной фронту волны и имеющей нормальный вектор т = а2. На рис. 2 показаны векторы напряжений Р = т^ в этой плоскости. Если напряжения сводятся только к нормальным с тензором Е1 = с а2а2, то это соответствует распространению плоской волны в направлении, перпендикулярном одноосному растяжению или сжатию (см. рис. 2, а). В этом случае акустический тензор (24) имеет вид:
А = М - 0.5 а а2а2,
а его собственные значения и собственные векторы определяются выражениями
p0cf = X + 2G;
(30)
р2 = а2; р0С2 = О' - 0.5а;
Рз = аз; Росз2 = 0'.
Результат (30) показывает, что начальные нормальные напряжения, действующие в рассматриваемой плоскости, не оказывают влияния на скорости распро странения продольной с1 и поперечной с3 волн, а влияют только на скорость распространения поперечной волны с вектором поляризации р2 = т.
а b
Рис. 2. Векторы начальных напряжений Р в плоскости с нормалью m: а - нормальные напряжения; b - касательные напряжения Fig. 2. Vectors of initial stresses P in the plane with normal m: (a) normal and (b) tangential stresses
Если в плоскости, перпендикулярной фронту волны, действуют только касательные напряжения, а в плоскости фронта волны напряжения отсутствуют (см. рис. 2, b), то Ei = т (a2a3 + a3a2), акустический тензор
A = M - х (a2a3 + a3a2), его собственные векторы и собственные значения определяются выражениями
Р1 = а!; РоС2 =Х + 20;
Р2 (а2 + аз); Р0С22 = О' - 0.5т; (31)
Рз = ^ (-а2 + аз); Р0Сз2 = 0' + 0.5т.
Из (31) следует, что в кубическом материале касательные напряжения, действующие в плоскостях, перпендикулярных фронту волны, не влияют на скорость распространения продольной волны с1, а влияют только на фазовые скорости поперечных волн с2 и с3.
Влияние начальных напряжений на фазовые скорости распространения волн в изотропном теле
Рассмотренные выше примеры распространения волн в анизотропных телах с кубической симметрией свойств легко сводятся к случаю распространения волн в изотропном теле, поскольку кубические материалы по своим упругим свойствам близки к изотропным материалам. Для изотропного материала разложение тензора N по собственным упругим состояниям имеет вид [16, 18]:
N = NI00 + N (I11 +122 +133 +144 +155), (32)
где базисные тензоры 1ав (а, в = 0, 1, ..., 5) определяются выражениями (26), в которых в качестве базисных векторов а1, а2, а3 может быть взята любая тройка взаимно ортогональных единичных векторов.
Собственные значения тензора упругости для изотропного материала выражаются через константы Ламе [13, 16]:
N = зх+20, N = 20.
Пусть в изотропном теле распространяется плоская волна с вектором волновой нормали п = а1, а начальные напряжения £1 соответствуют схемам, приведенным на рис. 1 и 2. Сравнение представлений (32) и (25) позволяет использовать результаты (27)-(31) по определению скоростей распространения акустических волн в кубическом материале для изотропного материала, положив в них О' = О.
Влияние начальных напряжений на распространение акустических волн в изотропных гипоупругих телах рассматривалось в работах [9, 10]. В работе [10] подробно рассмотрен эффект расщепления сдвиговых (поперечных) волн в изотропном материале при действии начальных напряжений. Этот эффект заключается в том, что при действии определенных начальных напряжений в изотропном материале распространяются две сдвиговые волны с разными фазовыми скоростями. Это подтверждается и расчетами по соотношениям (28)-(31) при О' = О, причем выражения для фазовых скоростей поперечных волн совпадают с приведенными в [10]. В отличие от работы [10] соотношения (27) и (28) применительно к изотропному материалу прогнозируют изменение фазовой скорости продольной волны, которое наблюдается в экспериментах [11]. Показано, что если начальные напряжения сводятся к нормальным напряжениям в плоскости, параллельной фронту волны, то в изотропном материале это не приводит к расщеплению сдвиговых волн.
Результаты проведенного анализа показывают, что при действии начальных напряжений изотропный материал приобретает анизотропию акустических свойств.
Это проявляется не только в эффекте расщепления сдвиговых волн, но и в том, что при действии в плоскости фронта волны касательных напряжений вектор поляризации продольной волны отклоняется от вектора волновой нормали, т.е. в материале распространяются квазипродольная, квазипоперечная и поперечная волны, что присуще анизотропным материалам.
Заключение
В статье получено линеаризованное уравнение распространения акустических волн в гипоупругих средах, записанное относительно поля скоростей, приводящего к возмущению начальной конфигурации среды. Начальное состояние среды характеризуется однородными конечными деформациями и начальными напряжениями. Учет геометрической нелинейности в уравнениях динамики позволил получить симметричный акустический тензор (24). Проведен анализ влияния начальных напряжений на фазовые скорости распространения волн в анизотропных материалах с кубической симметрией свойств и в изотропных материалах.
Показано, что если в кубическом материале плоская волна распространяется вдоль одной из осей анизотропии, то нормальные напряжения в плоскости фронта волны оказывают влияние на фазовые скорости распространения как продольных, так и поперечных волн. Нормальные напряжения, действующие перпендикулярно вектору волновой нормали, влияют только на величину фазовой скорости поперечной волны, поляризованной вдоль направления действия напряжений. Касательные напряжения, действующие в плоскости фронта волны, влияют на скорости распространения квазипродольной и квазипоперечной волн. Касательные напряжения, действующие в плоскости, перпендикулярной фронту волны, влияют только на фазовые скорости поперечных волн. Учет влияния начальных напряжений на распространение волн в изотропном гипоупругом материале позволил выявить появление анизотропии акустических свойств среды и описать эффект расщепления поперечных волн.
Список источников
1. Truesdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain // Arch. Ratio. Mech.
Anal. 1961. V. 8, № 1. P. 263-296. doi: 10.1007/978-3-642-88691-1_5
2. Pau A., Vestroni F. The role of material and geometric nonlinearities in acoustoelasticity //
Wave Motion. 2019. V. 86. Р. 79-90. doi: 10.1016/j.wavemoti.2018.12.005
3. Yang H., Fu L-Y., Fu B-Y., Müller T.M. Acoustoelastic FD simulation of elastic wave propa-
gation in prestressed media // Front. Earth Sci. 2022. V. 10. Art. 886920. doi: 10.3389/feart. 2022.886920
4. Kolpakov A.G., Andrianov I.V., Rakin S.I. On the influence of initial stresses on the velocity
of elastic waves in composites // Computation. 2023. V. 11, № 15. Р. 1-19. doi: 10.3390/ computation11020015
5. Kube CM. Scattering of harmonic waves from a nonlinear elastic inclusion // J. Acoust. Soc.
Am. 2017. V. 141, № 6. Р. 4756-4767. doi: 10.1121/1.4986747
6. Domanski W., Jemiolo S., Franus A. Propagation and interaction of weakly nonlinear plane
waves in transversely isotropic elastic materials // J. Eng. Math. 2021. V. 127, № 8. Р. 1-15. doi: 10.1007/s10665-021-10093-8
7. Rushchitsky J.J. Nonlinear plane waves in hypoelastic materials // Nonlinear elastic waves in
materials. Foundations of Engineering Mechanics. Cham : Springer, 2014. doi: 10.1007/9783-319-00464-8 8
8. Rushchitsky J.J. On the types and number of plane waves in hypoelastic materials // International
Applied Mechanics. 2005. V. 41, № 11. P. 1288-1298. doi: 10.1007/s10778-006-0035-x
9. Demidov V.N. Acoustic properties of isotropic hypoelastic materials with residual technological
stresses // Key Engineering Materials. 2016. V. 712. P. 384-389. doi: 10.4028/www.scientific. net/kem.712.384
10. Демидов В.Н. О расщеплении волн сдвига в изотропных гипоупругих материалах // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3, № 2. С. 15-36.
11. Коробов А.И., Кокшайский А.И., Михалев Е.С., Одина Н.И., Ширгина Н.В. Исследования упругих свойств полимера PLA статическими и ультразвуковыми методами // Акустический журнал. 2021. Т. 67, № 4. С. 387-394. doi: 10.31857/S0320791921040067
12. Telichko A.V., Erohin S.V., Kvashnin G.M., Sorokin P.B., Sorokin B.P., Blank V.D. Diamond's third-order elastic constants: ab initio calculations and experimental investigation // J. Mater. Sci. 2017. V. 52. Р. 3447-3456. doi: 10.1007/s10853-016-0633-x
13. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. 512 с.
14. Haupt P., Pao Y-H., Hutter K. Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation // J. Elasticity. 1992. V. 28. P. 93-221. doi: 10.1007/BF00132211
15. Роменский Е.И., Лысь Е.В., Чеверда В.А., Эпов М.И. Динамика деформирования упругой среды с начальными напряжениями // Прикладная механика и техническая физика. 2017. Т. 58, № 5. С. 178-189. doi: 10.15372/PMTF20170518
16. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М. : Физматлит, 2013. 320 с.
17. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Конечные деформации нелинейно упругих анизотропных материалов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 70. С. 103-116. doi: 10.17223/19988621/70/9
18. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Об обращении нелинейных определяющих соотношений для гиперупругих анизотропных материалов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 85. С. 157-167. doi: 10.17223/19988621/85/12
References
1. Truesdell C. (1961) General and exact theory of waves in finite elastic strain. In: Wave Pro-
pagation in Dissipative Materials. Berlin - Heidelberg: Springer. doi: 10.1007/978-3-642-88691-1_5
2. Pau A., Vestroni F. (2019) The role of material and geometric nonlinearities in acoustoelas-
ticity. Wave Motion. 86. pp. 79-90. doi: 10.1016/j.wavemoti.2018.12.005
3. Yang H., Fu L-Y., Fu B-Y., Müller T.M. (2022) Acoustoelastic FD simulation of elastic wave
propagation in prestressed media. Frontiers Earth Science. 10. Article 886920. doi: 10.3389/feart.2022.886920
4. Kolpakov A.G., Andrianov I.V., Rakin S.I. (2023) On the influence of initial stresses on the
velocity of elastic waves in composites. Computation. 11(15). doi: 10.3390/computation11020015
5. Kube С.М. (2017) Scattering of harmonic waves from a nonlinear elastic inclusion. Journal
of the Acoustical Society of America. 141(6). pp. 4756-4767. doi: 10.1121/1.4986747
6. Doma'nski W., Jemiolo S., Franus A. (2021) Propagation and interaction of weakly nonlinear
plane waves in transversely isotropic elastic materials. Journal of Engineering Mathematics. 127(8). doi: 10.1007/s10665-021-10093-8
7. Rushchitsky J.J. (2014) Nonlinear plane waves in hypoelastic materials. In: Nonlinear Elastic
Waves in Materials. Foundations of Engineering Mechanics. Cham: Springer. doi: 10.1007/978-3-319-00464-8_8
8. Rushchitsky J.J. (2005) On the types and number of plane waves in hypoelastic materials.
International Applied Mechanics. 41. pp. 1288-1298. doi: 10.1007/s10778-006-0035-x
9. Demidov V.N. (2016) Acoustic properties of isotropic hypoelastic materials with residual
technological stresses. Key Engineering Materials. 712. pp. 384-389. doi: 10.4028/www. scientific. net/kem.712.384
10. Demidov V.N. (2000) O rasshcheplenii voln sdviga v izotropnykh gipouprugikh materialakh [On the splitting of shear waves in isotropic hypoelastic materials]. Fizicheskaya mezomekhani-ka - PhysicalMesomechanics. 3(2). pp. 15-36.
11. Korobov A.I., Kokshaiskii A.I., Mikhalev E.S., Odina N.I., Shirgina N.V. (2021) A study of the elastic properties of the polymer PLA by static and ultrasonic methods. Acoustical Physics. 67(4). pp. 375-380. doi: 10.1134/S1063771021040060
12. Telichko A.V., Erohin S.V., Kvashnin G.M., Sorokin P.B., Sorokin B.P., Blank V.D. (2017) Diamond's third-order elastic constants: ab initio calculations and experimental investigation. Journal of Materials Science. 52. pp. 3447-3456. doi: 10.1007/s10853-016-0633-x
14. Haupt P., Pao Y-H., Hutter K. (1992) Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation. Journal of Elasticity. 28. pp. 93-221. doi: 10.1007/BF00132211
15. Romenskii E.I., Lys' E.B., Cheverda V.A., Epov M.I. (2017) Dynamics of deformation of an elastic medium with initial stresses. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 58(5). pp. 914-923. doi: 10.1134/S0021894417050182
16. Markin A.A., Sokolova M.Yu. (2015) Thermomechanics of Elastoplastic Deformation. Cambridge: Cambridge International Science Publishing.
17. Sokolova M.Yu., Khristich D.V. (2021) Konechnye deformatsii nelineyno uprugikh ani-zotropnykh materialov [Finite strains of nonlinear elastic anisotropic materials]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 70. pp. 103-116. doi: 10.17223/19988621/70/9
18. Sokolova M.Yu., Khristich D.V. (2023) Ob obrashchenii nelineynykh opredelyayushchikh sootnosheniy dlya giperuprugikh anizotropnykh materialov [On inversion of nonlinear constitutive relations for hyperelastic anisotropic materials]. Vestnik Tomskogo gosudarstven-nogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 85. pp. 157-167. doi: 10.17223/19988621/85/12
Сведения об авторах:
Соколова Марина Юрьевна - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Вычислительная механика и математика» Тульского государственного университета (Тула, Россия). E-mail: [email protected]
Маркин Алексей Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры «Вычислительная механика и математика» Тульского государственного университета (Тула, Россия). E-mail: [email protected]
Information about the authors:
Sokolova Marina Yu. (Doctor of Physics and Mathematics, Tula State University, Tula, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Markin Aleksey A. (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Tula State University, Tula, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 19.03.2024; принята к публикации 03.10.2024 The article was submitted 19.03.2024; accepted for publication 03.10.2024
