ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научная статья УДК 539.3

ГРНТИ: 67 Строительство и архитектура

ВАК: 1.1.8. Механика деформируемого твёрдого тела; 2.1.9. Строительная механика DOI 10.51608/26867818_2023_4_164

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН

© Авторы, 2023 SPIN: 5367-3070 AuthorID: 266980 ORCID 0000-0002-5722-262X ScopusID: 7101745424 ResearcherID: A-3737-2017

СОКОЛОВА Марина Юрьевна

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры

Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: [email protected])

SPIN: 9444-3341 AuthorID: 266980 ORCID 0000-0002-1628-0196 ScopusID: 37120421000 ResearcherID: N-4946-2016

ХРИСТИЧ Дмитрий Викторович

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры

Тульский государственный университет (Россия, Тула, e-mail: dmitrykhristich@rambler. ru)

Аннотация. Рассматривается распространение акустических волн в нелинейно упругих средах с конечными предварительными деформациями. Среды в начальном состоянии однородные с упругим потенциалом полиномиального вида, в котором сохраняются два первых ненулевых члена разложения в ряд по степеням тензора деформаций. В зависимости от конкретной структуры тензоров упругости, стоящих в потенциале, соотношения можно использовать как для изотропных, так и для анизотропных сред с различными типами симметрии упругих свойств. Получены динамические уравнения распространения малых возмущений перемещений, которые конкретизированы для случая плоской монохроматической волны. Рассмотрены несколько вариантов линеаризации динамических уравнений. В первом варианте предполагается, что предварительные деформации являются малыми, предварительные вращения также малы или отсутствуют. Второй вариант линеаризации задачи о распространении упругих волн построен в предположении, что при допущениях предыдущего варианта определяющие соотношения устанавливают квадратичную связь между тензором напряжений Коши и линейным тензором деформаций. В третьем варианте предполагается, что предварительные деформации являются конечными, волна распространяется в актуальной конфигурации, но связь между напряжениями и деформациями является тензорно линейной. Выполнены расчеты фазовых скоростей распространения волн в предварительно сжатом стержне из полиамида. Результаты расчетов показали хорошее соответствие данным известных экспериментов.

Ключевые слова: акустические волны; конечные деформации; фазовые скорости распространения волн; константы упругости второго и третьего порядков; механика деформируемых тел

Для цитирования: Соколова М.Ю., Христич Д.В. Линеаризованные формы уравнений распространения упругих волн // Эксперт: теория и практика. 2023. № 4 (23). С. 164-170. doi 10.51608/26867818_2023_4_164

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

Original article

LINEARIZED FORMS OF ELASTIC WAVE PROPAGATION EQUATIONS

© The Author(s) 2023 SOKOLOVA Marina Yurievna

Doctor of Physical And Mathematical Sciences, Associate Professor

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: [email protected])

KHRISTICH Dmitrii Viktorovich

Doctor of Physical And Mathematical Sciences, Associate Professor

Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: [email protected])

Abstract. The propagation of acoustic waves in nonlinear elastic media with finite preliminary deformations is considered. The media in the initial state are homogeneous with an elastic potential of a polynomial form, in which the first two nonzero terms of expansion in a series by degrees of the strain tensor are preserved. Depending on the specific structure of the elasticity tensors standing in the potential, the relations can be used for both isotropic and anisotropic media with different types of symmetry in elastic properties. Dynamic equations of propagation of small displacement perturbations are obtained, which are specified for the case of a plane monochromatic wave. Several variants of linearization of dynamic equations are considered. In the first variant, it is assumed that the preliminary deformations are small, and the preliminary rotations are also small or absent. The second variant of the linearization of the elastic wave propagation problem is constructed on the assumption that, under the assumptions of the previous variant, constitutive equations establish a quadratic relationship between the Cauchy stress tensor and the linear strain tensor. In the third variant, it is assumed that the preliminary deformations are finite, the wave propagates in the actual configuration but the relationship between stresses and strains is tensor-linear. Calculations of the phase velocities of wave propagation in a pre-compressed polyamide rod are carried out. The calculation results showed good agreement with the data from known experiments.

Keywords: acoustic waves; finite deformations; phase velocities of wave propagation; elastic constants of the second and third orders; mechanics of deformable bodies

For citation: Sokolova M.Yu., Khristich D.V. Linearized forms of elastic wave propagation equations // Expert: theory and practice. 2023. № 4 (23). Рр. 164-170. (InRuss.). doi 10.51608/26867818_2023_4_164

1. Введение

Вопросы распространения упругих (акустических) волн в деформируемых твердых телах на протяжении более чем полувека вызывают интерес исследователей, что подтверждается большим числом публикаций по этой теме в отечественных и зарубежных изданиях. Это связано с широким спектром применения волновых процессов как в сугубо теоретических исследованиях, так и в технике [1], горном деле и сейсмологии [2], медицине [3]. В теории упругости изотропных и анизотропных тел скорости распространения акустических волн связывают с упругими константами материала, что лежит в основе динамических методов определения этих констант [4-5]. Решение задач о распространении акустических волн позволяет идентифицировать свойства неоднородных материалов и многослойных композитов [6-7]. В работах [4-5] установлено, что фазовые скорости распространения упругих волн

зависят от уровня напряжений, созданных в материале в начальном состоянии. Этот факт лежит в основе определения констант упругости третьего порядка [8].

В рамках нелинейной теории упругости динамические уравнения распространения акустических волн в телах с предварительными напряжениями и конечными деформациями получены в работах [9-10; 12-17]. В работах [13; 15; 17] распространение акустических волн рассматривается как процесс наложения малых возмущений поля перемещений на предварительные конечные деформации.

На основе подходов, предложенных в работах [12-13], в данной статье получена эйлерова форма динамических уравнений для малых возмущений перемещений в нелинейном гиперупругом материале с упругим потенциалом полиномиального вида. Уравнение записано в инвариантной форме, что допускает использовать его как для изотропных, так

и для анизотропных материалов. Для предложенного варианта динамических уравнений получены уравнения распространения плоских

монохроматических волн и представление акустического тензора.

В работах [12; 14; 16] наряду с общим подходом, учитывающим конечность предварительных деформаций и нелинейный характер связи между напряжениями и деформациями, рассматриваются различные приближенные соотношения. В работе [12] рассматриваются два варианта уравнений при малых начальных деформациях. В первом варианте не учитываются изменения линейных размеров, площадей и объемов при деформировании, а тензоры напряжений Коши и Пиолы-Кирхгоффа полагаются равными. Во втором варианте принимается, что для определения деформированного состояния можно применить геометрически линейную теорию, то есть в качестве тензора предварительных деформаций использовать линейный. В работе [16] рассматриваются два варианта приближенных соотношений: в первом учитывается физическая нелинейность материала при бесконечно малых предварительных деформациях, а во втором предварительные деформации полагаются конечными, а связь между напряжениями и деформациями считается линейной. В работе [14] получены уравнения распространения малых возмущений в предварительно напряженной изотропной среде с квадратичным упругим потенциалом.

В данной статье приведены различные формы линеаризации динамических уравнений, в которых используются как предположения о малости предварительных деформаций [12; 16], так и о тензорно-линейной связи между предварительными напряжениями и деформациями [14; 16]. Для полученных вариантов уравнений проведены расчеты фазовых скоростей распространения плоских волн в предварительно сжатом призматическом стержне из материала с известными значениями упругих констант. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными, опубликованными в работе [11].

2.Уравнения распространения акустических волн в инвариантной форм

Предположим, что в начальный момент времени Ь0 в среде отсутствуют деформации и

напряжения, а к моменту времени ^ создано

однородное напряженно-деформированное

состояние, которому соответствует поле перемещений нх = и(х, конечные деформации

£х = и напряжения 51 = Аффинор

деформаций ф1 = мера деформаций Коши-

Грина С! = и тензор деформаций е1 связаны с

полем перемещений известными соотношениями [18]:

ф1 = е + у°щ,

С1 = Ф1-Ф%= Е+ Г°щ + щ7° + 7°«! - щТ0.

(2.1)

Cl = \(Ci - Е) = \(V°Ul + ihV° + V°Ul ■ MlF°).

где E - единичный тензор, V° = — - набла-

дх

оператор начального состояния, х- радиус-вектор

точки среды в момент времени t0, точкой обозначено

скалярное произведение.

Нагружение на интервале [t0, tx] полагается

квазистатическим, а напряжения S1

уравновешенными, так что

V ■ Sx = 0, щ = О. (2.2)

Рассмотрим материал с упругим потенциалом полиномиального вида [9-10; 15-16]. Будем считать, что для рассматриваемого нелинейно упругого материала удельная потенциальная энергия деформаций (упругий потенциал) задана в виде ряда по степеням тензора деформаций Коши-Грина е, в

котором сохранены только первые два ненулевых члена

1 1 -W = -\ Ро 2

■ ee + -l • б

• ff f.

(2.3)

где n и ь - симметричные по парам индексов

тензоры упругости четвертого и шестого рангов [18], содержащие константы упругости второго и третьего порядков соответственно, р0 - начальная плотность

материала.

Известно [13; 18], что энергетически сопряженным тензору деформаций Коши-Грина является второй тензор Пиолы-Кирхгоффа т

(энергетический тензор), который связан с тензором истинных напряжений Коши 5 выражением

„ _ (IV рп

4 - Ф , где Г = — = Ц _ относительное ' мП Р

— /л-г.

т=]ф

изменение объема. Исходя из соотношений (2.3), связь между тензорами деформаций и напряжений в рассматриваемом гиперупругом материале имеет вид = (2.4)

Ро дс 2

В соответствии с соотношениями (2.1), (2.4) может быть установлена связь между деформациями f х и напряжениями

В момент времени в рассматриваемой среде

возбуждается звуковая волна с полем перемещений и2(х1,т), л^ = х + и-рТ = Если процесс

распространения акустических волн в предварительно деформированной среде рассматривать как процесс слабых возмущений, накладываемых на конечные деформации, необходимо считать, что вызываемые волной перемещения «2 и их градиенты малы, а также, что в

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

любой момент времени £ > перемещения точек

среды могут быть определены в виде суммы "ОнО = и^х^^ + 112(х1,г) Ш>Ь1. (2.5)

В соответствии с соотношениями (2.1) аффинор деформаций в момент времени ? > определяется

выражением

Ф = Е + 7° и = Е + + 7°и2.

Учитывая, что перемещения и2 определены в

конфигурации £ = а также связь между набла-

операторами начального 7° и деформированного

V = — состояний [13; 18], получим представление

дхх

для аффинора деформаций в виде: ф = ф1 + ф4 - =Ф1-(£+ Ущ). (2.6)

В виду предположения о малости перемещений м2 и градиентов 7и2 во всех дальнейших

преобразованиях слагаемыми, содержащими 7и2 во

второй и более высоких степенях, будем пренебрегать. Тогда на основании (2.6) получим выражение для тензора деформаций Коши-Грина в момент £ > ^

£ = ^+£2, (2.7)

где е2 = ■ (Ущ + щГ) ■ Ф?

Используя определяющие соотношения (2.4) и выражение для деформаций (2.7), получим энергетический тензор напряжений в момент времени £ >

Т = Т1 + С(Е1)~Е2, (2.8)

где 1*! = #- напряжения в

момент времени I = С(С|] = N+■■ £ -

обобщенный тензор жесткости материала.

В уравнениях движения в эйлеровой форме, записанных для момента времени t >

V■S = p1u (2.9)

тензор истинных напряжений Коши 5 = Г1*7 ■ Т ■ Ф с учетом соотношений (2.8) после

преобразований представляется в виде $ = " Ъ) Ф1+51Ущ + щу Б1 (2 10)

где ~ однородное поле

напряжений в момент С = £|, для которого

выполняются условия (2.2).

Подставим выражение для напряжений (2.10) в уравнения (2.9) и проведем преобразования с учетом условий (2.2) и (2.5). В силу внутренней симметрии тензора обобщенной жесткости и однородности поля деформаций дивергенция произведения

С(£1)"£2 преобразуется к виду

V - (С ■■ е2) = V • {е2 •■ С) = ¥е2 ™ С. В результате получим уравнения движения в виде:

Л1**! ■ (уш2 - ад) + ■• Шщ = РА. (2.11) Уравнения (2.11) описывают распространение малых возмущений перемещений и 2 в среде с

конечными деформациями £1. Упругие свойства

среды задаются обобщенным тензором жесткости дт\

С(£1) = — . Если в выражении для упругого

потенциала (2.3) тензоры N и Ь инвариантны

относительно любого ортогонального

преобразования системы координат [18], то уравнения (2.11) описывают распространение малых возмущений перемещений в изотропном материале, потенциал которого является потенциалом Мурнагана [13].

3. Уравнения распространения плоских монохроматических волн

Рассмотрим в среде с предварительными деформациями ех распространение плоской

монохроматической волны, для которой поле перемещений имеет вид

н^х^т) = Арехр{г(кп-х1 + <иг)) (3.1)

где А - амплитуда, р - вектор поляризации

единичной длины, к - волновое число, и - частота, п

- единичный вектор волновой нормали.

Для поля перемещений (3.1) тензор деформаций 1

Е2=2 1кФ1 ' (,Ш2 + «2») ■ Ф1

первое слагаемое из уравнений (2.11)

преобразуется к виду

Фх ■ (Уе2 - С(£1)) Фг = М(и, ■ - и2,

где Рк = ф\ ■ Ф1 - мера конечных деформаций

Фингера [13, 18],

Л/(п,£1) = п ■ С(£1) • п - обобщенный тензор

Кристоффеля, определяемый как свойствами материала, так и направлением распространения волны.

Вычисляя входящие в (2.11) производные перемещений (3.1), можно записать уравнения распространения плоской монохроматической волны в виде

Ар = р0с2р. (3.2)

где Л = Г1М(я,£1)Г1 + 11-1111£

акустический тензор среды [13] с предварительными деформациями £А; = - обобщенный тензор

истинных напряжений [18]; с = - - фазовая скорость

распространения волны.

Из уравнений (3.2) следует, что значение р0г2

является собственным значением акустического тензора А(п, £2). а вектор поляризации - его

собственным вектором. Полученное выражение для акустического тензора показывает, что акустический тензор всегда симметричен, а векторы поляризации продольной и поперечных волн ортогональны.

4. Линеаризация динамических уравнений

Рассмотрим различные варианты линеаризации динамических уравнений (2.11) и (3.2). В первом варианте предполагаем, что предварительные деформации £х являются малыми, предварительные

вращения также малы или отсутствуют, поэтому актуальная конфигурация материала в момент времени ^ не отличается от начальной конфигурации

в момент времени £0. В этом случае можно

приближенно считать, что тензоры Ф1 и

совпадают с единичными, набла-операторы начального и деформированного состояний равны, тензоры напряжений Т1 При таких

предположениях уравнения (2.11) и (3.2) принимают

вид:

- -- = раЩ

[М(п,£!> + ■■ пп£] р = р0с2р. (4.1)

Второй вариант линеаризации задачи о распространении упругих волн построим в предположении, что при допущениях предыдущего варианта определяющие соотношения

устанавливают связь между тензором напряжений Коши и линейным тензором деформаций и имеют вид:

Я = N ■Е+-Е--1-Е

2

Это представление для тензора напряжений Коши непосредственно подставляется в уравнения движения (2.9), что приводит к существенному упрощению динамических уравнений:

7°Е2-С(С1) = р0й2. (4.2)

[Л?(п,£1)]-р= р0С2р.

(4.3)

Таким образом, в этом случае акустический тензор совпадает с обобщенным тензором Кристоффеля А = М^п.е^) и при использовании

нелинейной связи между напряжениями и деформациями зависит не только от свойств материала и вектора волновой нормали, но и от предварительных деформаций с1.

При построении следующего варианта динамических уравнений будем исходить из предположения, принятого в [14], что предварительные деформации являются конечными, волна распространяется в актуальной конфигурации, но связь между напряжениями и деформациями

является тензорно линейной вида Т = N ■■ е. что

соответствует квадратичному представлению для упругого потенциала (2.3). При этом предположении обобщенный тензор жесткости

д7*|

СГе1) = = — = N является постоянным.

Обобщенный тензор Кристоффеля также не зависит от предварительных деформаций: М(и) = п ■ N ■ п.

Уравнения (2.11) и (3.2) принимают вид:

/Г1ф1' (Уе2 - Я) ■Ф1+Б1~ 7Уиг = р1й2, (4.4)

• (и-ЯГ ■ я) ■ ■■ 1ш£]■ р = Рас2р (4.5)

Акустический тензор определяется вьфажением А = Рг ■ (и ■ N ■ я) ■ ■■ ппЕ

Уравнения распространения акустических волн в линейно упругой среде без предварительных деформаций легко получить из уравнений (4.2) и (4.3), положив в них обобщенный тензор жесткости С(£:) = N. В этом случае получим

(4.6)

7°е2 ... N = ром2, (n . N ■ и) ■ р = р0с2р.

Известно, что уравнения (4.6) позволяют определить фазовые скорости распространения упругих волн как в изотропных, так и в анизотропных материалах.

5. Сравнительный анализ определения фазовых скоростей по различным вариантам соотношений

В работе [11] приведены результаты экспериментального исследования зависимости фазовых скоростей распространения упругих волн от предварительных деформаций сжимаемого призматического образца из полиамида. Упругие константы второго и третьего порядков для исследуемого материала приведены в статье [11].

В экспериментах [11] при различных значениях сжимающих напряжений 5 (осевых деформаций е)

были измерены фазовые скорости пяти волн: в направлении вектора и = в! (вдоль оси образца)

измерялись скорости распространения продольной с1г и поперечной с12 = с13 волн, в направлении

вектора п = е2 (в поперечном сечении образца)

измерялись скорости распространения продольной с22 и двух поперечных волн с21 и с23. Результаты

измерений приведены в работе [11] в виде графиков зависимостей Ас^(е). где под Ас:] понимается

разность между значением фазовой скорости волны, измеренной в сжатом стержне, и значением скорости распространения волны в недеформированном материале. Для исследуемого материала при отсутствии предварительных деформаций скорость распространения продольной волны составила с1 = 2645 м/с, поперечной волны сх = 1129 м/с. При

деформациях е = —0,004 измеренные фазовые

2657,8 м/с, сг, = 1120,9

скорости составили: сп

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2023. № 4 (23)

м/с, = 2637,8 м/с, с21 = 1138,2 м/с, с23 = 1134,8

м/с.

Были проведены расчеты фазовых скоростей сг;

по соотношениям (3.2), а также с помощью различных вариантов линеаризованных

соотношений (4.1), (4.3) и (4.5). Результаты расчетов показали, что с наибольшей точностью вычисляются фазовые скорости продольных волн с1Х и с22.

Отклонение результатов расчетов этих скоростей по соотношениям (3.2) от данных экспериментов не превышают 0,22%, а при расчетах по линеаризованным соотношениям (4.1) и (4.3) 0,82%. При вычислении скоростей распространения поперечных волн с12, с21 и с23 результаты расчетов

по соотношениям (3.2) отличаются от данных экспериментов на 0,54-1,6%, а при расчетах по соотношениям (4.1) и (4.3) на 0,28-1,8%. Наименьшая точность определения фазовых скоростей соответствует вычислениям по соотношениям (4.5), в которых используется линейная связь между напряжениями и деформациями. В этом случае отличие результатов расчетов от данных эксперимента для продольных и поперечных волн меняется в диапазоне 0,8-2,5%.

Следует отметить достаточно близкие результаты расчетов по полученным уравнениям и их линеаризованными вариантами, а также хорошее соответствие данным экспериментов. Это объясняется малостью предварительных деформаций образца в эксперименте.

6. Заключение

В статье рассмотрена задача о распространении акустических волн в нелинейно упругой, в общем случае анизотропной, среде с предварительными конечными деформациями. Уравнения

распространения малых возмущений перемещений в таких средах конкретизированы для случая плоской монохроматической волны. Проведена линеаризация полученных динамических уравнений в предположении, что начальные деформации являются малыми, а повороты отсутствующими. Для предварительно сжатого призматического стержня из полиамида определены скорости распространения продольных и поперечных волн. Результаты расчетов хорошо согласуются с

экспериментальными данными, опубликованными в [11].

Библиографический список

1. Беляев, А. К. Оценка механических напряжений, пластических деформаций и поврежденности посредством акустической анизотропии / А. К. Беляев, В. А. Полянский, Д. А. Третьяков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического

университета. Механика. - 2020. - № 4. - С. 130151. - DOI 10.15593/perm.mech/2020.4.12. - EDN WPKYIS.

2. Кулиев, Г. Г. Определение модулей упругости третьего порядка для осадочных пород на основе скважинных геофизических данных / Г. Г. Кулиев, Х. Б. Агаев, Г. Г. Гасанова // Физика Земли. - 2016. - № 6. - С. 54-60. - DOI 10.7868/S0002333716050069. - EDN WWCBVV.

3. Zaitsev, V. Y. Nonlinear acoustics in studies of structural features of materials / V. Y. Zaitsev // MRS Bulletin. - 2019. - Vol. 44, No. 5. - P. 350360. - DOI 10.1557/mrs.2019.109. - EDN IALPGI.

4. Biot M.A. The influence of initial stress on elastic waves // J. Appl. Phys. 1940. Vol. 11. N 8. P. 522530. doi.org/10.1063/1.1712807

5. Toupin R.A., Bernstein B. Sound waves in deformed perfectly elastic materials. Acoustoelastic effect // J. Acoust. Soc. Am. 1961. Vol. 33. N 2. Р. 216-225. doi.org/10.1121/1.1908623

6. Резонансный метод обнаружения и идентификации расслоений в композитных пластинах ультразвуковыми бегущими волнами / Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, М. В. Голуб, А. А. Еремин // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2020. - № 6. -С. 125-133. - DOI 10.31857/S0572329920050074. - EDN MSCFXF.

7. Evaluation of effective elastic properties of layered composite fiber-reinforced plastic plates by piezoelectrically induced guided waves and laser Doppler vibrometry / A. A. Eremin, E. V. Glushkov, N. V. Glushkova, R. Lammering // Composite Structures. - 2015. - Vol. 125. - P. 449-458. - DOI 10.1016/j.compstruct.2015.02.029. - EDN UFLFXZ.

8. Jiang Y., Li G., Qian L.-X., Liang S., Destrade M., Cao Y. Measuring the linear and nonlinear elastic properties of brain tissue with shear waves and inverse analysis // Biomech. Model. Mechanobiol. 2015. Vol. 14. N 5. Р. 1119-1128, doi 10.1007/s10237-015-0658-0

9. Destrade M., Ogden R.W. On stress-dependent elastic moduli and wave speeds // J. Appl. Math. 2013. Vol. 78. N 5. doi: 10.1093/imamat/hxs003

10. Yang H., Fu Li-Yun, Fu Bo-Ye, Müller T.M. Acoustoelastic FD simulation of elastic wave propagation in prestressed media // Front. Earth Sci. 2022. Vol. 10. doi: 10.3389/feart.2022.886920

11. Zhu Q., Burtin C., Binetruy C. Acoustoelastic effect in polyamide 6: Linear and nonlinear behaviour //

13.

14.

Polym. Test. 2014. Vol. 40. Р. 178-186. doi.org/10.1016/j.polymertesting.2014.09.007 12. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными

напряжениями. В 2 т. - Киев: Наукова Думка, 16. 1986.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука. 1980. 512 с.

Динамика деформирования упругой среды с 17. начальными напряжениями / Е. И. Роменский, Е. В. Лысь, В. А. Чеверда, М. И. Эпов // Прикладная механика и техническая физика. -2017. - Т. 58, № 5(345). - С. 178-189. - DOI 18. 10.15372/PMTF20170518. - EDN WYRGKA. 15. Белянкова, Т. И. Модули высших порядков в уравнениях динамики преднапряженного упругого тела / Т. И. Белянкова, В. В. Калинчук, Д. Н. Шейдаков // Известия Российской

академии наук. Механика твердого тела. - 2019. - № 3. - С. 3-15. - DOI 10.1134/S0572329919030036. - EDN ZKGDNJ. Pau A., Vestroni F. The role of material and geometric nonlinearities in acoustoelasticity // Wave Motion. 2019. Vol. 86. Р. 79-90. doi.org/10.1016/j.wavemoti.2018.12.005 Haupt P., Pao Y.-H., Hutter K. Theory of incremental motion in a body with initial elasto-plastic deformation // J. Elasticity. 1992. 28. P. 93221. doi.org/10.1007/BF00132211 Маркин, А. А. Термомеханика упругопластического деформирования / А. А. Маркин, М. Ю. Соколова. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 320 с. - ISBN 978-5-92211409-7. - EDN UGLFQL.

Работа выполнена при поддержке госзадания Минобрнауки РФ (шифр FEWG-2023-0002).

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. Авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации.

Статья поступила в редакцию 07.09.2023; одобрена после рецензирования 27.10.2023; принята к публикации 27.10.2023.

The authors declare no conflicts of interests. The authors made an equivalent contribution to the preparation of the publication.

The article was submitted 07.09.2023; approved after reviewing 27.10.2023; accepted for publication 27.10.2023.