CC BY
37
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 65-72
Механика
УДК 538.324
Влияние модуля деформационного упрочнения на распределение конечных
1 и и
деформации в круговой упругопластической оболочке
А. В. Кудряшов
Аннотация. Непосредственное интегрирование уравнений равновесия тонкой упроугопластической круговой оболочки, деформирующейся из плоского состояния под действием равномерной нагрузки, не представляется возможным. Основным методом исследования таких процессов является численное моделирование. В данной работе введена гипотеза, позволяющая в ряде случаев получить решение в квадратурах и провести анализ влияния модуля деформационного упрочнения на характер распределения деформаций.
Ключевые слова: аналитическое решение, оболочка, упругость, пластичность.
1. Постановка задачи
Процесс деформирования тонкой оболочки под действием следящей нагрузки описывается известной системой уравнений [4], перечисленных в пп. а-ё:
a) уравнения равновесия тонкой оболочки в рамках мембранной теории:
Т1 р , , Т1 + Т2 , , (1)
1- 2 Л1Л2’ 1 + 1-рА1А2, (1)
Л2 2 П1 1X2
где А1, Л2 — относительные удлинения срединной поверхности, 11, К2 — ее главные радиусы кривизны, Т\, Т2 — растягивающие усилия;
b) кинематические соотношения:
др , ,
— - А1 008 7 Р-А2Г, дг
д7 1 81п 7 1
дг 1К1 ’ р К2
где г, р — безразмерные текущая и начальная радиальные координаты;
с) определяющие соотношения в области обратимого деформирования:
а = 2СГ = 2Свп (ф), т < т0,
здесь а — обобщенный тензор истинных напряжений, Г — «левая» мера
Генки, в — длина вектора формоизменения в девиаторном пространстве, ф — угол вида деформированного состояния [2];
ё) Определяющие соотношения в области необратимого деформирования, учитывающие линейное упрочнение материала с модулем а:
о
здесь V — тензор деформации скорости, компоненты которого могут быть представлены как функции угла вида ф:
Растягивающие усилия в рамках используемых моделей материала имеют вид:
1 о
т = (а • •а)2 , Г • •Е = 0, Г • •Г = 8 ,
п(ф)
п • •Е = 0, п • •п = 1,
(8)2 = V ••'¡V, V • -Е = 0,
(4)
І
т = 2Св, т < т0, (6)
Т = То + a (s - Se) , Т ^ To
2. Основная гипотеза модели
Предположим, что реализуемый в каждой точке оболочки процесс формоизменения является простым, то есть угол вида деформированного состояния не изменяется:
ф (So,r) = фо (r). (7)
Выражение фо (r) может быть определено из решения задачи на начальной стадии процесса деформирования, где могут быть применены следующие упрощения:
s ^ 1, sin y ~ Y ~ Гог, cos y w 1.
В этом случае распределение угла вида фо (r) имеет вид
, . . П П -18 . .
фо(r) = 2 - 6r • (8)
На границе оболочки угол вида равен п/3, что обеспечивает выполнение граничного условия шарнирного опирания оболочки Л2|г=1 = 1.
Вследствие гипотезы (7) траектория формоизменения в каждой точке оболочки является прямой. Это позволяет в явном виде
записать зависимость деформации срединной поверхности от величины формоизменения как на обратимой, так и на необратимой стадиях процесса деформирования:
Отметим, что гипотеза (7) при малых деформациях является точной.
3. Модель процесса обратимого деформирования оболочки
Гипотеза (7) позволяет преобразовать исходную постановку задачи к одному уравнению относительно интенсивности формоизменения в (г). Постановка задачи в области обратимых деформаций имеет вид:
(1в
[вР\ (фо) - 1] + в [вр2 (Фо) - Р3 (фо)] = 0, в|г=0 = во, (10)
где
Pi (Фо) = 2 V3sin фо - 2 V3(fi (фо) - 1)sin (фо - 3) ,
Р2 (Фо) = (е08 фо - (¡1 (фо) - 1)008 (фо - |)) 3 ^3,
Следует отметить, что уравнение (10) не содержит явно величины давления р. Таким образом, распределение функции в (г) в каждый момент процесса деформирования не зависит от прикладываемого давления, а зависит только от величины деформаций в полюсе оболочки. Уравнение (10) является уравнением Абеля 2-го рода [1]. Выражения его коэффициентов не могут быть приведены к частным случаям, для которых известен общий интеграл. На начальной стадии процесса деформирования, где выполняется условие в ^ 1, уравнение (10) имеет вид:
На рис. 1. приведены результаты численного решения уравнения (10) (сплошная линия) и приближенное решение (12) (пунктирная линия). Из графиков видно, что приближенное решение (12) сохраняет точность для значительных степеней деформаций.
4. Модель процесса необратимого деформирования оболочки
Система уравнений (1)—(6) в области необратимых деформаций с использованием гипотезы (7) преобразуется к единственному уравнению:
(11)
и может быть проинтегрировано:
(12)
((то + а (в - ве)) Рг (фо) - а) — + (то + а (в - ве)) вР2 (фо) = (то + а (в - ве)) Рз (фо)
где
Рг (фо) = 2^Зйшфо - 2^3(/г (фо) - 1)зт (фо - 3) ,
Рис. 1. Сравнение численного и приближенного аналитического решений для обратимой стадии процесса деформирования
P2 (Фа) = (cos фа — (fl {фа) — l)cOS {фа — |)) 2 ^^ ’
1 d г /
Рз (фа) = ( fl (фа) - 1) Т + dr ln V3 sin фа + ^ COS фа
3 sin фа + л/3 COS фа ,, , П П ™
fl (фа) = g • Т i--------г---, фа (r) = - -- r ^ .
3 sin фа + cos фа 2 6
Как и уравнение (10), уравнение (13) не содержит явно величину давления p.
В частности, при a = 0 (идеально пластический материал) уравнение (13) примет вид:
ds
Pl (фа) dr + SP2 (фа) = Рз ^ '
(14)
Его общее решение имеет вид:
s = exp —
Р2 (фа) Pl (фа)
dr
exp
dr
P
3 {фа
Р2 (фа)
Pl (фаУ J Pl (фа)
dr + s0
. (15)
Как видно из полученных результатов (рис. 2), изменение угла наклона диаграммы (а — е) при переходе от обратимого к необратимому деформированию качественно изменяет распределение интенсивности деформаций вдоль радиуса оболочки.
Как и в случае уравнения (10), получить точное аналитическое решение уравнения (13) не представляется возможным.
Рис. 2. Распределение интенсивности в (з0,т) в идеально пластической
оболочке
При в ~ ве ^ 1 уравнение (13) упрощается до линейного:
(таР\ (фо) — 2кС) — + (то (1 — к) Р2 (фо) — к2СРз (фо)) в = То (1 — к) Рз (фо)
(16)
а
к = 20
Его общее решение имеет вид
в = ПУ,
V = ехр | - / То (1 — к) Р2 (фо) — к20Р3 (фо) Яг
ТоР1 (фо) — 2к0
' То (1 — к) Р2 (фо) — к20Рз (фо)
и
ехр
ТоР1 (фо) — 2к0
Яг
РзТо (1 — к)
ТоР1 (фо) — 2к0
Яг + во (17)
Исследуем зависимость решения (17) от параметра к, для этого запишем его в виде ряда по степеням радиальной координаты:
в во
— л/3в
пкО
ЗОк — \/Зт(
г3 + о (г3)
(18)
Из асимптотики (18) следует, что в окрестности полюса оболочки при а/то = 2\/3/3 решение качественно изменяется, а именно: для а/то > 2\/3/3 максимум интенсивности формоизменения находится в плюсе оболочки, то есть решение качественно сохраняется при переходе от обратимого к необратимому деформированию, а при а/то < 2\/3/3 максимум величины формоизменения находится на границе пластической области.
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Г
Рис. 3. Распределение интенсивности s (so,r) в оболочке с различными модулями деформационного упрочнения
На рис. 3. представлено распределение величины формоизменения вдоль радиуса оболочки для материала со свойствами a/ro = 0-01 (сплошная линия) и a/ro = 2 (пунктирная линия) для so = 0.1, 0.2. Результаты получены конечно-разностными методами.
Список литературы
1. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
2. Ильюшин А.А. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.
3. Кудряшов А.В. Кинематические гипотезы в моделях процессов конечного деформирования идеально-пластических оболочек // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 93-99.
4. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловкий Е.И. Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с.
Кудряшов Александр Вячеславович (kudrmail@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Influence of the module of deformation hardening on distribution of final deformations in a circular elastoplastic shell
A. V. Kudryashov
Abstract. Integration of the equations of balance of the thin elastoplastic circular shell deformed from a flat state under the influence of pression, is impossible. The basic method of research of such processes is numerical simulating. In the given work the hypothesis allowing in some cases to receive the decision in
quadratures is used and allowing to study influence of the module of deformation hardening on distribution of deformations.
Keywords: analytic solution, shell, elasticity, plasticity.
Kudryashov Alexandr (kudrmail@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 08.02.2012
