Влияние магнитного поля на свойства поверхностных поляритонов на границе «Полупроводник-диэлектрик» Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.33

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ПОЛЯРИТОНОВ НА ГРАНИЦЕ «ПОЛУПРОВОДНИК-ДИЭЛЕКТРИК»

© 2012 Д.Г. Санников, Д.И. Семенцов, Л.Д. Филатов

Ульяновский государственный университет

Поступила в редакцию 20.11.2012

Рассмотрены условия существования поверхностных ТМ волн на границе намагниченного полупроводника и немагнитного диэлектрика с тензорной и скалярной диэлектрическими проницаемостя-ми. Для двух случаев - линейного полупроводника и полупроводника с керровской нелинейностью -получены компоненты волнового поля, дисперсионное соотношение, частотно-полевые и энергетические характеристики в системе полупроводник-диэлектрик. Показано, что влияние внешнего магнитного поля на указанные характеристики приводит к проявлению невзаимных свойств поверхностного поляритона.

Ключевые слова: поверхностные волны, граница раздела полупроводник-диэлектрик, керровская нелинейность, магнитное поле.

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно, что в области частот, где диэлектрическая проницаемость (ДП) одной из граничащих сред отрицательна, вдоль плоской границы раздела двух немагнитных диэлектриков возможно распространение электромагнитных поверхностных волн, получивших в литературе название поверхностных поляритонов (ПП) [1, 2]. Поле такой волны экспоненциально убывает при удалении от границы раздела. В среде с отрицательной ДП это связано с мнимостью поперечной компоненты волнового вектора, а в среде с положительной ДП - с полным внутренним отражением. В настоящее время исследования свойств ПП на границе раздела различных сред развиваются достаточно динамично, что обусловлено их уникальными свойствами: высокой пространственной локализацией и возможностью значительного усиления напряженности волнового поля вблизи границы раздела сред. Толщина приповерхностного слоя, в котором локализуется волновое поле ПП, с каждой стороны от границы раздела обычно составляет величину порядка длины волны. Свойства ПП во многом определяются материальными параметрами и состоянием граничных сред, поэтому отвечающие им решения волновых уравнений широко используются для изучения оптических свойств различных материалов [3-9].

Различные планарные полупроводниковые

Санников Дмитрий Германович, доктор физико-математических наук, доцент. Е-mail: [email protected] Семенцов Дмитрий Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор. Е-mail: [email protected] Филатов Леонид Дмитриевич, аспирант. Е-mail: [email protected]

структуры представляют существенный интерес для многих направлений микроэлектроники, поэтому изучение спектра поверхностных волн на границе полупроводник-диэлектрик является актуальной задачей. Особую роль в формировании ПП играет внешнее статическое магнитное поле, которое приводит к гиротропии намагниченного полупроводника [10-14]. Поскольку материальные параметры намагниченного полупроводника существенно зависят от частоты и магнитного поля, то существенна и модификация волновых характеристик ПП, возникающая при изменении управляющего магнитного поля. В настоящей работе, наряду с обсуждением условий существования ПП на границе намагниченного полупроводника и диэлектрика, получены и детально анализируется дисперсионное соотношение, определяющее связь волновых характеристик поляритона с магнитным полем. Анализ проводится для широко используемой в различных практических приложениях плоскостной поперечной ориентации магнитного поля, при которой поле лежит в плоскости границы раздела сред и перпендикулярно направлению распространения ПП.

2. ГЕОМЕТРИЯ ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Направим ось 02 перпендикулярно границе раздела сред, а ось ОХ вдоль направления распространения волны. Будем считать, что область ^ < 0 занята изотропным диэлектриком со скалярной ДП , а область 2 > 0 занята полупроводником с тензорной ДП Б . Магнитные проницаемости обеих сред будем считать равными единице. В полупроводнике при нали-

чии внешнего магнитного поля, ориентированного вдоль оси ОУ, проявляется анизотропия оптических свойств. В этом случае тензор ДП полупроводника принимает вид:

С

£ =

0

V i£a

0

Ss0 0

0

\

(1)

's У

где частотные зависимости элементов этого тензора, характерные для намагниченной плазмы имеют вид [14]:

/ 2 Л

'0

1 + ^

2

2

V

£s0 £0

2

1 -œ

V

œ

(2)

/

£

œ(œc2 - œ2)

Здесь £0 — решёточная часть ДП полупро-

i i * \i/2 водника, œ p =( 4nne / m j - плазменная

частота, œ c = eH 0 / m* c — циклотронная частота, H 0 — внешнее магнитное поле, n — концентрация носителей (электронов), e и m - заряд и эффективная масса электрона, c — скорость света в вакууме. Соотношения (2) записаны в приближении отсутствия потерь, связанных со столкновениями.

Собственными волнами такой структуры при распространении волны вдоль оси QX являются ТМ и ТЕ волны. Зависимость каждой из компонент волнового поля от времени и координаты x может быть представлена в виде:

Fa (t, x, z) = Fa (z) exp[i(œ t - (x)] ,(3)

где ( — продольная компонента волнового вектора (константа распространения) ПП. Для управляемой магнитным полем ТМ волны с компонентами волнового поля ( Ex,Hу, Ez ) запишем уравнения для тангенциальных (относительно границы раздела) компонент в каждой из сред:

d2 H

dz

--qd h = 0

J-d ,s V

E.

iqd k0£d

H

E

i(sa(-ssqs ) H

,2 „2л HV • (4)

№ -£)

Здесь введены волновое число для вакуума к0 = О / С, поперечные компоненты волнового вектора в каждой из сред:

=4Р2 - , = >? - ко ,(5)

а также - эффективная ДП полупроводника £ = £. — б£ / £.. Решения волновых уравнений (4) для компоненты магнитного поля Н у в областях, занятых полупроводником и диэлектриком, с учетом ее непрерывности на границе раздела представим в виде:

[ ехр (—а.г), г > 0, Ну (г) = Н (0) < о '(6)

[ ехр(цй2), 2 < 0.

где Н (0) - амплитуда поля в плоскости раздела сред (при г = 0 ). Для определения областей существования ПП необходимо потребовать действительности величин и , что выражается следующими условиями:

а2=з2 — к02£>0, а2 =/2 — к2£>0. (7)

Используя непрерывность на границе раздела сред тангенциальной компоненты магнитного поля Ну, приходим к дисперсионному соотношению:

(8)

В отсутствие внешнего магнитного поля (Н0 = 0 ) исчезает гиротропия полупроводника ( £а = 0 , £± = £. ) и соотношение (8) переходит в известное дисперсионное уравнение для изотропных диэлектриков

qd/£d+qs/£s =0.

(9)

Из этого соотношения следует, что условием существования ПП в этом случае является отрицательность ДП одной из контактирующих сред [1, 2].

При наличии магнитного поля дисперсионное соотношение (8) с учетом выражений (7) приводится к виду

S,S

d s

4(2 - к

£ =

= sdsa(-sss^(2 - к¡sd

(10)

Наличие в этом уравнении слагаемого, линейного по параметру / , указывает на тот факт, что наличие магнитного поля приводит к невзаимному характеру распространения ПП в рассматриваемой структуре. При Н00 = 0 невзаимность исчезает и константа распространения ПП определяется соотношением

—(®)

= ±к ® аа(о)

"О л/ /л- (11)

сУ а + а(о)

Поверхностная волна переносит вдоль границы раздела сред энергию волнового поля. Усредненная по времени плотность энергетического потока в каждой из сред в рассматриваемом случае определяется вектором Пойнтинга:

8 = 8-Яе((*е, - £гИ*ех). (12) 8 —

В отсутствие поглощения в обеих средах составляющая потока Б = О. С учётом граничных условий получаем для продольных компонент плотности потока энергии в каждой из сред:

Я = сИ (О)Г

8—к0

а В-а а

в ~ а ¿в

ехр(-2дв2), 2 > О,

—ехР(2а^Х а.

2 < 0.

(13)

3. ГРАНИЦА «ЛИНЕИНЫИ ПОЛУПРОВОДНИК-ДИЭЛЕКТРИК»

Определим теперь некоторые характерные зависимости и частоты, которые проявляются при графическом построении и анализе дисперсионного соотношения для ПП. Так, в общем случае эффективная ДП полупроводника а± меняет знак на следующих трех частотах:

- (V®2 + 4® ±®с

о = Ло1 + ®2

(14)

ветвям зависимости ® = с— / ^а^ в областях

— > 0 и — < 0 соответственно. Кривые С^ и С2 пересекают ось частот в точках .

Для проведения численного моделирования характеристик поверхностной волны в рассматриваемой структуре в качестве диэлектрика выбран фторопласт с а. = 2.23, а в качестве полупроводника - антимонид индия (1п8Ь), для которого решеточная часть ДП а0 = 17.8 , плазменная частота ®р = 1012 б-1, эффективная масса электрона т * = 0 .0 14те, где Ше - масса покоя электрона [14]. На графиках мы используем безразмерную частоту О = ® / ® , поэтому приведенным выше характерным частотам отвечают величины, нормированные на плазменную частоту.

На рис. 1 приведена зависимость нормированной частоты от константы распространения, полученная для подмагничивающего поля = 50 Ое. Дисперсионная ветвь О1 , отвечающая положительным значениям константы распространения, лежит в интервале частот 0 < О < О 2 . Ветвь ^2, которая отвечает отрицательным — , лежит в интервале 0 < О < О- . При стремлении О ^ О ± должно иметь место существенное замедление ПП, так как его групповая скорость .о / . — ^ 0 . Несимметрия дисперсионных кривых при смене знака константы — , которая указывает на невзаимный характер распространения ПП. В пределе И0 ^ 0 невзаимность пропадает,

Возвращаясь к условиям существования ПП (7), отметим, что первое из них (д_2 > 0 ) распадается на два возможных случая: при а± < 0 ему удовлетворяют все действительные значения — в частотных интервалах от 0 до ®1 и от до ®1+ ; при а± > 0 это условие эквивалентно неравенству —1> к0у/а± . Условие а2 > 0 в случае положительных а. эквивалентно неравенству |— > к.

Дисперсионное соотношение (10) в общем случае имеет четыре решения, которым на представленных ниже графических зависимостях отвечают четыре ветви 01 - 4 (сплошные кривые). Пунктирные линии А1 и А2 отвечают линейной зависимости ® = с— / ^а. в областях

— > 0 и — < 0. Пунктирные кривые С и С2 отвечают низкочастотной и высокочастотной

Рис. 1. Дисперсионные зависимости для поверхностных ТМ волн; Н0 = 50 Ое; е0 = 17.8, юр=1012 б-1

т.е. низкочастотные ветви

А

и А2 становят-

ся симметричными и при стремлении Р ^ ± да ограничены значением частоты

О0 = ^0/(^0 ) . В

интервале частот

О2 < О < О2 в структуре возможно распространение только одной - прямой волны. Частоты, к которым дисперсионные кривые А1 и А2 асимптотически стремятся при Р ^ ± да , являются для гиротропных полупроводников аналогом частоты Деймана-Эшбаха [15] и определяются следующими выражениями:

Л

О±

1

2а

4а>1б0

±а

н

•(15)

В высокочастотной области проявляется ветвь А4, которая ограничивается сверху кривой С 2, а снизу линией А2 и отвечает обратным волнам, т.е. Р < 0 . В отсутствие поля эта ветвь также отсутствует, а с увеличением поля частотный интервал ее существования увеличивается. Обратим также внимание на тот факт, что для используемого значения поля частота О 2 < О ж и в спектре отсутствует высокочастотная ветвь А 3. Таким образом, появление в спектре ветви А4 и невзаимности является следствием возникновения индуцированной подмагничивающим полем гиротропии полупроводниковой среды.

На рис. 2 представлены дисперсионные зависимости О(Р ) , отвечающие значению поля Н 0 = 308 Ое. Это значение больше критического

н =

а,

< у '

(16)

получаемого из условия а^ = а (здесь у = е / т С - эффективное гиромагнитное отношение). Для выбранных параметров структуры Н =100 Ое. Отметим, что при значении поля Н 0 > Н Сг частота О ^ < О 2 . При значении поля Н = Н сг происходит разделение ветви А1 на низкочастотную и высокочастотную, в результате чего в спектре проявляется новая дисперсионная ветвь А3, располагающаяся при Р > 0 в высокочастотной области спектра. Эта ветвь ограничена узким интервалом частот О ^ (Н 0) < О < О 2 (Н 0) , который при значении поля Н 0 = Н сг стягивается в точку. Частотный интервал существования ветви А4 при заданном значении поля оказывается больше, чем на предыдущем рисунке.

На рис. 3 приведены полевые зависимости константы распространения, построенные для низко- и высокочастотных поверхностных волн при а = (0.75, 1.15)1012 s-1 (а, Ь). В низкочастот-

Рис. 2. Дисперсионные зависимости для поверхностных ТМ волн; Н0 = 308 Ое

Рис. 3. Полевые зависимости константы распространения низко- и высокочастотных ПЭВ,

£0 = 17.8, ар = 1012 б-1; а =(0.75, 1.15) 1012 s-1 (а, Ь)

ной области при малых значениях поля в структуре могут распространяться две собственные волны с противоположными знаками константы Р и отвечающие ветвям D1 и D2. Поле, при котором константа распространения обратной волны (ветвь 02) уходит на бесконечность, определяется выражением:

Н 2 =

1

*

у

а

- а

е* 2 ^0

а

(17)

Для частоты ( = 0.751012 s-1 это поле составляет 346 Oe. Выше этого значения поля в структуре возможно распространение только прямой волны, соответствующей ветви D1. Ветвь D1 исчезает при пересечении с кривой C1 , после чего на данной частоте в структуре ПП не распространяются. В высокочастотной области прямая волна в интервале полей (0, H ) отсутствует, отвечающая ей ветвь D3 уходит на бесконечность при значении поля H2«300 Ое. В интервале H 0 = (300 - 336) Oe могут существовать две встречных волны с отличающимися по модулю константами распространения, что открывает возможность для создания различных невзаимных устройств.

На рис. 4 для двух значений поля H 0 = (308, 630) Oe (а, b) и различных частот приведены распределения по поперечному сечению структуры продольной компоненты плотности потока энергии, переносимой ПП. При построении указанных распределений используется нормированная на вакуумную длину волны (Л = 2л c / ( ) координата 2. Кривые 1,2 отвечают ветвям D1, D2 , а кривые 3,4 отвечают ветвям D3, D4 . На рис. 5а частоте ( = 0 75 • 1012s~1 отвечают кривые 1,2, а частоте ( = 1 15 • i012s~1- кривые 3,4. На рис. 5b кривые 1,2 отвечают частоте ( = 0 5 • 1012s~1, а кривые 3,4 - частоте ( = 1.3 7 • 1012s~1 . Из

приведенных зависимостей следует, что продольная компонента полного потока претерпевает разрыв на границе раздела, при этом в граничащих средах для ПП они различаются знаками. В диэлектрической среде с положительной ДП -компонента потока совпадает по направлению с фазовой скоростью. В полупроводниковой среде, где в области существования ПП проницаемость отрицательна, 8 х -компонента потока противоположна по направлению фазовой скорости. Изменение поля может приводить к существенному перераспределению величины 8х . Так, в рассмотренном случае при малом значении поля Н 0 волновое поле ПП вблизи границы раздела в полупроводнике значительно превосходит поле в диэлектрике, тогда как при больших значениях поля картина меняется на противоположную.

4. ГРАНИЦА «НЕЛИНЕЙНЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК-ДИЭЛЕКТРИК»

Пусть теперь область % > 0 занята нелинейным полупроводником с тензорной ДП и параметром нелинейности % :

^ = Ь +х\Е\2 /, (18)

где элементы этого тензора имеют частотные зависимости вида (2).

Решение уравнений (4) в виде поверхностной волны, локализованной на границе раздела сред % = 0 , с учетом нелинейности среды в области % > 0 представим для тангенциальной компоненты электрического поля в виде:

_ ( ) = 1 А БесЬ[ц,(г - %,)], % > 0, Ех(%) = 1 Е„ехр(г £ 0, (19)

Рис. 4. Распределение плотности энергии ПЭВ от нормированной координаты при значениях поля Н0=308, 630 Ое (а, б)

где Е0 - амплитуда поля на границе раздела сред,

а параметр А = ^2д2 / . Условием существования поверхностной волны, в соответствии с (19), является действительность поперечных компонент Ци волновых векторов в каждой из сред. С учетом их определения получаем следующие ограничения на значения константы

распространения ПП: ||>и |>

для частотной области, где 8± > 0; для частотной области, где 8± < 0 , требование д2 > 0 подобных ограничений не накладывает.

Параметр определяет положение (т.е. смещение относительно границы раздела сред ^ = 0 ) максимума амплитуды волнового поля в полупроводнике. Согласно (19), смещения описывается уравнением

А БесЦ^0) = Е0, (20)

решение которого определяется выражением ( Г—П-Л

г,

= -и

А_

Е

(А л И Е о У

-1

(21)

Видно, что наряду с положительным смещением указанного максимума, возможно также отрицательное его смещение. Знак влияет на форму распределения поля в ПВ.

На рис. 5 представлена зависимость параметра от амплитуды волнового поля, полученные для трех значений магнитного

поля Н0= (3 08, 63 0, 950) Э (кривые 1 - 3).

При г0 > 0 максимум распределения амплитуды поля в структуре находится в области, занятой полупроводником. При г0 < 0 максимум

этого распределения смещается в область, занятую диэлектриком, поэтому он не проявляется, а наибольшего значения амплитуда ПВ в этом случае достигает на границе раздела сред. На рис. 6 представлены распределения электрического поля поверхностной волны по нормали к границе раздела сред, полученные на частоте

о = 7.65 • 1011 с-1 для значений поля Н0= (3 08, 63 0, 9 5 0) Э (кривые 1 - 3) при

Р = 50 см-1, Е0 = 1.5 фрг / см3 .

Рис. 5. Зависимость параметра ^0 от амплитуды волнового поля; H0= (3 08, 63 0, 950) Э (кривые 1 - 3)

В случае г0 = 0 в соответствии с (21) вы-Е0 = А , которое выража-

полняется условие 0 ется уравнением

(^ + 2я±( = 2с 202.

(22)

С учетом (19) и (20) для тангенциальной компоненты магнитного поля ТМ волны в каждой из сред получаем следующие выражения:

Н =

^Asec%J(г -г,)] + Цъ(г -, г >0,

к В Е

г < 0

(23)

где параметр может быть как больше, так и меньше нуля. Равенство тангенциальных компонент магнитного поля на границе раздела сред (при

г = 0 ) приводит к дисперсионному соотношению

^ (ч ^ 0 )=Рва + —К 2 ,(24)

Ча

которое с учетом (20) можно записать также в следующей форме:

яр + *ААА 1 - Ео/А2 - е^к2 = 0.(25)

Здесь знак «минус» перед третьим слагаемым соответствует положительным значениям , а знак «плюс» - отрицательным. Переход от одного дисперсионного соотношения к другому происходит через семейство кривых

Р2 + Р- ЕлВ к] = ° (26)

Рис. 6. Распределения поля поверхностной волны по нормали к границе раздела сред;

о = 7.65 • 1011 с-1, Н0= (308, 630, 950) Э

(кривые1-3), Р = 5 0 см-1,

Е0 = 1.5 ^эрг / см3

0.2

-0.1

0

0.1

отвечающих равенству . Наличие в дисперсионных уравнениях (24)-(26) слагаемого, пропорционального первой степени константы распространения, указывает на сохранение невзаимного характера распространения ПП и в структуре «нелинейный полупроводник-диэлектрик».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе для плоской границы раздела намагниченного полупроводника с заданной частотной зависимостью тензорной ДП и диэлектрика с независящей от частоты ДП определены частотные области существования ПП. Наличие поперечного (по отношению к направлению распространения) внешнего поля приводит к линейному двулучепреломлению и зависимости волновых характеристик ТМ-поляритона от магнитного поля. При положительности ДП диэлектрика ПП реализуется в частотных областях, где эффективная ДП полупроводника отрицательна. Вычислены характерные частоты, определяющие области существования ТМ-поляритона, которыми можно управлять с помощью внешнего магнитного поля. Проведенный анализ показал, что для используемых параметров структуры ПП в общем случае имеет четыре ветви дисперсионной зависимости (0(Р\), две из которых отвечают прямым волнам, а две - обратным. При стремлении О ^ О* групповая скорость ПП

ёф / ёР ^ 0, т.е. имеет место существенное замедление ПП. Несимметрия дисперсионных кривых при смене знака константы Р указывает на невзаимный характер распространения ПП. Установлено, что продольная компонента потока энергии в каждой из сред испытывает разрыв на границе раздела сред. Эта компонента в диэлектрической среде совпадает по направлению с фазовой скоростью, тогда как полупроводни-

ковой среде, где в области существования ПП эффективная ДП отрицательна, противоположна по направлению фазовой скорости. Изменение поля приводит к существенному перераспределению потока в каждой из сред и полного потока в структуре.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках федеральных целевых программ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» и «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, 1982. Гл.10. С. 425.

2. Поверхностные поляритоны / Под ред. В.М. Аграновича, Д.Л. Миллса. М., Наука, 1982. Гл.1. C.9.

3. Martin B.G., Broerman J.G. // Phys. Rev., B 24, 2018 (1981).

4. Семенов А.А., Карманенко С.Ф., Мелков А.А., Сурис P.A. и др. // ЖТФ, 71(10), 13 (2001).

5. Беспятых Ю.И., Бугаев A.C., Дикштейн И.Е. // ФТТ, 43(11), 2043 (2001).

6. Вашковский A.B., Локк Э.Г. // Радиотехн. и электрон., 47(1), 97 (2002).

7. Жирнов C.B., СеменцовД.И. // ФТТ, 49(5), 773 (2007).

8. Sannikov D.G., Sementsov D.I., Zhirnov S.V., 152-153, 369 (2009).

9. Fedyanin D.Yu., Arsenin A.V. // Optics Express, 19 (13), 12524 (2011).

10. Maradudin A.A., Wallis R.F. // Journal of Raman Spectroscopy, 10(1), 85 (1981).

11. Дмитрук Н.Л., Литовченко В.Г., Стрижевский В.Л. Поверхностные поляритоны в полупроводниках и диэлектриках. Киев, Наукова думка, 1989. Гл.1. С.9.

12. Булгаков A.A., Москаленко В.В. // ФТП, 30(1), 31 (1996).

13. Басс Ф.Г., Булгаков A.A., A.П.Тетервов. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешетками. М., Наука, 1989. Гл.3. C.53.

14. Сейсян. Р.П., Кособукин B.A., Маркосов М.С. // ФТП, 40(11), 1321 (2006).

15. Каганов М.И., Пустыльник Н.Б., Шалаева Т.И. // УФН, 167, 191 (1997).

MAGNETIC FIELD INFLUENCE ON THE PROPERTIES OF SURFACE POLARITONS AT THE "SEMICONDUCTOR-INSULATOR" INTERFACE

© 2012 D.G. Sannikov, D.I. Sementsov, L.D. Filatov

Ulyanovsk State University

The conditions are considered of TM surface wave existence on the interface of magnetized semiconductor and nonmagnetic dielectric with tensor and scalar permittivities. The components of the wave field, the dispersion relation, frequency-field and power characteristics of a semiconductor-insulator system are obtained for two cases of the linear semiconductor and Kerr nonlinearity semiconductor. It is shown that the influence of external magnetic field on these characteristics leads to the appearance of non-reciprocal properties of the surface polariton. Keywords: surface waves, semiconductor-dielectric interface, Kerr nonlinearity, magnetic field.

Dmitry Sannikov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor. E-mail: [email protected] Dmitry Sementsov, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor. E-mail: [email protected] Leonid Filatov, Graduate Student. E-mail: [email protected]