ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НА СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.52, 517.53

ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НА СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ

© О. А. Кривошеева

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

В работе рассматриваются ряды экспоненциальных мономов. Одной из основных задач в теории рядов экспоненциальных мономов (частными случаями которых являются степенные ряды, ряды Дирихле и ряды экспонент) является изучение распределения особых точек на границе области сходимости этих рядов. Исследуется влияние кратной последовательности показателей Л = {Äk, пк}'к=1 ряда экспоненциальных мономов на наличие особых точек на дуге границы, концы которой расположены на определенном расстоянии R друг от друга. В этой связи рассматриваются индексы конденсации последовательности показателей и относительная кратность ее точек. Ранее было доказано (О. А. Кривошеева, А. С. Кривошеев), что если последовательность показателей является правильной, то есть является частью правильно распределенного множества, то при некоторых ограничениях на область сходимости ряда экспоненциальных мономов каждая функция дЛд , являющаяся суммой такого ряда имеет особую точку на любой -дуге тогда и только тогда, когда индекс конденсации последовательности показателей (индекс конденсации А. С. Кривошеева) равен нулю. Последовательность Л является правильной тогда и только тогда, когда ее максимальная плотность не превосходит длины соответствующей дуги границы некоторого выпуклого компакта. Таким образом, достаточными условиями существования особых точек дЛд на -дугах являются специальная ограниченность максимальной плотности последовательности показателей и равенство нулю ее индекса конденсации. В данной работе показывается, что в общем случае указанные условия являются также и необходимыми для наличия особых точек дЛд на -дугах.

Ключевые слова: ряд экспоненциальных мономов, особая точка, индекс конденсации, выпуклая область.

Пусть Л = {Ак, nk}"=1 — последовательность различных комплексных чисел Ак и их кратностей пк ,

|Afc+il > \Ак\ и \Ак\ ^ Символом п(г,Л) обозначим число Ак с учетом их кратностей пк, лежащих в круге

В(0, г). Верхней и максимальной плотностью Л называются соответственно величины

_/Л, Т^п(г, Л) —п(г, Л) — п((1 — S)r, Л) п(Л) = lim-, п° (Л) = lim lim-£--.

г^ю Т г^ю ОТ

Рассмотрим ряд экспоненциальных мономов

ю,пк—1

I

ак ,пгпел^. (1)

к =1,п=0

Пусть а = [ак,„}, ©(Л, а) обозначает открытое ядро множества всех точек z Е С, в которых сходится ряд (1), и его сумма является аналитической функцией. Символами дАд и ЭД(Л) обозначим соответственно сумму ряда (1) и множество всех а = {ак п}, для которых Ъ(Л, а) Ф 0. В работе изучается проблема распределения особых точек функции дАа на границе дЪ(Л, а).

Пусть 0(Л) — множество всех частичных пределов последовательности [Ак/\Ак . Положим

т(Л) = lim пк/\Ак\

к^ю

В работе [1] показывается, что в общем случае множество Ъ(Л, а) может быть не выпуклым и не является даже связным. Однако, если выполнены условия т(Л) = 0 и п(Л) < ю, то по теореме 4.1 (аналог теоремы Ко-ши-Адамара) Ъ(Л, а) — выпуклая область:

а) = [z: Re(ze—W) < h(Q, а,Л), eie Е 0(Л)}, (2)

иг лл ■ fr ■ ЦУКоьР

h((p, а, Л) = inflim min -:--.-, (3)

°<n<nk(j)—1 \Akij)\

где инфимум берется по всем [AkQ)} таким, что ^кЦ)/\^кЦ) \ ^ е—1<р. При этом ряд (1) расходится в каждой точке внешности гО(Л, а) (за исключением, возможно, нуля). При тех же условиях по теореме 3.1 (аналог теоремы Абеля) ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте области гО(Л, а).

В этой работе изучается влияние некоторых характеристик Л на наличие особых точек дЛа на дугах (Л, а) следующего вида. Пусть у — дуга границы, соединяющая точки г1 и г2. Дугу у будем называть -дугой, если | г2 — г1 | = Д.

Пусть Л — правильная последовательность, т.е. часть правильно распределенного множества ([3], гл.11). Из теоремы 4.1 в [2] следует, что в этом случае при некоторых ограничениях на ©(Л, а) каждая дЛ,а имеет особую точку на любой -дуге тогда и только тогда, когда £Л = 0 (эту характеристику определим ниже). В силу теоремы 1 в [4] Л является правильной тогда и только тогда, когда максимальная плотность п0 (Л, (в угле, ограниченном лучами ге'^ , ге'^) не превосходит длины соответствующей дуги границы некоторого выпуклого компакта. Таким образом, достаточными условиями существования особых точек дЛ,а на -дугах являются специальная ограниченность п0 (Л, и равенство £Л = 0. В данной работе показывается, что в общем случае указанные условия являются также и необходимыми для наличия особых точек дЛ,а на -дугах.

Положим ([57])

г ^(5) с г С т с т г ,5)|

]1Щ—-— = 11ш^л(5) ,<^05) = 11Ш-—-,

5 5^0 к^» ^

= П (щ"т)"

Лш6ВСЛк,5|Лк|),тФк "

Пусть пЛ(г, 5) — число точек Як 6 В (г, 5|г|) с учетом их кратностей пк.

Теорема 1. Пусть Л = {Як, пк}, "(Л) = 0, и 5Л = —да. Тогда для каждого Д >0 существует последовательность а 6 Щ(Л) такая, что на некоторой -дуге границы (Л, а) функция дЛ,а не имеет особых точек.

Доказательство. Пусть Д > 0, а число 50 6 (0,1/15) удовлетворяет условию: ^ 6 (0,^/4), если ^ 6 (0,^/2) и |е"^ — 1| < 250(1 — 50)—1. Так как 5Л = —да, то согласно определению величины 5Л найдем 5 6

(0,50)

и последовательность {ЯкСр)} такие, что

1п 5)| < —/?|Л*о,)|,р > 1,Р = 12Д5. (4)

Переходя к подпоследовательности, можно считать, что

Яед^Ср)! ,Р ^ > 2|^^Ср)|,Р > 1 (5)

Функцию а будем искать в виде суммы ряда

да

#0) = ^Ср5р(2) . (6)

р =1

Для этого построим вспомогательную последовательность Л2 с Л, Л2 = ир>1 Л2 р . Пусть Вр(а) = В(Лк00, а5|Я^р) |). В силу (5) и неравенства 50 < 1/15 круги Вр (1), р > 1, попарно не пересекаются. Фиксируем р > 1. Набор Л2 р будем составлять из кратных точек Як 6 Вр (1). Если

пЛ(^(р),5) — пк(р) < Р^кСр^ + 1 (7)

то в качестве Л2р возьмем пару Як(р), 1 и все пары Як, п. такие, что к Ф к(р) и Як 6 Вр .В этом случае положим

"р = ПЛ(ЯкСр), 5) — Пк(р) + 1. Пусть теперь

пЛ(^к(р),5) — пк(р) > Р|^кСр)| + 1. (8)

Тогда уменьшим кратность Як(р) до 1 и из круга Вр(1) изымем столько точек Як, не трогая Як(р), или уменьшим их кратности пк (не меняя их обозначения) так, чтобы выполнялись неравенства

Р|Як(р)| < "р — 1< Р|Як(р)| +1, (9)

где "р — число оставшихся точек Як с учетом их кратностей. В этом случае в качестве Л2 р возьмем все оставшиеся пары Як ,пк. Таким образом, последовательность Л2 с Л построена. Покажем, что п(Л2) < да. Пусть г > 0 и р(г) — максимальный номер круга Вр(1), имеющего непустое пересечение с В(0, г) . Тогда г > |Як(р) | (1 — 5) и с учетом (7), (9) получаем:

п(г, Л) ^^(рм)^1+ 5) Л) у Шр

Г |Як(р(г))1 (1 — 5) р= |Як(р(г))1 (1 — 5)

р( ) р( )

< |Як(р)| Л +

р = |-^к(рСг))| р =1 |Як(р(г))^ |Як (р)

Используя теперь неравенство (5), имеем:

р( ) р( )

п^ < 2С.

Г ¿-( ; , , ¿-I 2рсг)—р

р =1 |Лк(р(г)) | р =1

Отсюда следует, что п(Л2) < да. Покажем еще, что неравенства (4) не нарушатся, если Л заменить на Л2. Если верно (7), то по построению

ЧлСр)(Як(р),5) = С)(^к(р),5). Пусть теперь верно (8). Тогда верно (9), и согласно определению ^Л2 имеем:

Пт 1п-—;- < > Пт 1п

I- ic(w)i = z »»z --3Ü

AmeBp(1),m*fc Am6Bp(1),m*fc

< -ln(3(1 - 5))(mp - 1) < шр - 1 < -0|Afc(p)|,p > 1.

Таким образом,

ln ^(Яод,§)| <-^|Я,(р)|. (10)

Определим теперь функции др, р > 1, по формуле

еЯг dA

= 2^ / 7

~ ~ n l г>

где числа тр > 1 мы определим ниже. Получим оценки сверху на ,др. Имеем:

|Я - AJ

зд^ 1' Я^р(5), Я^е^р(1).

Поскольку тр > 1, то отсюда получаем:

^рО)! < sup |еЯг| < exp^e^^z) + 55|Як(р)||г|),z 6 С. (11)

яеавр(5)

Определим теперь коэффициенты ср. Положим

Ср=ехр(-р|Як(р)|), р > 1. (12)

Покажем, что ряд (6) сходится равномерно на компактах К в области D = B(0,2R) П jz: Re (ze-1v) < 2R6j. Выберем e > 0 такое, что

Re (ze-l<p) <Д5 - 2e, z 6 K. В силу (5) найдется номер р0 такой, что

Re(Vrtz) < (Re(ze-1*)+e)|Vp)|, z6K, р>ро. Тогда с учетом (11) и (12) получаем:

WW W

X к(z)|< ^Срехр((Д5-е + 5М)|ЯЛ(р)|) < ^ |я^(р)| ,z 6 К.

p=p0 р =ро р=ро

Так как п(Л2) < ю, то последний ряд сходится. Таким образом, функция g является аналитической в области D при любых тр > 1.

Так как 56(0,1/15) и точки Як 6 Л2, лежат в кругах Вр(1), то в силу (5) найдется ф 6 (0,^/2) такое, что

|е1ф-11<25(1-5) и верно вложение 0(Л2) с (ei0, 06(ф-у,ф+у)}. Покажем, что для некоторых тр > 1 функция g представляется рядом (1), сходящимся равномерно на компактах в угле

Г = (z:Re(ze-1(^) < 0} П (z:Re(ze-1(^) < 0}. Используя вычеты и определение функции q^, для каждого р > 1 получаем:

nk-1

'bk,r

- zne"

gp(z)=bk(p£eAk(P)z+ Z Z T^e^,

P АьПк6Л2,р,к*к(р) n=0 p

где Ьк(р),о= (q^(^к(р),5)^ . Положим еще bk(p),n=0, п=1,Пк(р)-1. Определим коэффициенты (akn}:

СрЬкп

ak,n=0, ak,n= ——, Як,%6Л2,р, p>1.

Поскольку круги Вр(1), р > 1, попарно не пересекаются, то определение корректно. Подберем теперь числа тр, р > 1. В силу (10) и (12) имеем:

max b^bkj > 1п|срЬк(р),0| > lncp+p|Яk(p)| =

Выберем тр > 1 такие, что

max ln|akn| = max ln|cpbkn|-lnap=0. (13)

Ak,nk6Л2,p ' Ak,nk6Л2,p

Найдем область сходимости ряда (1) с коэффициентами akn, определенными выше. Так как п(Л2) < да m(A)=m(A2) = 0, то по теоремам Коши-Адамара и Абеля из работы [1] ряд (1) сходится равномерно на компактах выпуклой области D(A,a), определенной по формулам (2) и (3), и расходится в каждой точке ее внешности (за исключением, возможно, 0) В силу (13) и (3)

iv__1 ■ ■ Ц1/К,п|) lnKn| Л

h(0,aA)> lim min , =- lim max ' , = 0

0<n<nk-1 |AkI p^MAbnk6^,p |Ak|

для всех e10 6 0(Л2). Кроме того, найдутся номера s(p), n(p) такие, что пара As(p),ns(p) является элементом последовательности Л2 и

ln|as(p),n(p)| = 0, p > 1. (14)

Можно считать, что As(p)/|As(p) | ^e-ip, p ^ да. Тогда eip 6 0(Л2) . Можно считать, что р = ф+а, где а 6 (—ф,ф). В силу (14) имеем:

Кф+адЛ)< limln(1/.|as(p),n(p)|) = 0.

p^M |^s(p) 1

Таким образом, ряд (1) расходится в каждой точке полуплоскости П = jz:Re (ze-^^^) > oj. Кроме того, он, а вместе с ним и ряд (6), равномерно сходится на компактах в угле Г с D0(aA). Следовательно, функция g^a=g является аналитической в области G=D U Г.

Пусть а > 0 (случай а < 0 аналогичен) и w6SB(0,2R)n (L0=jz:Re(ze-i4>)=0j), Im (we-^) > 0. Прямые, которые перпендикулярны L3= jz:Re (ze-i^+^) =üj и проходят через точки 0 и w обозначим L1 и L2. Поскольку

ф 6 (0,^/4), то расстояние между этими прямыми строго больше R. Пусть Q — область, ограниченная прямы-миL0, L j и L2. Она лежит в области G.

Кроме того в области G лежит некоторая окрестность V интервала >> ß. Таким образом, функция g_(A,a) является аналитической в области Q U V.

Так как фб(0,п/4), то полуполоса, которая ограничена прямыми L1, L2 и L3, лежит в угле Г с D(A,a). Ряд

(1) расходится в П. Поэтому в пересечении области D U V и полуплоскости jz:Re (ze-^^^) < 0j найдется R-

дуга. По построению g^a не имеет особых точек на этой дуге. Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть Л = {^k,nk} и m(A) Ф 0. Тогда для каждого R > 0 существует последовательность a6A(A) такая, что на некоторой дуге границы öD(A,a) функция g^a не имеет особых точек. Доказательство. Пусть R>0, а 6 (0,1] и

Dz={z: Rez<c}n{z: |Imz|<cR}, Tz={z: Rez=c,|Imz|<cR}.

Отрезок Tz лежит на границе полуполосы Da. Выберем с 6 (0,1) такое, что (l-o) +cR2 < 1 и g<(2v3R)" . Тогда Tz лежит в круге B(1,1), область Gj=Da\ jz: Rez<-2-1 j — в B(0,1), а Dz\Gj — в усеченном угле

Г = {Re(zein/6) < 0} П {Re(ze-in/6) < 0} П {z: Rez< — 2—1}. Так как Tz — компакт, то найдется е 6 (0,1) такое, что прямоугольник Ta(e)=Dan{z: Rez>a-e} лежит в круге B(1,r0) для некоторого r06 (e-1,1).

Согласно условию m(A) Ф 0 найдется последовательность {^k(p)} такая, что ^k(p)/|^k(p)| ^ e-1ф и ank(p)/|^k(p)| >т>0. Положим |ip=e^a-1Ak(p). Тогда np/|^p|^1 и nk(p)/|^p| >т,p > 1. Можно считать, что | Др+j | >2 | |, p > 1. Пусть 0 < y<min j4"1e,2"1x,8"1 j. Можно также считать, что

y|^p |<m(p)<min{4-1e|^p|, nk(p)}, p>1, (15)

где m(p) — некоторые натуральные числа. По построению

Re(^pz)<| | (Rez-2-1ylnr0), z6B(0,t), p>pt. (16)

Положим cp=exp (- (a+4-1ylnr0) |^p|), p > 1 и рассмотрим ряд

M

ga(z)= ^ cp(z-1)m(p)e^zi«'i, (17)

p=1

Покажем, что он сходится равномерно на компактах из области Da. Учитывая вложение T(e)cB(1,r0), из (15) и (16) получаем:

|cp(z-1)m(pW|<exp (у |др| lnr0-(c-Rez+4-13ylnr0) | др|)) <

< exp (4"1ylnr0 |^p|) , z6T(e), p>p1. (18)

Так как G1cB(0,1), r0>e-1, то в силу (15), (16) и определения Т(е) имеем:

cp(z-1)m(p)e^z|<exp (m(p)ln2-(c-Rez+4"13ylnr0) |др|}) <

- expf(-|+J)k|)<exp|^p|)' zeG1\T(e), p>pr (19)

Учитывая вложение Dа\G1 с Г, получаем:

Г1 (V) 1п (1 + I 7 I ) - (п-Яе/+4-1 3у1пгЛ I и

р

cp (z-1)m (p) e^z | <exp(m(p) ln(1+| z | ) -(c-Rez+4"13ylnr0) | др |) ) <

< ехр^ЫЛ+^+А) 1 ир ^ <ехр ^1 Цр 1 j <

< ехр (-51 ир | ) , 76(Бо\01 )ПБ(0,1) , р>рг

Отсюда и из (18), (19) следует, что ряд (17) сходится равномерно на компактах области Dа. Поэтому gа6H фа). Раскрывая скобки в (17), получаем:

го, m ( p ) го,

gа ф = £ Ь^е^ £ а^е^, (20)

p=1,n=0 k=1,n=0

где z=ae-iфw, ак^ = 0, если кФк(р) или k=k(p) и п>ш (p). Так как г0 < 1, то G0={z: Rez>a+ у1пг0/8} П DаФ0. Как и в (16) получаем:

Яе( и р^> | ир | у1пго/8) , z6Go, р>ро . Нетрудно заметить, что | Ьр0 | =ср. Поэтому с учетом определения ср имеем:

| Ьр,о | | е^ | >1, z6Go, р>р0. Таким образом, первый ряд в (20) расходится в каждой точке z6G0. Пусть

Г0 = {Яе^е^6) < 0} П {Яе6) < 0} П Rez<-3}, и z 6 Г0. Коэффициенты ьр,п оцениваются сверху величиной 2ш (р). Поэтому с учетом (15), (16) и определений ср, г0, е,у имеем:

| Ьр,^е^| <ехр(ш (р)+ш (р) 1п (1+| z | )+(Rez-4-13ylnr0)| ир | ) <

< exp^+11 zI + +Rez) I I) <exp( (1 + Rr) I ^ I) <e" 1 1 ■

Это означает, что первый ряд в (20) сходится равномерно на Г0.

Из сказанного следует, что на некоторой а-дуге, лежащей в полосе | Imz | <aR} и на границе области сходимости этого ряда, его сумма ga не имеет особых точек. Тогда последовательность коэффициентов второго ряда в (20) является искомой. Теорема доказана.

В силу теорем 1-2 условия ш (Л) = 0 являются необходимыми для наличия особых точек у всех

функций gЛ,а, абА (Л) , на каждой -дуге границ областей сходимости соответствующих им рядов (1).

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №18-31-00029.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кривошеева О. А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов. Уфимский математический журнал. 2011. Т. 3. №2. С. 43-56.

2. Кривошеева О. А. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости. Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. №2. С. 162-205.

3. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

5. Кривошеева О. А. Распределение особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе его области сходимости. Вестник Башкирского университета. 2017. Т. 22, №4. С. 916-924.

6. Кривошеев А. С. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях// Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т. 68. №2. С. 71-136.

7. Кривошеева О. А., Кривошеев А. С., Абдулнагимов А. И. Целые функции экспоненциального типа. Ряды Дирихле. Монография. Уфа, РИЦ БашГУ, 2015. 196 с.

Поступила в редакцию 07.05.2018 г.

INFLUENCE OF CHARACTERISTICS OF SEQUENCE OF INDICATORS ON CONVERGENCE OF EXPONENTIAL SERIES

© O. A. Krivosheeva

Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 65.

Email: [email protected]

In this work, the series of exponential monomials are considered. One of the main problems in the theory of series of exponential monomials (special cases of which are power series, Dirichlet series, and series of exponents) is the study of the distribution of singular points on the boundary of the domain of convergence of these series. The influence of a multiple sequence of indicators A = {Afc ,nfc}^=1 of a series of exponential monomials on the existence of singular points on the boundary arc, whose ends are located at a certain distance R from each other, is studied. In this connection, the condensation indices of the sequence of indicators and the relative multiplicity of its points are considered. Previously it was proved (Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S.) that if the sequence of indicators is regular (it is part of a regularly distributed set) then, under some restrictions on the convergence domain of a series of exponential monomials, each function gAa, which is the sum of such a series, has a singular point on any R-arc if and only if the condensation index of the sequence of indicators (condensation index Krivosheeva A. S.) equals to zero. The sequence A is regular if and only if its maximal density does not exceed the length of the corresponding arc of the boundary of a convex compact set. Thus, sufficient conditions for the existence of singular points for the function gAa on R-arcs are the special limitation of the maximal density of the indicators sequence and the equality of its condensation index equals to zero. In this paper, the author shows that in general case these conditions are also necessary for the existence of singular points for the function gAa on R-arcs.

Keywords: series of exponential monomials, singular point, condensation index, convex domain.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Krivosheeva O. A. Oblast' skhodimosti ryadov eksponentsial'nykh monomov. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2011. Vol. 3. No. 2. Pp. 43-56.

2. Krivosheeva O. A. Osobye tochki summy ryada eksponentsial'nykh monomov na granitse oblasti skhodimosti. Algebra i analiz. 2011. Vol. 23. No. 2. Pp. 162-205.

3. Leont'ev A. F. Tselye funktsii. Ryady eksponent [Entire functions. Series of exponents]. Moscow: Nauka, 1983.

4. Levin B. Ya. Raspredelenie kornei tselykh funktsii [Distribution of zeros of entire functions]. Moscow: Gostekhizdat. 1956.

5. Krivosheeva O. A. Raspredelenie osobykh tochek summy ryada eksponentsial'nykh monomov na granitse ego oblasti skhodimosti. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2017. Vol. 22, No. 4. Pp. 916-924.

6. Krivosheev A. S. Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya. 2004. Vol. 68. No. 2. Pp. 71-136.

7. Krivosheeva O. A., Krivosheev A. S., Abdulnagimov A. I. Tselye fonktsii eksponentsial'nogo tipa. Ryady Dirikhle. Monografiya [Entire functions of exponential type. The Dirichlet series. Monograph]. Ufa, RITs BashGU, 2015.

Received 07.05.2018.