CC BY
12
УДК 532.70+535.211
ВЛИЯНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО ФРОНТА ИСПАРЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТНОГО ИСТОЧНИКА
НАГРЕВА
И. Н. Карташов, В. И. Мажукин, В. В. Перебейнос, А. А. Самохин
Получено дисперсионное уравнение для возмущения плоского фронта испарения в диапазоне изменения числа Маха М в потоке пара от нуля до единицы. При М « 1 и постоянстве температуры в конденсированной среде это уравнение переходит в уравнение Даррье - Ландау, а при стремлении числа Маха к единице и экстремальности потоков массы дх, импульса д2 и энергии дз в этой точке получается рассмотренное ранее уравнение [1], в котором газодинамические эффекты не проявляются.
Как известно, поверхность конденсированной среды, испаряемой под действием интенсивного источника нагрева, оказывается, вообще говоря, морфологически неустой чивой (см., напр., [1 - 3]). К этой проблеме примыкает и задача Даррье - Ландау [4] о неустойчивости фронта медленного горения, определяющую роль в развитии которой играют газодинамические эффекты в потоке продуктов горения. Настоящая работа посвящена исследованию влияния газодинамических возмущений в дозвуковом потоке пара на устойчивость плоского фронта испарения.
Поведение испаряемой поверхностным источником нагрева конденсированной фазы в рассматриваемой задаче описывается уравнениями теплопроводности и Эйлера для несжимаемой жидкости с постоянными температуропроводностью х и теплоемкостью с, на поверхности которой формулируются соответствующие граничные условия [5].
В случае невозмущенной плоской границы раздела, движущейся в отрицательном направлении оси 2 со скоростью г; = д\1 р\ по неподвижной жидкости с плотностью /9/, профиль температуры в системе отсчета, связанной с фронтом испарения, определяется
известным выражением: 7} = ДТ[ехр(£02) — 1] + Г«, где АТ = Т3 — Т^, Т„ и Тх соответственно температура на поверхности (г = 0) и в глубине конденсированной среды, а к0 = г>/х-
Предполагая, что возмущения всех физических параметров на фронте испарения пропорциональны ехр(ы£ — ¡кх), линеаризованные граничные условия можно записать в следующем виде:
= + 8д1/р1,
6р1 = 6д2 - 2ь8дг + ак2£, г = 0 (1)
где неравновесная теплота перехода Ьпе — Ь(Тц) + ср(Т — Тя) + (и2 — V2)/2 = Ь(Т3) + д3/д1 —срТ3 — V2/2 (последним членом в дальнейшем будем пренебрегать). Соотношения (1) следуют из законов сохранения на поверхности раздела для потоков массы д\ = ри, импульса </2 и энергии дз, которые считаются зависящими от Т3 и М.
С учетом смещения £ возмущенной поверхности раздела относительно г — 0 и соответствующей связи 8Та = ¿7/(0) + £дТ[/дг между возмущением температуры поверхности 6Т3 и величиной <5Т/(0), решение рассматриваемой системы гидродинамических уравнений может быть представлено в виде:
¿V, = 8ьекг, 6ух = -¡8ьекг, 8р, = + ку)8ьекг, (2)
к
8Т, = ЬЬТбь _ е(к+ко) + _ (коАТу^ 2 < 0 ш — ки
где д удовлетворяет уравнению д2 — дк0 — к2 — ш/х — 0 с условием Ие <7 > 0.
Записанная система (1), (2) формально совпадает по виду с рассмотренной ранее [1] за тем исключением, что величины ¿<71, 8д2 и 8Ьпе теперь зависят также от величины 8М, которая определяется из решения системы (1), (2) совместно с внешней газодинамической задачей для потока испаренного вещества.
Движение потока пара, который считается идеальным одноатомным газом (с показателем адиабаты 7 = ср/Су = 5/3), описывается системой газодинамических уравнений неразрывности, Эйлера и адиабатичности, невозмущенным решением которой являю 1 ся постоянные значения плотности пара р, давления р, компонент скорости иг = и = д\/р, их = 0 и числа Маха М = и/ис, где скорость звука и2 = 7р/р.
Граничные условия и объемные решения для линеаризованной внешней задачи имеют вид:
8р = 8(д2 - д\и), 8иг = + 8и, 8их = 8ьх + гк{и - (3)
6р = £ Ае-Ь', + А3е~к
«=1,2 Сд
= £ А,—-^—-е"*'2 + ^А4е-кз% г > О (4)
^ = Т. , гк1. + ¿А,е"*зг,
1=1^2 А" ~ М
где волновые числа с г = 1,2 и кз определяются соотношениями:
к3 = ш/и, (и] - и2)к2 + 2к{ши - ш2 - к2и2с = 0. (5)
Из условия отсутствия возмущений, идущих от бесконечности к границе раздела, следует, что А2 = 0 в диапазоне М < 1. Напомним, что в одномерной задаче [6] об отклике испарительного процесса на модуляцию температуры поверхности условие Аг = 0 непосредственно приводит к связи между 6М и 8Т3. В итоге из соотношений (1) - (5) получаем однородную систему уравнений относительно величин 8ь, 8Т3 и 8М\
6ь - = 6дг/р1, (6)
8ур1{у + и/к) + ак2£ = —8д2 + 2у8дг,
8(д1Ьпе) + ср1Х {^^(Я -к-к0) + д8Т3 + Ск<,АТ(к0 - д)^ = 0,
х ™ ( с . х \ г6(9г- д\и) г , лс
Ьих — -—(и>£ + 8и)--г = — г8у + гк[и — гм£,
ки ри
где
8\пд\ = (р3 - 0,5)8\пТ, + д[8\пМ, д[ = 1 + р' - 0,57", 8\пд2 = + д28\пМ, 8\пЬпе = + 1'8\пМ,
- (-' л. 2^М2 \ V С>Т (т> х 2М' Л х ^
и и 2
Лпи = 0, 5<51пГ5 + (1 + 0, 5Т')<ЯПМ, = (7)
— л^и)
Здесь использовались обозначения = д1п#/д1пТ5, Н' = 91пЯ/51пЛ/, где Н(Т$,М) произвольная функция двух аргументов.
Условием разрешимости однородной системы уравнений (6) является равенство нулю соответствующего определителя, что дает искомое дисперсионное уравнение для ш(к), явный вид которого приводится здесь для простоты в случае АТ = 0 и V « и:
/(«, к) +
8\пМ 51пТ3
£ 8\пМ
(р'5 - 0,5)и{ш + ку) + -д2р'3
Р1
+
8\пМ
—92д'2 + д[и(ш + кь) Р1
= 0,
(8)
где
8\пТ3
/(ш, к) = ш2 + шку + ак3/р\, _ ___01 (¿пе# + _
8\пМ дТ3ср,х + дх[ьпе - ЦТ.) + - 0,5)/,пе]' а величина <Яп(М/£) определяется из соотношения
-2 8\пМ 8\пТ,
ш
ы+ш-ки+ £
8\пМ
+
8\пМ
91 «V
г\ 2";
+
= 0.
(9)
В пределе малых чисел Маха М « 1 величина Г из (7) и отношение д2/р стремятся к единице, а отношение множителей при 8\пМ в уравнениях (8), (9) оказывается равным — кь. В этом пределе дисперсионное уравнение принимает вид
ш2 + 2 шку + ак3 / р1 — к2иь = 0,
который с точностью до отброшенных членов ь/и совпадает с уравнением Даррье Ландау [4].
В пределе М —* 1 и условии экстремальности потоков в этой точке, где Т' = —1/2, р' — —5/4, вклад от 8\пМ в уравнении (8) обращается в нуль, и при условии ДГ = 0 дисперсионное уравнение совпадает с уравнением /(ш, к) = 0 для капиллярных волн с протоком вещества через границу.
В этом же пределе аналогичное расцепление происходит и в случае АТ ф 0, поскольку из первых трех уравнений (6) выпадает зависимость от 8М, то есть задача для конденсированной среды становится замкнутой и сводится к рассмотренной ранее [1, 3]. При этом величина 8М / 0 и остальные параметры определяются уравнениями (6) и (3), в которых правые части уже считаются известными.
Этот результат при рассмотрении аналогичной задачи в работе [2] не был получен, в частности, из-за недостаточно последовательного подхода к формулировке испарительных граничных условий. Более подробный анализ полученного здесь дисперсионного уравнения будет рассмотрен в отдельной работе.
Отметим в заключение, что газодинамические эффекты при М < 1 модифицируют также отклик испарительного процесса на модуляцию интенсивности нагрева по сравнению со случаем М = 1, который рассматривался ранее в [3, 7]. Описанное в [3, 7] резонансное по отношению к частоте модуляции поведение отклика становится при М < 1 более выраженным, а при стремлении М к 1 влияние газодинамических эффектов на испарительный процесс ослабевает.
ЛИТЕРАТУРА
[1] С а м о х и н А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 8, 26 (1980); N 6, 8
(1981); N 5, 3 (1985).
[2] Л е в ч е н к о Е. Б., Черняков А. Л. ПМТФ, N б, 144 (1982).
[3] С а м о х и н А. А. Труды ИОФАН, 13, 3 (1988).
[4] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика. М., Наука, 1988.
[5] М а ж у к и н В. И., П р у д к о в с к и й П. А., С а м о х и н А. А.
Математическое моделирование, 5, N б, 3 (1993).
[6] К а р т а ш о в И. Н., Мажукин В. И., Перебейнос В. В.,
С а м о х и н А. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 7-8, 50 (1995).
[7] S a m о k h i n A. A., Gus'kov А. P. Phys. Lett., A77, 344 (1980).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 24 июня 1996 г.
