ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ НАБЕГАЮЩЕЙ ВОЛНЫ НА ЗВУКОИЗОЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

«Труды МАИ». Выпуск № 82

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Влияние формы набегающей волны на звукоизоляционные свойства прямоугольной пластины сложной структуры

Локтева Н.А.*, Сердюк Д.О.**, Тарлаковский Д.В.***

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: nlok@rambler.ru **e-mail: d.serduk55@gmail.com ***e-mail: tdvhome@mail.ru

Аннотация

Исследуются звукоизоляционные свойства прямоугольной пластины, окруженной с двух сторон акустическими средами. Пластина имеет сложную трехслойную структуру (несущие слои упругие изотропные, а заполнитель анизотропный). Рассматриваются варианты воздействия на пластину плоской, цилиндрической или сферической гармонических волн. Для решения используются разложения искомых функций в тригонометрические ряды. Приведены примеры расчетов.

Ключевые слова: звукоизоляция, сотовый заполнитель, трехслойная пластина, поперечное обжатие, тригонометрические ряды.

Введение

В настоявшее время уровень и динамика развития новых перспективных летательных аппаратов предъявляет все более высокие требования к повышению степени шумо- и виброзащиты. Эти же проблемы возникают в других отраслях новой техники (машиностроение, транспорт, автомобилестроение и др.), где необходимо обеспечить эффективную шумовиброизоляцию.

В последнее время во всех этих отраслях появляется все больший интерес к использованию новых функциональных материалов, которые позволяют получать требуемый уровень шумо- и виброзащиты создаваемых элементов конструкции путем организации нужного вида их внутреннего строения. Это приводит к необходимости разработки новых усложненных математических моделей, позволяющих описывать поведение элементов конструкций с учетом особенностей их строения. Одна из таких моделей использована в настоящей работе.

На данный момент имеется большое количество публикаций по исследованию звукоизоляционных свойств различных элементов конструкций, в которых наиболее полно рассмотрены задачи о свойствах однородных звукопоглощающих препятствий [1-5]. При рассмотрении трехслойных элементов, как правило, не учитываются поперечное обжатие и сдвиг слоев [6], что не позволяет достаточно полно отразить истинную картину их деформированного состояния. Также практически не изучено влияние геометрии набегающей волны на акустические свойства препятствия. Оценка влияния всех этих параметров на характер поведения упругой волны при прохождении ее через трехслойное препятствие с практической точки зрения является важной задачей. В настоящей

работе предполагается с использованием уточненных моделей трехслойных пластин учесть влияние вышеназванных параметров.

1. Постановка задачи

Рассматривается упругая пластина, окруженная с двух сторон акустическими средами «1» и «2» с одинаковыми свойствами (рис. 1). Пластина является прямоугольной с линейными размерами /1 и /2 вдоль осей Ох и Оу прямоугольной декартовой системы координат Охух, начало которой расположено в угловой точке, а ось Ох направлена вглубь среды «2».

Рис. 1. Тонкостенное препятствие сложной структуры, окруженное

акустическими средами.

Пластина имеет симметричную трехслойную структуру, состоящую из двух несущих слоев (их нумерация соответствует нумерации соприкасающимся с ними средам) и заполнителя между ними (рис. 2). Несущие слои являются упругими изотропными с модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона V. Заполнитель имеет сотовую конфигурацию и моделируется упругой ортотропной средой [7-9] с

осредненными модулями обжатия Е3 и сдвига G1 и G2 соответственно в направлениях осей Ох и Оу. Далее рассматриваем частный случай трансверсально-мягкого заполнителя (модули сдвига заполнителя равны между собой: G1 = G2 = G).

Несущий слой

Рис. 2. Структура пластины. На пластину набегает гармоническая волна с амплитудой давления на фронте Р* и частотой ю. В результате ее взаимодействия с препятствием в средах «1» и «2» возбуждается отраженная и проходящая волны с амплитудами ры и р2 соответственно. При этом амплитуда полного давления в среде «1» определяется так:

Р1 = А* + Р*. (1)

В качестве звукоизоляционных характеристик пластины принимаем коэффициент звукоизоляции п и измеряемый в децибелах показатель звукоизоляции Яр:

Р2/ Р*| 2=0' Кр = -201ВЛ. (2)

2. Связанная краевая задача

Для описания гармонических колебаний пластины по закону ехр (/ю), где / -

мнимая единица, используем уравнения, полученные в [7,8] (наличие координаты после запятой соответствует дифференцированию по ней):

где

¿11 (К ) + ¿12 (< ) + Рсю2и = 0, ¿11 (К ) + ¿12 (К ) + V + РаУ < = 0, ¿21 (< ) + ¿22 (и2 ) + РсЮЧС = 0 ¿21 (МГ ) + ¿22 () + 2Ч' + Ра^г = 0 -ИА22+ 2^1 (^ + д,2 ) + Р1 \г=0 - Р2 \2=0 + РсЮ^с = 0, -^А2^а - 2с3^а + Р112=0 + Р2 I=0 + РаУ^а = 0, < - ¿1 ^,х - к (ч]х + д,2;),х + кз д1 = °

и2- к1 У - к2 (+ ч,2) + кзч2 =0,

(3)

(1)- и (2) (1 = ™ = + ^(2) ™ = ^(1)- 2) •

и,с = и(1) + и(2), иу = и(1) - и(2) (1 = 1,2), ^ = ^ + ^ ^ = ^ -

с

■> а

¿11 = В

г д2 1 -уд2Л

+ ■

дх 2 ду

, ¿12 = ¿21 = В

1 + у д2

¿22 = В

1 -V д2 д

+ ■

/ 2

2 дхду'

2 дх" д/

, А 2

д2 д2

■ + ■

дх" ду'

7 РЛ л 2Ег

Ра = 2Рь/, Рс = Ра + РЛ Ра» = Ра + "Т", В = ^-2,

3 1 - V

= Е3 7 = и 7 = л2 2Л

с — , к — г + л, к0 — , кт — .

3 2Л 1 2 3с 3 а

л =

вг1

Здесь "7) и п^) - амплитуды тангенциальных перемещений вдоль осей Ох и

Оу в у -м несущем слое; м^7) - амплитуда прогиба в у -м несущем слое; д1 и д2 -амплитуды постоянных по толщине поперечных касательных напряжений в заполнителе, направленным по осям Ох и Оу; 21 и 2к - толщины несущих слоев и заполнителя; р и рь - плотности материалов заполнителя и внешних слоев; В и В -жесткости несущих слоев на растяжение-сжатие и изгиб.

Полагаем, что пластина шарнирно оперта, что соответствует следующим граничным условиям [7,8]:

п21 = <1 = м\ .= м\ = 0,

2 IX=0,/[ 2 IX=0,4 С1х=0,/1 а1х=0,11

(<х + ™2,у )|х=0,/1 =( па X + ™2,у )[=„, =0> Их )|х=0Л =0> (4)

1>ДМс + (1 - V) Мхх ]|х=0,4 = \уАм* + (1 - ^ Кх, ]|х=0,/, = 0;

Ч=0,/2 = Ч=0,/2 = Ч=».'2 = Ма|у=0.,, = 0, ["2,+Чх Ь, +Ь, =0,(+€ )| у=°, (5)

[^ +(1 -V) ^ ]| у=0,;2 =[УАМа +(1 -V) ]| у=0,;2 = 0.

Возмущенное движение у -й акустической среды описывается уравнением относительно амплитуды Ф. потенциала скоростей [10]:

д2

АФ . + к2Ф . = 0, £ = ю/с, А = А2 + —-, (6)

77 ' 2 дх2

где к - волновое число; с - скорость звука в среде.

При этом соответствующие амплитуды давления р1м, р2 и координаты уу1, V.2, V.3 векторов скоростей определяются следующими равенствами:

Р^ = -/®Р0 Ф1, Р2 = -/ЮР0 Ф 2 , = Ф ., х , 2 = Ф . у , V 3 = Ф ., г ,. (7)

где р0 - плотность акустических сред.

В областях соприкосновения окружающих сред с пластиной выполняются условия не протекания:

Ф.

7

= 1юм;{]),0 < х < 11, 0 < у < 12. (8)

На бесконечности должны выполняться условия Зоммерфельда (г - длина радиуса-вектора) [10]:

Ф.г + /к Ф. = о

'1 ^

, г ^ да. (9)

V г у

Вне зоны контакта сред с пластиной давления совпадают:

Р1 |г=0 = Р2 I=0 , х < 0, х > У < 0, У > 12 . (10)

Связанная краевая задача (3) - (9) замыкается зависимостями ры (^(1)) и

Р2 (^(2)), которые будут установлены далее.

3. Решение краевой задачи

Искомые функции, давления, потенциалы скоростей и координаты векторов скоростей в средах представляем в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих граничным условиям (4) и (5):

< ,с

Е С°Б Х1пх ^ Х2mУ, "I,С = Е ^ ^П Кх С°Б Х2

п, т=1 п, т=1

х х

мас = Е маспт БтХ1пхБтХ2ту, ) = Е мМ-п} БтХ1пхБтХ2ту,

а,с ^^ а,спт 1п 2т^ ? ^^ пт 1п 2ту ?

п, т=1 п, т=1

х х

д1 = Е ¿т С°Б Х1пх ^ Х2mУ, д2 = Е Цп2т ^ Х1пх С°Б Х2mУ,

п, т=1

п, т=1

!л\ М + М" м — м1 пп

1 спт пт 2 спт пт

^ = -, Ж-. = ---, Х1п = — , Х

пт

пт

1п 1 ' 2 т 1

Т1 Т2

Р7 = Е Рупт Б1п Х1пх 81п Х2ту, Фу = Е Фупт ^П Х1пх 81п Х2mУ,

п, т=1

п, т=1

V

Е Vjlnm С°Б Х1пх ^ Х2ту, V2 = Е ^72пт Х1пх Х2ту

.1 / 1 у у\пт

п, т=1

п, т=1

V

7 3

Е ^3пт ^ Х1пх Х2mУ, Рм = Е Р\мпт ^ Х1пх Х2mУ,

п, т=1

п ,т=1

4

Р* = Е Р*пт Х1пх Х2mУ, Р*пт = ТТ Ц Р* Хщх

п,т=1 /1/2 0 0

Х 2 ту^у-

(12)

Тогда уравнения (3) переходят в алгебраические равенства относительно коэффициентов рядов:

(ЬП —рю2) пс + Ь,9 пс = 0, (Ь, —рю2) п? + Ь,9 па —2ц1 = 0,

у 11пт гс ) 1пт 12пт 2пт ' у 11пт гс у 1пт 12пт 2пт 1пт '

Ь21птп1спт + (Ь22пт — Рс^ )Кпт = 0, Ь21птКпт + (Ь22пт — рсЮ )п2?пт — ^т = 0, (Ви4т — рс®2 ) Мспт + 2£1 (Х1пд^пт + Х2т^т ) = Р1пт |г=0 — Р2пт |г=0 ,

(Ви4 + 2с —р ю2)м = р I + Р I ,

у г"пт 3 гам ) апт ¿1пт\2=0 -т2пт|2=0'

п? — кХ, м +(к,Х,2 + к ) д1 + к,Х, Х д2 = 0,

1пт 1 1п спт у 2 1п 3у -/пт 2 1п 2 т1пт '

пс — кХ м + к,Х, Х д1 +(к,Х2 + к ) д2 = 0,

2 пт 1 2 т спт 2 1п 2 т!пт у 2 2 т 3) 1пт '

(13)

где

Ь11пт В

Ь22 = В

22 пт

Х ?. +1—Vx ^

1п

2т

, = ^ =-ВХ ^ ,

' 12пт 21пт ^ 1п 2т'

-Х,2 + Х2?

^ 1п 2 т

и

пт

-\/Х12п + Х

2

2 т '

А уравнение (6) и соотношения (7) приобретают следующий вид:

+ (к )Р1ф7ЙИ = 0, в„т = л к2

Р^пт = -/®Р0Ф1пт > Р2пт = -'®РоФ2пт >

^' }1пт КФ]пт ' } 2пт ^2тФ}пт ' ^ ]пт Ф]пт,2 '

2 ^пт

/

(15)

Условие (8) заменяем следующим равенством относительно коэффициентов

рядов:

Ф

]пт,2

2=0

=

(7)

(16)

Вместо же равенства (9) полагаем, что при к > цпт имеют место соотношения

Г 1 Л

-Ф + /В Ф = О - , 2 Г = -2),

1пт,2 гпт 1пт ' \ /'

V-2 )

(1Л

Ф2пт,2 + ФптФ2пт = О " - 2 ^ ( Г = 2) ,

(17)

V 2 )

а при к <цпт функция Ф1пт (2) ограничена при 2 < 0, а функция Ф 2пт (2)

ограничена при 2 > 0.

Такой подход является приближенным. При этом фактически рассматривается периодическая в плоскости 2 = 0 система пластин и не учитывается дифракция волн на кромках пластины. Использование этого подхода вызвано значительными сложностями при точном решении задачи. С другой стороны, следует ожидать, что приближенное решение будет мало отличаться от точного вне окрестностей кромок препятствия.

Далее находим решение краевой задачи (14), (16), (17). При к > цпт общее

решение уравнения (14) имеет вид (С17 и С2 7 - произвольные постоянные):

Фрт _ С7е~Ф"т2 + Си^ . (18)

Удовлетворяя условиям (16) и (17) приходим к следующим результатам:

(1) (2) Ф = пт е'Рпт2 Ф =__п^е~'Рпт2 (19)

1пт о ' 2 пт о ^ '

пт пт

При к < цпт общее решение уравнения (14) имеет вид (С1 ] и С2] -произвольные постоянные):

Ф _ С Р_Рпт2 + С р^пт2

}пт ^ 2 р

Удовлетворяя опять условиям (16) и (17) приходим к таким равенствам:

(1) • (2)

Ф _ Ш™пт Ф _- т™пт -впт2 (20)

1пт п ' 2 пт О

пт пт

Объединение формул (19) и (20) дает следующие формулы:

Д1)

Ф1пт [ РФ-2Н ( к-Цпт ) + 'Р'"т2И (Цпт - к )] ,

г пт

(2)

Ф2 пт [ Р'^Н ( к-Цпт ) +'^Н (^т - к )] ,

пт

(21)

где Н (х) - функция Хевисайда.

Подставляя теперь (21) в (15) и учитывая (1) и (11), получаем следующие равенства для коэффициентов давлений, входящих в уравнения (13):

Р*0 пт Р*пт |2_0 ' Р*0 _ РА 2_0,

Р1пт \2_0 - Р2пт |2_0 _ Р*0пт - Р0® Гпт (к) ^ спт ,

Р1пт |2_0 + Р2пт |2_0 _ Р*0пт ~ Р0® Гпт (к ) ^ апт . (22)

Г_ (к , Е( к, )_{'при к ^

Рпт [-1при к <Цпт

Соотношения (22) вместе с (13) при известных коэффициентах p*0nm образуют замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, решение которой проведено на ПК при помощи программного пакета, системы компьютерной алгебры Maple.

4. Типы набегающих волн

Для исследования влияния на параметры звукоизоляции в (2) формы набегающей волны рассмотрим три ее типа: плоская, сферическая и цилиндрическая.

А. Плоская волна, распространяющаяся вдоль положительного направления оси Ох. Как следует из уравнения (6), амплитуда ф*=ф*( г) ее потенциала

скоростей удовлетворяет следующему уравнению (здесь штрихами обозначена производная по г):

ф: + к2 Ф* = 0. (23)

Его решение, удовлетворяющее условию (9), где следует положить г = г, имеет вид (Д - произвольная постоянная):

Ф*= Дф . (24)

Отсюда с использованием (7) и обозначения в (22) находим амплитуду давления и ее значение на препятствии:

Р* = АРе1к2, Р*0 = АР = —/юр0Дф. (25)

Здесь и далее Ар - амплитуда давления на фронте волны при ее касании препятствия.

Соответствующие коэффициенты рядов определяем с помощью (12):

_ 4 Ар

р*0 пт = 2

п пт

1 — (—1)п 1 — (—1)т . (26)

Б. Сферическая волна, распространяющаяся от источника, расположенного в точке О1 (хс,ус,—й),й > 0. Вводим сферическую систему координат с центром в О1 и радиусом

1 =Л(х — хс) +(у — ус)2 +(х + d) . (27)

Считая, Ф*=Ф*( г1), из (6) получаем следующее уравнение относительно этой функции (здесь штрихами обозначена производная по г1):

г"2 (Г12 Ф*)' + к2 Ф* = 0. (28)

Его общее решение находится с помощью введения новой функции г1Ф* и имеет вид (Д и Вф - произвольные постоянные):

ф*= т1 (Дф + Вф е"гкГ1). Отсюда получаем, что условию излучения (9), где следует положить г = г1, удовлетворяет решение:

Ф* = Г1—1 Дф е—кг1. (29)

Отсюда аналогично (25) приходим к следующим равенствам для амплитуды давления и ее значения на препятствии:

Р._-'®Р0^ Афр-'кг _ Др — Р-1к(г ),

Г1

Р*0 _ Др—Р~'к{ Г10), гш _ J(х"х~f+J"yTf+d2. Г10

Соответствующие коэффициенты рядов определяем с помощью (12):

4Др— } \ р-к(г10-—) .. . . — — (31)

Р*0пт ^ -81П Кх в1П ^2тУ—Х—У . (31)

1112 0 0

Г10

Для его вычисления используем теорему сложения [11, 12]:

—'тЯ

^- _ Ё(2к + 1)—к+1/2 (^Р) Нк+1/2 (тГ)Рк (СОвф)

Я 2^1 гр к_0 Я _у!г2 + р2 - 2грсоБф; г,р,ф > 0.

С ее помощью формулу (31) преобразовываем следующим образом:

Р,0пт _ -2пДр75А"р'к— ¿(-1/ (41 +12(2/ -1)!! !цп (к)Ьтт (к) (32)

/ _0

где

Т (Т\ Г Н 2 2++12 (к/1р10 ) • К . / ,ч 1 гЛш^ (к2 С 0 •

1ип (к) _ ]-1~1=-в1п ^ /2/т (к) _-/= --г---^

0 л/р10 \/2 0

х

_ ^с , Ус _ ^с , — _ 1А _ 12 §2 , Р10 )2 +§12 .

Интегралы /11п (к) и/2/т (к) могут быть найдены численно. В. Цилиндрическая волна, распространяющаяся от источника, расположенного в точке 01 (хс,0,-—)>0. Вводим цилиндрическую систему координат с центром в 01, параллельной О2 осью и радиусом:

Г2

л/сХ-хт ) +(2 + —) . (33)

Считая, что Ф* = Ф* (г2), из (6) получаем следующее уравнение относительно этой функции (здесь штрихами обозначена производная по г2 ):

Г2—1 (Г Ф*)'+ к2 Ф*= 0. (34)

В этом варианте (плоская задача) вместо (9) необходимо использовать следующее условие излучения [10]:

Ф' + 1к Ф = о

г \ 1

Г2

, Г ^х. (35)

Его общее решение имеет вид [11]:

Ф*= Дф Я02)( кг2) + Вф Н01)( кг2), (36)

где нV" (с) и НV2)(^) - функции Ханкеля порядка V; Дф и Вф -

произвольные постоянные.

Учитывая равенства [11]:

Н07 )'(0 = — Н|"(0( У = 1,2),

Н (О = &<z-u>п, Н21 (0 = (с^+х) ,и =

V пг V пх

2v + 1

4

получаем, что условию (31), где следует положить г = г2, удовлетворяет решение:

Ф*= Дф Н02)( Ц). (37)

Отсюда приходим к следующим равенствам для потенциала и давления:

р = -/юрс Л Н02) (кг2) = )'

г(2)

Соответствующие коэффициенты рядов так же, как и ранее, определяем с помощью (12):

4Ар и (2) 4Ар Г1 -(-1)и 1

Р*0 п„ = / / Ы 2) ( кг20 ) ХщХ вШ X 2 „Д^ф =-Г ( 22Л] 73п ( к ) ,

/1/2Н0 ; (к^) п„Н0 ' (kd)

(39)

где

1/ 1

13п (к) = "Г |Н02) (кГ20 ) К^Х = |Н02) (к/1 Р20 ) £

11 0 0

Последний интеграл может быть найден численно.

5. Пример

Рассмотрим пластину со следующими параметрами: /1 = 1.2 м, /2 = 0.4 м, г = 0.3 мм, И = 2 мм. Материал несущих слоев и заполнителя - сплав АМц: Е = 70 ГПа, V = 0.3, рь = 2730 кг/м . Осредненные характеристики сотового заполнителя из сплава АМц с длиной и толщиной стенки d1 = 6.3 мм и d2 = 0.005 мм, а также углом между стенками а = 120° определяются на основании работы [8]: Е3 = 940 МПа, О = 210 МПа.

Соответствующие коэффициенты в системе уравнений (3) имеют следующие значения:

ра = 2.73, рс = 2.88, р^ = 2.78, В = 7.69х 107, В = 6.41, с3 = 1011, к, = 0.005, к2 = 6.46 х 10-17, к3 = 4.78 х 10-11.

Для сферической и цилиндрической набегающих звуковых волн принимаются следующие значения геометрических параметров: хс = 0.6, ус = 0.2, d = 0.5 м.

На рис. 3 представлен график зависимости показателя звукоизоляции Яр от

частоты при сферическом типе набегающей волны. Для цилиндрической и плоской типов волн зависимости выглядят аналогичным образом. На рис. 4 продемонстрировано распределение той же величины по поверхности пластины при сферическом типе набегающей с частотой 1000 Гц волны. Эти графики иллюстрируют неравномерность распределения параметра звукопоглощения. На краях пластина лучше поглощает звук, чем в центре. Наиболее слабым местом в данных условиях с точки зрения звукоизоляции является центр пластины.

Все результаты получены при учете четырех трех рядов (11) по каждому из индексов. Большее их количество приводит к уточнению решения менее чем на 2%.

Рис. 3. Показатель Я при набегающей сферической волне.

Рис. 4. Распределение показателя Яр по поверхности пластины.

На рис. 5 представлены результаты расчета минимального по пластине показателя звукоизоляции для цилиндрической и сферической набегающих волны с частотой 1000 Гц в зависимости от расстояния между источником звука и пластиной. Прямая линия для плоской волны изображена для сравнения.

Плоская волна < Цилиндрическая волна Сферическая волна

1 э

и

=г

к

3 1 ?

о

о И \

\

1 1 ч

СО \

2 11 ч.

й й И •

л, с = ш ■

О 1П ч

|—I 0 5 1 5 2 5 3 5

Расстояние от источника звука до пластины, (м)

Рис. 5. Зависимость показателя звукоизоляции от расстояния между источником звука и пластиной.

По представленным на рис. 5 результатам можно сделать следующие выводы. До тех пор, пока фронт волны приходящий на поверхность пластины имеет выраженную геометрию сферы или цилиндра, ранжирование эффективности следующее: наиболее эффективно происходит поглощение сферической волны, менее эффективно поглощается цилиндрическая, плоская волна проходит через преграду лучше всего. При этом по мере удаления источника звука от пластины, фронт сферической и цилиндрической волны становится менее выраженным, и эффективность их поглощения снижается до уровня поглощения плоской набегающей волны.

Выводы

Разработан метод моделирования процесса поглощения колебаний в звуковом диапазоне при различных параметрах пластины и различных типах волн, воздействующих на преграду. Данный метод может быть использован в задачах по выбору оптимальных параметров трехслойного звукопоглотителя.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 15-08-00787) и гранта Президента РФ НШ-2029.2014.8.

Библиографический список

1. Алумяэ Н. А. Теория упругих оболочек и пластинок. Механика в СССР за 50 лет / Под ред. Л. И. Седова. Т. 3. - М.: Наука, 1972. -480 С.

2. Park J., Mongeau L. Vibration and sound radiation of viscoelastically supported Mindlin plates // J. Sound Vib. - 2008. - 318, No. 4-5. - P. 1230-1249.

3. Pico R., Gautier F. The vibroacoustics of slightly distorted cylindrical shells: A model of the acoustic input impedance // J. Sound Vib. - 2007. - 302, No. 1-2. - P. 18-38.

4. Plaut R. H., Cotton S. A. Two-dimensional vibrations of air-filled geomembrane tubes resting on rigid or deformable foundations // J. Sound Vib. - 2005. - 282, No. 1-2. - P. 265-276.

5. Ruzzene M. Vibration and sound radiation of sandwich beams with honeycomb truss core // J. Sound Vib. - 2004. - 277, No. 4-5. - P. 741-763.

6. Stamm K., Witte H. Sandwichkonstruktionen. Berechnung, Fertigung, Ausführung. -Wien-New York: Springer-Verlag, 1974. - 337 s.

7. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная постановка динамических задач трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем численно-аналитический метод их решения // Прикладная механика и техническая физика. 1995. Т. 36. №4. С. 147-151.

8. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточнение уравнений динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем // Известия РАН. Механика твердого тела. 1995. №3. С. 142-152.

9. Акишев Н. И., Закиров И. И., Паймушин В. Н., Шишов М. А. Теоретико-экспериментальный метод определения осредненных упругих и прочностных характеристик сотового заполнителя трехслойных конструкций // Механика композитных материалов. 2011. Т. 47. № 4. С. 543-556.

10. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

11. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит-ры, 1971. - 1108 с.