CC BY
18
УДК 535.34
ВЛИЯНИЕ ФАЗОВЫХ ШУМОВ БИХРОМАТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА РЕЗОНАНСЫ КОГЕРЕНТНОГО ПЛЕНЕНИЯ НАСЕЛЕННОСТИ
А. Н. Матвеев, А. В. Соколов, А. В. Акимов, В. Н. Сорокин, А. Ю. Самокотин, Н. Н. Колачевский1
В работе рассматривается влияние шумов разностной фазы бихроматического поля на резонансы когерентного пленения населенности в простейшей трехуровневой системе в А-конфигурации. Квазистационарное решение оптических уравнений Блоха, найденное в рамках некоторых допущений, показывает, что наличие коротко-коррелированных флуктуаций фазы возбуждающего излучения приводит к снижению контраста резонансной линии, не влияя на ее спектральную ширину. Для фазовых шумов с гауссовским распределением фактор снижения контраста составляет \ = ехР[—Ф^тз\> ^ ~~ дисперсия фазы. Проанализированы полученные ранее нашей группой экспериментальные результаты.
Одним из эффективных методов исследования узких запрещенных переходов, важных для создания оптических или радиочастотных стандартов частоты [1-3], разработки высокочувствительных магнитометров [4, 5] и некоторых других приложений [6] является спектроскопия резонансов когерентного пленения населенности (КПН). Резонанс КПН - это нелинейное явление, наблюдаемое при взаимодействии трехуровневых квантовых систем в А-конфигурации с бихроматическим световым полем (рис. 1). В эксперименте резонансы КПН обычно проявляют себя как резонансное падение поглощения
1 Московский физико-технический институт (ГУ), Институтский пер. 9, 141700 Долгопрудный, МО, Россия.
излучения в среде, когда разность частот компонентов светового поля становится равной частоте Д12, соответствующей расстоянию между нижними уровнями Л-системы (рис. 1).
Рис. 1. Трехуровневая квантовая система в ^-конфигурации, взаимодействующая с дихроматическим световым полем Е^) + Переход 1-2 запрещен в дипольном приближении, а вероятности переходов 1-0 и 2-0 приняты одинаковыми.
Для регистрации узких резонансов КПН требуется использовать бихроматическое излучение со стабильной разностной фазой, которое может быть получено с помощью ряда различных методов. Если разность частот компонентов поля не превышает 10 ГГц, то обычно используют либо прямую фазовую модуляцию лазерного излучения [7], либо метод фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) одного лазерного источника к другому [8, 9]. Дальнейшее увеличение разностной частоты полей с сохранением стабильности разностной фазы может быть достигнуто с помощью делителей оптического интервала частот [10], однако такой метод связан с существенными техническими трудностями. Наиболее универсальный метод, предложенный в работах [11, 12], использует фазовую когерентность продольных мод фемтосекундного лазера (ФЛ), который служит
в качестве опорного генератора оптических частот [13]. За счет фазовой стабилизации двух лазеров к отдельным модам ФЛ открывается возможность перестройки разностной частоты в чрезвычайно широких пределах вплоть до 1014 Гц.
За счет собственных шумов и инерционности петли ФАПЧ разностная фаза двух лазерных полей неизбежно испытывает флуктуации. Особенно большие флуктуации возникают в схемах, где в качестве излучателей используются полупроводниковые лазеры [14]. Это связано со специфической природой шумов в полупроводниковых лазерах, которые, как правило, имеют малое время корреляции [15, 16]. В этом случае для повышения стабильности привязки обычно используется цифровая схема ФАПЧ (см., напр., [17]), которая допускает наличие шумов фазы со среднеквадратичным отклонением фттБ вплоть до нескольких радиан. Было продемонстрировано, что при использовании схем активной цифровой ФАПЧ остаточные флуктуации разностной фазы диодных лазеров находятся в диапазоне от нескольких градусов до нескольких десятков градусов [9, 18].
В работе представлено теоретическое исследование влияния фазовых шумов, присущих связанным по фазе лазерным системам, на контраст и спектральную ширину резонансов КПН. На основании полученных результатов выполнен анализ экспериментальных данных из работы [11]. В более ранних теоретических работах, например в [19], также рассматривался эффект КПН в присутствии фазовых шумов поля. Однако для случаев поля с активной стабилизацией разностной фазы предложенные ранее модели неприменимы.
Резонанс КПН. Качественное объяснение резонансов КПН можно получить, рассматривая в дипольном приближении систему с тремя энергетическими уровнями (см. рис. 1), взаимодействующую с двумя световыми полями Е\{Ь) — Е\соэ^г + Ф\) и (<) = Е2 соз(и2£ + ф2) и и>2 - частоты световых полей, которые считаются постоянными, а фх и фъ - их фазы). Переход 1-2 будем считать запрещенным в дипольном приближении. Рассмотрим поведение такой системы в базисе, в котором вместо состояний |1) и |2) используются их линейные комбинации:
' 1+> = +ед),
(1)
где П1 = —¿01 Е\/Н и Г22 = —¿ог-^гМ - частоты Раби соответствующих переходов (далее для простоты будем считать их действительными), ¿01 = —е(0|г|1) и <¿02 = — е(0|Р|2) - недиагональные матричные элементы оператора электрического дипольного момента —ег, а Пд = + ^2- Нетрудно показать, что при выполнении условий ф\ — ф2 — О
и — = Д12 (где Д12 - частота запрещенного перехода), все матричные элементы оператора электрического дипольного взаимодействия Л-системы с полем = |0)с?о1-Ё,1(0(1| + |0)<¿02-^2(0(21 Для переходов из состояния )—) становятся равными нулю. Это означает, что состояние | —) перестает взаимодействовать со светом, из-за чего его называют "темным". Происходит оптическая накачка населенности в темное состояние и падение поглощения излучения атомной системой. Характерной особенностью является сильная чувствительность данного явления к разностной фазе полей: так, например, при скачкообразном изменении фазы на 7Г "темное" состояние разрушается и становится "светлым", что приводит к резкому изменению поглощения.
Таким образом, флуктуации разностной фазы полей ф\ — </>2 могут существенно влиять на картину поглощения. Как известно, спектральная плотность мощности сигнала со+ ф^)) с фазой, флуктуирующей в некоторых пределах |</>(/)| < <^тах, представляет собой сумму дельта-функции на частоте ш и пьедестала, форма которого определяется спектральной плотностью мощности случайного процесса ф(Ь) [16]. При этом дельта-функция содержит в себе часть мощности, равную г) = |(е*^)|2, где угловые скобки обозначают усреднение по времени. Именно такая ситуация наблюдается в экспериментах, в которых лазерные системы связаны системой ФАПЧ, ограничивающей максимальное отклонение разностной фазы и поддерживающей ее около некоторого среднего значения (см. рис. 2(а)). В качестве примера на рис. 2(6) приведен спектр мощности сигнала биений двух полупроводниковых лазеров, связанных цифровой системой ФАПЧ, зарегистрированный в работе [11]. В центре широкого пьедестала выделяется узкий пик (дельта-функция). Спектральная ширина пика, наблюдаемая в эксперименте, определяется разрешением спектроанализатора (10 кГц). Пик содержит основную часть мощности сигнала биений, по которой можно определить дисперсию флуктуаций разностной фазы лазерных источников [20].
В ряде экспериментальных схем учет флуктуаций фазы не представляет сложности. Так, для двух независимых лазеров [21], ширина резонанса будет определяться временем корреляции разностной фазы, а его контраст будет масштабироваться отношением этого параметра к скорости накачки в темное состояние. В свою очередь, в экспериментах, использующих модуляционные методы [7], флуктуации разностной фазы определяются задающим микроволновым генератором и пренебрежимо малы. Наибольший интерес для анализа представляет случай, когда лазерные поля связаны системой ФАПЧ.
Спектральный профиль резонанса КПН. Запишем систему оптических уравнений Блоха для матрицы плотности р системы, представленной на рис. 1 в приближении
дипольного взаимодеиствия:
(2)
где Н - гамильтониан, а Г(/э) - матрица релаксации. В дальнейшем будем использовать систему единиц, в которой % = 1. После подстановки в уравнение (2) возмущенного гамильтониана и матрицы релаксации получим систему уравнений:
где и01 - частота перехода с уровня |1) на верхний уровень |0), ш02 = ^01 — Д12 - частота перехода с уровня |2) на |0). Параметры = П1 сов^г + <^01 + ^1 (£)) и А2 = 02 со8(и>2£4-Ф02 + Ф2^)) обозначают недиагональные матричные элементы гамильтониана, фа\ и Ф02 - средние фазы световых полей, а ф\ и ф2 - их флуктуирующие части. В матрицу релаксации введены два параметра: ширина верхнего уровня Го и скорость распада когерентности нижних уровней Г12. Строго говоря, вероятности распада с верхнего уровня |0) на нижние |1) и |2) могут различаться, но для упрощения выкладок будем считать их равными. В двух предпоследних уравнениях системы (3) мы пренебрегли населенностью верхнего уровня роо по сравнению с рц и р22, что соответствует случаю, когда Пх, П2 <С Г0.
После замены переменных
<1
(3)
М
—/>12 = гА12р12 — гА\р02 + гА2рг0 — Т12рг2,
Р01 = Рог + <¿>01)),
Р02 = Р02 ехр(-^ш21 + Ф02)), Р\2 = Р\2 ехр(г(о;12^ + фо\ - ф02))
(4)
0>12 — — Ш2
-5 0 5
Отстройка частоты, МГц
Рис. 2. (а) - схема цифровой фазовой привязки ведомого диодного лазера с внешним резонатором 1 к ведущему лазеру 2. Сигнал биений двух лазеров регистрируется фотодиодом 3 и подается в цифровую систему ФАПЧ4, выход которой пропорционален разности фаз сигнала биений и сигнала опорного генератора радиочастоты 5 в диапазоне \фц\ < 32я". Сигнал с фотодиода регистрируется спектранализатором 6. (б) - характерный спектр сигнала биений двух лазерных полей, связанных по фазе цифровой системой ФАПЧ [11]. В центре широкого пьедестала фазовых шумов наблюдается узкий пик, содержащий основную часть мощности. Спектральная ширина пьедестала составляет около 1 МГц (по уровню —3 дБ). Спектральная ширина центрального пика определяется разрешением спектроанализатора (10 кГц).
и использования приближения вращающейся волны (пренебрегая быстро осциллирующими членами) получим:
d 9Т —poo = -2Im(— роге
ч ,П2
—р01 = —г — — г —
dt d
ill
-»ypiie"
,ф1 + yPo2e^) - Го/>оо,
«yP2ie
n2
-n™ = — 7.-/)ооp г<Р2 _
dt
P0 2 =
"'y^e .fíi
íli
*yPi2e
2
Го 2
— i8\
Poi, P02,
(5)
jtPi2 = -гуРоге'^1 + ¿yPi0e",>2 - [Г12 + i6l2]p12,
где 61 = üúi — ujoi и 62 = u>2 — (¿02 - частотные отстройки световых полей от резонансов, а ¿12 = Si — 62 - отстройка разностной частоты полей от частоты резонанса КПП Д21 • Уравнения для рп и р22 опущены, поскольку они не представляют интереса для дальнейших рассуждений.
-0.5
0.5 1.0
б12/Г0
-300 -200 -100
100 200 300 ф]2, градусы
Рис. 3. Характерный вид резонанса КПН для случая iij = fl2 = 0.1 Г0 и Г12 = Ю_3Г0. Представлена зависимость населенности верхнего уровня р0о от (нормированной) отстройки <$12/Г0 при условии = 0, что соответствует случаю, когда частота одного из лазерных полей сканируется, а частота другого настроена точно в резонанс и фиксирована.
Рис. 4. Распределение мгновенной разности фазы опорного лазера и диодного лазера с внешним резонатором, привязанным к опорному, как показано на рис. 2(a). Гистограмма получена на установке, использованной в работе [14], методом численной обработки одновременно записанных осциллограмм сигнала биений и сигнала опорного генератора. Черная кривая результат подгонки гистограммы гауссовским профилем. В данном случае фгтя = 58°.
Чтобы упростить систему (5), примем во внимание, что она состоит из линейных уравнений, описывающих распад с добавлением флуктуирующих членов. В случае, когда постоянная времени распада мала по сравнению с временем корреляции шума, населенность успевает перераспределиться, и решение может быть приближенно найдено приравниваем производных к нулю. В нашем случае характерные времена релаксации для переменных роь Ро2, Роо определяются скоростью распада верхнего уровня |0) атомной системы. В экспериментах с кюветами, наполненными атомными парами, время жизни верхнего уровня Го определяется либо его естественной шириной, либо столкнови-тельным уширением с атомами буферного газа, преднамеренно добавляемого в кювету для увеличения времени взаимодействия атомов с излучением [9]. При этом характерные времена распада верхнего уровня лежат в диапазоне т0 = Гд1 ~ 10-7с — 10-9с. В свою очередь, характерное время корреляции фазового шума полупроводникового лазера составляет порядка 7Х ~ Ю-6 с, что соответствует характерной спектральной ширине линии лазерного диода с внешним резонатором. Такой вывод можно также сделать на
основании анализа пьедестала спектра, представленного на рис. 2. Что касается уравнения для pi2, то здесь наблюдается обратная ситуация: характерное время релаксации этой переменной составляет т12 ~ 10-3с — Ю-1 с, поскольку нижние уровни системы обычно хорошо экранированы от столкновений, а естественный распад пренебрежимо мал.
Учитывая быструю релаксацию в первых трех уравнениях, имеем:
2 т 1гЬ П2 \
Poo = -Trim — р01егф1 + —роге'02 ,
Г0 V 2 " 2
п. ' 4 -«02
(6)
~i<h _ „-¿I
¥—-Г у/>22е «-,уЛяе
Заметим, что диссипация энергии в такой квантовой системе происходит, в основном, за счет распада населенности верхнего уровня на один из нижних, и следовательно, поглощение излучения в системе пропорционально населенности верхнего уровня |0). Подставив второе и третье уравнения из (6) в первое, получим:
О2 ад2т (грпе*» , гр12е~'^ \
р0°= ЦТР/П + ПТЩР22 + ТГ1т{Т^Щ + ■ (7)
Первые два слагаемых в уравнении представляют собой вероятности возбуждения верхнего уровня с |1) и |2) соответственно. Эти слагаемые описывают профили линий, которые регистрируются при взаимодействии системы с каждым из лазерных полей по отдельности. Третий член уравнения есть результат интерференции амплитуд вероятностей возбуждения верхнего уровня. Отметим, что поскольку мы считали частоты и П2 малыми по сравнению с Го, вклад уширения мощностью в первых двух слагаемых отсутствует.
Третье слагаемое описывает спектральный профиль резонанса КПН с центром в 8\2 = 0. Спектральная ширина резонанса КПН обычно много меньше Г0, поэтому для оценки его параметров можно считать |<$12| = — 62\ <С Г0. Для простоты выкладок рассмотрим ситуацию, когда также можно пренебречь и лазерными отстройками: |($х| <С Го и |<52| <С Го- Тогда третье слагаемое в выражении (7) можно переписать в виде:
.срт = -^Ьп + » 2-^Ке[р12е *»].
Для дальнейших рассуждений необходимо найти р12. Подставив (6) в последнее уравнение системы (5), получим:
|й2 = -[Г л + (9)
где переменная Гд представляет спектральную ширину резонанса КПН:
Г)2 Г)2
+ -I+ Й- <10>
В случае отсутствия фазовых шумов световых полей {ф\2 = 0) стационарное решение уравнения (9) даст профиль резонанса КПН (8):
Рсрт(М = г2 Т^с2 • (П)
1 О 1 Л "г °12
Характерная зависимость поглощения от нормированной отстройки ¿12/Г0 показана на рис. 3. При ¿12 = 0 наблюдается резкое уменьшение поглощения в системе, соответствующее резонансу КПН. В пределе слабых интенсивностей возбуждающих полей его ширина будет ограничиваться только скоростью распада когерентности нижних уровней ГХ2 и может достигать десятков герц [9]. В случае, если частоты Раби равны между собой = 02 = Г2, контраст резонанса (относительная глубина провала на рис. 3) будет равен:
(12)
Роо — />СРТ ' ' г А оА 12 Влияние фазовых шумов на характеристики резонанса КПН. Рассмотрим интересующий нас случай, соответствующий условиям регистрации резонанса КПН с помощью связанных по фазе лазеров, который был экспериментально реализован в работе [11]. Здесь опять же необходимо решить уравнение (9) с учетом того, что в нем содержится флуктуирующий член фХ2. Воспользуемся методом, описанным в [23]:
Р12(0 = С1е-(Гл+'5^ - ^ Г е^А-НвиМ'-Ое*»^ > (13)
2 Го л)
где С\ - константа интегрирования. Заметим, что если флуктуации разностной фазы ограничены, то величина (е1ф12^) существенно отличается от нуля. Представим функцию егф12^ как сумму среднего (е,фи флуктуирующей части /(<). Характерное время корреляции /(¿) будет соответствовать времени корреляции шумов фазы ~ 10_ь с. Для установившегося состояния системы получим:
Подынтегральное выражение представляет собой произведение короткокоррелированно-го шума и экспоненты с постоянной времени порядка Гд1 ~ Ti2 ~ Ю-3 — Ю-1 с для малых 6\2- Поскольку (f(t)} = 0, вклад интегральной части в уравнении (14) будет пренебрежимо мал. Итак, "когерентность" нижних уровней элемента ри в наших приближениях можно выписать как константу по времени:
Подставляя в (8), имеем:
Г)2Г)2 р
т>т(<) = - Уз2г2'\2 (16)
А 0 1 Л "Г °12
Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что фазовые флуктуации вызывают два эффекта, описываемых (16). Множитель (е1^12) представляет подавление контраста за счет снижения когерентности р\2, в то время как множитель описывает дополнительный шум, который возникает из-за несовпадения мгновенной разностной фазы полей с фазой элемента рх2 нижних уровней.
В эксперименте флуктуации усредняются за счет использования фильтров низких частот. После усреднения получим окончательно, что фактор подавления контраста (12) составит:
X = |<е'"'}|2. (17)
Примем для простоты, что распределение случайной фазы нормальное с дисперсией, равной ф^пц. Тогда нетрудно получить, что контраст резонанса КПН уменьшится как:
х - е-ФГШ.. (18)
Интересно отметить, что полученный результат совпал с фактором снижения контраста для случая, когда обычный дипольно-разрешенный переход возбуждается квазимонохроматическим излучением с дельта-коррелированными фазовыми флуктуациями [16]. Из выражения (16) также следует, что спектральная ширина резонанса КПН не зависит от дисперсии шума и остается равной Гд (10).
Обсуждение результатов. Особенностью полученного выражения (18) является рез кая зависимость контраста резонанса КПН \ от среднеквадратичного шума разностной фазы фття- При фгтц <С 1 рад шумы фактически не оказывают влияния на резонанс. Однако при увеличении среднеквадратичного значения с 1 до 2 радиан коэффициент \
падает с 0.37 до 0.02, и резонанс становится практически не заметен на профиле поглощения (ср. с рис. 3). В эксперименте это может привести к тому, что небольшое изменение шума установки (например, за счет изменения коэффициента усиления или полосы ФАПЧ) может привести к практически полному исчезновению сигнала.
Допущения, сделанные при выводе выражения (18), соответствуют экспериментальным условиям, в которых регистрация КПН осуществляется с помощью лазеров, связанных системой ФАПЧ. Хотя нами рассматривался простейший случай трехуровневой системы, крайне редко встречающейся на практике, полученные выводы можно применить и к более сложным атомным системам (например, рубидию или цезию). Отметим, что в таких системах существуют дополнительные факторы, которые также могут приводить к снижению контраста КПН - оптическая накачка [21], интерференция нескольких Л-систем [22] и др.
Полученная формула выведена для фазовых шумов, величина которых распределена по нормальному закону. Для цифровой фазовой привязки это приближение является достаточно точным. Так, например, на рис. 4 показан результат измерения разности фаз излучения полупроводникового лазера и моды фемтосекундной гребенки в установке из [14]. Как видно, в этом случае фтт5 « 1 рад. Учитывая, что в схеме регистрации резонансов КПН использовалось два лазера с независимыми системами привязки к разным модам гребенки, можно оценить, что подавление контраста составляло X = е~2ф*т* « 0.13. Соответственно, для регистрации резонансов КПН было необходимо применить чувствительный метод синхронного детектирования. При этом были зарегистрированы узкие резонансы КПН, шириной около 500 Гц, что также подтверждает основные выводы данной работы о том, что фазовые шумы указанного типа не оказывают влияния на спектральную ширину резонанса КПН.
Заключение. В работе теоретически исследованы основные характеристики резонансов КПН в трехуровневой квантовой системе при наличии шумов разностной фазы бихроматического поля. Показано, что если время корреляции шума много меньше времени релаксации когерентности нижних уровней, ширина линии резонанса не изменя-ется, тогда как контраст резонанса снижается и при этом домножается на х — е *> где фТТав - дисперсия фазового шума. Выводы подтверждаются результатами экспериментов из работы [14].
Работа частично поддержана грантами РФФИ 08-02-00443-а, 08-07-00127-а, грантом Президента РФ и Фондом содействия отечественной науке.
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. Vanier, Appl. Phys. В: Lasers and Optics 81, 421 (2005).
[2] S. Knappe, P. Schwindt, V. Shah, et al, Optics Express 13(4), 1249 (2005).
[3] A. V. Taichenachev, V. I. Yudin, V. L. Velichansky, S. A. Zibrov, Письма в ЖЭТФ 82, 449 (2005).
[4] P. D. D. Schwindt, S. Knappe, V. Shah, et al., Appl. Phys. Lett. 85, 6409 (2004).
[5] I. Novikova, A. B. Matsko, V. L. Velichansky, et al., Phys. Rev. A 63, 063802 (2001).
[6] E. Arimondo, Progress in Optics XXXV, 257 (1996).
[7] C. Affolderbach, A. Nagel, S. Knappe, et al., Appl. Phys. В 70, 407 (2000).
[8] G. Santarelli, A. Clarion, S. N. Lea, G. M. Tino, Optics Comm. 104, 339 (1994).
[9] R. Wynands, A. Nagel, Appl. Phys. В 68, 1 (1999).
[10] Th. Udem, A. Huber, B. Gross, et al., Phys. Rev. Lett. 79, 2646 (1997).
[11] A. V. Akimov, A. N. Matveev, A. V. Sokolov, et al., Journal of Russian Laser Research 25, 239 (2004).
[12] R. Santra, E. Arimondo, T. Ido, С. H. Greene, J. Ye, Phys. Rev. Lett. 94, 173002 (2005).
[13] Th. Udem, R. Holzwarth, and T. W. Hainsch, Nature 416, 233 (2002).
[14] А. В. Акимов, H. H. Колачевский, А. В. Соколов и др., Квантовая Электроника 34, 983 (2004).
[15] С. Henry, IEEE Journal of Quantum Electronics 18, 259 (1982).
[16] H. R. Telle, in: Frequency Control of Semiconductor Lasers, ed. M. Ohtsu (Wiley, New York, 1996), p. 137.
[17] H. Беверини, M. Преведелли, Ф. Соррентино и др., Квантовал Электроника 34, 559 (2004).
[18] М. Prevedelli, Т. Freegarde, and Т. W. Hainsch, Appl. Phys. В 60, S241 (1995).
[19] В. J. Dalton and P. L. Knight, J. Phys. B: At. Mol. Phys. 15, 3997 (1982).
[20] A. H. Матвеев, H. H. Колачевский, Я. Алнис, Т. В. Хэнш, Квантовая Электроника (принято к публикации).
[21] Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др., ЖЭТФ 123, 710 (2003).
[22] А. V. Tachenachev, V. I. Yudin, R. Wynands, et al., Phys. Rev. A 67, 033810 (2003).
[23] С. M. Рытов, Введение в статистическую радиофизику. Ч. 1. Случайные процессы (Наука, М., 1976).
Поступила в редакцию 22 апреля 2008 г.
