ВЛИЯНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ НА СПЕКТРЫ ДВОЙНОЙ ФОТОИОНИЗАЦИИ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ В МНОГОЯМНЫХ КВАНТОВЫХ СТРУКТУРАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.8; 537.9; 539.33 doi:10.21685/2072-3040-2021-3-10

Влияние электронных корреляций на спектры двойной фотоионизации двухэлектронных примесных

центров в многоямных квантовых структурах

В. Д. Кревчик1, А. В. Разумов2, М. Б. Семенов3, И. М. Мойко4

1'2'3'4Пензенский государственный университет, Пенза, Россия l,2,3,4physics@pnzgu.ru

Аннотация. Актуальность и цель. Примеси различных химических элементов неизбежно возникают в процессе изготовления полупроводниковых наноструктур либо вводятся целенаправленно для изменения их транспортных и оптических свойств. При этом большинство примесей могут иметь в связанном состоянии не один, а два и более электронов. В этом случае важную роль начинают играть межэлектронные корреляции, благодаря которым возможна одна из фундаментальных реакций - процесс двойной фотоионизации примесного атома. Целью данной работы является расчет вариационным методом первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра в полупроводниковой квантовой яме, а также теоретическое исследование влияния корреляций на спектры двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в многоямной квантовой структуре. Материалы и методы. Расчет энергии связи и первого потенциала ионизации двухэлектронного атома осуществлялся вариационным методом, где в качестве эмпирического параметра брался второй потенциал ионизации. Выражение для коэффициента примесного поглощения света получено в дипольном приближении с учетом дисперсии ширины квантовых ям. Результаты. Проведено обобщение метода потенциала нулевого радиуса на случай двухэлектронных примесей с эффективным зарядом ядра, равным нулю, в полупроводниковых квантовых ямах. В рамках полуэмпирической модели вариационным методом получено аналитическое выражение для первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра. В дипольном приближении рассчитан коэффициент примесного поглощения света при фотоионизации двухэлектронной примеси в многоямной квантовой структуре одним фотоном. Выводы. Показано, что из-за пространственного ограничения в квантовой яме в одном направлении имеет место усиление электронных корреляций, что приводит к большим пороговым значениям второго потенциала ионизации, чем в квантовых точках и, как следствие, к более жестким условиям существования двухэлектронных примесных состояний. Также показано, что уменьшение влияния квантового размерного эффекта и рост электронной корреляции в многоямных квантовых структурах, по сравнению с квазинульмерными структурами, приводит к трансформации кривой поглощения, что выражается в увеличении провала между пиками двугорбого профиля спектральной кривой. Ключевые слова: квантовая яма, двухэлектронные примесные центры, межэлектронная корреляция, потенциал ионизации, двойная фотоионизация, коэффициент поглощения

Для цитирования: Кревчик В. Д., Разумов А. В., Семенов М. Б., Мойко И. М. Влияние электронных корреляций на спектры двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в многоямных квантовых структурах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 3. С. 114-132. doi:10.21685/2072-3040-2021-3-10

© Кревчик В. Д., Разумов А. В., Семенов М. Б., Мойко И. М., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

The effect of electronic correlations on double photoionization spectra of two-electron impurity centers in multi-well quantum structures

V.D. Krevchik1, A.V. Razumov2, M.B. Semenov3, I.M. Moyko4

1,2,3,4Penza State University, Penza, Russia 1,2,3,4physics@pnzgu.ru

Abstract. Background. Impurities of various chemical elements inevitably arise in the process of manufacturing semiconductor nanostructures, or are introduced purposefully to change their transport and optical properties. Moreover, most of impurities can have not one, but two or more electrons in a bound state. In this case, electronic correlations begin to play an important role, due to which one of the fundamental reactions is possible - the process of double photoionization of an impurity atom. The purpose of this research is to calculate the first ionization potential of a two-electron impurity center in a semiconductor quantum well using the variational method, as well as a theoretical study of the effect of electronic correlations on double photoionization spectra of two-electron impurity centers in multi-well quantum structures. Materials and methods. The binding energy and the first ionization potential of a two-electron atom were calculated by the variational method, where the second ionization potential was taken as an empirical parameter. The expression for the coefficient of impurity absorption of light was obtained in the dipole approximation taking into account the dispersion of the width of the quantum wells. Results. The method of the zero-radius potential is generalized to the case of two-electron impurities with an effective nuclear charge equal to zero in semiconductor quantum wells. Within the framework of a semiempirical model, an analytical expression for the first ionization potential of a two-electron impurity center is obtained by the variational method. In the dipole approximation, the coefficient of impurity absorption of light is calculated for the photoionization of a two-electron impurity in a multi-well quantum structure with one photon. Conclusions. It is shown that, due to spatial confinement in a quantum well in one direction, there is an increase in electron correlations, which leads to higher threshold values of the second ioni-zation potential than in quantum dots and, as a consequence, to more stringent conditions for the existence of two-electron impurity states. It was also shown that a decrease in the influence of the quantum size effect and an increase in the electron correlation in multi-well quantum structures as compared to quasi-zero-dimensional structures lead to a transformation of the absorption curve, which is expressed in an increase in the gap between the peaks of the two-humped profile of the spectral curve.

Keywords: quantum well, two-electron impurity centers, electron-electron correlation, ionization potential, double photoionization, absorption coefficient

For citation: Krevchik V.D., Razumov A.V., Semenov M.B., Moyko I.M. The effect of electronic correlations on double photoionization spectra of two-electron impurity centers in multi-well quantum structures. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(3):114-132. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-3-10

Введение

Двухэлектронные атомы и ионы в последнее время традиционно являются одним из основных объектов теоретических и экспериментальных исследований в физике твердого тела. Как известно [1], пока речь идет об однократно возбужденных состояниях такой системы, достаточно хорошим исходным приближением является приближение эффективного центрального поля. Ситуация радикально меняется при переходе к дважды возбужденным состояниям, которые, в отличие от дискретных однократно возбужденных состояний, лежат по энергии выше порога ионизации атома и поэтому неста-

бильны относительно автоионизации. Именно здесь, по сравнению с одно-электронной системой, приоритетными становятся проблемы учета межэлектронных корреляций, которые оказываются определяющими при различных двухэлектронных процессах (автоионизация, двойная ионизация атомов, рассеяние заряженных частиц на водородоподобном атоме и т.д.) [2-10]. К настоящему времени создан ряд приближенных аналитических методов расчета состояний двухэлектронных атомов: разложение Фока для волновой функции связанного состояния двухэлектронного атома, алгебраические методы теории групп и т.п. [11]. Однако до сих пор является актуальной задача исследования двухэлектронного атома, основанная на решении уравнения Шредингера, дающая решение в аналитическом виде и учитывающая коллективные переменные обоих электронов, что позволяет установить иерархию в межэлектронных корреляциях.

В последнее время изучение энергетической структуры двухэлектрон-ных систем распространяется на низкоразмерные системы, включая полупроводниковые квантовые ямы (КЯ) и квантовые точки (КТ) [12]. Это связано с тем, что вследствие размерного ограничения в таких системах легче происходит образование одно- и двухэлектронных примесных центров (ДПЦ). В последнем случае в запрещенной зоне образуются два энергетических уровня, разделенных на величину корреляционной энергии U = £2 — £ , где £ и £2 -первый и второй потенциалы ионизации примесного центра. Отдельный интерес представляет процесс двойной фотоионизации ДПЦ в КЯ одним фотоном, который представляет собой испускание двух электронов вследствие поглощения атомом фотона и является одной из фундаментальных реакций в атомной физике с участием нескольких частиц. Фундаментальная роль данной реакции заключается в возможности теоретического изучения с ее помощью электронных корреляций. Учет электронных корреляций в конечном состоянии становится необходимым, когда энергия фотона не велика, поскольку в этом случае малая скорость фотоэлектрона не позволяет пренебречь его взаимодействием со вторым электроном. Электронные корреляции, сопровождающие фотоионизацию, существенным образом сказываются на спектрах фотоэлектронов [13], поэтому их необходимо принимать во внимание при изучении атомной структуры на основе анализа этих спектров.

Целью работы является расчет вариационным методом первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра в полупроводниковой КЯ, а также теоретическое исследование влияния электронных корреляций на спектры двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в многоямной квантовой структуре.

1. Вариационный расчет первого потенциала ионизации двухэлектронной примеси в полупроводниковой квантовой яме в рамках модели потенциала нулевого радиуса

Воспользуемся полуэмпирической моделью двухэлектронных примесных центров, развитой в работах [14, 15]. В качестве эмпирического параметра примем энергию двукратно ионизованной примеси, т.е. второй потенциал ионизации £2. Таким образом, задача заключается в расчете первого потенциала ионизации £1. Величину £1 можно найти вариационным методом с волновыми функциями, взятыми в виде произведения одноэлектронных

волновых функций ¥ (р,-, ; ) с вариационным параметром п , который

связан с варьируемой энергией одноэлектронного состояния. Все расчеты будем проводить в цилиндрической системе координат ф, р, 2 , где ось 2 ориентирована в направлении оси роста КЯ. В качестве единиц длины и энергии

2 / * 2

выберем соответственно а^ = £Й ¡те - эффективный боровский радиус, 2 / * 2

и Е^ = Й / 2т а^ - эффективную боровскую энергию. Двухэлектронная волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера

H( р2' 21, 22 р2,21,22 )= Е^(р1, р2,21,22 ),

где

(1)

H (рl, Р2, Z1,22 ) = н (Pl, 21) + н (р2,22) + Й2/т*а^ |р1 -р н(р,-) = =-Йг12т*а] (А,- + V )), = ,

V) = К ^ * ^,, V* = Ко/Е^* = ,

I0, ъ > ^,

*

здесь г , - координаты электронов при , = 1,2; т - эффективная масса электрона.

Как известно [14], простейший вид двухэлектронной волновой функции ¥(р1,р2,21,22;), приводящей к удовлетворительному приближению

в задачах о двухэлектронных центрах, представляет собой произведение од-ноэлектронных волновых функций

У(рь Р2,21, Z2 ) = ¥(, Z1 Z2 ).

(2)

Используя результаты работы [16], где в рамках модели «жестких стенок» было получено выражение для волновой функции локализованного электрона на ^-центре в КЯ, для одноэлектронной волновой функции ¥(р-, ) имеем

C

,Zj ) = --п

>shUк*2 -п2z*

Sh ^к*2 -П2 (1 - Zd ))к* J0 (к)к

^/к*2-2sh (^/к*2^

(t

при zi ^ zd,

* / * * \ *

>sh| л/к*2-п2 (1 - z*)] sh (у) к *2 -п2 zd | к J0 (к pj

(3)

2sh К/к*2^

при 2 > zd ,

здесь

С = {-(2п)-1 |>2 + п-2сЬ(п-2)(ехр(-2 (1 - 2л ))ssh(п-22л) +

ехр(-п 2zd )sh(п 2(1 -zd)

множитель нормировки; к = kad, к - волновое число.

С учетом (3) пробная двухэлектронная волновая функция запишется

в виде

21-; Р2, ¿2 ) = ¥(, 21 ^2 ).

(4)

Энергия ДПЦ определяется минимумом среднего значения гамильтониана е(п):

е(( п) = (У(Р1,21; Р2,22 )) (Р1, Р2 ))(,21; Р2, ¿2))

|^(Р1,21; Р2,22 )2

Ел

Матричные элементы в (5) запишутся в следующем виде: (^(Рь21;Р2'22 ))(Р2 ))(21;Р2'22 )) =

= -|ЛР2Р2 | ЛФ2 |ЛР1Р1 | ЛФ1:

(5)

X

ь: г,

X

I Л21 | Л2221;Р2'22 )

0 0 0 (

0 0

Л

А1 + А2 + 2^0 -1

\

21;Р2,22 ) . (6)

|Р1 - Р2|

Расчет матричного элемента (6) приводит к интегралу следующего вида:

й

сЬ к'*2 -п2 1 сЬ {. к*2 -п2 ^ _ _

|sh {,к2* )сЬ

^Р^сЬ {^^ь* 1 сЬ ^/к^ь*

-V к *2 -п2сЬ и к *2-п2 ь* 1 сЬ и к '*2-п2 ь

х(к '*2 - к *2

-1

(7)

Тогда выражение (5) с учетом (7) можно представить в виде

е((, п

Ел

2 -2 :а2 П

п 2 +п 2сЬ(п 2 )(ехр(-п 2 (1 -2л))С5Ь(п 22л ) +

-2 ,

-2.

0

. — —

+exp(-п-2zd )sh (п-2 (1 - zd))] Jdк* JдкТ (к*2-п2 ) (-п2 ) х

0 0

х sh-1 (^кг^-п^|sh-1 (^[к*2-^ )jsh (.¡к^(1 - zd ))X

*2 п2 Lz | -1| х

*2 2 '2 -п2

х sh У к '*2 -п2 (1 - zd ))( ch {^к xsh (Jк*2 -п2 zd ] sh (Jк'*2 -п2 zd ) ch {^/к ch у к *2-п2 ] -ch ^ к *2-п2 (1 - Lz )) h {V к '*2-п2 ] - ch {V к *-п2 (1 - Lz ))

х

(8)

Осуществив предельный переход (й ^0) для е((,п)Ed , получим

е((ь п)

4

п

Ed п2 (1 + sh (2п-2)

-х

* ( ch {ifk*^-^Lz )-l) - (ch {,/7^ ] -

х J dk -—)J dk' y

J (к*2 -п2^ J

0

0

к'*2 -п2

(9)

Минимизация по параметру п приводит к трансцендентному уравнению для нахождения экстремального значения п :

де[(ь п

Эп

= 0.

(10)

Явное выражение для (10) имеет следующий вид:

) ;"1|2п-211* 1-1* * -1

0 0

(к*2-п2 )(к'*2 -п2)

+

2п

+-

[( ch Lzл]к*2 -п2

1 ch

2

1 | (1 + sh

2п

-2

+

к *2-п2 )(к '*2-п2

+

2п4 ^Л^Ь^к*2 -п2 ] -sh^Ь^к*2 -п2 ) -(1 + sh(п-2'

+

к *2-п2 )) '*2-п2

2П2

+

chГЬ^к*2 -п2 1 -1|| chГЬ^к'*2 -п2 1 -1|(1 + sh(-2

п2 - к*2 )(п2 - к'*2

Ь п4

ch^Ь^к'*2 -п2 -^(1 + sh(2п-2))sh^Ьгу[к

*2 2 2 п2

к*2-п2 )2 (к'*2-п2

Ь п4

( Ьг/к

сЦЬ^к*2-п2 I-1

1 + sh

(2п-2)) sh Г Ь^к

*2 2 2 п2

(к *2-п2)(к '*2-п2)3/2

с1к с1к' =0.(11)

Учитывая, что минимальное значение функционала е((,п))Е^ , достигаемое при экстремальном значении параметра п=п , представляет собой сумму

(12)

е((,п )= е1 е2

е.

а

Еа Еа

можно найти первый потенциал как функцию второго, взятого из эксперимента:

(13)

Е1 е((ьп

Еа

На рис. 1 представлена связь между первым и вторым потенциалами ионизации ДПЦ с нулевым зарядом ядра (2 = 0) в полупроводниковой КЯ в единицах эффективной боровской энергии Еа, полученная из (13) с учетом (9) путем численных расчетов (кривые 1, 2, 3), а также, для сравнения, в полупроводниковой квантовой точке (кривые 4, 5, 6), взятая из работы [15]. Можно видеть, что переход КТ ^ КЯ сопровождается ростом порогового значения второго потенциала ионизации Е2 / Еа , начиная с которого становится возможным образование двухэлектронного примесного состояния. Это связано с усилением электронных корреляций в КЯ из-за пространственного ограничения только в одном направлении. В результате условия существования двухэлектронных примесных состояний в КЯ оказываются более жесткими в сравнении с КТ, где имеет место ограничение по трем пространствен-

ным направлениям и кулоновское взаимодействие может быть «подавлено» размерным квантованием.

Рис. 1. Связь между первым и вторым потенциалами ионизации двухэлектронного примесного центра в полупроводниковых КЯ (кривые 1, 2, 3) и в КТ (пунктирные кривые 4, 5, 6) для разных значений ширины КЯ 1 - 0,5; 2 - 1; 3 - 3, и разных значений радиуса КТ: 4 - 0,5; 5 - 1; 6 - 3

2. Коэффициент поглощения света при фотоионизации двухэлектронных примесных центров в многоямной квантовой структуре

Рассмотрим процесс фотоионизации ДПЦ в полупроводниковой КЯ с прямоугольным потенциальным профилем. Будем предполагать, что ДПЦ располагается в точке с координатами Я = (0,0,0) и находится в основном состоянии с волновой функцией [16]:

¥(PbP2,zbz2) = 2 2п-

п + sh (п

2

х

— 81 и к*2-п2 ] 81 и к * -п2 ] к *к '* JQ (к *р* )0 (к/*р2 )

х Г Г^-] } ] у----'-йк*йк'*. (14)

00 ^к*2-п2 )(к '*2-п2)

Волновая функция конечного состояния будет определяться произведением одноэлектронных волновых функций электронов в КЯ:

ф(рьZ1,P2,22 ) = ¥п,к(P1,21)4и,к(P2,22) , (15)

где

^n,k (Pi > zi) = exP (ikiPi ) Фп ( zi ) =

(16)

здесь i = 1, 2; Фn (z¿ ) = sj2/Lz sin (%nzi/Lz) - ортонормированные волновые

функции электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками; n - номер энергетической подзоны.

Энергия невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в КЯ будет иметь вид

Й2л2 2 ¿2k2

Enk =-— n +--

2m Lz

2m

(17)

Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны с единичным вектором поляризации е^ и волновым вектором q определяется выражением

\1/2

Hint = -ЛпЙ

0'

Í 2 * Л 2лй а

10

еют

*2

exp (iqr )(e^Vr),

(18)

где - коэффициент локального поля, учитывающий различие амплитуд локального и среднего макроскопического полей; 7д - интенсивность света;

ю - частота поглощаемого света; £ - статическая диэлектрическая проницае-

*

мость материала КЯ; а - постоянная тонкой структуры с учетом диэлектрической проницаемости.

Матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора ди-польных оптических переходов электронов из основного состояния двухэлек-тронного примесного центра (14) в состояния Ф(р1,р2,Z2) КЯ (16), запишется следующим образом:

70

ю

(Ek,n - E1 ))(zbP2'z2 )),r1 )|^(PbP2'zbz2 ))

+

+

(kn - E2 ))( z1, P2' z2 )), Г2 )|*F(Pb P2, z1, z2 ))] . (19)

С учетом явного вида волновых функций начального (14) и конечного (16) состояний матричный элемент (19) примет вид

m = J ^ i 0 ' Ed

ю

л *

2п4 Lv

П 2 + sh

гь тете

(п-2)) JJ

0 0

*

k k'

*2

■п2)('

*2 п2 '

:Х

X

(2 e \ 2я те те

П n12 + k*2 - -E- I J dф J d92 J P*dP* J p2dP2

d у 0 0 0 0

т*2

V Lz

Х

L 4

r * r * * j * * , * *

X I dzi I dz2 z\ exp I — ikj pi — i

0 0

sin

* ( * J

nnjzj sin nn2 z2

* *

( Lz J ( Lz J

X

Xsh ( V k 2 —n2 z* j sh ( V k' 2 —n2 z2 J Jo (k p* )Jо (k'p2) +

-«2 + k? — dФ11 dФ21 p*dp* I p2dp2:

+

п „2, ,,*2 El

Ed

т*2

( Lz

X

r * r * * . .

X I dzj I dz2z2 exp (ikj pj

0 0 0 0

( * J (

sin

0 0

nnjzj

( Lz J

sin

*

nn2 z2

( Lz J

X

Xsh (Vk*2 — n2 z* J sh [4k'*2 — n2 z2 J J0 (k*p*) J0 (k'*p2)

Интегралы в (20) после вычисления имеют вид

L*

z !

dk dk' . (20)

L*z *

*

( Lz J

( *2 2 * J * sh I у k —n zt

( 2 2 J2

П «> , *2 2 —^ + k 2 —n2 X

( Lz

X

+L*

-2 (L*Jk *2 —n2

Lz

( 2 2 П «> , *2 2

-¡2T+k2—n2

( Lz

2-*i-cos(пи-) +

( Lz

sin (пи-)

( („2 „2

пи

( ( Lz

п ni *2 2 г + k —n

*2

cos

(nni)+

+

f 2 2 J

, *2 2 П n

k — n — -

L

*2

sin (nn.)

z

sh I L

n

(21)

*

Lz ( _ * J

I sin

( Lz J

( *2 о * i * shЫk —n zt

( 2 2 П n , *2 2

+ k —n2

( Lz

X

X

yjk*2 — n2ch| Lz\jk*2 — n2 )sin(nn.) — sh(Lzyjk*2 — n2 )cos(nn.)

Lz

Интегралы по переменным p.- имеют вид

г* / * * \ / * * \ *

J pi exP(i pi)J0 (k pi )dpi = —

. (22)

k*2 — k *2

3/2 '

(23)

и

k

Тогда для матричного элемента (20) будем иметь

M = d ^ х V w

п 2 + sh (п 2

х

ad4Ed >/4

х

х

л

0 0

'2 р >

- 2 1 *2 El ni + к1 -1

4к*2-n2chfк"2-п2 I Г

Г 2 2 Y2

П-П-+(к *2-п2)

V Lz

х

2-n

*

V L*

cos 2-n +

+

Г 2 2 - n т* 11*2 2 + Lz (к 2-п2

V Lz

sin (2-n)

^Vk*2—2 -sh f

Lz

- *2 _2

х

х

Г Г 2 2 Y

- nl +(к*2-п^

2-ni

т*2

V Lz

cos 2-n +

Г 2 2 Y

(к*2-п2) - n

L

*2

z j

sin (2-n)

+

Г 2 v \

- 2 7 *2 E2

+ T2 n2 + к2 - E2

V Lz

др2-2 cosfD Г -V-^—j х

Г ^ + (к '*2-п2

V Lz

2-n

*

V Lz

cos 2-n +

+

Г 2 2 Л

- n2 , т* 11 '*2 2 —+ Lz (к -п

V Lz j

sin (2-«2)

2-shГLíZ2-2 |

Lz

х

х

Г Г 2 2 Y

- n2 +(к'*2-п2

2-n2

V 2 V L

*2

cos 2-П2 +

j V

>¡< sj«' sj« sj«

Г 2 2 Y

(к '*2-п^ -n

L

*2

z У

х

к к к1 к2

к*2 -п2 )(2 -п2 )(2 -к*2 )3 (к*2 -к2*2 )3

Y

sin (2-П2) У х

j

ёкёк '*, (24)

или, учитывая, что для целых n выполняются равенства sin (2-n ) = 0 и cos (2-n) = 1, получим

M = aJ^ х V w

п 2 + sh (п 2

-

ad J Ed -х ^Д—d х

7

X

II

0 0

2 р > П 2 7 *2 Ei

L?ni +k1 — Ej

J?2—fch ( L^2 — n2

n

2п«1 2П«1 /~*2 2

(#+( —n2

^ Lz

—sh ( L^k *2 —n2

( (_ 2.2

X

2nn1

^«L + (k *2 — n2

JJ

т*2

( Lz

j j

+

(_ 2

+

П 2 7 *2 Eo

—n° + k22 — E-

( Lz

^'*2 -п2 cos

I lU

k '*2 —n2

( 2 2 J2

L2+(k '*2 —n2

( Lz

2пи2 2пи2 ^k'*2 — n2

Lz Lz

-sh

k'*2 —n2 I x

( ( 2 2 JJ

п n2 +(k'*2 — n2)

2nn2

t*2

( Lz

/J

X

X

»¡с »¡с »¡c

k k k1 ko

k *2 — n2 )(k '*2 —n2) (k *2 — k*2 )3 (k *2—k2*2 x3

* ,* rdk dk

(25)

С учетом (14)-(19) выражение для квадрата модуля матричного элемента (25) можно записать в виде

\M\2 =^2 —10 X ' 1 ю

n 2 + sh (n 2

п

_ x d d x

L*

X

Я* ,* dk dk

0 0

( 2 tp J

П 2 7 *2 E1 L*2 n2 + k12 — ± (Lz d

Vk^^ch I Lz V?2—2

( 2 2 J2

^+(k *2 —n2

( Lz

X

2nn1

Lz

2nn1 /k*2 2 ' L* ' '

Vk*2^2 — O^sh I LzVk12^ Jl ^ + (k *2 —n2)

т*2

( Lz

+

+

( 2 г Л

П 2 7 *2 Eo

—n2 + k22 — -2

(Lz2 Ed

VP*2—^h I

( 2 2 J2

П n2 +(k'*2 n2

X

2пи2

L*2 ( Lz

n

Lz

- 2nn2sh | Lz

L

sp2-

n

( #+ (2-n2

V Lz

>x

X'

k k ki k2

k*2 _n2)2 -n2) -k*2)3((-k22'3

(26)

Сечение фотоионизации ДПЦ в КЯ определяется выражением

^ сю

0N = ff 5 dkl i dk2 M 2 6((, k + Ei + N - й ю),

(27)

n 0 0

где 5(х) - дельта-функция Дирака.

Учитывая (26) и выполняя в (27) интегрирование, сечение двойной фотоионизации можно записать в виде

-4

N N2 л2 *т * 4

с(х)=; ; ^Qoälx

n 2 + sh X 2

«l=l «2 =l

х

7 *

n EdLz

x

x

Я*

dk dk

0 0

х

|Ez

*2 2 2 n2

д/k*2 -П2ch ^L^

( 22 л2

П «1 /, *2 2 l +(k 2 -П2

x

2пщ

j*2 V Lz

Lz

(_ 2 2

L

+

-2n«ishVLzVk"2^] LL + (k*2-П2)

V Л Lz

Vk-^^^nch V LZ^F2^

+

(X - N ^ Ed

2nn2 2nn2 П2

( 2 2 n n2 + '*2 -n2

т*2

V Lz

+(k '*2-n2)

* * Lz Lz

k -n -

( * / 2 2n«2sh | L^k -n

(L2+x *2-n2

V Lz

4« .4« k k'

k*2-n2 )X*2

x

X

J(x + n2«2^2 +1Ei|/Ed )(X + п2«22Л? +1 E^Ed )

X2 -X-n2ni2/L*2 -|Ei|/Ed ) (k'*2 -X-n2n|/L*2 -^2^)

(28)

2

где N и N2 являются целыми частями решения уравнения вида

N =

L

■ 4Х —I E l/Ed

i = 1, 2.

Выполним расчет коэффициента примесного поглощения света К (ю)

для многоямной квантовой структуры (МКС) с учетом дисперсии ширины КЯ. Будем предполагать, что в каждой КЯ структуры находится по одному ДПЦ в точке Яа = (0,0,0), а дисперсия ширины КЯ и = (12 - среднее

значение ширины КЯ) описывается распределением гауссова вида Р(и):

Р (и ) =

-exp

—(u — 1)2

если 0,5 < и < 1,5,

ТПФ(0,5)

0, если и < 0,5 или и > 1,5;

(29)

где Ф(х) - интеграл ошибок.

Коэффициент двойной фотоионизации света можно получить из (25) путем усреднения по всем возможным значениям и с весовой функцией Р(и):

1 15

К((В) = =^ [ ёиР(и)с(ю,и), (30)

Т $1 »

LcS 0.5

где 1с - средний период структуры с КЯ; - площадь сечения структуры

плоскостью, перпендикулярной ее оси роста.

С учетом (28) соотношение (30) примет вид

K (ю) =

л 2 *» 4 1,5 N N2

LcS п

7

JZ Z

0,5 n1=1 «о =1

Р (и)

X

X

n 2 + sh (n 2

—* Lzu

X

X

F (X, ni, Ej, L*, и, n) + F (X, «j, Ei, L*, и, n

I' ]' 2

где введены обозначения

¥ ((, п, Е], I*, и, п) =

du

(31)

= 2п«

X-

JJ

0 0

f

—* Lzu

ch

( LzuJ>

k *2 —n2

( 2 2 п ni *2 2 г +(k 2 —n2

7*2 2 ( Lz u

( V z

/ J

—sh I Lzuyjk*2 —n2

( 2 2 п «j

7*2 2

( L* u2

+

(k —n2)

k k '* X

1

здесь 7,7 = 1, 2.

На рис. 2,а представлены спектры двойной фотоионизации, полученные путем численного анализа формулы (31), для МКС и для сравнения приведены также спектры двойной фотоионизации в случае квазинульмерной структуры (КС) (рис. 2,б) [15]. Характерной особенностью спектральных зависимостей коэффициента двойной фотоионизации света в МКС (рис. 2,а) является двугорбый, обусловленный электронными корреляциями профиль,

в котором правый пик с уменьшением поперечного размера структуры Ь2

—*

исчезает. Это обусловлено тем, что с уменьшением Ьг возрастает энергия размерного квантования, в результате чего электронная корреляция подавляется. Как можно видеть из сравнения кривых 1 на рис. 2,б и рис. 2,а, переход МКС ^ КС сопровождается трансформацией полосы поглощения, проявляющейся в увеличенном провале и большем расстоянии между пиками на «двугорбом» профиле спектральных кривых. Это связано с уменьшением влияния квантового размерного эффекта на двухэлектронное примесное состояние в МКС и с ростом межэлектронной корреляционной энергии и = Е2 — Е\, которая определяет расстояние между максимумами спектральной кривой.

В рамках модели потенциала нулевого радиуса проведен вариационный расчет первого потенциала ионизации двухэлектронной примеси с эффективным зарядом ядра, равным нулю, в полупроводниковой КЯ, описываемой моделью «жесткой стенки». Показано, что с уменьшением ширины КЯ уменьшается пороговое значение второго потенциала ионизации, при котором возможно существование двухэлектронного примесного состояния. Это обусловлено подавлением электронных корреляций, связанным с ростом энергии размерного квантования. При сравнении со случаем двухэлектронно-го примесного центра в КТ выявлено, что условия существования таких примесных состояний в КЯ оказываются менее благоприятными из-за размерного ограничения только в одном пространственном направлении. В дипольном приближении получена аналитическая формула для коэффициента примесного поглощения при двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в многоямной квантовой структуре с учетом дисперсии ширины КЯ, описываемой функцией гауссова вида. Исследована спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света, а также его зависимость от средней ширины КЯ. Показано, что для спектров двойной фотоионизации характерен «двугорбый» профиль, в котором с уменьшением средней ширины КЯ правый пик исчезает, что связано с подавлением электронных корреляций. Проведено сравнение со случаем двойной фотоионизации в полупроводниковой квазинульмерной структуре.

(32)

Заключение

К H

о

0 10 20 30 40 50 60

X = tm/Ed

ЮОг

0 20 40 60

X = б)

Рис. 2. Спектральная зависимость коэффициента поглощения света при двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров: а - многоямная квантовая структура для различных значений Ьг :

1 - 3; 2 - 1; 3 - 0,5; б - квазинульмерная структура для различных значений

—*

среднего радиуса КТ Щ : 1 - 3; 2 - 1; 3 - 0,5, при = 0,04 эВ

Показано, что переход МКС ^ КС связан с трансформацией спектральной кривой, что выражается в увеличении провала между пиками «двугорбого» профиля и ростом расстояния между максимумами поглощения. Это обусловлено уменьшением влияния квантового размерного эффекта и усилением электронных корреляций в многоямной квантовой структуре.

Список литературы

1. Анисимова Г. П., Капелькина Е. Л., Семенов Р. И., Тучкин В. И. Учет контактных взаимодействий в матричных элементах оператора энергии двухэлектронных конфигураций // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 81, № 4. С. 543-548.

2. Зайцев С. А., Кныр В. А. Реакция двойной фотоионизации атомов в J-матричном подходе // Вестник тихоокеанского государственного университета. 2010. № 1 (16). С. 13-18.

3. Алешин М. С., Зайцев С. А. Исследование роли начального состояния в описании процесса двойной фотоионизации атома гелия // Вестник тихоокеанского государственного университета. 2011. № 3 (23). С. 13-18.

4. Михайлов А. И., Михайлов И. А. Двойная ионизация и ионизация с возбуждением в комптоновском рассеянии высокоэнергетических фотонов на метастабильных состояниях гелиеподобных ионов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1999. Т. 116, № 6 (12). С. 1889-1902.

5. Есеев М. К., Матвеев В. И. Исследование аналитических волновых функций двух-электронных систем в динамических взаимодействиях с многозарядными ионами и ультракороткими импульсами электромагнитного поля // Журнал технической физики. 2008. Т. 78, № 8. С. 28-33.

6. Пресняков Л. П., Усков Д. Б. Двойная ионизация атомов многозарядными ионами и сильным электромагнитным полем: эффекты корреляции в непрерывном спектре // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1997. Т. 66, № 1. С. 23-26.

7. Матвеев В. И., Парилис Э. С. Встряска при электронных переходах в атомах // Успехи физических наук. 1982. Т. 138. С. 573-602.

8. Волкова Е. А., Попов А. М., Тихонова О. В. Двухэлектронная ионизация квантовой системы в лазерном поле: эффект перерассеяния и межчастичные корреляции // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2000. Т. 118 (4). С. 816-823.

9. Делоне Н. Б., Зон Б. А., Крайнов В. П., Преображенский М. А. О механизме двух-электронной многофотонной ионизации атомов // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1979. Т. 30 (5). С. 260-262.

10. Грызлова Е. В., Магунов А. И., Роттер И., Страхова С. И. Фотоионизация атома гелия с участием связанных циркулярно-поляризованным лазерным полем автоионизационных состояний // Квантовая электроника. 2005. Т. 35 (1). С. 43-47.

11. Надыкто Б. А. Полуэмпирическая модель расчета энергий состояний многоэлектронных атомов // Успехи физических наук. 1993. Т. 163. С. 37-74.

12. Pandey R. K., Manoj K. Harbola, Vijay A Singh. Helium-like donors in semiconductor quantum dots // J. Phys.: Condens. Matter. 2004. № 4. P. 1769-1776.

13. Krause M. O., Wulleumier F. Elektron and Photon Interactions with Atoms. New York : Plenum Press, 1976. 682 с.

14. Гринберг А. А., Белорусец Е. Д. Об энергетическом спектре многозарядных примесных центров в полупроводниках // Физика твердого тела. 1978. № 20. С. 19701978.

15. Кревчик В. Д., Разумов А. В., Будянский П. С. Двойная фотоионизация двухэлек-тронных примесных центров в квазинульмерных структурах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2014. № 3. С. 228-240.

16. Кревчик В. Д., Яфасов А. Я. Поглощение света при двухфотонных переходах с нейтральных глубоких примесных центров в квантовой полупроводниковой пленке // Физика и техника полупроводников. 1981. Т. 15. С. 2263.

References

1. Anisimova G.P., Kapel'kina E.L., Semenov R.I., Tuchkin V.I. Taking into account contact interactions in matrix elements of the energy operator of two-electron configuration.

Optika i spektroskopiya = Optics and spectroscopy. 1996;81(4):543-548. (In Russ.)

2. Zaytsev S.A., Knyr V.A. The double photoionization of atoms in the G-matrix approach. Vestnik tikhookeanskogo gosudarstvennogo universiteta = Bulletin of Pacific State University. 2010;(1):13-18. (In Russ.)

3. Aleshin M.S., Zaytsev S.A. Investigation of the role of the initial state in the description of the process of double photoionization of a helium atom. Vestnik tikhookeanskogo gosudarstvennogo universiteta = Bulletin of Pacific State University. 2011;(3): 13—18. (In Russ.)

4. Mikhaylov A.I., Mikhaylov I.A. The double ionization and excitation ionization in Compton scattering of high-energy photons by metastable states of helium-like ions. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Journal of experimental and theoretical physics. 1999;116(6):1889-1902. (In Russ.)

5. Eseev M.K., Matveev V.I. Studying analytical wave functions of two-electron systems in dynamic interactions with multiply charged ions and ultrashort pulses of an electromagnetic field. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki = Journal of technical physics. 2008;78(8):28-33. (In Russ.)

6. Presnyakov L.P., Uskov D.B. The double ionization of atoms by multiply charged ions and a strong electromagnetic field: correlation effects in the continuous spectrum. Pis'ma v zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Letters to the Journal of experimental and theoretical physics. 1997;66(1):23-26. (In Russ.)

7. Matveev V.I., Parilis E.S. Shake-up during electronic transitions in atom. Uspekhifizi-cheskikh nauk = Advances in physical sciences. 1982;138:573-602. (In Russ.)

8. Volkova E.A., Popov A.M., Tikhonova O.V. Two-electron ionization of a quantum system in a laser field: rescattering effect and interparticle correlations. Zhurnal eksperi-mental'noy i teoreticheskoy fiziki = Journal of theoretical and experimental physics. 2000;118(4):816-823. (In Russ.)

9. Delone N.B., Zon B.A., Kraynov V.P., Preobrazhenskiy M.A. On the mechanism of two-electron multiphoton ionization of atoms. Pis'ma v zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki = Letters to the journal of experimental and theoretical physics. 1979;30(5):260-262. (In Russ.)

10. Gryzlova E.V., Magunov A.I., Rotter I., Strakhova S.I. A photoionization of a helium atom with the participation of autoionization states coupled by a circularly polarized laser field. Kvantovaya elektronika = Quantum electronics. 2005;35(1):43-47. (In Russ.)

11. Nadykto B.A. Semi-empirical model for calculating the energy of states of multielec-tron atoms. Uspekhi fizicheskikh nauk = Advances in physical sciences. 1993;163:37-74. (In Russ.)

12. Pandey R.K., Manoj K. Harbola, Vijay A Singh. Helium-like donors in semiconductor quantum dots. J. Phys.: Condens. Matter. 2004;(4):1769-1776. (In Russ.)

13. Krause M.O., Wulleumier F. Elektron and Photon Interactions with Atoms. New York: Plenum Press, 1976:682.

14. Grinberg A.A., Belorusets E.D. On the energy spectrum of multiply charged impurity centers in semiconductors. Fizika tverdogo tela = Solid state physics. 1978;20:1970-1978. (In Russ.)

15. Krevchik V.D., Razumov A.V., Budyanskiy P.S. The double photoionization of two-electron impurity centers in quasi-zero-dimensional structures. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2014;(3):228-240. (In Russ.)

16. Krevchik V.D., Yafasov A.Ya. Light absorption at two-photon transitions from deep neutral impurity centers in a quantum semiconductor film. Fizika i tekhnika po-luprovodnikov = Semiconductor physics and technology. 1981;15:2263. (In Russ.)

Информация об авторах /

Владимир Дмитриевич Кревчик

доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета информационных технологий и электроники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Information about the authors

Vladimir D. Krevchik Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of information technology and electronics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Алексей Викторович Разумов кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Aleksey V. Razumov Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of general physics and physics teaching methods, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Михаил Борисович Семенов доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Ирина Михайловна Мойко ассистент кафедры высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: physics@pnzgu.ru

Mikhail B. Semenov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of physics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Irina M. Moyko

Assistant of the sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.07.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 20.07.2021 Принята к публикации / Accepted 05.08.2021