Влияние электрического поля на диффузию и распределение частиц в пористых наноструктурированных материалах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Хр/Ь

Рис. 2. Распределение уровня поля за параболическим отверстием: а) граничная волна; б) полное поле.

Н = -/тг /ь, А = 2Ь/ V ж

Таким образом, в работе приведены выражения для граничной волны в области дифракции Френеля для эллиптического отверстия и параболического края в виде однократных интегралов.

Литература

Дагуров П.Н., Дмитриев А.В. О граничной дифракционной волне в теории Френеля-Кирхгофа // Письма в ЖТФ. - 2009. -Т. 35,№ 10.-С. 49-57.

Дагуров Павел Николаевич, доктор физико-математических наук, доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики Бурятского госуниверситета. 670000, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, 24 а. Тел. (301-2) 43-46-64. Факс (301-2) 43-31-84. E-mail: pdagurov@gmail.com

Dagurov Prn’el Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, department of experimental and theoretical physics, Buryat State University, 670000, Ulan-Ude, Smolin str., 24 a, Phone. (301-2) 43-46-64. Fax (301-2) 43-31-84. E-mail: pdagurov@gmail.com

Дмитриев Апексей Валерьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института физического материаловедения СО РАН. 670047, г. Улан-Удэ, ул, Сахъяновой, 6. Тел. (301-2) 43-46-64. Факс (301-2) 43-31-84. E-mail: dav@pres.bscnet.ru

Dniittiev Alefaev Valerevich, candidate of phy sical and mathematical sciences, senior researcher, Institute of Physical Material Science SB RAS, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanova str., 6, Phone. (301-2) 43-46-64. Fax (301-2) 43-31-84.

E-mail: dav@pres.bscnet.ru

УДК 539.219.3

В. А. Архинчеев, Н.В. Юможапова

Влияние электрического поля на диффузию и распределение частиц в пористых наноструктурированных материалах

В статье рассматривается задача многомерной диффузии в рамках гребешковой модели. Показано, что включение электрического тока приводит к возникновению двух предельных случаев в зависимости от соотношения времени диффузии ^ и полевого времени . Найдены асимптотические решения в обоих случаях и приведены их графические представления.

Ключевые слова: диффузия, дробные производные, электрическое поле, дрейф.

V.E. Arkhincheev, N. V. Yumozhapova

The effect of electric field on diffusion and distribution of particles in porous nanostructured materials

The problem of multidimensional diffusion in the comb model has been considered. It is shown that switching on electric current gives rise of two limit cases, depending on the ratio of diffusion t time and field time t E. The asymptotic solutions in both cases have been found and their graphical representations have been shown.

Keywords: diffusion, fractional derivatives, electric field, drift.

Введение. В настоящее время процессам переноса в пористых средах уделяется повышенное внимание. Многочисленные исследования показали, что диффузию в таких средах нельзя описать классическим уравнением диффузии, поскольку появляется аномальная зависимость среднеквадратичного смещения диффундирующих частиц от времени [1]. Она определяет новое автомодельное поведение, а также негауссову форму для устойчивого распределения диффундирующих частиц [2]. Для количественного описания аномальной диффузии в пористых материалах был использован метод обобщенных производных дробного порядка [3-5].

Несмотря на интенсивное исследование проблемы аномальной диффузии тем не менее до сих пор остается ряд нерешенных вопросов. В частности, до конца не исследовано влияние электрического поля на характер диффузионного распространения активных частиц в пористых материалах. Дело в том, что в случае классической диффузии влияние электрического поля можно исключить переходом в инерциальную систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью, - имеется лоренцовская инвариантность; в случае аномальной субдиффузии средняя скорость уменьшается со временем [6-8]:

V (t) ос /иЕ / 4t

что означает отсутствие лоренцовской инвариантности для субдиффузионных аномальных процессов. Также возникает вопрос о том, каким образом происходит переход к стационарному распределению больцмановского вида в задачах аномальной диффузии.

Статья построена следующим образом. В разделе 2 обсуждается кратко гребешковая модель. В разделе 3 выведено эффективное уравнение диффузии для анизотропной диффузии с учетом влияния электрического поля. В разделе 4 представлен предельный переход к распределению Больцмана. В разделе 5 получены решения интегральных уравнений для функции плотности распределения, а также их графическое распределение. В заключении дано краткое обсуждение полученных результатов.

Модель гребешковой структуры как модель пористых материалов. Напомним коротко гре-бешковую модель. Впервые она была введена для описания субдиффузии на перколяционных кластерах [9], которая также аналогична перколяции в пористых материалах. Она состоит из хорошо проводящей оси - проводящего канала (аналог скелета перколяционного кластера) и ребер, прикрепленных к оси (рис. 1).

Рис. 1. Гребешковая модель: ось и ребра, прикрепленные к оси структуры

Особенность диффузии в гребешковой структуре состоит в возможности смещения ПО X -направлению только вдоль оси структуры (при у = О ). Это означает, что коэффициент диффузии

отличен от нуля только при у = О [10]:

вхх=в1$(у) (!)

Т.е. X - компонента диффузионного тока равна :

= -£>

дх . (2)

Диффузия вдоль осей структуры носит обычный характер: О = 1)2.

Следовательно, случайные блуждания на гребешковой структуре описываются тензором диффу-

зии:

а ад о

4 О £>-

Используя закон Фика с тензором диффузии (3): получим диффузионное уравнение:

' д

(3)

^=-Бт;

д

о у

5/

дх1

С(х,у,1) = 8(х)8(у)8(()

(4)

Здесь С(х,у,1) - функция Грина уравнения диффузии. Для дальнейшего удобства сделаем преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по х ~ координате:

5 + Б1к28(у) - Г>2 -^-у

;¥2

0(я,к,у) = 8(у)

(5)

В качестве начальных данных используется точечный источник Решение уравне-

ния (12) будем искать в виде:

к, у) = g(s, к) ехр(-А | у |) _ (6)

Подставляя решение (6) в уравнение, получим две части: регулярное выражение и выражение с сингулярным коэффициентом :

[5 - £>2X2 ] 0(5, к, у) = 0 _

?

\рхк2 к,у) = 5 (у)

Из первого уравнения (7) мы определим значение параметра ^. а из второго уравнения (8) выражение для функции :

' 1

(7)

(8)

202Л + Д£2

Сделав обратное преобразование Фурье, получим выражение для функции Грина:

(9)

С(х,у,() = |(т+|>’|)ехр

с2 П2(т+\у\)2) дт^П

Щт

4/

/"V

(10)

Нетрудно проверить, что среднеквадратичное смещение вдоль оси структуры оказывается аномальным:

< х2 (0 >= ц

\°2 . (П)

Диффузия вдоль ребер гребешковой структуры носит обычный характер:

< У (0 >= 2А ^ (12)

Таким образом, анизотропные случайные блуждания в пористых материалах описываются раз-

личными степенными зависимостями (11)и(12).

Аномальная диффузия в электрическом поле. Включение электрического поля приводит к анизотропии случайных блужданий. В слабых полях параметр анизотропии мал:

а(Е)« 1 (13)

и пропорционален полю. Соответственно, полевой ток имеет вид:

3 = п/иЕ . (14)

В гребешковой структуре тензор подвижности равен:

О ц2

Тогда уравнение диффузии в электрическом поле по гребешковой структуре имеет вид:

Jr- ф{A JT* + йКжJ“ \ - Di VT -J /'IV..'./! = 0 (16)

дt у дх~ дх I ду~ ' ф

Формальное решение уравнения дробного порядка по времени имеет вид

fIT .fall

G(x,y,t;E) = Sq J je este 4Е>2Т e (17)

и

Здесь s0 = -4-^, v;t = il-H, , s' = s+s0 .

■©a.

Предельный переход к распределению Больцмана. Проанализируем полученное выше решение (17), описывающее случайные блуждания по гребешковой структуре в электрическом поле методом перевала. Для этого определим перевальные точки:

+ x-^L = o. (18)

41 4Dt 2D, x l/Kr

Выражения для перевальных точек в электрическом поле отличаются от выражений для перевальных точек без поля. Более того сами значения перевальных точек зависят от величины электрического поля.

В пределе слабых электрических полей t <<tE , где Jjg 4/>:Д-;' время, определяемое компонентой электрического поля, выражение для перевальных точек аналогично формуле без электрических полей:

4/ х' 3

®ijS = -Л ~~р~ ■

t-/3

В случае сильных электрических полей t«tE перевальные точки описываются выражением

X %

Как следует из вышеполученных формул в пределе больших времен, функция распределения принимает больцмановский вид:

Н(х.1;Е)^04-5*-1| (19)

' “ [ кТ йМ.)

При этом выход на стационарное распределение происходит медленным диффузионным образом.

Численный анализ функции плотности распределения в электрическом поле. Ниже представлен анализ поведения функции плотности распределения диффундирующих частиц численными методами в системе МаЙаЬ и методом Монте-Карло при различных соотношениях параметров задачи: электрическое поле, время и коэффициент диффузии. На рис. 2а-2в представлено поведение двумерной плотности распределения диффундирующих частиц в случае слабых полей.

Рис. 2а. В слабых полях поведение значение параметра анизотропии а =0.01

236

Рис. 26. В слабых полях поведение значение параметра анизотропии а =0.05

\

Рис. 2в. В слабых полях поведение значение параметра анизотропии а =0.1

В сильных полях и предельном случае малых времен влияние поля не успевает сказываться согласно развитой выше теории, согласно которой важно соотношение между временем диффузии и «полевым» временем I « 1/: .

В случае сильных полей и обратном предельном случае больших времен, когда время диффузии много больше «полевого » времени / - - /г. . влияние поля оказывается существенным. Ниже представлены рисунки для различных значений анизотропии в исследуемом случае:

Рис. За. Распределение плотности вероятности в сильных полях и на больших временах: при соотношении времен ? / = 1

Рис. 36. Распределение щготности вероятности в сильных полях и на больших временах при соотношении времен $МЕт.]£

237

Рис. Зв. Распределение плотности вероятности в сильных полях и на больших временах при соотношении времен t /tE = 5

Заключение. Исследовано поведение функции плотности вероятности диффундирующих частиц в электрическом поле. Показано, что возможны два предельных случая в зависимости от соотношения времени диффузии t и полевого времени tE. В случае слабых полей (малых времен) асимптотическое поведение носит аномальный характер аналогично случаю в отсутствии электрического поля. В случае сильных полей происходит сильное изменение формы диффузионного пакета, и на больших временах приобретает характер больцмановского распределения. Выход на больцмановское распределение описывается диффузионной гауссовой асимптотикой.

Полученные результаты будут полезны при исследовании процессов тепло-, массопереноса в пористых средах, которые в настоящее время используются во многих областях. Также в последнее время все более актуальной становится проблема увеличения интенсификации тепло- и массообменных процессов. Различают активные и пассивные методы интенсификации. К пассивным методам относят методы, не требующие дополнительного подвода энергии извне. Активные методы связаны с непосредственным воздействием на процессы физических полей (электрических, магнитных и т.п.). Результаты полученные выше показывают характер распространения частиц в электрических полях в пористых материалах, что необходимо для развития активных методов интенсификации.

Литература

1. Isichenko М.В. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev.Mod. Phys. 1992. V.64. P.961-984.

2. Uchaikin V.V. Anomalous diffusion and fractional stable distributions //JETP. 2003. V.97. P.810-825.

3. Applications of fractional calculus in physics / ed. R. Hilfer // World Sci, Singapoure. 2000. P. 1-85.

4. Arkhincheev V.E. Diffusion on random comb structure : effective medium approximation // Physica A. 2002. V.307. P. 131-141.

5. Arkhincheev V.E. Random walks on comb model and its generalizations // Chaos. 2007. V.17. P.043102-0143108.

6. J.Klafter and R.Metzler, Phys. Rep., 339, 1 (2000)

7. R. Metzler, J.Klafter, Advances in Chem. Physics, V.l 16. P.223 (2001)

8. В.Ю.Забурдаев, К.В.Чукбар, ЖЭТФ, 121,299 (2002)

9. Weiss G., Havlin S. Some properties of random walks on a comb structure//Physica A. 1986. V.134. P.474-482.

10. Архинчеев B.E. Обобщенный закон Фика для аномальной диффузии в многомерной гребешковой модели // Письма в ЖЭТФ. 2007. Т.86, №8. С.580-583.

Архинчеев Валерий Ефимович, Доктор физико-математических наук, гас. Институт физического материаловедения. 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 6. Тел. 433238. E-mail: varkMi@mail.ru

Arkhincheev Valery Efimovich, doctor of physical and mathematical sciences, chief research fellow, Institute of Physical Material Studies, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanova str., 6, Tel. 433238. E-mail: varkliin@mail.ru

Юможапова Наталья Вячеславовна, аспирант, Институт физического материаловедения. 670047, Улан-Удл ул. Сахьяновой, 6, Тея. 433238. E-mail: ynat@bk.ru

Yumozhapova Natalya Vyachesla\>o\ma, postgraduate student, Institute of Physical Material Studies. 670047, Ulan-Ude, Sakhyanova str., 6. Tel.: 433238. I>mail: vnat@bk.m