CC BY
96
ln (Д Ho/Д H )
1,
о,
t, мин.
Рис. 2. Зависимость 1п(ДН0/ДН от времени t для чистой воды.
Литература
1. Занданова К.Т., Дерягин Б.В., Базарон У.Б., Будаев О.Р. Комплексный модуль сдвига жидкостей и его зависимость от угла деформации // ДАН СССР. - 1974. - Т.215, №2. - С. 309-312
2. Базарон У.Б., Бадмаев Б.Б., Дембелова Т.С., Очирова Е.Р. Вязкость жидкостей при малых градиентах скорости течения жидкостей // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1999. - Т.5, №3. -С. 33-38.
3. Базарон У.Б., Бадмаев Б.Б., Очирова Е.Р., Ешеева Т.С. Измерение повышенной вязкости жидкостей // Сборник научных статей ВСГТУ. - Улан-Удэ, 1994. - С. 127-130.
4. Бадмаев Б.Б., Дембелова Т.С. Измерение вязкоупругих свойств жидкостей // Сб. трудов XI сессии РАО. Т.1. - М.: ГЕОС, 2001. - С. 136-139.
Дембелова Туяна Сергеевна, кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 8, т.: (3012)432282, [email protected] Бадмаев Бадма Банзаракцаевич, доктор технических наук, зав. лабораторией физики мета-, нано- и композиционных материалов, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой,
Макарова Дагзама Николаевна, младший научный сотрудник, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 8, [email protected]
Цыремжитова Анжелика Александровна, аспирант, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, ул. Сахьяновой, 8,
Dembelova Tuyana Sergeevna, candidate of technical sciences, leading researcher, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8, tel: (3012)432282, [email protected]
Badmaev Badma Banzaraktsaevich, Doctor of Technical Sciences, Head of Laboratory of Physics of Meta-, Nano-and Composite Materials, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8
Makarova Dagzama Nikolaevna, junior researcher, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8, [email protected]
Tsyremzhitova Anzhelika Aleksandrovna, postgraduate, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8
УДК 519.246. 2 © Н.В. Юможапова, В.Е. Архинчеев
ЭФФЕКТИВНЫЕ ДИФФУЗИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДРОБНОГО ПОРЯДКА: ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ФИКА И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-02-00573)
Рассмотрена задача многомерной диффузии в рамках гребешковой модели. Для случая аномальных суб-диффузионных случайных блужданий показано, что диффузионный ток описывается обобщенным законом Фика, в котором вместо обычного коэффициента входит тензор диффузии. Найдены асимптотические решения в двух предельных случаях и приведены их графические представления.
Ключевые слова: закон Фика, многомерная диффузия
N.V. Yumozhapova, V.E. Arkhincheev
EFFECTIVE DIFFUSION EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER: GENERALIZED FIK OF LAW AND ASYMPTOTIC SOLUTIONS
The problem of multidimensional diffusion in the frame of crest model was considered. As for abnormal subdiffu-sional random moves, it is shown that that diffusional current is explained by generalized Fik Law with diffusion tenzor instead of common coefficient. Asymptotic solutions in two limited cases were found, and their graphs were suggested.
Keywords: Fik Law, multidimensional diffusion
Как известно стохастический транспорт в неупорядоченных системах интенсивно изучается в последнее время. Это связано как с аномальным характером транспорта в этих системах, так и с возможными многочисленными приложениями [1-3]. Один из наиболее известных примеров аномального транспорта является случайные блуждания на перколяционных кластерах, которые носят суб-диффузионный характер:
< x2(t) ><х tdw (1)
Здесь dw - критический индекс аномальной диффузии (dw > 2). В целом к настоящему моменту сложилось общее представление о необходимости как использования устойчивых распределений негаус-сового вида, так и математического аппарата дробных производных и интегралов для описания аномального стохастического транспорта [4-6]. В частности, было показано, что при описании субдиф-фузионных стохастических процессов возникают эффективные диффузионные уравнения дробного порядка по времени [7, 8]. В работе [9] было выведено уравнение диффузии с дробной производной по времени порядка ', описывающее диффузию вдоль оси гребешковой структуры:
d1/2N(x, t) _ - d2N(x, t)
d t1/2 “ dx2 (2)
Следует отметить, что гребешковая модель является одной из немногих точно решаемых моделей с субдиффузионным характером, поэтому она использовалась многими исследователями [10-14]. Например, гребешковая модель была использована и при исследованиях массо-переноса в живых организмах и роста раковых клеток в работах [15-17]. Аналогичные эффективные уравнения дробного
порядка возникают также при описании транспорта пассивного скаляра в задачах переноса [18-20]. В
работе [21] было показано, что решения эффективных уравнений дробного порядка существенно зависят от начальных условий.
В настоящей работе выполнено исследование анизотропных случайных блужданий на многомерной гребешковой структуре. Проблема заключается в том, что в отличие от анизотропных случайных блужданий при обычной диффузии анизотропные случайные блуждания на многомерной гребешковой структуре имеют различные степенные зависимости [22, 23]. В двумерном случае критические индексы равны:
dwx = 4, dwy = 2 (3)
В трехмерном случае гребешковой структуры эти индексы принимают иные значения:
dwx = 8, dwy = 4, dwz = 2 (4)
Различные степенные зависимости среднеквадратичного диффузионного смещения вдоль разных координат означают также и различные автомодельные поведения вдоль этих координат, которые при раздельном рассмотрении вдоль каждого направления описываются соответствующими уравнениями дробного порядка типа (2). Возникает вопрос - возможно ли унифицированное описание анизотропных субдиффузионных случайных блужданий на гребешковой структуре? И если да, то каким должно быть искомое обобщенное диффузионное уравнение, описывающее унифицированным образом анизотропную аномальную диффузию на многомерной гребешковой структуре?
Целью работы является развитие подхода для описания анизотропных субдиффузионных случайных блужданий и вывод обобщенного диффузионного уравнения для исследуемого случая. Получено обобщение известного закона Фика для обычной диффузии [24] :
1*= -ВVп
на случай для задач анизотропного многомерного массопереноса в рамках гребешковой модели. Показано, что в этом случае возникает эффективный тензор диффузии, компоненты которого имеют операторный вид и содержат производные по времени дробного вида. Получены асимптотические уравнения диффузии для анизотропного многомерного случая. Установлено, что в анизотропном случае возникают многомерные распределения Коши, описывающие аномальную диффузию в обратном к) - пространстве.
Диффузия в модели гребешковой структуры
Гребешковую модель впервые введена для описания субдиффузии на перколяционных кластерах [23, 24]. Она состоит из хорошо проводящей оси (аналог скелета перколяционного кластера) и ребер, прикрепленных к оси - рис. 1.
Рис. 1. Гребешковая модель: ось и ребра, прикрепленные к оси структуры Особенность диффузии в гребешковой структуре состоит в возможности смещения по Х -направлению только вдоль оси структуры (при у = 0). Это означает, что коэффициент диффузии Dxx отличен от нуля только при у = 0:
Dxx = ^5(у), (5)
X - компонента диффузионного тока равна:
J = - Б х —
х х д х (6)
Диффузия вдоль осей структуры носит обычный характер: Dxx = D2. Следовательно, случайные блуждания на гребешковой структуре описываются тензором диффузии:
п = СDх8 (у) 0 ^
1] “I 0 D 2 >) (7)
Используя закон Фика с тензором диффузии (7): Jа Б ^^ получим диффузионное уравнение:
д д2 д2 (— - D 1^( у)—2- - D 2~г~)G (х, у, г) “ 3( х Ж уЖ г)
дг дх2 д2 у (8)
Здесь G (х, у, г) - функция Грина уравнения диффузии. Для дальнейшего удобства сделаем преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по x - координате:
2 д2
[5 + Бk 8(у) - Б2 ——]С(5,1{,у) “ 3(у)
ду (9)
В качестве начальных данных используется точечный источник ^(х)^(у)^(г) . Решение уравнения (8) будем искать в виде:
k, у) “ g(5 k^р^ у |) (10)
Подставляя решение (10) в уравнение получим две части: регулярное выражение и выражение с сингулярным коэффициентом ^(у) :
[5 - D2?i2^G(s, k, у) “ 0 (11)
[D1k 2 + 2XD2'\5(у)g(s, k, у) “ 5(у) (12)
Из первого уравнения (11) мы определим значение параметра ^, а из второго уравнения (12) выражение для функции g(5, к):
^ 8 (*, к)=-----------------1—
В 2 2 В, X + В,к
Рассмотрим диффузию вдоль оси гребешковой структуры при y ~ . Для этого сделаем обратное
преобразование функции g(s, k):
exp( ikx + st ) dkds
G (x,0, t) _ ff -
2 D 2 Я + D 1 k
Используя тождество:
ад 1
I exp( - ат ) Л т “ —
Л а
0 ^
получим выражение для функции Грина, описывающее диффузию вдоль оси структуры:
G(x,0,t) _ Iт exp
4 D1 т
D 2 (т ) 41
2 А
■/D1
13т
(14)
(15)
(16)
(17)
Отметим, что число частиц на оси структуры убывает, т.е диффузионная задача для диффузии вдоль оси оказывается задачей с несохраняющимся числом частиц
да i
< G (t) >= Í G (x,0, t)dx = =
0 V2 D 2 t
Исходя из этого, вычислим среднеквадратичное смещение вдоль оси гребешковой структуры:
< x2 ( t ) >= D, -1—
i D2 (18)
Таким образом, случайные блуждания вдоль оси оказываются субдиффузионными с критическим индексом dwx = 4. Диффузия вдоль ребер гребешковой структуры носит обычный характер:
< y (t) >= 2D2 t (19)
Таким образом, анизотропные случайные блуждания описываются различными степенными зависимостями (18) и (19) [24].
Обобщение закона Фика в двумерном и трехмерном случаях Чтобы получить обобщенное уравнение диффузии в двухмерном случае рассмотрим подробнее решение (10). Для этого сделаем Фурье преобразование этого решения по координате у:
G (s, kx, ky ) = 2X
t / Il-А -i- II. U ll/I -I-и
'y) (20)
(2 D 2 Я + D1 k 2 )(Я2 + k2)
Соответственно, получим следующее уравнение диффузии для анизотропных случайных блужданий на гребешковой структуре:
т X kl
(2 D 2X + Dxk 2)(- + -y- ) p(s, kx, ky ) = 0
2 2X (21) Пренебрегая в полученном уравнении произведением kx2 x ky2 (это возможно на больших масштабах), получим следующее эффективное уравнение в (s, kx ky) - представлении:
f s + ^-kl + D 2k ^
2
D
•2* y
Возвращаясь в обычное (х, у, г) - представление, получим эффективное уравнение диффузии:
D 1
д2 д 1/2
д t д x 2 д t1
- D п -----
2 -1/2 2 дy 2
(22)
(23)
Таким образом, получим операторное выражение для эффективного тензора диффузии в обобщенном законе Фика:
D eff =
(24)
В случае трехмерной гребешковой структуры случайное блуждание будет описываться тензором диффузии в следующем виде:
2
ад
x
д
1 / 2
д
1S1
В 1& ( у ) 5 ( г ) 0 0
0 В 2 5 (г) 0
0 0 В
Соответственно, получается следующее диффузионное уравнение:
8 ~
(— - В15 (У)5 (г)-81
8 х ‘
- В 2 5 (г)
8 2 у
- В
3 2 8 г
)О(х,у,г, t) = 5 (х)5(у )5 (г)5 (t)
(25)
(26)
Решение трехмерной задачи будем искать в виде, аналогичном (10):
^ kx, У, 2) “ g(5 kx ) exp(- Ху 1 у 1 1 г |) (27)
Подставляя решение (27) в уравнение (26), определим параметры Яу, А,2 и выражение для функции g(s,kx):
1
Я “
5
В2
Ху =
12В~1 g(5, к) =
'2 V Б 2 2 Б 2Я + Б1к (28)
Сделав преобразования Фурье по координатам у и 2, получим функцию Грина для трехмерного случая
2
О (5,кх,ку,кг) =
4Ху Х2
(2 В1 + В~1 к 2)(Х2у + к2)(Х2 + к2)
у у^'^ ' (29)
Повторяя вышеприведенные рассуждения, получим эффективное уравнения диффузии для трехмерного анизотропного случая:
2 1/^В з В 2
-к 2 + 2В
2л1 В^~кУ + В 3 к г
Р( 5 , кх , ку )
Или в обычном представлении:
_8_ 8 і
2В 2 8 2 8 1/2
2 д/В 3В 2 8х 2 8і3/4
В 3 8 х 8 і
8 г ‘
(30)
(31)
Таким образом, эффективный тензор диффузии в законе Фика для трехмерного анизотропного блуждания на гребешковой структуре имеет вид:
е//
В
8 ■
2 д/ В 3 В 22 8 і' 0 0
2 В
(32)
Асимптотические решения обобщенного диффузионного уравнения дробного порядка
Используя формулу (10) и возвращаясь в обычное представление в координатах (х, у ,і) получим решение уравнения дробного порядка по времени [25, 26]:
5і - 5 т - л/5В х к х т - В ук'ут ік хх + ік х у х ^к
ее е е ууе
т
2 я (33)
Однако из полученного формального решения трудно последить пространственное распределение и изменение во времени. Поэтому исследовано асимптотическое поведение в двух предельных случаях: при произвольных Х, t и малых значениях Y; при произвольных Y, t и малых значениях Х, вблизи начала координат. Для исследования асимптотик выполним интегрирование по переменным кх, ку и представим общее решение в виде произведения двух следующих интегралов:
О ( х , у , І ) = II йьй т
2 Л[ЛВ
2 лУЛ В хт 5 14 2 л/
(34)
Первый асимптотический предел - при произвольных Х и t и малых значениях Y
Проанализируем первый предельный случай - малые значения координаты Y. Будем искать решение для параметра s в виде разложения: 1) s = s0(x) + s1(y)
Решение уравнения в исследуемом приближении и главном порядке s0(x) имеет вид:
Вь =
2
2
2
8
8
8
3 / 4
0
8 2 8 3 /4
2
8
1
0
0
1 / 2
8
2
0
1 / 2
В 3 8 і
0
3
х
у
4 В ..т
у
е
е
е
здесь А постоянная величина.
Следующее приближение s1(y) описывается выражением:
У'
8 ВуГ
Таким образом, в полученном приближении
С =
г 1 у л
А/4 - А
Сх
у
8 В і
(35)
(36)
Здесь константа
л/В7
Рис. 1. Плотность распределения диффундирующих частиц на плоскости (х, у) в пределе малых значений У
і
+
і
Рис. 2. Плотность распределения диффундирующих частиц на плоскости (х, у) в пределе малых значений Х Полученное асимптотическое решение имеет необычное, отличное от гауссового поведение по координате Х. Второй асимптотический предел - при произвольных Y и t и малых значениях Х. В этом предельном случае искать решение для параметра s в другом виде
s = So(y) + Sl(x) + S2(x, у);
В главном порядке
«о (у)= у 2
4 В/
Первый порядок по координате X равен нулю, в следующем приближении получим:
х4 В,
64 D2x у2
Следовательно, решение в этом асимптотическом пределе имеет вид:
у
4 В/ _ х 4 Ву(
G(х,у,I)гс 1 е 64°2‘у1
4^
Полученное асимптотическое решение в этом пределе имеет гауссовое поведение по координате У. Дополнительный малый множитель, описывающий поведение при малых значениях координаты Х появляется только во втором приближении.
Заключение
Таким образом, показано, что аномальное случайное блуждание на многомерной гребешковой структуре в асимптотическом пределе больших времен (больших масштабов) описывается эффективными диффузионными уравнениями, содержащие помимо обычных пространственных производных также и производные по времени дробного порядка. Иными словами, эффективный тензор диффузии в законе Фика приобретает операторный вид - формулы (22) и (29), при этом степень дробной производной по времени разная для различных направлений. Такое необычное представление связано с аномальным субдиффузионным характером случайных блужданий на многомерной гребешковой структуре. По-видимому, такое операторное представление для тензора диффузии в случае анизотропных аномальных случайных блужданий получено впервые.
Полученные результаты будут полезны и при исследовании процессов тепло-массопереноса в пористых средах. В современной электронике все чаще применяют металл с низким сопротивлением (Cu вместо Al) и диэлектрики с низким значением диэлектрической проницаемости - low k диэлектрики вместо традиционного SiO2. Такие диэлектрики, как правило, имеют пористую наноструктуру, наиболее желательное предельное значение диэлектрической проницаемости этих диэлектриков является проницаемость вакуума, равная 1. Развитый выше подход на основе обобщенных диффузионных уравнений дробного порядка и полученные результаты также могут быть применены и для исследования диффузии активных частиц в пористых материалах с низкой диэлектрической проницаемостью, которые и ответственны за технологические повреждения в этих материалах [27, 28].
Литература
1. Isichenko M.B. Percolation, statistical topography and transport in random media // Rev. Mod. Phys. - 1992. -V.64. - P. 961-965.
2. Klafter J., Metzler R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. - 2000. - V. 339, №1. - P. 11-17.
3. Metzler R., Klafter J. Anomalous stochastic processes in the fractional dynamics framework: Fokker-Planck equation, dispersive transport, and non-exponential relaxation // Advances in Chem. Physics. - 2001. - V.116. - P. 223227.
4. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives. Theory and Applications. -Amsterdam: Gordond and Breach, 1993. - 212 p.
5. Applications of fractional calculus in physics // by Ed. R. Hilfer. - World Scientific, 2000. - 212 p.
6. Учайкин В.В. Аномальная диффузия и дробно-устойчивые распределения // ЖЭТФ. - 2003. -V.97. - С. 810-815.
7. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry // Phys. Stat. Sol. B. - 1986. - V.133. - P. 425-430.
8. Нигматуллин РР. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая математическая физика. - Т.90. - С.354-357.
9. Архинчеев В.Е., Баскин Э.М. Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров // ЖЭТФ. - 1991. - Т.73. - С.161-167.
10. Архинчев В.Е. Случайное блуждание по иерархическим гребешковым структурам // ЖЭТФ. - 1999. -Т.100. - С.1285-1296.
11. Arkhincheev V.E. Diffusion on random comb structure: effective medium approximation // Physica A. - 2002. - V.280. - P.304-308.
12. Arkhincheev V.E. Anomalous diffusion and charge relaxation on comb model: exact solutions // Physica A. -202. - V. 307. - P.131-141.
13. Лубашевский И.А., Землянининов А.А. Контитуальное описание аномальной диффузии по грбешковой структуре // ЖЭТФ. - 1996. - Т.114. - С. 1284-1312.
14. Reynolds A.M. Rotational dynamics of turbulence and Tsallis statistics // Physica A. - 2004. - V.334. - P. 3943.
15. Baskin E., Iomin A. Superdiffusion on a Comb Structure // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V.93. - P. 120603.
16. Iomin A., Baskin E. Negative superdiffusion due to inhomogeneous convection // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71. - P. 061101.
17. Iomin A. Superdiffusion of cancer on a comb structure // J. of Physics. - 2005. - V.7. - P. 57-64.
18. Гордеев А.В., Гречиха А.В., Калда Я.Л. О быстром проникновении магнитного поля в плазму вдоль электрода // Физика плазмы. - 1990. - Т. 10. - С. 96-103.
М.Ю. Малакеева, В.Е. Архинчеев. Механизм протекания и распределение токов и полей в средах с границами в условиях квантового эффекта Холла
19. Чукбар К.В. Квазидиффузия пассивного скаляра // ЖЭТФ. - 1996. - Т.109. С. 1335-1341.
20. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви // ЖЭТФ. -
2002. - Т.121. - С. 299-304.
21. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Эффекты "памяти" в стохастическом транспорте // Письма в ЖЭТФ. -
2003. - Т.77. - С. 654-664.
22. White S., Barma M. Field-induced drift and trapping in percolation networks // J. Phys. A. - 1984. - V. 17. - P. 2995-2999.
23. Weiss G., Havlin S. Some properties of random walks on a comb structure // Physica A. - 1986. - V.134. - P. 474-479.
24. Fick A. On liquid diffusion // Ann.Phys. (Leipzig). - 1855. - V. 170. - P. 50-64.
25. Arkhincheev V.E. Anomalous diffusion and charge relaxation on comb model: exact solutions // Physica A. -2010. - V.386. - P. 16-24.
26. Архинчеев В.Е., Архинчеева С.В., Юможапова Н.В. Диффузия в пористых наноструктурированных материалах с низкой диэлетрической проницаемостью // Химическая физика и мезоскопия. - 2011. - Т.13, №4. -C. 530-533
27. Юможапова Н.В., Архинчеев В.Е. Асимптотическое решение обощенного диффузионного уравнения дробного порядка по времени // Ученые записки ЗабГГПУ. - 2011. - №3. - С. 169-172.
28. Arkhincheev V.E., Kunnen E., Baklanov M.R. Active species in porous media: Random walk and capture in traps // J. of Microelectronics. - 2011. - V.88. - P. 694-699.
Юможапова Наталья Вячеславовна, аспирант, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, [email protected]
Архинчеев Валерий Ефимович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт физического материаловедения СО РАН, 670047, Улан-Удэ, тел. (83012) 433224, [email protected]
Yumozapova Natalia Viacheslavovna, postgraduate, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8
Arkhincheev Valery Efimovich, Doctor of Physics-Mathematics, Institute of Physical Materials Science, 670047, Ulan-Ude, Sakhyanovoy St., 8
У ДК 538.915 © М.Ю. Малакеева, В.Е Архинчеев
МЕХАНИЗМ ПРОТЕКАНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКОВ И ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ГРАНИЦАМИ В УСЛОВИЯХ КВАНТОВОГО ЭФФЕКТА ХОЛЛА
Рассмотрено протекание тока в условиях квантового эффекта Холла в средах с границами. Установлено, что в этом случае эффективная холловская проводимость принимает ненулевое значение. Показано, что оно обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек (в нашей модели это углы на стыке фаз).
Ключевые слова: квантовый эффект Холла, эффективная холловская проводимость, слоистые среды.
M.Yu. Malakeeva, V.E. Arkhincheev
MECHANISM OF FLOW AND DISTRIBUTION OF ELECTRIC CURRENTS AND FIELDS UNDER LIMITED CONDITIONS OF QUANTUM HALL EFFECT
The current flow has been considered under limited Quantum Hall Effect conditions. In this case the effective Hall conductivity has a non-zero value due to the flow of the Hall current through the finite number of singular points (in our model these are corners at the phase joints).
Keywords: quantum Hall effect, effective conductivity, layered media.
В условиях квантового эффекта Холла (КЭХ) при протекании тока в средах с границами нахождение проводимости осложняется необычным характером протекания тока - холловский ток всегда перпендикулярен электрическому полю. Из уравнения непрерывности с учетом потенциальности
e х Va = 0 Г11 ~
электрического поля следует: [1]. Это означает, что линии тока не могут пересекать гра-
ницу раздела фаз и всегда обтекают неоднородности за исключением некоторых точек [2-4]. Соответ-
