CC BY
12
МЕЖФАЗНЫЕ СЛОИ И ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В НИХ
УДК 519.246. 2
особенности диффузии частиц в электрических полях в наноструктурированных материалах
АРХИНЧЕЕВ В.Е., ЮМОЖАПОВА Н.В.
Институт физического материаловедения Сибирского отделения РАН, 670047, г. Улан-Удэ, ул. Сахъяновой, 6
АННОТАЦИЯ. Задача многомерной диффузии в электрическом поле в рамках гребешковой модели рассмотрена. Показано, что включение электрического тока приводит к появлению нового характерного времени - «полевого» времени в задачах с аномальной диффузии. Соответственно, появляются различные распределения частиц в зависимости от параметра - соотношения времени к «полевому» времени. Выполнен численный анализ формы распределения частиц при различных значениях вышеописанного параметра. Полученные результаты использованы для описания диффузионных процессов в наноструктурированных пористых материалах.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: диффузия, дробные производные, эффективные уравнения, наноструктурированные материалы, электрическое поле.
введение
В настоящее время интенсивно исследуются процессы диффузионного переноса частиц в пористых средах. Многочисленные исследования показали, что диффузию в таких средах нельзя описать классическим уравнением диффузии, поскольку появляется аномальная зависимость среднеквадратичного смещения диффундирующих частиц от времени [1]. Она определяет и новое автомодельное поведение, а также негауссову форму для устойчивого распределения диффундирующих частиц [2]. Для количественного описания аномальной диффузии в пористых материалах был использован метод обобщенных производных дробного порядка [3 - 5].
Несмотря на интенсивное исследование проблемы аномальной диффузии, тем не менее, до сих пор остается ряд нерешенных вопросов. В частности, до конца не исследовано влияние электрического поля на характер диффузионного распространения активных частиц в пористых материалах. Дело в том, что в случае классической диффузии влияние электрического поля можно исключить переходом в инерциальную систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью, - имеется лоренцовская инвариантность; в случае аномальной субдиффузии средняя скорость уменьшается со временем [6 - 10]:
V (?) х^Е /V?,
что означает отсутствие лоренцовской инвариантности для субдиффузионных аномальных процессов. Также возникает вопрос и о том, каким образом происходит переход к стационарному распределению больцмановского вида в задачах аномальной диффузии.
модель гребешковой структуры как модель пористых материалов
Напомним коротко гребешковую модель. Впервые она была введена для описания субдиффузии на перколяционных кластерах [9], которая также аналогична перколяции в пористых материалах. Она состоит из хорошо проводящей оси - проводящего канала (аналог скелета перколяционного кластера) и ребер, прикрепленных к оси (рис. 1).
Рис. 1. Гребешковая модель: ось и ребра, прикрепленные к оси структуры
В работах [4, 5] выведено обобщенное диффузионное уравнение с сингулярным коэффициентом диффузии, описывающим смещение частиц вдоль оси гребешковой модели перколяционных кластеров:
5
52
а - ^ >& 2
- Б
д
2
2 ду2
О(х, у, X ) = у ¿(х ).
(1)
Здесь О(х, у X) - функция Грина для уравнения диффузии, в качестве начальных данных используется точечный источник 3( х)5( у )№(х).
аномальная диффузия в электрическом поле
Включение электрического поля приводит к анизотропии случайных блужданий. В слабых полях параметр анизотропии мал:
а(Е )<< 1 (2)
и пропорционален полю. Соответственно, полевой ток имеет вид:
J = пК . (3)
В гребешковой структуре тензор подвижности равен:
ГИх8(у) 0 ^
К =
0
К
(4)
Тогда уравнение диффузии в электрическом поле по гребешковой структуре имеет вид:
д
д2
--¿(У )Б1 2
дх 1 дх2
д дх
л
- Б
д2
2 ду2
-К Е ду
р(х, у, X )= 0.
Формальное решение уравнения дробного порядка по времени имеет вид:
... . _ (х-УхтУ
О (х, у, X; Е) = 5 0 Л
£'
-2 Б 2, — т
е5 хе
4Б2т еН^ т
(5)
(6)
2т?2
Здесь 50 =
КЕ
^ V: = КЕх , 5 '=5 + V
предельный переход к распределению больцмана
Проанализируем полученное выше решение (6), описывающее случайные блуждания по гребешковой структуре в электрическом поле, методом перевала. Для этого определим перевальные точки:
2 2
т
----^ т + -
4х 4.
х
2 Б
-V* -
= 0.
(7)
у 2 2 б2 4 Б2т
Выражения для перевальных точек в электрическом поле отличаются от выражений для перевальных точек без поля [14]. Более того сами значения перевальных точек зависят от величины электрического поля.
В пределе слабых электрических полей ^ << tE , где tE = 4D2|v2 «полевое» время,
определяемое компонентой электрического поля, выражение для перевальных точек аналогично формуле без электрических полей:
4/
х/з
Т,2 = .
/3
В случае сильных электрических полей t << tE перевальные точки описываются выражением
± х Т1,2 = ±— •
Как следует из полученных выше формул в пределе больших времен, функция распределения принимает больцмановский вид:
4/0 ^ ^ 4Dt)
При этом выход на стационарное распределение происходит медленным диффузионным образом.
численный анализ функции плотности распределения в электрическом поле
Ниже представлен анализ поведения функции плотности распределения диффундирующих частиц, выполненный численными методами в системе МайаЬ при различных соотношениях параметров задачи: электрическое поле, время и параметра анизотропии. На рис. 2 представлено поведение двумерной плотности распределения
диффундирующих частиц в зависимости от времени.
а - а = / / /Е = 0,01 ; б - а = 1 Рис. 2. Распределение диффундирующих частиц в зависимости от времени при различных параметрах а
Как видно при малых параметрах а электрическое поле не влияет на форму распределения частиц; полученные результаты согласуются с результатами работ [6, 11 - 13]. Дальнейшее увеличение электрического поля приводит к изменению формы распределения и смещению вправо максимума распределения частиц. Также необходимо отметить, что со временем растет деформация решения, при увеличении параметра а эта деформация уменьшается - решение стремится к стационарному распределению.
В сильных полях и предельном случае малых времен влияние поля не успевает сказываться согласно развитой выше теории, согласно которой важно соотношение между временем диффузии и «полевым» временем t << tE (рис. 3).
Рис. 3. Распределение плотности вероятности в сильных полях и на малых временах
В случае сильных полях и обратном предельном случае больших времен, когда время диффузии много больше «полевого» времени х << . влияние поля оказывается существенным вплоть до выхода на стационарное распределение, что соответствует большим временам. При соотношении х / > 5 картина распределения практически не
изменяется (рис. 4).
и.1Ь
-1 '0.5 о
0.5 1 М 2
2.5 3 35 1
а - а = X / = 1; б - а = X / = 5
Рис. 4. Распределение плотности вероятности в сильных полях и на больших временах
при различных соотношениях времен
заключение
Таким образом, показано, что аномальное случайное блуждание на многомерной гребешковой структуре в асимптотическом пределе больших времен (больших масштабов) описывается эффективными диффузионными уравнениями, содержащие помимо обычных пространственных производных также и производные по времени дробного порядка. Такое необычное представление связано с аномальным субдиффузионным характером случайных блужданий на многомерной гребешковой структуре - см. также [14, 15]. Исследовано влияние электрического поля на характер распределения частиц, в том числе и численными методами. Показано, что в задачах с аномальной диффузией возникает новое «полевое» время и, соответственно, новый параметр - отношение обычного времени к «полевому» времени а = X / ХЕ . Проанализированы распределения при различных значениях параметра; исследован предельный переход к стационарному больцмановскому распределению. Показано, что он описывается обычной гауссовой асимптотикой.
Полученные результаты будут полезны при исследовании процессов тепло-массопереноса в пористых средах, которые в настоящее время используются во многих областях. Также в последнее время все более актуальной становится проблема увеличения интенсификации тепло- и массообменных процессов. Различают активные и пассивные методы интенсификации. К пассивным методам относят методы, не требующие дополнительного подвода энергии извне. Активные методы связаны с непосредственным воздействием на процессы физических полей (электрических, магнитных и т.п.). Результаты, полученные выше, показывают характер распространения частиц в электрических полях в пористых материалах, что необходимо для развития активных методов интенсификации.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №10-02-00573-а).
Материалы статьи обсуждались на научной конференции «Байкальские чтения: наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и эксперимент)» (г. Улан-Удэ, 19-22 июля 2010 г.) и рекомендованы к публикации в журнале «Химическая физика и мезоскопия».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Isichenko M. Percolation, statistical topography, and transport in random media // Rev. Mod. Phys. 1992. V. 64. P. 961984.
2. Uchaikin V.V. Anomalous diffusion and fractional stable distributions // JETP. 2003. V. 97. P. 810-825.
3. Applications of fractional calculus in physics / ed. R. Hilfer // World Sci, Singapoure. 2000. P. 1-85.
4. Arkhincheev V.E. Diffusion on random comb structure : effective medium approximation // Physica A. 2002. V. 307. P. 131-141.
5. Arkhincheev V.E. Random walks on comb model and its generalizations // Chaos. 2007. V. 17. P. 043102-0143108.
6. Klafter J. and Metzler R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. V. 339. P. 1-77.
7. Metzler R., Klafter J. Anomalous stochastic processes in the fractional dynamics framework: Fokker-Planck equation, dispersive transport, and non-exponential relaxation // Advances in Chem. Phys. 2001. V. 116. P. 223.
8. Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леви // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2002. V. 121. P. 299-307.
9. Weiss G., Havlin S. Some properties of random walks on a comb structure // Physica A. 1986. V. 134. P. 474-482.
10. Архинчеев В.Е. Обобщенный закон Фика для аномальной диффузии в многомерной гребешковой модели // Письма в «Журнал экспериментальной и теоретической физики». 2007. Т. 86, № 8. С. 580-583.
11. Scher H., Lax M. Stochastic Transport in a Disordered Solid. II. Impurity Conduction // Phys. Rev. В. 1973. V. 7, № 10. P. 4502-4519.
12. Scher H., Shlesinger M.F., Bendler J.T. Time-scale invariance in transport andrelaxation // Phys. Today. 1991. V. 44. P. 26-34.
13. Montroll E.W., Scher H. Random walks on lattices // Phys. Rev. B. 1975. V. 12. P. 2455-2477.
14. Архинчеев В.Е., Архинчеева С.В., Юможапова Н.В., Диффузия в пористых наноструктурированных материалах с низкой диэлектрической проницаемостью // Химическая физика и мезоскопия. 2011. Т. 13, № 4. C. 530533.
15. Юможапова Н.В., Архинчеев В.Е. Асимптотическое решение обобщенного диффузионного уравнения дробного порядка по времени // Ученые записки ЗабГГПУ. 2011. C. 169-172.
FEATURES OF DIFFUSION IN ELECTRIC FIELDS IN NANOSTRUCTURED MATERIALS
Arkhincheev V.E., Yumozapova N.V.
Institute of Physical Materials Science, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Ulan-Ude, Russia
SUMMARY. The problem of multidimensional diffusion in electric field in frameworks of comb model has considered. It has shown that appearance of electric field leads to occurrence of new characteristic time - "field" time in problems of anormal diffusion. Accordingly, there are various distributions of particles depending on parameter - time parities by "field" time. The numerical analysis of the form of distribution of particles has made at various values of the above described parameter. The received results are used for the description of diffusive processes in nanostructured materials.
KEY WORDS: diffusion, fractional order derivatives, effective equations, nanostructured materials, electric field.
Архинчеев Валерий Ефимович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ИФМ СО РАН, тел. (83012) 43-32-38, e-mail: varkhin@mail.ru
Юможапова Наталья Вячеславовна, аспирант ИФМ СО РАН, e-mail: ynat@bk.ru
