Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 524.8-337

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ПАМЯТИ В ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЕТА ВО ВСЕЛЕННОЙ С НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Д. А. Грачев

(.кафедра математики) E-mail: [email protected]

Уравнение Якоби на геодезической риманова многообразия со случайной кривизной описывает распространение света во Вселенной с неоднородностями. В рамках модели с постепенной потерей памяти получена формула для эффективной кривизны пространства. Показано, что эта кривизна является отрицательной при любой величине корреляционного радиуса. Результаты сравниваются с известными результатами, полученными в рамках модели с кусочно-постоянной случайной кривизной, а также модели с малым радиусом корреляций кривизны.

Введение

Вселенная в больших масштабах обладает исключительной степенью однородности и изотропии, однако в малых масштабах она неоднородна и анизотропна из-за концентрации материи в небесных телах. Еще в 1964 г. Я. Б. Зельдович показал, что флуктуации плотности, вызванные такими неоднородностями, приводят к небольшому систематическому искажению космологических тестов, которые делают Вселенную [1], гауссова кривизна пространственного сечения которой в среднем равна нулю, в известной степени похожей на открытую космологическую модель.

Эффект Зельдовича мало связан с динамикой расширения Вселенной, а представляет собой некоторый факт геометрии пространственного сечения [1]. Более того, он представляет факт геометрии двумерного среза пространственного сечения, которое определяется направлением на наблюдаемый объект и его ориентацией. С геометрической точки зрения эффект Зельдовича, как и некоторые другие факты, связанные с космологическими тестами, удобно описывать в терминах полей Якоби на геодезических пространственного сечения, вдоль которых и распространяются лучи света.

Поле Якоби у(х) (здесь х — расстояние вдоль некоторой геодезической) однозначно определяется гауссовой кривизной К(х), которая считается случайной и представимой в виде К(х) = К + к(х), где К — средняя кривизна, которая не зависит от х ввиду статистической однородности Вселенной, а член к(х) описывает случайные флуктуации кривизны пространственного сечения, вызванные флук-туациями плотности. Поскольку мы имеем дело со случайным полем, заданным вдоль некоторой геодезической, естественно рассмотреть среднюю

величину У = <у>. Физический смысл среднего поля Якоби состоит в следующем: величина У(х)в представляет собой средний линейный размер объектов с угловым размером в, расположенных во Вселенной на расстоянии х от наблюдателя.

Как показано в [2], среднее поле Якоби У можно найти из уравнения

у" + у(к-^)= 0. (1)

При выводе (1) использовалась модель случайной кривизны с обновлением (она описана ниже), в которой длина интервала обновления 6 устремлялась к нулю. При этом приходится считать, что флуктуации кривизны становятся большими, так чтобы среднее <к262> —> К, при 6—>-0. Тем самым при любом соотношении между К я К, кривизна К меняет знак, в результате чего остается неясным, с чем связан эффект Зельдовича — с наличием на геодезической участков с отрицательной кривизной или же с наличием небольших флуктуаций. Для того чтобы прояснить этот вопрос, необходимо отказаться от короткокоррелированного приближения и рассмотреть модель с малым, но конечным 6. Это и составляет содержание настоящей работы. Теперь вместо дифференциального уравнения (1) для среднего поля Якоби приходится рассматривать разностное (алгебраическое) уравнение. Однако удается показать, что среднее поле Якоби по-прежнему растет экспоненциально со скоростью, определяемой соотношениями того же характера, что и для короткокоррелированной модели. Другими словами, эффект Зельдовича действительно связан с малыми флуктуациями кривизны, а обращения ее знака при выводе уравнений в короткокоррелированной модели несущественны.

1. Уравнение Якоби и случайная кривизна

Здесь мы дадим формальное определение поля Якоби и опишем модель случайного процесса с обновлением.

Пусть на двумерном римановом многообразии М2 задано двупараметрическое семейство геодезических ■у(6,х), пересекающихся в заданной точке Р € М2. При этом х —длина вдоль геодезических, а в —угол, отсчитываемый в точке Р от определенной базовой геодезической Г этого семейства, для которой в = 0. Тогда расстояние между точками, находящимися на близких геодезических на расстоянии х от точки Р, равно (с точностью до малых высшего порядка) у(х)в, где у(х) и есть, по определению, поле Якоби вдоль базовой геодезической Г. Поле Якоби можно найти из уравнения Якоби (см. [3]), которое также называют уравнением отклонений геодезических,

у" + К(х)у = 0. (2)

Здесь К(х) — гауссова кривизна, а производные берутся по расстоянию х от начальной точки Р. Уравнение Якоби дополняется естественными начальными условиями г/(0) = 0 (все геодезические семейства выпущены из одной точки) и у'(0) = 1 (условие нормировки).

Очевидно, что изучение уравнения (2) требует конструктивного описания случайного процесса К(х). Мы выбираем это описание, ориентируясь на модели, удобные для аналитических исследований (а именно на уже упоминавшиеся модели с обновлением).

Пусть полупрямая х ^ 0 разбита на равные отрезки длины 8 (корреляционная длина, которая используется в качестве единицы длины, сам же отрезок принято называть интервалом обновления). Далее, пусть процесс К(х) теряет память точно в точках хп = п-8, п = 0,1,2,... . Это означает, что величины Кп(х) на полусегментах [0; 8),..., [п8; (п + 1)5) предполагаются статистически независимыми и имеющими одинаковые статистические характеристики (а именно среднее значение, дисперсию, корреляционную функцию и т.д.). Кроме того, предполагается статистическая независимость точек обновления от всех процессов Кп(х). Эта модель и есть модель процесса с обновлением. В общем случае из-за фиксированных точек обновления такой случайный процесс статистически неоднороден (в масштабах, сопоставимых с 8), и корреляционная функция <К(х\),К(х2)> зависит от обеих точек х\ я Х2-

2. Среднее поле Якоби и эффекты памяти

Отметим, что непосредственное усреднение уравнения (2) затруднительно, поскольку оно содержит произведение К(х)у, в котором сомножители зависимы. Однако описанная модель случайного

процесса с обновлением позволяет преодолеть эту трудность.

Перепишем (2) в виде системы линейных уравнений для двухкомпонентного вектора-строки г с компонентами г\ = у, 22 = 5у':

йг

йх

= г

(3)

Здесь мы умножили у' на 8 для того, чтобы придать компонентам вектора г одинаковую размерность. Начальные условия имеют вид

г,(0)=0, г2(0) = 5.

Тогда

г(хп) = г(хп^)Вп = ... = г0В] •••Вп_\Вп, г(0) = г0.

(4)

Здесь матрица Вп является фундаментальной матрицей системы (3), т.е. матрицей, обладающей свойством г(х) = г(з)В(з,х) при яСх, а формула (4) получается благодаря ее мультипликативному свойству В(х о,хп) = В(хо,х\) ■ ■ ■ В(хп^\,хп). В общем случае, когда кривизна является кусочно-непрерывной случайной функцией, явное выражение для фундаментальной матрицы будет содержать так называемый мультипликативный интеграл (известный в квантовой теории поля как Г-экспонента)

15

п

и=(1 — 1)5

-8 • К{и) 0

йи

(5)

где I —единичная матрица размера 2x2. Многие важные свойства мультипликативного и обычного аддитивного интегралов совпадают, в частности и тот и другой существуют для любой ку-еочно-непрерывной функции. Ниже нам потребуется представление мультипликативного интеграла в виде бесконечной суммы аддитивных интегралов (см. [4])

\\(1 + А{и) йи)

А{тх) ■ ■ ■ А{тк) (1тх ■ ■ ■ йтк. (6)

Отметим, что в (6) интегрирование ведется по &-мерной пирамиде (при к= 1 пирамида вырождается в отрезок, а при к = 2 — в треугольник).

Положим в (4) хп = п8, тогда вектор г(п8) представим в виде

г(п8)=г(0)В\---Вп.\Вп. (7)

Как следует из (5), каждая матрица в (7) зависит только от распределения кривизны между точками обновления (г — 1)5 и 18; тем самым все Вг-

статистически независимы и имеют одинаковое вероятностное распределение. Данное обстоятельство позволяет провести усреднение (7):

<г(п8)> = <г(0)><В\ >"

(8)

Нахождение матрицы В\ при помощи формулы (6) облегчается тем, что вычисления достаточно вести лишь с точностью до членов порядка квадрата кривизны. Непосредственный подсчет показывает, что

<ВХ> =

Г5 2,4

^2,4,

(9)

где

1С1 = — ''■> 81

с{л-т1)йт\---йт1. (10)

Подынтегральное выражение с(ту — тг) в (10) является корреляционной функцией кривизны <К(п)Щ)>.

Чтобы исследовать поведение вектора <г>, найдем из характеристического уравнения для матрицы <В]> главное собственное значение Л. Пренебрегая малыми высшего порядка и учитывая, что в (9) получим

Г4 = £-4 'Нз 2,4

Л " 1 • д^-К ■ д2)С1г

(11)

Отметим, что матричные элементы |4 и /С^4

существенной роли не играют, так как при решении характеристического уравнения перед ними возникают коэффициенты существенно большего порядка по 8, нежели порядок нормировки / в (10) (напомним, что мы рассматриваем длину интервала обновления хоть и конечной, но малой).

Используя (11), несложно получить разностное уравнение для среднего поля Якоби. При достаточно больших п величина < у > удовлетворяет системе

<у(п8)> - <у((п

= 8

т> =

К + 82К,\г<у{{п-\)8)>, <у'(п8)>-<у'((п-\)8)> =

= 8^-К + 82К313<у'((п - 1)5)>,

которая заменой <у(п8)> — <у((п — 1)5) > на 8<у'((п— 1)5)> может быть сведена к уравнению

<уЧп8)>-<у'{{п-\)8)> 8

+ {К-821С1?,)<у{{п-\)8)> = Ъ. (12)

Разностное уравнение (12) похоже на уравнение (1), а роль эффективной кривизны пространства Кец

теперь играет величина

1,3-

Вычислим матричный элемент /С|3. Из (10) сле-

дует, что

гз - 1

<5 /П /Т2

т3) йтг йт2 йт\ =

т3) йт2 йтг йт\ =

с(т\ - Т3) (т] - т3) йтъ I (1т\. (13)

о х0

Переходя в (13) к новым переменным £ = т] — т3, т3 = т3 и учитывая, что якобиан отображения (73,7-1) (т3,0 равен единице, получим

гз - 1

Из ^¿2

_1_

¿з

сЦ)? Л.

(14)

о о

Отметим, что при вычислении этого матричного элемента в [2] допущена неточность, которую мы здесь исправили.

Для нахождения в явном виде эффективной кривизны требуется задать корреляционную функцию с(1). Выберем ее ради определенности в виде сЦ) = <К2> ехр(—¿2/г|), где го € (0,5) — корреляционный радиус, величина которого и определяет эффекты памяти в рассматриваемой модели. Подставляя с(1) в (14), мы приходим к результату

Км =

где ег!(-) -

г2<К2>^

7ГГ0

2 V 28 функция ошибок.

ег^/го)), (15)

3. Обсуждение

Итак, мы отказались от условия короткокорре-лированности, добавив в описание флуктуаций кривизны эффекты памяти. Это привело к усложнению уравнения для среднего поля Якоби —оно стало разностным. Однако, как и дифференциальное уравнение (1), оно описывается эффективным значением кривизны Кец, приводящим к некоторому уменьшению осредненного значения К. В этом смысле уравнение для среднего поля Якоби оказывается устойчивым по отношению к усложнению модели. Еще одним аргументом в пользу указанной устойчивости являются результаты численного моделирования решений уравнения Якоби [5, 6].

Отметим, что формула (15) получена для совершенно произвольных 0 < го < 8. При го <С 8 и К = 0 выражение (15) переходит в полученное в [2]

соотношение Кец =

ик2>

Автор благодарен Д. Д. Соколову за обсуждение

текста и сделанные замечания.

Литература

1. Зельдович Я.Б. 11 Астрон. журн. 1964. 41. С. 19.

2. Lamburt V.G., Sokoloff D.D., Tutubalin V.N. 11 Astrophysics and Space Science. 2005. 298. P. 409.

3. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М., 1971.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 2004.

5. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. // Вычислительные методы и программирование. 2004. 5, № 2. С. 172.

6. Артюшкова М.Е., Соколов Д.Д. // Астрон. журн. 2005. 82, № 7. С. 584.

Поступила в редакцию 26.03.07