CC BY
8
УДК 514.74
НИЖНЯЯ ОЦЕНКА СРЕДНЕГО РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СОПРЯЖЕННЫМИ ТОЧКАМИ НА ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СО СЛУЧАЙНОЙ КРИВИЗНОЙ
В. Г. Ламбурт, В. Н. Тутубалин
(.кафедра теории вероятностей *))
Рассматриваются нижние оценил для расстояния между сопряженными точками на геодезической, кривизна вдоль которой предполагается случайным процессом с обновлением. В асимптотике стремящейся к нулю кривизны задача сводится к изучению пересечения уровня некоторым диффузионным процессом с отражением.
Введение
Еще в 1960-е гг. Я. Б. Зельдович обратил внимание на то, что концентрация вещества во Вселенной в отдельные небесные тела и связанные с этим флуктуации кривизны не только вносят небольшой шум в космологические тесты, но и приводят к некоторому систематическому эффекту. В недавней работе [1] показано, что эффект Зельдовича можно описать как возникновение эффективной кривизны, входящей в описание распространения света во Вселенной. Отличие эффективной кривизны от усредненного значения кривизны космологической модели связано с наличием флуктуаций кривизны. Грубо говоря, оказывается, что Вселенная, плотность которой в среднем равна критической, кажется наблюдателю имеющей слегка отрицательную кривизну пространственного сечения.
Задача об учете влияния неоднородностей кривизны на распространение света во Вселенной исходно является задачей о поведении геодезических в четырехмерном псевдоримановом пространстве. Однако Зельдович показал, что в силу высокой степени однородности и изотропии Вселенной эта задача сводится к изучению сети геодезических на двумерной пленке в пространственном сечении, натянутой на проекции двух близких изотропных геодезических.
Существует еще один эффект, возникающий при распространении света во Вселенной с неоднород-ностями. Он состоит в том, что на геодезической, вдоль которой кривизна флуктуирует, рано или поздно возникают сопряженные точки, или, говоря физическим языком, гравитационные линзы, связанные с кумулятивным действием небольших неоднородностей кривизны. В настоящей работе мы производим некоторые оценки снизу для среднего расстояния между такими сопряженными точками.
1. Постановка задачи
Рассмотрим двумерное риманово многообразие, на котором выделена некоторая геодезическая
Механико-математический факультет МГУ.
с фиксированной точкой О. Пусть х — расстояние вдоль этой геодезической, отсчитываемое от точки О. Как известно, разбегание геодезических, близких к данной и проведенных через ту же точку О, описывается уравнением Якоби
y" + k(x)y = 0, (1)
где k(x) — (переменная) кривизна, а начальные условия имеют вид у(0) =0, у'(0) = 1.
Недавно была предложена модель, в которой кривизна k(x) считается случайным процессом [1]. Интуитивно в это понятие вкладывается тот смысл, что значения кривизны в далеко отстоящих друг от друга точках являются статистически независимыми. Именно считается, что существует длина S, такая, что значения случайного процесса k(x) на интервалах вида [хп,хп+\], где хп = п5, п = 0, 1,2,..., статистически независимы.
Такая форма гипотезы помещает вопрос об асимптотическом исследовании решения уравнения (1) при х-)оо в рамки известной теории Ферстенберга, относящейся к произведениям независимых случайных матриц [2-4]. Одним из глубоких результатов этой теории (который обычно и называется «теоремой Ферстенберга») является вывод об экспоненциально быстром росте длины вектора (у(х), у'(х)) при х —> ос.
Поскольку при k(x) = из2(х) > 0 уравнение (1) совпадает с уравнением гармонического осциллятора с переменной случайной упругой силой, то ранее этот вывод интерпретировался как экспоненциально быстрый рост энергии такого осциллятора. Для осциллятора не представляют особого интереса точки х, для которых у(х) = 0, т.е. осциллятор проходит через положение равновесия. Но для геометрии такие точки интересны: это точки, сопряженные с начальной точкой О; сопряженные точки сопоставляются с гравитационными линзами.
Как это принято в теории Ферстенберга, исследуемый вектор (у, у') сначала переписывается в полярных координатах у = г cos ф, у' = г sin ф, так что
значения полярного угла ф(хп) в точках обновления образуют эргодичеекую марковскую цепь на окружности. Что же касается полярного радиуса г(х), то простое вычисление показывает, что приращение логарифма
А1пг(х„) = Ыг(хп+\) — \пг(хп) (2)
является функцией от пары ['ф(хп),В(хп,хп+\)}, где В(хп,х,j+i)— фундаментальная матрица на отрезке [хп,хп+\], статистически не зависящая от ф(хп). Предполагая стационарность процесса k(x), т.е. одинаковое распределение всех матриц В(хп,хп+\), получаем, что такие пары тоже образуют эргодичеекую марковскую цепь. Таким образом, значение Inг(хп) является суммой случайных величин (2), функционально зависящих от состояния эргодиче-ской цепи Маркова. Известно, что (при широких и естественных условиях) это приводит к асимптотической нормальности In г(хп) при и-)оо с параметрами вида (па,<ул/п). Теорема Ферстенберга утверждает, что а> 0. Таким образом, г(хп) растет экспоненциально быстро, причем можно доказать, что при п —>■ оо величины г(хп) и ф(хп) делаются статистически независимыми.
Сопряженная точка х образуется, если ф(х) = = ±7г/2. Лишь с вероятностью, равной нулю, такая точка х может совпасть с одной из точек обновления хп. Но если значения ф(хп) и ф(хп+\) марковской цепи устроены так, что ф(хп) лежит по одну сторону диаметра, соединяющего точки окружности ±7г/2, а ф{хп+\) — по другую сторону этого диаметра, то в силу непрерывности решения уравнения (1) на интервале между точками хп и хп+\ обязательно имеется хотя бы одна сопряженная точка.
В настоящей работе мы занимаемся задачей о малых возмущениях изначально нулевой кривизны (т. е. такой асимптотической постановкой, когда sup \k{x)\ -л 0).
2. Основные уравнения модели
Уравнение (1) перепишем в виде системы двух уравнений первого порядка относительно вектора-строчки г = \гi, z2) и введем безразмерные переменные г\ = у, z2 = y'8, t = x/S, v = kS2, так что
d /N/0 -u(t)\
0 j- (3)
Начальные условия теперь имеют вид 2i(0) = 0,
z2(0) = S.
Эту систему будем изучать с помощью перехода к полярным координатам г\ = рсоъф, z2 = ръ'тф. Значения случайного процесса v(t) теперь обновляются в целочисленных точках / = 0,1,2,...; значения ф(0), ф(\),... образуют марковскую цепь на окружности. Легко видеть, что если отождествить
ПрОТИВОПОЛОЖНЫе ТОЧКИ ОКруЖНОСТИ ф и ф + Ж,
то марковский характер блуждания сохраняется.
Иными словами, можно считать, что ф{1) блуждает по отрезку [—7г/2,7г/2], причем концы этого отрезка отождествлены. В момент t = 0 блуждание начинается из точки 7г/2 (в силу начальных условий).
Внутри интервала (—ж/2,ж/2) сделаем замену
КООрДИНаТЫ и = \£ф. В СИЛу (3) U = Z2(t)/Z\(t), и используя это соотношение, нетрудно вывести дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет u(t) на прямой —оо < u(t) < оо (т.е. при условии —ж/2 < ф(1) < ж/2). Для этого нужно заметить, что при малом At справедливо соотношение
z(i + Ai) = z(i)[£+Ç ~^Ai + o(Ai)]. (4)
Из уравнения (4) нужно выразить разность
z2(t + At)/z\(t + At) - z2{t)/z\(t) = uit + At) - u(t),
разделить ее на At и перейти к пределу при At —>-0. В результате получается уравнение следующего вида:
du/dt = - (v(t) + u2) . (5)
Будем условно называть безразмерную переменную t «временем», тогда (5) естественно называть «динамической системой».
Мы предлагаем следующую асимптотическую постановку задачи исследования этой системы. Пусть дано, что безразмерная кривизна v(t) ограничена, \v(t)\ ^ 6, где в дальнейшем будет е —> 0. Пусть v(t) является стационарным случайным процессом с обновлением в точках t = 0,1,..., причем среднее Ev{t) = 0, а дисперсия интеграла v{t) dt имеет вид be2, где b> 0 и не меняется при е—>-0. Пусть также длина S промежутка между точками обновления не меняется при е—>-0. В начальный момент ф(0) = ж/2. В этой точке координата и = igф не существует, но через сколь угодно малое время At оказывается, что ф(А£) < ж/2, и из уравнения (5) видно, что при и > у/е скорость du/dt отрицательна. Если бы нулевая кривизна не возмущалась случайной кривизной v(t) (т.е. кривизна равнялась бы нулю тождественно), то u(t) приближалось бы к нулю сверху, никогда его не достигая. Однако случайные неоднородности v(t), которые в силу условий Ev(t) = 0, b> 0, бывают как положительными, так и отрицательными, как оказывается, неизбежно перебрасывают u(t) через нулевой уровень, причем достигается и уровень u(t) = —л/i. После этого начинается монотонное движение u(t) к —оо, и за конечное время соответствующая точка фЦ) достигает точки — ж/2 (которая отождествлена с ж/2). В этот момент и появляется сопряженная точка.
Мы занимаемся оценкой среднего времени перехода полярного угла ф{1) от точки ж/2 до точки —ж/2 (что после умножения на расстояние между точками обновления S дает среднее расстояние между сопряженными точками). Несмотря на
простоту уравнения (5), задающего динамическую систему, исследование этой системы затруднительно потому, что система является цепью Маркова лишь в моменты обновления I = 0, 1,... . Хотелось бы свести задачу в асимптотической постановке (т.е. при 6 —)■ 0) к диффузионному процессу, как это обычно делается в математической физике. Такое сведение наталкивается на некоторые трудности, и в результате мы получаем не точное (в диффузионном приближении) выражение для среднего времени перехода, а лишь его оценку снизу. Нетрудно показать, что среднее время перехода от значения <^(0) = тг/2 к такому значению ф', что и> = = л/е, имеет порядок величины С\/л/е, где С\ — некоторая константа. Аналогично после достижения системой (5) состояния и = и" = —\/ё. сопряженная точка появляется через среднее время порядка Сг/т/в- В настоящей работе мы выводим нижнюю оценку среднего времени перехода системой (5) от точки т/б до точки —л/е, и эта оценка оказывается величиной порядка е^2//3 >> С/у/ё. Следовательно, основная часть времени перехода от одной сопряженной точки до другой определяется временем пересечения системой (5) интервала [—т/ё,л/е]. Далее мы будем рассматривать движение системы (5) лишь на этом интервале (и только внутри этого интервала строить различные диффузионные приближения).
3. Нижняя оценка
Проведем доказательство высказанного выше утверждения о нижней оценке. Рассмотрим некоторое число а, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < а < 1, и среднее время перехода от уровня еа до уровня —6° для несколько измененной в сравнении с (5) динамической системы щ (1). А именно положим
йщ/(И = -(р(() + е2а), (6)
причем наложим дополнительное условие, что система щ (1) при пересечении снизу уровня еа испытывает отражение траектории от этого уровня. Поскольку скорость системы (6) в любой точке интервала [—е", е"] ограничена сверху скоростью системы (5), да еще и добавлено условие отражения, которого нет для системы (5), то ясно, что траектория системы (6), исходящая из точки еа, достигает уровня —6° быстрее, чем траектория системы (5). Оценим это среднее время для системы (6) с помощью аппроксимации диффузионным процессом.
Поскольку в силу условий К0| ^ 6,2а > 1 система (6) за единицу времени сдвигается на величину порядка е, а нужно пройти путь 2еа, речь идет о числе шагов не менее 2еа-1 —> ос при 6 —> 0. В целочисленные моменты времени I положение системы щ (I) отличается от ее начального положения на сумму случайных величин & = ^ плюс сУмма такого же числа по-
стоянных слагаемых, равных е2а. Поскольку число временных шагов стремится к бесконечности, при-
менима центральная предельная теорема, которую мы сформулируем как возможность приближенной замены уравнения (6) следующим стохастическим дифференциальным уравнением:
dti2 = sjD^dwt — e2adt,
(7)
где — стандартный винеровский процесс.
Мы приняли, что £)£>• = Ье2, а следовательно, система (7), аппроксимирующая систему (6), является диффузионным процессом с коэффициентом диффузии а2 = Ье2 и коэффициентом сноса а = —е2а. Обозначим через д(х) среднее время достижения границы —6° таким процессом, начинающимся в точке х € [—еа,еа]. Хорошо известно, что функция д(х) удовлетворяет уравнению
Ав = -\, (8)
где оператор А = (а2/2)(с12/с1х2) + а(с1/с1х) является инфинитезимальным оператором диффузионного процесса, причем условие отражения от правой границы 6° состоит в том, что ¿(х) = 0 при х = еа, а на левой границе, очевидно, еа) = 0. Решая уравнение (8), получаем
g(x) = С\ + С2 ехр[(—2а/а2)х] —х/а.
После подстановки указанных значений сноса а и диффузии а2 и определения констант из граничных условий получаем формулу
g(е°) = 2е^а - ф/2)е2^° 1 - ехр
-(4/6)б^2+3а)
(9)
Для любого а из интервала (1/2, 1) выражение (9) представляет собой нижнюю оценку. Выберем теперь а так, чтобы выражение (9) имело (как функция б) наибольший возможный порядок величины. Нетрудно видеть, что это достигается при а = 2/3, причем получается, что
g(б2/3) = [2 - (Ь/2)(1 - ехр(-4/6)Ж2/3 «
« (2 - Ы2)(721ъ.
(Напомним, что b ^ 1 в силу условия v(t) ^ е.) Таким образом, среднее время перехода системы (5) от уровня л/ё > б2//3 до уровня — л/ё < — б2//3 во всяком случае не менее Се^2^.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 02-01-00297).
Литература
1. Ламбурт В.Г., Соколов Д.Д., Тутубалин В.Н. // Ма-тем. заметки. 2003. 74. С. 416.
2. Furstenberg Н. // Ann. Math. 1963. 77. P. 335.
3. Furstenberg H. 11 Trans. Am. Math. Soc. 1963. 108. P. 377.
4. Сазонов В.В., Тутубалин В.Н. 11 Теория вероятн. и ее примен. 1966. 11. С. 3.
Поступила в редакцию 15.03.06
