CC BY
41
УДК 621.01
М. Г. Яруллин, И. А. Галиуллин
ВЛИЯНИЕ ДЛИН ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА БРИКАРДА НА ЕГО КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
Ключевые слова: кинематика, модификации механизма Брикарда, скорость, ускорение.
В данном исследовании приведён анализ кинематических параметров механизма Брикарда и его модификаций. В исследовании приведены формулы определения координат характерной точки механизма, полученные с помощью программы символьных вычислений Maple. Приведённые формулы зависимости координат точки от времени могут быть использованы для нахождения формул линейной скорости и линейного ускорения. В работе выявлено влияние изменения длин звеньев механизма Брикарда на его кинематические параметры. Результаты исследования могут быть использованы конструкторами при проектировании устройств, построенных на базе механизма Брикарда.
Keywords: kinematics, Bricard linkage modifications, velocity, acceleration.
This paper analyzes kinematic parameters of Bricard linkage and its modifications. This research gives formula to determine coordinates of the Bricard linkage's characteristic point by using Maple - symbolic computations system. The given formulas can be used to find coordinates of the characteristic point, the linear velocity and linear acceleration. The paper shows dependency between Bricard linkage's links length and its kinematic parameters. Engineers can use results of this research for construction of devices based on the Bricard linkage.
Введение
Механизм Брикарда [1], исследуемый в данной работе, показан на рисунке 1. Известны работы по исследованию кинематических параметров механизма Брикарда и его практическому применению [2-7]. Однако объектом исследования в них является, преимущественно, классический механизм Брикарда с равными длинами звеньев. В данном исследовании рассматриваются модификации механизма Брикарда с различными длинами звеньев. Применение методов матричного задания положения позволил получить систему уравнений, описывающую взаимосвязь между углами поворотов звеньев механизма и их длинами.
Рис 1 - Механизм Брикарда
Система символьных вычислений Maple, разработанная Waterloo Maple Inc, позволяет значительно ускорить и упростить математические расчёты [8]. Приведём функции зависимости углов поворота звеньев механизма (aC, aD, aE, aF, aA) и координат точки D (Sx Sy Sz), полученные с помощью системы Maple для «классического» механизма Брикарда, имеющим звенья длиной 10 см.
- sin(aC )sin(aD) = - sin(aA )sin(aF); cos(aD )sin(aC) = - cos(aE )cos(aF )sin(aA) -
- cos(aA )sin(aE);
- cos(aC) = - cos(aA )cos(aE) + + cos(aF)cos(a A) cos(aE);
13 sin(aC) =-(-l3 + (-l2 -l1 cos(aE))cos(aF))sin(aA) + +l1 cos(aA)sin(aE);
- cos(aD)sin(aB) -
- cos(aB )cos(aC) sin(aD) = cos(aA) sin(aF); cos(aB)cos(aC)cos(aD) -
- sin(aB )sin(aD) = cos(aA )cos(aE )cos(aF) -
- sin(aA )sin(aE);
cos(aB )sin(aC) = - cos(aE )sin(aA) -
- cos(aA) cos(aF) sin(aE);
l1 + cos(aB )(l2 +13 cos(aC)) = cos(aA)(-l3 +
+ (-l2 -11 cos(aE))cos(aF)) +l1 sin(aA)sin(aE);
cos(aB )cos(aD) - cos(aC )sin(aB )sin(aD) = cos(aF);
cos(aC )cos(aD )sin(aB) +
+ cos(aB )sin(aD) = - cos(aE )sin(aF);
sin(aB )sin(aC) = sin(aE )sin(aF);
(l2 +13 cos(aC ))sin(aB) = -(-l2 -l1 cos(aE ))sin(aF).
Для упрощения решения системы обозначим: cos(aA) = a;
sin(aA) = Vl - a'
cos(aB) = b;
sin(aB) = V 1 - b2 cos(aC) = c;
sin(aC) = V1 - c2
cos(aD) = d;
sin(aD) = V1 - d2; cos(aE) = e;
sin(a£) = V 1 - e2; cos(aF) = f;
sin(aF) = V1- f2;
Тогда система уравнений примет вид:
- л/1 - с2 Vl - d2 = -Vl - a2 Vl - f2;
Vl - b2 d - b^ 1 - d2 = -W1 - f2; bd-V1 - b2 cV 1 - d2 = f;
V1 - с2 d = -aV1 - e2 -л/1 - a2 ef;
bcd-V 1 - b 2Ь - d2 = - a2 л/1 - e2 + aef;
V1 - b2 cd + bV 1 - d2 = -eV 1 - f2;
- с = ae + fV 1 - a2 V1 - e2;
bV1 - с2 = -^1 - a2 - afj 1 - e2; V1 - b Ч1 - с2 = V 1 - e Ч1 - f2; l- с2 = W1 - e211 W1 - a2 (-f (-e/1 -12) +13); l1 + b(l2 + с/3) = V 1 - a2 V1 - e211 + a(f(-el1 -12) +13); (l2 + с/3)л/1 - b2 = V1 - f2 (el1 +12).
Решение системы позволит решить задачу синтеза механизма Брикарда в общем виде (определять значения длин звеньев, при которых характерные точки механизма будут иметь требуемые кинематические параметры).
Решение системы уравнений в программе символьных вычислений Maple 12
Система символьных вычислений Maple, разработанная Waterloo Maple Inc, позволяет значительно ускорить и упростить математические расчёты.
sys:={-sqrt(1-o2) sqrt(1-d2)=- sqrt(1-a2) sqrt(1-f), - sqrt(1-b) d - b с sqrt(1-d2) = a sqrt(1-f2),
b d - sqrt(1-b2) с sqrt( 1-d2) = f, sqrt(1-02) d = -a sqrt(1-e2) - sqrt(1-a2) e f b с d - sqrt(1-b2) sqrt(1-d2)
= - sqrt(1-a2) sqrt(1-e2) + a e f, sqrt(1-b2) с d +b sqrt(1-d2) = -e sqrt(1-f2), -с = a e + sqrt(1-a2) sqrt(1-
e2) f, b sqrt(1-€2) = - sqrt(1-a2) e - a sqrt(1-e2) f, sqrt(1-b2) sqrt(1-€2) = sqrt(1-e2) sqrt(1-f2), l3 sqrt(1-с2) = a sqrt(1-e2) l1 + sqrt(1-a2) (-f (-e l1 -12) +13), l1 + b (l2 + с l3) = sqrt(1-a2) sqrt(1-e2) l1 + a (f (-e l1 -l2) -13), (l2+l3 с) sqrt( 1-b2) = sqrt(1-f2) (e l1 +12)} Для «классического» механизма Брикарда, со значениями длин звеньев L1=L2=L3=10.
sys:={-sqrt(1-o2) sqrt(1-d2)=- sqrt(1-a2) sqrt(1-f), - sqrt(1-b2) d - b с sqrt(1-d2) = a sqrt(1-f2), b d - sqrt(1-b2) с sqrt(1-d2) = f, sqrt(1-€2) d = -a sqrt(1-e2) - sqrt(1-a2) e f, b с d - sqrt(1-b2) sqrt(1-d2) = - sqrt(1-a2) sqrt(1-e2) + a e f, sqrt(1-b2) с d +b sqrt(1-d2) = -e sqrt(1-f2), -с = a e + sqrt(1-a2) sqrt(1-
e2) f, b sqrt(1-c2) = - sqrt(1-a2) e - a sqrt(1-e2) f, sqrt(1-b2) sqrt( 1-c2) = sqrt(1-e2) sqrt(1-f2), 10 sqrt(1-c2) = a sqrt(1-e2) 10 + sqrt(1-a2) (-f (-e 10 -10) + 10), 10 + b (10 + c 10) = sqrt(1-a2) sqrt(1-e2) 10 + a (f (-e 10 - 10) - 10), (10+10 c) sqrt(1-b2) = sqrt(1-f2) (e 10 + 10)}
Решение системы в среде Maple: res :— solve(sys, {a, c, d, e, f});
res :=
a — -
b2
(b + 1)V- (b - 1)(b +1)'
c=
1
(b + 1)2V - (b - 1)(b +1)
(b(W 1- b2 -
- - (Ь - 1)(Ь +1)-д/- (Ь - 1)(Ь +1))),
d = Ь,е =—— ,1 = Ь Ь +1
Итоговое решение системы, с учётом произведённых выше условных обозначений:
. соэ(ав)
аА = л - агссоБ(- );
соэ(ав) +1
, СОБ(ав) ч
ас = л - агссоэ(- в );
СОБ(ав) +1
ай = ав;
, СОБ(ав) ч аЕ = л - агссоэ(—^ в „);
CQS(aB) +1
(Хр — ССв ;
sx —10
2cos(aB) +1 ;
у (cos(B) + 1)
S = 10(2cos((B) +1);
y cos(B) +1
Sz —
10c sgn(sin(aB ))sin(B)
соэ(ав) +1 Дифференцирование полученных функций 5У, 52 позволит найти функции скорости точки Б. ^ = 10з1п(ав )сов(ав) ;
2сО5("в) + 1 (сов(ав )3 + 3сов(ав )2 + 3сов(ав) +1)
(cos(«B) +1)2
vy = -
10sin(B)
cos(B )2 + 2cos(aB) +1
+
= 10(-c sgn(1,sin(aB ))cos(aB )2 ' sin(B )(cos(aB) +1)
c sgn(sin(aB ))sin(aB) + c sgn(1,sin(aB))
Б1п(ав )(соэ(ав) +1) Дифференцирование функций ух, уу, ч2 позволит найти функции ускорения точки Б. В ходе выполнения исследования была создана программа, позволяющая по введённым параметрам длин звеньев механизма построить графики кинематических параметров характерной точки Б механизма Брикарда. Это позволило провести анализ влияния изменения длин звеньев на поведение механизма.
Система также позволяет решить систему уравнений для любых других значений длин звеньев, в том числе при L1ÏL2ÏL3.
Анализ кинематических параметров модификаций механизма Брикарда
Рассмотрим группу модификаций механизма Брикарда, отличающихся только длиной звеньев ¡2 и выявим влияние этого параметра на кинематические характеристики точки D. Для упрощения восприятия графиков, рассмотрим только положительные значения угла поворота ведущего звена от 0 до 180 градусов. Графики симметричны относительно оси ординат, следовательно, неразрывность всех графиков на этом диапазоне покажет наличие кривошипа.
Для определения влияния параметра ¡2 на кинематические параметры, рассмотрим механизмы со следующими параметрами:
Таблица 1 - Параметры звеньев
№ li l2 1з
1 50 1 50
2 50 25 50
3 50 50 50
4 50 75 50
5 50 100 50
чение ¡2 меняет поведение ад, заставляя его постоянно уменьшаться.
При малом значении ¡2, ао опережает угол поворота ведущего звена ав до тех пор, пока он меньше 90 градусов. После значения 90 градусов рост ао плавно замедляется и ао начинает стремится к нулю. При этом увеличение ¡2 до значения, равного ¡1 и ¡з, заставляет ао изменяться прямо пропорционально ав. Дальнейшее увеличение ¡2 меняет поведение ао на противоположное: угол ао запаздывает за углом поворота ведущего звена ав до тех пор, пока он меньше 90 градусов. После 90 градусов ао плавно ускоряется, опережая ав.
Рис 3 - Графики Sx=f(aB)
На рисунке 2 показаны графики зависимости углов поворота звеньев механизма (ас, ао, Од) для различных значений параметра ¡2,- указанных в таблице 1. Графики для ао и ар не приводятся, так как они, согласно формуле (2), равны углу поворота ведущего звена ав.
Рис 2 — Графики изменения угла СТд, ас, ао
По рисунку 2 видно, что увеличение параметра ¡2 уменьшает диапазон углов поворота шарниров ас и ао, одновременно увеличивая диапазон возможных значений ад.
Параметр ¡2 влияет на характер изменения углов поворота шарниров механизма. Как видно по рисунку 3, малое значение ¡2 заставляет ас изменяться обратно пропорционально ав. Увеличение ¡2 изменяет поведение ас, заставляя его сохранять постоянное значение до тех пор, пока угол поворота ведущего звена ав не достигнет значения 90 градусов, после чего ас резко уменьшается.
Если длина звена ¡2 значительно меньше ¡1 и ¡з, то при равномерном вращении ведущего звена, ад сперва увеличивается, затем уменьшается до нуля. Увели-
По рисунку 3 видно, что при большом значении параметра ¡2, проекция точки О на ось X остаётся постоянной пока угол поворота ведущего звена ав находится в пределах от -90 до 90 градусов. При выходе за эти пределы, проекция точки резко стремиться к нулю. При малом значении ¡2, проекция точки О на ось Х плавно растёт, замедляясь к тому моменту, когда угол поворота ведущего звена ав достигнет значения 90 градусов, после чего так же плавно уменьшается до нуля.
По рисунку 4 видно, что увеличение ¡2 приводит к увеличению проекции точки О на ось У при нулевом значении угла поворота ведущего звена ав. Кроме того, увеличение ¡2 приводит к увеличению скорости изменения проекции точки (увеличению проекции скорости точки на ось У).
Рис 4 — Графики изменения координат 52
По рисунку 4 видно, что увеличение ¡2 не влияет на проекцию точки при нулевом значении угла поворота ведущего звена ав. При малых значениях длины звена ¡2 проекция точки О на ось Z становится отрицательной на некотором диапазоне угла поворота ведущего звена. При больших значениях
¡2, координаты точки плавно увеличиваются и резко возрастают при дальнейшем увеличении угла поворота ведущего звена.
Таким образом, анализ кинематических параметров характерной точки исследуемой модификации механизма Брикарда показал:
1. Механизм Брикарда не имеет кривошипа при любом соотношении длин звеньев.
2. Угол поворота ар звена БЛ равен углу поворота ав ведущего звена ВС при любом значении длины звена ¡2.
3. Угол поворота аЕ звена ЕР равен углу поворота ад звена Лв при любых соотношениях длин звеньев.
4. Для «классического» механизма Брикарда, имеющим одинаковые звенья, диапазон углов поворота всех звеньев составляет [-120;120].
5. Для увеличения диапазона поворотов звеньев СБ и ББ (ас и ао) необходимо увеличить длину звена ¡2.
6. Для увеличения диапазона поворота звена ЛВ (ад) необходимо уменьшить длину звена ¡2.
7. Для любых соотношений длин звеньев при повороте ведущего звена на 90 градусов все звенья механизма также будут повёрнуты на 90 градусов.
8. Можно обеспечить обратную зависимость угла поворота аС звена СБ от угла поворота ав ведущего звена ВС путём значительного уменьшения длины звена ¡2.
Приведённые выводы могут быть использованы конструкторами при разработке устройств, построенных на базе механизма Брикарда.
В исследовании использован новый метод анализа кинематики механизма Брикарда, основанный на ис-
пользовании алгоритмов компьютерной графики и системы символьных вычислений Maple. Метод полностью формализуем и может лежать в основе программы анализа кинематики модификаций механизма Брикарда.
Показанный метод анализа влияния длины звена механизма Брикарда на кинематические параметры его характерной точки является универсальным, позволяет анализировать влияние любого параметра на кинематические параметры любой характерной точки механизма.
Литература
1. Bricard R. Lecons de cinematique. Vol. 2. Paris, 1927. 352 p;
2. Cretu S.M., TRIZ Applied to Establish Mobility of Some Mechanism, 1, 1, 201-206, (2007);
3. Pfurner M., Husty M.L., A Method to Determine the Motion of Overconstrained 6R-Mechanisms, 1, 1, 350356, (2007);
4. Racila L., Dahan M. Bricard Mechanism Used as Translator, 3, 1, 337-341, (2007);
5. Racila L., Dahan M. 6R Parallel Translational Device, 1, 1, 85-86, (2011);
6. Yaozhi L., Ying Y., Jingjing L. International Journal of Solids and Structures: A retractable structure based on Bricard linkages and rotating rings of tetrahedral. 45, 2, 620-630, (2008)
7. Ozgun S. Дисс. Master of science, Izmir Institute of Technology, Izmir, 2008. 107 с.
8. Char B., Fee G., Geddes K., Gonnet G., Monagan M. Journal of Symbolic Computation: A tutorial introduction to Maple, 2, 1, 179-200 (1986).
© М. Г. Яруллин - д-р техн. наук, проф., зав. каф. машиноведения и инженерной графики КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, [email protected]; И. А. Галиуллин - асп. той же кааафедры.
©M. G. Yarullin, Ph.D., professor, head of the Department "Machinery and engineering graphics", KNRTU named after A.N.Tupolev - KAI, [email protected]; 1 A. Galiullin, graduate student of the Department "Machinery and engineering graphics", of the Department "Machinery and engineering graphics", KNRTU named after A.N.Tupolev - KAI.
