CC BY
32
УДК 511.3
Владимир Григорьевич Чирский
(к 70-летию со дня рождения)
Н. М. Добровольский, Т. К. Иконникова, Е. С. Крупицын, В. Ю. Матвеев, Ю. В. Нестеренко, В. И. Чубариков, М. В. Шамолин
Владимир Григорьевич Чирский родился в Москве 30 июня 1949 года. Его родителями были Григорий Михайлович Чирский, начальник одного из управлений МПС и Елена Ивановна Фирстова, преподаватель английского языка на Госкурсах «Иняз». Его брат, Алексей Григорьевич Чирский, 1932 года рождения, был горным инженером. У него прекрасная семья, жена - Галина Владимировна, две дочери, Наталья и Ольга, четыре внука и внучка.
Владимир Григорьевич окончил среднюю школу №710 с серебряной медалью. Он учился на механико - математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова и на третьем курсе начал изучать теорию чисел под руководством профессора А. Б. Шидловского, заведующего кафедрой теории чисел МГУ. По окончании факультета был рекомендован в аспирантуру отделения математики. К этому моменту им были опубликованы 4 статьи. С 1973 года начал работать на кафедре математического анализа сначала почасовиком, с 1975 года ассистентом кафедры. Защитил кандидатскую диссертацию в 1978 году и с 1983 года работал доцентом кафедры математического анализа. После защиты в 2000 году докторской диссертации работает профессором этой кафедры с 2001 года по настоящее время. С 1998 г. по 2006 г. работал заместителем декана механико-математического факультета по учебной работе. С 2007 года исполняет обязанности заведующего кафедрой теории чисел МИГУ, с 2006 года работает профессором в РАНХиГС. Кроме того, он является редактором раздела «Теория чисел» РЖ «Математика» ВИНИТИ РАН.
В. Г. Чирский преподавал и читал лекции на различных факультетах МГУ: механико-математическом, химическом, геологическом, факультете психологии. Он является ответственным на кафедре за преподавание на химическом факультете. Он участвовал в издании 5 учебных пособий по математическому анализу и приложениям математики к задачам естествознания. Кроме того, он многие годы был старшим экзаменатором на вступительных
экзаменах по математике на различных факультетах МГУ. Опыт этих экзаменов нашел отражение в 6 пособиях по элементарной математике. Под его руководством защищены две кандидатские диссертации, подготовлены к защите диссертации еще двух его учеников.
Научные интересы В. Г. Чирского относятся к теории трансцендентных чисел в р - адиче-ских полях и прямых произведений этих полей. Используемый им метод представляет собой некоторую модификацию метода Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел. Изначально этот метод использовался для исследования арифметической природы Е - функций. Целая функция
те
Я*) = £ п*П (!)
п=0 П-
Е
Все коэффициенты Сп принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю К конечной степени к над полем рациональных чисел.
(и) Максимумы абсолютных величин алгебраически сопряжённых с числом Сп чисел для любого е > 0 представляют собой О (п£П), п ^ го. Для так называемой Е- функции в узком смысле это соотношение заменяется на О (Сп), п ^ го с некоторой постоянной С > 1.
(ш) Существует последовательность натуральных чисел йп такая, что при к = 0,1,...,п числа принадлежат кольцу целых чисел Ък толя К и йп = О (п£П), п ^ го. (Для Е- функции в узком смысле это соотношение заменяется на О (Сп), п ^ го с некоторой С > 1
Е
получившие широкую известность. Сформулируем одну из них.
Теорема. (А. Б. Шидловский) Пусть Е - функции А (г),..., составляют решение
системы линейных дифференциальных уравнений
т
у'г = Яь0 (г) + ^ Я^э (г) у,, г = 1,...,т (2)
3 = 1
с коэффициентами из поля С(г) рациональных функций от г и алгебраически независимы над этим полем,. Пусть а - алгебраическое число, отличное от, нуля, и особых точек системы (2). Тогда, числа, А (а),..., ¡т (а) алгебраически независимы, т.е. для любого от,личного от, нулевого многочлена Р (у\,..., ут) выполняется неравенство
Р (Д (а),..., ¡т(а)) = 0.
Е
функциям вида
^ (а!)п... (а1 )п( г \{т-1)п ,,
¿0 (Ь1)п - (ЬДДт -I) , и
где все числа а\,... ,а1, Ь\,..., Ьт - рациональные, причём каждое из чисел Ь\, ... , Ьт отлично от нуля и целых отрицательных чисел, число т — I положительное, а символ (е)п определён равенствами: ( с)о = 1, (с)п = с(с + 1) ... (с + п — 1), п = 1, 2,.... Практически полное решение
задачи об условиях, при которых обобщённые гипергеометрические Е - функции алгебраически независимы над полем С(^), получено в работах ученика А. Б. Шидловского, профессора В. X. Салихова.
В основополагающей работе К. Зигеля отмечена возможность применения этого метода к другому классу С - функций. Ряд
те
/ (г) = £ с^ (4)
п=0
называется С - функцией, если все коэффициенты сп принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю К конечной степени к над полем рациональных чисел и удовлетворяют тем же условиям, что и коэффициенты Е - функции в узком смысле. Исследуя арифметические свойства значений функций этого класса, Э. Бомбиери в 1981 году ввёл понятие глобального (алгебраического) соотношения. Пусть Р (у\,..., ут) - отличный от нулевого многочлен с коэффициентами из поля К и пусть степенные ряды (г),..., /т(г) имеют коэффициенты из поля К и точка а € К. Соотношение
Р (Л (а) ,...,/т(а)) = 0
называется глобальным, если оно выполняется во всех полях К^, в которых сходятся все ряды /1 (а),..., /т (а).
В работах В. Г. Чирского введён в рассмотрение новый класс степенных рядов, к которому удалось применить метод Зигеля-Шидловского для исследования глобальных соотношений, класс Е—рядов. Естественным шагом стало исследование рядов вида
те
/ (г) = £ с„ ■ п\ ■ ха. (5)
га=0
Будем говорить, что этот ряд принадлежит классу Е (К, С1, С*2,Сз,д), если
Все коэффициенты с-п принадлежат некоторому алгебраическому числовому полю К конечной степени к над полем 0> рациональных чисел.
(и) Максимумы абсолютных величин алгебраически сопряжённых с числом сп чисел представляют собой О (е^1™) ,п ^ го с некоторой постоянной С1.
(ш) Существует последовательность натуральных чисел йп такая, что при к = 0,1,...,п числа принадлежат кольцу целых чисел Ък толя К и <1п = дп(1о,п, Я € N а числа (1о,п делятся только на простые числа р, не превосходящие С2ПО и для всех таких простых р выполняется неравенство °9Р (й0,п) ^ С3 п + ^
Из свойства 3 следует, что если простое число р не делит число д, то ряд (5), например, " 1 с рациональными коэффициентами сп, имеет в поле радиус сходимости, равный рр-1 > 1.
Именно это обстоятельство позволяет применить к исследованию арифметических свойств значений таких рядов формулу произведения.
Известным примером .Р-ряда является ряд Эйлера ^^=0 п! ' (—г)П- Разумеется, если ряд (5) отличен от многочлена, он имеет в поле С нулевой радиус сходимости.
Легко заметить также, что если коэффициенты с-п ряда (5) удовлетворяют перечисленным условиям, то ряд (4) с теми же коэффициентами сп является С - функцией, а ряд (1) с теми же коэффициентами с-п является Е- функцией в узком смысле.
Сформулированные ниже теоремы представляют собой некоторые аналоги основных теорем А. Б. Шидловского, справедливые для Е - рядов.
Теорема 1 (Теорема 1.1 из (7) ). Пусть Р —ряды (г) = 1, /2 (г),..., ¡т (г) линейно независимы над полем К(,г) и составляют решение системы линейных дифференциальных уравнений
т
у'г = (г) + (г) Уз ,1 = 1,...,т (6)
3 = 1
с коэффициентами из поля С(г) рациональных функций от г. Пусть £ = 0, £ € К - регулярная точка системы (6). Пусть
Ь (У1, . . ., Ут) = ЬхУх + ... + НтУт
ненулевая линейная форма, к € Zк, г = 1,... ,т. Пусть Н (Ь) = тахН (к). Существует эффективно вычисляемая постоянная Н0 такая, что для любого
Н ^ тах(Н0,Н (Ь))
существуют эффективно вычисляемая постоянная Спростое число р, удовлетворяющие
неравенствам
«(Н) = > (^) <'-((1 + А)) =Р'(Н)
и нормирование V поля К продолжающее р - одическое нормирование поля 0> т,акие, что имеет место неравенство
Ь (О = ь (Л (0,..., ¡т (0) = 0.
Замечание. Можно также для хотя бы одного V, продолжающее р - адическое нормирование поля установить оценку
т + 3 + 2тСБ
|Ь (01„ >Н-т-.
Эта теорема допускает формулировку в несколько иных терминах. Рассмотрим множество точек вида:
(Х1,Х2, ...,Хп,...) ,
образующих бесконечномерное пространство. Это пространство представляет собой прямое произведение полей р - адических чисел. Именно, координата с номером п этого вектора представляет собой рп - адическое число, где рп - простое число с номером п. Напомним, что р - адические чиста являются пополнением поля рациональных чисел по р - адическому нормированию. Для рационального числа а символ |а|робозначает величину р - адического нормирования, т.е. |а|р = , где, в свою очередь, символ °9р(а) обозначает степень, в
а
произведение имеет естественную структуру коммутативного кольца с единицей (и с делителями нуля). Его принято называть кольцом полиадических чисел. Элементы а кольца целых полиадических чисел имеют каноническое представление в виде
те
а = ^ атт!, ат € N 0 ^ ат ^ т. (7)
т=1
п
равна п—__1", где Бп обозначает сумму цифр в р - ичном разложении числа п. Следовательно, для любого р при п ^ го выполняется соотношение |апп!|„ ^ 0. Это - достаточное условие для
того, чтобы ряд (7) сходился в поле 0>р. Сумму этого ряда (7) в поле обозначаем а(р). Как отмечено выше, полиадическое число а можно рассматривать, как точку бесконечномерного пространства с координатами а(р)п), где рп - простое число с номером п. Следует отметить, что ряды вида Х^тете0 апп\, ап € ^ ^^^^^ не во всех полях В случае, когда такой ряд
расходится лишь в конечном множестве полей lQp, мы говорим о почти полиадических числах и отождествляем их с элементами прямого произведения всех полей Qp, кроме упомянутого выше конечного множества.
Можно рассмотреть и прямое произведение полей К^, где V продолжает р - адическое нормирование поля ^ ^^ поле К алгебраических чисел конечной степени к. Если V продолжает р - адическое нормирование, то поле К представляет собой алгебраическое расширение поля р - адических чисел Qp степени к и справедливо равенство ^^ к = к, где суммирование производится по всем нормированиям -и, продолжающим р - адическое нормирование.
_ К,
Мы рассматриваем нормализованные нормирования, для которых = р * . Если нормирование V продолжает обычную абсолютную величину, то ему соответствует алгебраически сопряжённое поле К(г) и к = 1, если К(г) - подполе поля действительных чисел и к = 2, если нет. Равенство ^^ к = к выполняется и в этом случае.
КК дических числах. Для элемента а этого прямого произведения обозначаем его координату в поле К^.
Если существует Р (ж) - многочлен с рациональными коюффхциентами, отличный от тождественного нуля такой, что Р (а) = 0 (иными словами, Р (а(^) = 0 в каждом поле К это-
аа является алгебраическим, то его называют трансцендентным. Трансцендентность элемента означает, что для любого Р (х) - многочлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует простое число р и нормирован ие V тол я К, продолжающее р - адическое нормирован ие поля ^ ^^^то, ч то Р (а(^) = 0 в пол е К^. Назовём элемент а бесконечно трансцендентным, если для любого Р (х) - многочлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел р, для каждого из которых есть нормиров ание V тол я К продолжаю щее р - адическое нормирование такое, что Р (а(,и)) = 0 в поле К. Элемент а называется глобально трансцендентным,, если для любого Р (х) - многоюлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, неравенство Р (а(^) = 0 выполняется во всех полях К рассматриваемого прямого произведения.
Теорема 2. Пусть Р - ряды /1 (г) = 1, /2 (г),..., /т(г) составляют решение системы (6) и линейно независимы, над полем К(г). Пусть £ € К - регулярная точка системы (6). Пусть
Ь (У1, ..., Ут) = Ь1У1 + ... + Ътут--
ненулевая линейная форма, ^ € Ък, ъ = 1,... ,т. Тогда, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований V тля К продолжающих р - адическое нормирование поля ^ таких, что в поле К
ь (/1 (0 ,...,1т (0) = 0.
Иным,и словам,и, ряды, /1 (£),..., ¡т (£) бесконечно линейно независимы.
Теорема 3. Пусть Р - ряды /1 (г), /2 (г),..., /т(%) составляют решение системы (6) и алгебраически независимы над полем К(г). Пусть £ € К - регулярная точка системы (6). Пусть Р (у1,..., ут) - ненулевой многочлен с коэффициентами из Ък- Тогда, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований V поля К продолжаю щих р -адическое нормирование поля ^ таких, что в поле К
р и1 а) ,...,и а)) = 0.
Иными словам,и, ряды, (£),..., ¡т (£) бесконечно алгебраически независимы,
Сформулированные теоремы имеют приложения к обобщенным гипергеометрическим рядам. Символ Похгаммера определён равенствами
(а)0 = 1, (а)п = а (а + 1)... (а + п — 1) ,п ^ 1.
Для множества действительных чисел 5 = {а.1,..., аг; 01,..., 03}, относительно которых предполагаем, что числа 01,..., 03 - не целые неположительные, принято обозначать
р( 7 ... а \ = ^ (8)
01 ... & ' У Шп...Шпп
так называемый обобщённый гипергеометрический ряд. Можно рассматривать несколько более общие ряды вида
^ (а1)п ...(а )п 7п (с.\
¿0 (01)п. . . Шп " . 1 ]
Ряды (8) и (9) относятся к так называемым рядам Жевре порядков 5 + 1 — г ш 8 — г, соответственно.
Если г — 8 < 0, то рассматриваемый ряд (9) представляет собой целую функцию ( ряд (8) представляет целую функцию при г — 8 ^ 0). К этим случаям относятся показательная функция, функции Бесселя, функции Куммера и большое количество других, важных в математике функций. При условии рациональности чисел а1,... ,аг; 01,..., 03 они входят в класс Е - функций Зигеля и к исследованию их значений применим известный метод Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел [1]. Применению этого метода к гипергеомет-Е
близкое к полному решение проблемы. При г — 8 = 0 ряд (9) имеет конечный радиус сходимости ( ряд (8) имеет конечный радиус сходимости при г — 8 = —1). К таким функциям относятся логарифмическая функция, гипергеометрическая функция Гаусса, многие алгебраические функции, неполные эллиптические интегралы и др. При условии рациональности чисел а1,... ,аг; 01,..., 03 они входят в класс С - функций Зигеля и исследованию их посвящены работы А. И. Галочкина [11], Г. В. Чудновского [10], Э. Бомбьери [5], И. Андре [13] и др.
Если же г — 8 > 0, то ряд (9), отличный от многочлена, имеет нулевой радиус сходимости в поле С. (Ряд (8) имеет нулевой радиус сходи мости при г — 8 ^ 0). В этом случае получаются Р - ряды. Исследованию свойств таких рядов посвящены, например, работы [17]-[20]. В случае, когда среди параметров рассматриваемых гипергеометрических рядов содержатся иррациональные алгебраические числа, используя аппроксимации Эрмита-Паде, приведенные в [21], удается доказать бесконечную линейную независимость значений таких рядов в алгебраических точках [22].
Ещё одно направление исследований - вопросы алгебраической независимости элементов Ср над пол ем Qp. В работах В. Г. Чирского и П. Бундшу [34], [35], [46], [59] установлены теоремы, дающие достаточные условия алгебраической независимости над полем QpCOвoкyпнocтeй рядов вида
^апрг
гГп
апр
п=0
где ап - единицы кольца &гп возрастающая последовательность рациональных чисел. Рассмотрены также задачи об алгебраической независимости над полем Qp значений аналитических функций в точках такого вида.
СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ ЧИРСКОГО В. Г.
1. Об арифметических свойствах значений некоторых функций.
Совместно с М. С. Нурмагомедовым // Вестн. Моск. Ун-та.- Сер.1, матем., механ.-1973.-№1. -с.19 - 26.
2. Об арифметических свойствах значений некоторых функций.
Совместно с М. С. Нурмагомедовым // Вестн. Моск. Ун-та.- Сер.1, матем., механ.-1973.-№2. -с.38 - 45.
3. Об арифметических свойствах значений аналитических функций, связанных алгебраиче-
скими уравнениями над полем рациональных функций.// Матем. заметки.-1973.-т.14.-вып.1. -с.83 - 94.
4. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов. // Вестн. Моск. Ун-
та.- Сер.1, матем., механ.-1973.-Ж). -с.57 - 64.
5. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов. // Успехи матем.
наук.-1977.-т.32.-№1(193). -с.211 - 212.
6. Об арифметических свойствах значений аналитических функций с алгебраическими ко-
эффициентами рядов Тейлора. // Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем., механ.-1978.-№2. -с.41 - 47.
7. Об арифметических свойствах значений аналитических функций с алгебраическими ир-
рациональными коэффициентами рядов Тейлора. // Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем., механ.-1978.-ДОЗ. -с.29 - 34.
8. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций с иррациональны-
ми параметрами // Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем.,механ.-1978.-Л*!!3. -с.29 - 34.
9. Об арифметических свойствах значений эллиптических интегралов. // Вестн. Моск. ун-та.-
Сер.1, матем.,механ.-1979.-,№1. -с.З - 11.
10. Оценки линейных форм с алгебраическими коэффициентами. // Вестн. Моск. ун-та.-
Сер.1, матем.,механ.-1984.-№3. -с.32 - 35.
11. Оценки многочленов от значений эллиптических интегралов.// Диофантовы приближе-
ния, ч.1, МГУ.-1985. -с.106 - 109.
12. О нетривиальных глобальных соотношениях. // Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем., механ.
- 1989. - №5. -с.33 - 36
13. О глобальных соотношениях.// Матем. заметки.-1990.-т.48.-вып.2 -с.123 - 127.
14. Об алгебраических соотношениях в локальных полях. // Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1,
матем.^ехан.ЛЭЭО.-ЖЗ. -с.92 - 95.
15. Глобальные соотношения и гипергеометрические ряды.// Успехи матем. наук.-1991.-т.46.-
вып.6(282). -с.221 - 222.
16. Об арифметических свойствах значений С-функций.// Вестн. Моск. ун-та. — Сер.1, ма-
тем., механ. — 1991. -№4. - с.84 - 86.
17. Об арифметических свойствах значений некоторых функций. // Вестн. Моск. Ун-та.-
Сер.1, матем.,механ.-1992.-№4. -с.93 - 95.
18. Об алгебраических соотношениях в неархимедовски нормированных полях.// Функцио-
нальный анализ и прилож.-1992.-т.26.-вып.2. -с.41 - 50.
19. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций. // Матем. замет-
ки. -1992. -т.52. -выл.2. -с.125 - 131.
20. О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях.// Вестн. Моск. ун-та.-
Сер.1, матем.,MexaH.-1978.-№3. -с.29 - 34.
21. Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей// Вестн.Моск.ун-
та.-cep.l.матем. механ.-1994.-№4. -с.35 - 39.
22. Арифметические свойства значений гипергеометрических рядов.// Труды Матем. ин-та
PAH.-1994.-t.207. -с.З17 352.
23. О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов.// Труды Семин. Им. И.Г.
Петровского.-1995.-Ж8. -с.204 - 212.
24. Об арифметических свойствах значений некоторых рядов.// Матем.записки.-1996.-т.2. -
с.110 - 113.
25. Об арифметических свойствах значений некоторых рядов.// Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1,
матем.,Mexan.-1997.-№2. -с.53 - 55.
26. Об алгебраической независимости значений функций, удовлетворяющих системам функ-
циональных уравнений.// Труды Матем. ин-та РАН.-1997.-т.218. -с.433 - 438.
27. Об арифметических свойствах значений некоторых функций.// Фундам. и прикл. матем.-
1998.-т.4.-№2. -с.725 - 732.
28. О линейных глобальных соотношениях.// Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем.,механ.-1998.-
№4. -с.70 - 72.
29. Линейная независимость р-адических значений некоторых g-базисных гипергеометриче-
ских рядов.// Фундам. и прикл.матем.-1999.-т.5,№2. -с.619 - 625.
матем.,Mexan.-1999.-№6. -с.16 - 19.
Вестн. Моск. ун-та.- Сер.1, матем.,Mexan.-2000.-№2. -с.7 - 11.
32. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. Москва.:
Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ.-2000.-120стр.
33. Algebraic independence of elements from Cp over Qp. Совместно с P.Bundschuh //Arch.der
Math.,79(2002), 345 - 352.
34. Algebraic independence of elements from Cp over Qp, II, Acta Arithmetica,113.4(2004), 309 -
326, совместно с P.Bundschuh.
35. Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series, Ann. Fac.Sci. Toulouse, Vol XIII,
№2, 2004, 241 - 260. Совместно с D.Bertrand, J.Yebbou.
36. Метод Зигеля в р-адической области. Фундам. и прикл. Матем, 2005, том 11, №6, 221 -
230.
37. Обобщение понятия глобального соотношения. Записки научных семинаров ПОМП. Том
322, 2005. Стр. 220 - 238.
38. Рекуррентные соотношения для некоторых определителей. Фундаментальная и приклад-
ная математика, 2010, т.16, №6, 173 - 175.
39. Алгебраическая независимость над Qp значений аналитических функций в точках из Ср.
Вестник МГУ, сер 1.,матем.мех.,2010, №6, 25 - 27. Совм. с О.Ю.Баженовой.
40. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел. Чебышев-
ский сборник, 2011, №4.
2012, №2, 58 - 59. Совм. С Е.С.Крупицыным.
42. Арифметические свойства некоторых полиадических рядов. Вестник МГУ, сер.1, ма-
тем„механ, 2012, №5
43. Recurrent relations for certain determinants.в журнале Journal of Mathematical Sciences,
издательство Plenum Publishers (United States), 2012, том 182, №4, с. 565 - 566 DOI
44. О некоторых свойствах полиадических разложений (совм. с В. Ю. Матвеевым). // Чебы-
шевский сборник. 2013. Т. 14, №2, с. 163 - 171.
45. Values of Analytic Functions at points of Ср. Russian Journal of Mathematical Physics, из-
дательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2013.-том 20, №2, с. 149 - 154
46. On the Arithmetic Properties of Polvadic Integers. International Mathematical Forum, том 8,
№37, с. 1793 - 1796
47. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональны-
ми параметрами. Известия РАН. Серия математическая, 2014.том 78, № 6, с. 193 - 210
48. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. До-
клады Академии наук, издательство Наука (М.), 2014. том 459, №6, с. 677 - 679
49. On the arithmetic properties of generalized hvpergeometric series with irrational parameters.
Izvestiya. Mathematics, издательство American Mathematical Society (United States), 2014. том 78, №6, c. 1244- 1260
50. Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients. Dokladv Mathematics, из-
дательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2014.-том 90, № 3, с. 766 - 768
51. Об одном подходе к преобразованию периодических последовательностей, совм. с Несте-
ренко А.Ю.Дискретная математика, издательство Наука(М.), 2015.-том 27, №4, с. 150 -157
52. Арифметические свойства целых полиадических чисел. Чебышевский сборник, издатель-
ство Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого"(Тула), 2015.- том 16, №1, с. 254 - 264
53. Estimating polynomials over Zv at points from Ср. (совм. с Bundschuh P.). Moscow Journal
of Combinatorics and Number Theory, 2015. том 5, №1-2, с. 14-20
54. Arithmetic properties of Euler series. Moscow University Mathematics Bulletin, 2015. том 70,
№1, c. 41 - 43
55. О преобразованиях периодических последовательностей. Чебышевский сборник, изда-
тельство Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тульский государственный педагогический университет, им. Л.Н. Толст,ого"(Тула), 2016. том 17, №3, с. 180 - 185
56. Представление натуральных чисел слагаемыми определённого вида. Современные пробле-
мы математики, 2016. -№24, с. 81 - 84
57. Периодические и непериодические конечные последовательности. Чебышевский, сбор-
ник, издательство Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тульский, государственный педагогический университет, им. Л.Н. Толст,ого"(Тула), 2017. -том 18, №2, с. 275 - 278
58. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. Из-
вестия РАН. Серия математическая, 2017.-том 81, № выпуск 2, с. 215 - 232
59. Topical problems of the theory of Transcendental numbers: Developments of approaches to
tveir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko. Russian Journal of Mathematical Physics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2017. том 24, №2, с. 153 - 171
60. Representation of positive integers by summands of a certain form. Proceedings of the Steklov
Institute of Mathematics, издательство Springer Verlag (Germany),2017.- том 298, №1, с. 70 - 73
61. Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients. Izvestiya. Mathematics, из-
дательство American Mathematical Society (United States), 2017. -том 81, №2, с. 444 - 461
62. An approach to the transformation of periodic sequences, (совм.с Nesterenko A.Yu). Discrete
Mathematics and Applications, издательство V S P (Netherlands), 2017. том 27, №1, с. 1-6.
63. Арифметические свойства обобщенных гипергеометрических F-рядов. Доклады акаде-
мии наук, 2018, том 483, №3. с. 252 - 254.
64. Arithmetic Properties of Generalized Hvpergeometric F-series. Dokladv Mathematics. 2018.
Vol.98.-No 3. -589 - 591.
Книги по элементарной математике
65. Уравнения элементарной математики. Совместно с Е.Т. Шавгулидзе. Москва, «Наука»,
1992.
66. Методы решения задач по алгебре. Совместно с С.В.Кравцевым, Ю.Н.Макаровым,
В.Ф.Максимовым, М.И.Нараленковым. Москва, «Экзамен», 2001.
67. Математика. Письменный экзамен. М. «Экзамен», 2006.511 стр. Совместно с А.И.Козко
и Ю.Н. Макаровым.
68. Задачи с параметрами и другие сложные задачи. М.МЦНМО, 2007, 2008, 296 стр. Сов-
местно с А.И.Козко.
69. Математика. Задача С5. М.МЦНМО,2010-2013. Совместно с А.И.Козко, B.C. Панфёро-
вым, И.Н. Сергеевым.
70. Задачи с параметрами, сложные и нестандартные задачи. М.МЦНМО, 2016, 229 стр. Сов-
местно с А.И.Козко, B.C. Панфёровым, И.Н. Сергеевым.
Учебники и учебные пособия
71. Математический анализ. М.: «Академия», 2013,336стр. Совместно с В.И. Гавриловым и
Ю.Н. Макаровым.
72. Математические методы решения химических задач. М.: «Академия», 2013,367стр. Сов-
местно с А.И.Козко, C.B. Кравцевым, И.Б. Малышевой, Е.С. Соболевой, A.B. Субботиным, Г.М. Фатеевой.
73. Дифференциальные уравнения и математические модели химических задач. М: МЦНМО,
2019, 168 стр. Совместно с А.И.Козко.
74. Математический анализ и инструментальные методы решения задач. Книга 1: учебник /
В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. 463 с.
— (Учебники Президентской академии).
75 Математический анализ и инструментальные методы решения задач. Книга 2: учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. 258 с.
— (Учебники Президентской академии).
Получено 18.03.2019 г. Принято в печать 12.07.2019 г.
