ВКЛАД АКУСТИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМЫ В ГЕНЕРАЦИЮ МАГНИТНЫХ ВОЛН ПРИ ДВИЖЕНИИ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТЕ ИТТРИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

приборостроение, метрология и информационно-измерительные приборы и системы

ВЕСТНИК ТСГУ. 2023. № 3 (70)

УДК 537.622:537.326 Е. А. Жуков, В. И. Жукова

ВКЛАД АКУСТИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМЫ В ГЕНЕРАЦИЮ МАГНИТНЫХ ВОЛН ПРИ ДВИЖЕНИИ ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ В ОРТОФЕРРИТЕ ИТТРИЯ

Жуков Е. А. - д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры «Автоматика и системотехника» (ТСГУ), e-mail: e_a_zhukov@mail.ru; Жукова В. И. - канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры «Высшая математика» (ДВГУПС).

При определенных условиях слабые ферромагнетики разбиваются на домены с доменными границами, в которых происходит разворот антиферромагнитного вектора в противоположную сторону. В работе исследована возможность усиления, генерации и измерения параметров акустических и магнитных волн при движении доменной границы в ортоферритах с учетом поглощения магнитных волн. Рассмотрено заданное движение доменной границы, которое может быть вызвано возвращением в равновесное положение после отключения магнитного поля. Влияние волн на доменную границу не учитывалось. Параметры доменной границы совпадают с известными ранее. Методом последовательных приближений получены уравнения для магнитных волн. С использованием метода медленно меняющихся амплитуд и метода вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) найдена первая поправка к амплитуде магнитных волн вызванная доменной границей. Проведен расчет амплитуд магнитных волн под действием заданных акустических волн без учета обратного влияния. Численно определен вклад в магнитную систему, который для типичных параметров акустических волн вблизи движущейся доменной границы оказался порядка 5 микрорадиан. Данный эффект может быть использован для измерений гиперзвуковых волн при помощи оптических методов.

Ключевые слова: доменные границы, магнитные и акустические волны, медленно меняющиеся амплитуды, многоволновое взаимодействие.

© Жуков Е. А., Жукова В. И., 2023

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

Введение

Движение доменных границ (ДГ) в слабых ферромагнетиках при определенных скоростях, как показано в работах [1-6], сопровождается генерацией акустических и магнитных волн. Если скорости ДГ отличаются от скоростей распространения акустических и магнитных волн, то возможна генерация одновременно нескольких типов нормальных волн, включая поверхностные. Этот эффект положен в основу возможности создания генератора гиперзвуковых акустических волн [7]. Наблюдаемые особенности, возникающие при движении ДГ в слабых ферромагнетиках еще недостаточно изучены.

В настоящей работе рассмотрено взаимодействие ДГ с нормальными волнами с учетом поглощения.

Постановка задачи

Рассматривается магнитная система ортоферрита иттрия в двухподреше-точном приближении в соответствии с [1, 2]. ДГ расположена в плоскости xz и движется вдоль x [6]. Антиферромагнитный вектор совершает разворот в плоскости, перпендикулярной ДГ, при этом его угол V относительно ДГ изменяется от +л/2 до -л/2.

Полные динамические уравнения для волн акустических смещений продольной и поперечной (относительно оси x) щ (x, t) и ut (x, t) и магнитной переменной V (x, t) (V = V(x, t) ) имеют вид [5]:

1 д2 д2\ b3 Si дщ

\ V + —sin2V = —- —1sin2V + с2 dt2 дх2) 2А А дх

St dut аМ dV тН

+ 4 ~ïlcos2V+ —— + — smV ; (1)

А дх Ag dt А

1 д2 д2\ St dV

Щ =--ï—sin2V ; (2)

s2 dt2 дх2)Ul ps2 дх 1 д2 д2\ St dV

5?дЬ2 дх2) * ря^дх к }

Здесь, согласно [2], ^ - время; А - постоянная обменной энергии; Ьз - константа анизотропии; р - плотность; - магнитоакустические константы; s^t - скорость объемных продольных и поперечных звуковых волн; а —коэффициент поглащения магнитных волн; М — амплитуда магнитного момента элементарной кристаллической решетки; т — нормированный вектор намагниченности; Н — амплитуда внешнего магнитного поля. От оси у переменные не зависят. Система (1) - (3) изучена в работах [4, 5] без учета поглощения.

вклад акустической подсистемы в генерацию магнитных волн при движении доменной границы в ортоферрите иттрия

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

В данной работе изучим систему (1) - (3) с учетом поглощения магнитных волн, аМ ^ 0 в отсутствии магнитного поля, Н = 0. Влияние акустических волн на магнитную систему учтем во втором приближении.

Расчет магнитной волны в отсутствии акустических волн

Найдем решение У(х, 0 из уравнения (1) при условии

5г Зи

& duf

— — —-sin2F + — —^cos2F = 0; Н = 0,

А Зх А Зх

аМ * 0.

3 аМ ЗУ

2Л 3t

Тогда, уравнение (1) примет вид: 1 З2 З2 \ йч

^зТ2 — Зх2/

Решение уравнения (5) определим в виде:

у = у0 + у1 , <<У0,

(У! << У0, так как правая часть уравнения (1) очень мала). В (6) Уо является решением уравнения 1 З2 З2 \ Ь3

Решение уравнения (7) определено в [1]:

V0(x,t) = — 2arctg( е а

x-vt

J3

D, =

М

£|1—^

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

где V — скорость ДГ, .Оз - параметр ширины ДГ. Движение ДГ может быть возвращением в равновесное положение после отключения магнитного поля. Из (8) определяются параметры доменной границы (ДГ) [1]:

2sh

sin2Vo =

/х —

3í

; cos 2V0 =

ch2^—

2

(9)

Учитывая (6), определим sin2F, cos2F и разложим функции, sin , cos в ряд Тейлора. Ограничимся первыми приближениями. C учетом (6, 7, 9), приведем уравнение (5) к линейному виду:

1 З2 З2 аМ 3 \ «Mv 1

■--г-1 У1=,п (10)

с2 3í2 Зх2 1 0¿D3chp_—££у

Решаем уравнение (10) методом теории возмущений [9, 10], полагая

Vi = ^(0) + 7«,

(11)

К

(0)

1 =^!(0)(X,Í) —нулевое приближение, удовлетворяет уравнению:

1 З2

З2

аМ 3

^^тт — ^ — —Т") Ц(0)(х, О = 0. vc2 3t2 Зх2 3t,' 1 v 7

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

Полагается, что во взаимодействии участвует спектральная составляющая ДГ, пропорциональная ~ешг-1кх. Поэтому решение (12) для магнитных волн, ищем в виде медленно меняющихся амплитуд (по отношению к ю, к [4, 7]):

У1(0)(х, 0 = В1(х — + ВЦх — . (13)

Параметры в (13) подчиняются законам дисперсии [1] для акустических, магнитных и спектральных компонент магнитоакустических напряжений ДГ:

ш3 =

М

+ с2к^ ;

А

ш= ку;ш = ш3 + ша; ша = 51хка; к = к3 + ка;0 < V < с . (14) Для функции (13) определим производные и подставим их в уравнение (12). Приравняем в полученном уравнении выражения при экспонентах еш5г-1к5х и е-ш^+1к5х к нулю, получим систему двух уравнений, в которых обозначим: % = х — уь. Тогда

дВ1(х — у€) йВ^) дВ1(х — у€) йВ1(^)

-=—V-; -=-;

дЬ дх

д2В1(х — у1) г&Вх(£) д2В1(х — у1) = й2Вг(^)

дг2 у а^2 ; дх2 а^2 ' ( )

Аналогично для В1(%). Так как амплитуды магнитной волны: В1(^) и ВЦ_(%) комплексно-сопряженные, то достаточно найти решение одного уравнений системы, например, для В1(^). Обозначим в нем

с2 аМр с2

9 (2кз с2 )у2 — с2'; Р дА (р2 — с2);

\ с2 аМш3 с2 У=\—— + к22)^—2; п=--„л (16)

с2 IV2 — с2 дА (V2 — с2)

Тогда с учетом (16), выбранное уравнение системы будет иметь вид:

1

¿2в1(0 . ,п . ¿ВД)

р + + + ^в1(° = о. (17)

Запишем фундаментальную систему решений уравнения (17):

У1(0 = У2(0 = еЫ; _—( р + 1в) + ^( $ + 1в)2 — 4(у + 1П) к1= 2 ;

— ( р + 1в) — ^( 0 + 1в)2 — 4(у +

К2= -2-. ( )

Тогда получим общее решение уравнения (17):

В1(,?) = С1ек1^ + С2ек^; ВКО = С1ек^^ + С2ек^ (19) С1,С2— произвольные константы, к3,к4 — комплексно — сопряженные к1,к2 (18), соответственно.

вклад акустической подсистемы в генерацию магнитных волн при движении доменной границы в ортоферрите иттрия

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

Подставим (18), (19) в (13), получим первое слагаемое решения (11): У1(0)(х,£) = (С^^ + +

+ + с^^е-^^^*; £ = х - (20)

(1) (1) Слагаемое = ^(х, О

в (11) является решением уравнения (10).

(1) (1)

Из (10) очевидно, что ^ (х, £) = ^ (х — Воспользуемся обозначением: ^ = х — тогда уравнение (10) примет вид:

¿2^1(1)0Р\ «М^У^ОО _ «Мг 1

^ + ^ ~ ^(Х) (21)

Уравнение (21) будем решать методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа):

^(1)(^) = с1(^) + С2(Ое я^2-с2)< . (22)

аМгс2 ^

Здесь у1 = 1; у2(0 = е яло -с ) — фундаментальная система решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (21).

Неизвестные функции С1(^), С2(0 определяются из системы уравнений:

ОД) + С2(^)е ^2-с2)* = 0;

/ «МУС2 \ - «Мг 1

с2«)("(23)

При вычислении интегралов воспользуемся разложением экспоненты в ряд

Тейлора. Можно вычислять интегралы с любой заданной точностью, здесь

ограничимся первым приближением. Тогда, решение системы (23) имеет вид:

(с2 — У2) ( АЛ С1(^) = — -——2—-2агС£(е°з); £ = х — (24)

,2 ,„2^ 2 аМг>с2

с2 ) аМг^з

Подставив (24), (25) в (22), получим первое приближение решения (11):

с2(^) = ((--—)) ^ вдл(^2-с2)^ ; £ = * —(25)

(1) (с2 —V2) ( /(с2 — у2)\2 аЛ

Таким образом, формулы (6), (8), (20) и (26) определяют общее решение уравнения (5), когда на волну V не оказывают влияние волны и; и и^ По заданным параметрам ДГ [1], выполним расчеты в (26):

у«^) = — (4—^аг^^106) + 10-5.

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

Максимальный поворот угла У0 (8): Т = п. Из расчетов видно, что максимальный поворот угла У^1^: Т2 = к — -2) ,0 < р1 < 2, зависит от скоро-

4 .

сти V = р1 • 106 ), (рис. 1). Очевидно, что Т2 < Т^

Рис.1. График У1(1)(^).

Следовательно, влияние поглощения на генерацию магнитной волны уменьшается с ростом скорости ДГ.

Расчет магнитной волны при воздействии на нее акустических волн

Рассмотрим вторую задачу. Найдем решение уравнения (1) когда волны иг(х, 0 и щ(х, 0 оказывают влияние на волну V (х, 0, а она не влияет на волны и-1 (х, 0 и щ (х, 0. В этом случае уравнения (2) и (3) исходной системы будут иметь нулевую правую часть.

Тогда, решения щ (х, 0 и щ (х, ¿) на которые не оказывает влияние волна У(х, £), имеют вид:

щ (х,0 = (с3е1з*к^-1к«х + с4е-1з*к«Мк«х'); (параметры ДГ определены формулами (14)). Преобразуем уравнение (1) при условии, что 51 ди1

дщ

—- —J-sm2V + — —1^2У*0, А дх А дх

Н = 0, аМ^0.

Тогда решение уравнения (1) будем определять в виде: У = Уо + У- + Ут,

(27)

(28)

(29)

где У0 — решение уравнения (7), определено формулой (8); У1 — решение уравнения (10), определено в (11), (20), (26). Тогда, очевидно, при условии (27),(28) Ут = Ут(х,0 удовлетворяет уравнению:

1 д2

д2

аМ д

вклад акустической подсистемы в генерацию магнитных волн при движении доменной границы в ортоферрите иттрия

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

А

, /X —

Д. {-рт)

^(тт) 2

(—+ (30)

Так как решение У1 (11), (20), (26) в (29) содержит уже две произвольные константы, то решение У1(о) определим как частное решение. Выберем константы С3, С4 в (27) в соответствии с экспериментальными данными [8], порядка С3 = С4 = 10-6, чтобы показать, как малые изменения правой части уравнения (1) при условии (28) влияют на его решение.

Преобразуем правую часть уравнения (30), используя формулы (14):

1 а2 а2 «ма

с2 ас2 ах2 ас

— |У1(0) = ю-6^-^^^* х

X

, /х —

— 1кг

^ а

х

, /х —

) , V,

л ,.2 + А

Решение (31) ищем в виде медленноменяющихся амплитуд:

^1(0)(х, О = В2(х — + В2(х —

(31)

(32)

Для определения неизвестных амплитуд магнитной волны #2(х — В2(х — найдем производные функции (32) и подставим в (31).

Приравняем в полученном уравнении выражения при равных экспонентах, получим систему двух уравнений. Так как #2 (х — и В|(х — — комплексно-сопряженные функции, то остановимся на одном уравнении, например, для #2(х — и обозначим в нем ^ = х — Учитывая (15) и (16), выбранное уравнение запишем в удобном виде:

2(') + ( £ + ¿0)—^ + (Г + I ^(О =

= — —

3

ш

<*2 {353)

10-

^ а

сл2Ш,

|10-6 Л

(33)

2

1

е

2

1

2

1

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

Решение (33) ищем по аналогии с (17), методом Лагранжа в виде:

В2(0 = с3(0У-(0 + С4($Ш0, (34)

Фундаментальную систему уравнений определим, используя формулы (18):

У1(0 = е^, У2(0 = ег^; г- = к-, Г2 = к2- (35)

В (34) С3(£), С4(£) определяем из системы (23) с учетом уравнения (33): -

Сз(0 = 10-

6

^кд Рз

1а(г1 — г2)\гь(±_\

А(г1 — г2)

$1кд

С4(0 = 10'

6

Л(Г2—Г1)\сЪ(±_

ш

+

А(Г2 — г-)(1к — Г2) А(Г2 — Г-) 3 \03

Подставим (36) в (34), получим амплитуду ^(О в решении (32).

(36)

А(г1-г2)<ь(ё

3

т-0-6^ - ( = *-«■ (37)

Комплексно-сопряженная функция В2(%) легко определяется из (37). Таким образом, (34)-(37) определяют решение (32): У1(0)(х, £). Следовательно, получено общее решение У(х, ¿) (1) при условии (28): у(х, 0 = У0 (х, Ь) + У1 (х, Ь) + У1(0) (х, 0 , (38)

У0 определено в (8); У1 — в (11), (20), (26); У1(0) — в (32), (37). Выполнив расчеты в (37) по заданным параметрам [1], получим

ВД) =

= Ю-6 (сЬ(До6) — 2Ш(^106)) (1,7 • 10-7со5(3$106) — 1,4зт(3%106)) +

+1 ^ Ю-6 (сИо/ю6) — 2Иг(%106)) (1,7 • 10-7зт(3%106) + 1,4соз(3%106)). Построим график ЯеВ2(%) (Рис.2), масштаб 1: 10~6 см.

вклад акустической подсистемы в генерацию магнитных волн при движении доменной границы в ортоферрите иттрия

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

ReB2(0

2,4

■ 2

-1,68

Рис. 2. График зависимости Де52(£).

Как видно из рисунка, вклад акустических волн в магнитную находится на уровне 1,6л-10-6 рад.

Заключение

Таким образом, при отсутствии влияния акустических волн на магнитную подсистему, генерируемая ДГ волна имеет амплитуду меньше амплитуды угла ДГ, и её величина зависит от скорости.

С учетом поглощения аналитически описано влияние акустических волн, сопровождающих движущуюся ДГ, на магнитную волну, возбуждаемую в ор-тоферрите иттрия. Расчеты показывают, что величина этого возмущения может достигать порядка 10-6 см, то есть становится сопоставимой с видимой толщиной доменной стенки в пластинчатом образце с естественными неоднород-ностями. Это явление можно использовать для измерений параметров гиперзвуковых волн (до 1012 Гц) оптическими методами.

Библиографические ссылки

1. Dynamics of topological magnetic solitons. Experiment and theory / V. G. Bar'yakhtar, M. V. Chetkin, B. A. Ivanov, S. N. Gadetskii // Springer Tracts in Modern Physics. Berlin, 1994. Vol. 129.

2. Туров Е. А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. М. : АН СССР, 1963. 222 с

3. Жуков Е.А., Кузьменко А.П., Щербаков Ю.И. Торможение движущейся доменной границы в слабых ферромагнетиках // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, В. 6. С. 1033-1036.

4. Метод генерации, усиления, и измерения параметров гиперзвуковых волн в магнитных кристаллах / Жуков Е. А., Жукова В. И., Каминский А. В., Корчевский В. В., Римлянд В. И. // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2012. № 3 (26). С. 17-27.

ВЕСТНИК ТОГУ. 2023. № 3 (70)

5. Жуков Е. А., Жукова В. И. Расчеты взаимодействия магнитных и продольных акустических волн с участием доменной границы в ортоферритах // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2021. N° 4 (63) С. 5564.

6. Механизмы генерации волн Лэмба доменной границей в пластине слабого ферромагнетика / Жуков Е. А., Адамова М. Е., Жукова В. И., Кузьменко А. П. // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Техника и технологии. 2021. Т. 11, № 4. С. 123-136.

7. Generation of nanometer wavelength acoustic waves / Komina O. Yu., Ada-mova M. E., Zhukov E. A., Kuz'menko A.P., Zhukova V. I. // Journal of Nano- and Electronic Physics. 2016. V. 8, № 4. P. 04020.

8. Жуков Е. А., Кузьменко А. П. Магнитоупругие волны в пластинах ор-тоферрита иттрия // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, В. 4. С. 58-63.

Title: Contribution of the Acoustic Subsystem to the Generation of Magnetic Waves during Domain Wall Motion in Yttrium Orthoferrite

Authors' affiliation:

Zhukov E. A. - Pacific National University, Khabarovsk, Russian Federation; Zhukova V. I. - Far Eastern State Transport University, Khabarovsk, Russian Federation

Abstract: Under certain conditions, weak ferromagnets break up into domains with domain walls, in which the antiferromagnetic vector reverses. The possibility of amplifying, generating, and measuring the parameters of acoustic and magnetic waves during the motion of a domain wall in orthoferrites is studied in this work, taking into account the absorption of magnetic waves. A given motion of the domain wall, which can be caused by the return to the equilibrium position after the magnetic field is turned off, is considered. The effect of waves on the domain wall has not been taken into account. The parameters of the domain boundary coincide with those known earlier. The equations for the lengths of magnetic waves are obtained by the method of successive approximations. Using the method of slowly varying amplitudes and the method of variation of arbitrary constants (Lagrange method), the first correction to the amplitude of magnetic waves caused by the domain wall is found. The amplitudes of magnetic waves under the action of given acoustic waves are calculated without taking into account the reverse effect. The contribution to the magnetic system is numerically determined, which for typical parameters of acoustic waves near a moving domain wall has turned out to be about 5 microradians. This effect can be used to measure hypersonic waves using optical methods.

Keywords: domain walls, magnetic and acoustic waves, slowly varying amplitudes, mul-tiwave interaction