ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧЕРЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНОГО МЕТОДА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.851

\

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧЕРЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНОГО МЕТОДА

Косярский Александр Алексеевич,

педагог дополнительного образования МАОУДО ЦДТ «Прикубанский», г. Краснодар Мороз Ольга Викторовна,

доцент кафедры информационных и образовательных технологий факультета математики и компьютерных наук ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», кандидат педагогических наук, г. Краснодар

ПРИМЕРЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ИЗУЧЕНИИ КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В РАМКАХ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ. СРАВНЕНИЕ ДАННОГО МЕТОДА С КЛАССИЧЕСКИМ АНАЛИТИЧЕСКИМ РЕШЕНИЕМ. ОПОРНЫЕ СХЕМЫ-АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНЫ В КАЧЕСТВЕ НАГЛЯДНОГО МАТЕРИАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ.

• координатно-векторный метод • ЕГЭ • стереометрия • визуализация • опорные схемы

• граф-схемы

Геометрия является одним из традиционных разделов школьного курса математики. С 7-го по 9-й класс учащиеся изучают важнейшие разделы «Планиметрии», а в 1011-х классах начинается новый и достаточно сложный для восприятия большинством школьников раздел «Стереометрия».

В курсе математики при решении стереометрических задач рассматривается преимущественно аналитический метод, который опирается на сформированный в 7-9-х классах математический аппарат. Несмотря на универсальность данного метода, у него есть ряд минусов, один из которых состоит в том, что в большинстве задач использование данного метода приводит к громоздким решениям, а при наличии неточности построения чертежа может привести к ошибочным выводам. В качестве альтернативного метода решения задач такого типа можно рассмотреть координатно-векторный метод.

Появление координатно-векторного метода в геометрии связано с использованием ал-

гебры при решении геометрических задач, что, в свою очередь. привело к появлению новой самостоятельной науки — аналитической геометрии. Координатно-векторный метод актуален на сегодняшний день, так как находит своё применение в разных областях науки и общественной жизни [7]. Метод координат лежит в основе механики, геодезии, астрономии, используется в медицине, экономике, географии, информатике. Вектор используется в физике для характеристики физических величин. Его изучению уделяют внимание как в школьной программе, так и в таких разделах высшей математики, как «Линейная алгебра», «Функциональный анализ». Рассматриваются прямоугольная, полярная, аффинная, сферическая, цилиндрическая и другие системы координат. В данной статье мы рассмотрим прямоугольную систему координат.

Координатно-векторный метод соединяет в себе метод координат и векторный метод. В координатном методе целесообразно знакомиться с прямоугольной системой координат, способами нахождения и задания

координат точки на плоскости и в пространстве. В векторном методе должны рассматриваться понятия вектора и связанные с ним определения, теоремы и свойства. Объединив координатный и векторный метод, можно вывести необходимые формулы и найти удобный способ решения любой геометрической задачи.

В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике стереометрия представлена в первой части заданием 8, а во второй части заданием 14. Задание 8 требует базовых знаний стереометрии и не приводит к использованию сложных математических формул. Задание 14 гораздо сложнее. При решении обеих задач можно использовать координатно-векторный метод для упрощения решения, что. в свою очередь, минимизирует вероятность допущения ошибки. Рассмотрим решение задачи аналитическим и координатно-вектор-ным методом.

Задача. (Пробный экзамен, Санкт-Петербург, 22.03.2013 г).

2) Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Для того чтобы найти угол между данными прямыми, необходимо построить такую прямую, которая была бы параллельна СЕ и пересекалась с прямой В1Е. Тогда полученный угол будет равен искомому.

3) Выполним параллельный перенос отрезка СЕ в отрезок ЕЕ1 (рис. 2).

Bi

Ai

А

С

C

V FT / 2

Рис. 2. Параллельный перенос отрезка

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы ЛВСВЛ1В1С1Б1 равна 2, высота — 4. Точка Е середина отрезка СД точка Е — середина отрезка ЛБ. Найдите угол между прямыми СБ и В1Е.

1 способ. Аналитический метод

1) Построим чертёж правильной четырёхугольной призмы ЛВСВЛ1В1С1Б1 (рис. 1).

Вт

Ai

Ci

C

A

^-7*

F

D

Рис. 1. Чертёж правильной четырёхугольной призмы

Так как FC Il EF1 и EF1 П B1E, то ZB1EF1 равен искомому углу между B1E и CF.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. По теореме Пифагора имеем:

ВЕ2 = ВС2 + СЕ* ВЕ2 = 4+1 ВЕ= 45

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник BA2Fv Так как отрезок EFj получен параллельным переносом CF, то CF = AA2 = 1. Тогда BA2 = BA + AA2 = 3. По теореме Пифагора из треугольника BA2F1 имеем:

BFl = В Al + A2F В F? = 9+1

RÎ7. -

'1П

6) Заметим, что так как ЕБ2 = ВС, а Ер2 = СЕ, то прямоугольные треугольники Е]Ь2Е и ЕВС равны, а значит, ЕЕ1 = ВЕ = 45.

7) Рассмотрим прямоугольный треугольник ВЕ1В. По теореме Пифагора имеем:

Внедрение

ßiFi = V16+ 10 ВД = V26

8) Рассмотрим прямоугольный треугольник BB1E1. По теореме Пифагора имеем:

В±Е = V16 + 5

ВгЕ = ^

9) Рассмотрим треугольник Б1ЕГ1. Заметим, что для данного треугольника выполнима теорема Пифагора:

/262= /212+ ^ 26 = 26.

Причём катетами данного треугольника являются отрезки В1Е и ЕГГ Тогда угол между ними равен 90°, а значит, и искомый угол равен 90°.

Ответ: 90°.

2 способ. Координатно-векторный метод

1) Впишем правильную четырёхугольную призму ЛБСВЛ1Б1С1В1 в трёхмерную прямоугольную декартову систему координат (рис. 3).

Ai

A

F

D

x

Рис. 3. Правильная четырёхугольная призма в ПДСК

2) В данной ПДСК имеем следующие точки и их координаты: B(0; 0; 0), Bj(ü; 0; 4), E(l; 2; 0), C(0; 2; 0), F(2; l; 0),

3) Для того чтобы найти угол между двумя прямыми, необходимо найти их направляющие векторы и затем найти угол между

данными векторами, полученный угол является искомым.

4) Направляющий вектор для отрезка прямой СГ равен СГ = (2; -1; О^а для отрезка прямой Б1Е имеем вектор Б1Е = (1; 2; -4).

5) Угол между векторами можно найти по формуле (1):

cos(p

\CF^BXE\

\CF\ • \В±Е\

(1)

6) Найдём длины векторов:

\CF\ = V22 + (-1 )2 + 02 = V5

а

ВХЕ\ = ^/12 + 22 + (-4) 2 = V2T.

7) Найдём модуль скалярного произведения векторов:

|СР • ВХЕ\ = 21 + (-1) • 2 + 1 + 0^ (-4) =0. 8) Таким образом

СОБ ^ = ° ^ СОБ (р = 0 ^ (р = 90°. Ответ: 90°.

Заметим, что решение задачи аналитическим способом является более объёмным и сложным в сравнении с координатно-век-торным методом. При решении задачи первым способом использовался метод параллельного переноса, который учащимися воспринимается довольно сложно, неверное построение искомого отрезка может привести, в свою очередь, к неверным выводам, что скажется на решении задачи. В случае с координатно-векторным методом решения сложность может заключаться лишь в запоминании формулы для нахождения косинуса искомого угла, однако данный метод требует минимального количества расчётов и логических выводов, что существенно снижает вероятность допущения ошибки.

Необходимо сказать, что учащиеся школ испытывают трудности, связанные с усвоением большого объёма математической информации, получаемой в рамках школьного курса математики, что является следствием

нехватки времени. Учителя математики также сталкиваются с проблемой нехватки времени, обусловленной необходимостью следовать установленному учебному плану, что, в свою очередь, сказывается на качестве математических знаний и объёме математического инструментария, которым может овладеть учащийся. Перед педагогом ставится сложная задача: обеспечить формирование у учащихся качественных математических знаний, сведений о математических моделях, реальных математических процессах и предоставить учебный материал в максимально доступной для восприятия учащимся форме при условии ограниченности временного ресурса.

Авторы статьи разработали специальные структурно-логические схемы по теме «Ко-ординатно-векторный метод решения стереометрических задач», которые могут быть использованы на уроках геометрии в 10-11-х классах как при объяснении нового материала, так и для обобщения и систематизации полученных знаний. Методическая значимость данной формы представления учебной информации высока, поскольку схемы освобождают от неактуальной, малозначимой информации, что способствует рациональному распределению теоретического материла и времени, отведённого на его изучение. Кроме того, необходимо отметить, что использование схем позволяет учащимся овладеть навыками анализа, синтеза и сравнения информации, представляемой в графической форме. Ещё одним преимуществом таких схем является содержание информации, необходимой для запоминания и сгруппированной таким образом, чтобы схему можно было зрительно «сфотографировать», что отвечает правилам мнемоники [3, 4, 5, 10].

Рассмотрим более подробно визуальный подход систематизации знаний, полученных в разделе стереометрии школьного курса геометрии. Приведём пример структурно-логической схемы «Классификация основных типов задач, решаемых коорди-натно-векторным методом», которая может быть использована как в рамках уроков геометрии, так и при подготовке к сдаче единого государственного экзамена по профильной математике в 11-м классе (см. рис. 1).

Классификация типов задачи № 14 ЕГЭ по математике профильного уровня и основные методы их решения, представленные на рис. 1, продиктованы в первую очередь необходимостью в организации процесса систематического обучения геометрии в школьном курсе математики, а также соответствует кодификаторам и спецификациям КИМ ЕГЭ [9], перечню задач, представленных на электронных образовательным ресурсах [4]. Однако необходимо отметить, что наглядное представление данных типов задач в виде граф-схемы ранее представлено не было.

На граф-схеме (рис. 4) представлены следующие типы задач, решаемых координатно-векторным методом:

• «Расстояние между прямыми и плоскостями»;

• «Угол между прямой и плоскостью»;

• «Угол между прямыми»;

• «Расстояние от точки до плоскости»;

• «Угол между плоскостями».

Для каждого типа приводятся формулы, при помощи которых может быть решена задача указанного типа и указываются необходимые для этого данные.

Другим примером структурно-логической схематизации являются табличные опорные схемы-алгоритмы:

• «Угол между прямыми в пространстве» (рис. 5);

• «Угол между прямой и плоскостью» (рис. 6);

• «Угол между плоскостями» (рис. 7);

• «Расстояние между прямыми и плоскостями» (рис. 8);

• «Расстояние от точки до плоскости» (рис. 9).

Стоит отметить, что решение задач коорди-натно-векторным методом является сложным ввиду отсутствия наглядного алгоритма, позволяющего безошибочно решить поставленную математическую задачу. В большинстве источников [1, 2, 6] алгоритм решения задач координатно-вектор-ным методом содержится или в словесной форме или представлен в качестве примера решения конкретной математической задачи. К сожалению, на сегодняшний день

Расстояние между прямыми и плоскостями

Пусть дана прямая /11 а и точка М= (х0; у0; г0) е / и плоскость а: Ах + Ву + С: + О = 0. Расстояние от прямой до плоскости находим но формуле:

- Ву0 + Сз0 + £>|

IАх

+ В" + С"

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана прямая I и направляющий вектор т = {а{\ Ъ{\ с^ и плоскость а: Ах + Ву + Сг + О = 0 и нормальный вектор и = (А, В, С).

сояР =

а ХА + ЪХВ + с, С

д/а2+ъ2+с2л!А2+в2 + с2

Задача № 14 ЕГЭ по профильной математике

Угол между прямыми

Пусть дана прямая I и направляющий вектор щ = {а{\ Ъ{\ с^ и прямая р с направляющм вектором

т2 = {а2, Ъ2, с2).

сояР =

аЛ + 6,62 + с1с2

д/д,2 +Ъ2 4 2 / 2 -с, УД2 , 1 2 , 2 + 0,

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана точка М(х0; у0; л0) и плоскость а: Ах + Ву + С: + О = 0.

\Ах„ +В\'п + Сзп +В\ а) = —0 1

^А2+В2 + С2

Угол между плоскостями

Пусть дана плоскость а: Ахх + В$> + С^ + = 0 с вектором нормали ;?! = (Аь Вь С^ и плоскость |3: А2х + Вгу + С21 + В2 = 0 с вектором нормали и2 = (А2, В2, С2)

А^А, + В1В2 + С,С,

СОЯф =

+в2 +с2л]4+з;+с:

Рис. 4. Визуализация задач ЕГЭ, решаемых координатно-векторным методом

Условие

В пространстве заданы две прямые 11, 12 (пересекающиеся, скрещивающиеся или параллельные)

Вводим трёхмерную прямоугольную декартову систему координат

Описываем координаты концов отрезков, задающих прямые 11, 12 соответственно в ведённой ПДСК

Найти координаты направляющих векторов т1 = (х1, у1, г1) и т2 = (х2, у2,г2)

Вычислить скалярное произведение векторов т1 и т2 по формуле: т • т2 = х1 • х2 + у1 • у2 + 21 • 22

Вычислить длины направляющих векторов т1, т2 прямых 11, 12 соответственно, по формуле:

\т\ = V х1 + у2 + г2

Вычислить значение соз(т1, т2), равное косинусу угла между прямыми 11, 12 по формуле:

ео$(т1, т2) =

т1 • т2

|т1 • |т2|

2)

Находим значение ^(/15/2) = агссо$(ео$(т1, т2)

1

2

3

4

5

6

7

Рис. 5. Опорная схема-алгоритм «Угол между прямыми в пространстве»

Угол между прямой и плоскостью

Условие В пространстве задана прямая 1 и некоторая плоскость а, пересекаемая данной прямой. Найти угол между прямой и плоскостью

1 Вводим трёхмерную прямоугольную декартову систему координат

2 Описываем координаты концов отрезка, задающих прямую 1 в ведённой ПДСК

3 Найти координаты направляющего вектора т = (а1, Ь1, с1)

4 Записать уравнение плоскости а в виде: Ах + Ву + Сг + О = 0

5 Находим координаты вектора нормали п к плоскости а. п = (А, В, С)

6 Вычислить скалярное произведение векторов т и п по формуле: т • п = а1 • А + Ь • В + с1 • С

7 Вычислить длины направляющего вектора т прямой 1 и вектора нормали п плоскости а по формуле: \щ\ = У1 а2 + Ь + С2

8 Вычислить значение соз(т, п ), равное косинусу угла по формуле: соз(т, п) = между т • п прямой 1 и плоскостью а

\т\ • Щ

9 Находим значение а) = агссо$(со$(т1, п )

Рис. 6. Опорная схема-алгоритм «Угол между прямой и плоскостью»

Внедрение и нрпмш

Угол между плоскостями

Условие В пространстве заданы пересекающиеся плоскости а, р. Найдите угол между плоскостями

1 Вводим трёхмерную прямоугольную декартову систему координат

2 Записать уравнение плоскости а в виде: А1х + В1 у + С12 + О1 = 0

3 Записать уравнение плоскости в в виде: А2 х + В2 у + С2 2 + О2 = 0

4 Находим координаты вектора нормали п1 к плоскости а. п = (А1В1С1)

5 Находим координаты вектора нормали п1 к плоскости р. п2 = (А2 В2С2)

6 Вычислить скалярное произведение векторов нормали п1 и п2 по формуле: п1 • п2 = А1 • А2 + В1 • В2 + С1 • С2

7 Вычислить длины векторов нормали п1, п2 плоскостей а, Р по формуле: = ^ А? + В? + С?

8 Вычислить значение со8(я1, п2), равное косинусу ут соз(и!, «2) = ла межд и! • п"2 у плоскостями а и Р по формуле:

|п^1 • т

9 Находим значение Да, Р ) = агссоэ^оэ^, п2))

Рис. 7. Опорная схема-алгоритм «Угол между плоскостями»

Расстояние между прямыми и плоскостями

Условие В пространстве задана плоскость а, некоторая прямая 1 а и точка М, лежащая на данной прямой. Найти расстояние от прямой до плоскости

1 Вводим трёхмерную прямоугольную декартову систему координат

2 Описываем координаты точки М(х0, у0, 20), лежащую на прямой 1 в ведённой ПДСК

3 Записать уравнение плоскости а в виде: Ах + Ву + Сг + О = 0

4 Находим координаты вектора нормали п к плоскости а. п = (А, В, С)

5 Вычислить длину вектора нормали п плоскости а по формуле: \щ\ = 7 А2 + В2 + С2

6 Вычислить расстояние от точки М до плоскости а по формуле: А • х0 + В • у0 + С • 20 + О аш(М,а) = ' 0 , , 0 1 \п\

Рис. 8. Опорная схема-алгоритм «Расстояние между прямыми и плоскостями»

Расстояние от точки до плоскости

Условие В пространстве задана плоскость а, и некоторая прямая точка М, не лежащая на данной плоскости. Найти расстояние от точки до плоскости

1 Вводим трёхмерную прямоугольную декартову систему координат

2 Описываем координаты точки М(х0, у0, 20), лежащую на прямой 1 в ведённой ПДСК

3 Записать уравнение плоскости а в виде: Ах + Ву + Сг + О = 0

4 Находим координаты вектора нормали п к плоскости а. п = (А, В, С)

5 Вычислить длину вектора нормали п плоскости а по формуле: \щ\ = 7 А2 + В2 + С2

Вычислить расстояние от точки М до плоскости а по формуле:

6 А • х0 + В • у0 + С • 20 + О сИш( (М ,а) =' ,, 01 п

Рис. 9. Опорная схема-алгоритм «Расстояние от точки до плоскости»

существует очень мало наглядных схем, позволяющих охватить алгоритм одним взором. Ввиду этого мы предлагаем представленный выше комплекс табличных опорных схем-алгоритмов.

Исходя из своего образовательного назначения данные опорные схемы могут выполнять следующие функции: диагностическую, контролирующую, обучающую. Внедрение предложенных граф-схем и табличных опорных схем-алгоритмов можно расценивать как эффективный приём развития творческого, логического мышления, который также позволяет задействовать основной канал восприятия информации — визуальный.

Ввиду биологической предрасположенности человека к восприятию преимущественной визуальной информации, сгруппированной в укрупнённые структурные единицы (опорные схемы, таблицы), использование метода сгущения информации при моделировании учебного материала, на наш взгляд, способствует развитию воображения, пространственного и логического мышления. Использование предложенных в статье граф-схем и опорных табличных схем-алгоритмов в школьном курсе математики может способствовать усвоению сложной математической терминологии. Таким образом, предложенные средства визуализации образовательного процесса при изучении координатно-векторного мето-

да решения задач направлены в первую очередь на повышение качества основного общего образования, так как они обеспечивают формирование прочных теоретических и практических знаний, умений и навыков в процессе изучения дисциплин математической направленности. □

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11 -й класс: учебник для общеобразоват. учреждений. — 15-е изд. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев. Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк. — М.: Просвещение, 2007. — 256 с.: ил.

2. Вергазова ОБ. Применение координат-но-векторного метода решения стереометрических задач в процессе подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень) / О.Б. Вергазова // Научно-методический электронный журнал «Концепт». — 2017. — № 1.

3. Грушевский С.П. Высшая математика в схемах и таблицах: учеб.-метод. пособие / С.П. Грушевский, О.В. Засядко, О.В. Иванова, О.В. Мороз. — Краснодар: Кубанский гос. ун-т, 2018. — 109 с.

4. Гоушевский С.П. Сгущение учебной информации в профессиональном образовании: монография / С.П. Грушевский, А.А. Остапенко. — Краснодар: Кубан. гос. ун-т, 2012. — 188 с.

Внедрение у пршшш

5. Засядко О.В. Визуализация в изучении простейших уравнений математической физики / О.В. Засядко, А.А. Косярский, С.П. Шмалько // Образовательные технологии. — 2019. — № 1. — С. 103-109.

6. Леваков В.В. Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом / В.В. Леваков. — Саратов: МОУ «СОШ №34 с УИП», 2013. — 44 с.

7. Мороз О.В. Профессионально ориентированное конструирование дидактического обеспечения курса математики для специальности «регионоведение: авто-реф. дис. ... канд. пед. наук / О.В. Мороз. — М., 2007. — 22 с.

8. Решу ЕГЭ [электронный ресурс]: образовательный ресурс / Д.Д. Гущин, 20112019. Режим доступа: https://ege.sdamgia. ru/, свободный.

9. ФИПИ Демоверсии, спецификации, кодификаторы [электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений 2004-2019. Режим доступа: http://fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory, свободный.

10. Шмалько С.П. Сгущение учебной профессионально ориентированной информации по математике при обучении студентов-экономистов / С.П. Шмалько // Теория и практика общественного развития. — 2011. — № 6. — С. 150-166.

Literatura

1. Atanasyan L.S. Geometriya 10-11 klass: uchebnik dlya obshcheobrazovat. uch-rezhdeniy. — 15-ye izd. / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev. L.S. Kise-leva, E.G. Poznyak. — M.: Prosveshcheni-ye, 2007. — 256 s.: il.

2. Vergazova O.B. Primeneniye koordinatno-vektornogo metoda resheniya stereometri-cheskikh zadach v protsesse podgotovki k YEGE po matematike (profil'nyy uroven') / O.B. Vergazova // Nauchno-metodicheskiy elektronnyy zhurnal «Kontsept». — 2017. — № 1.

3. Grushevskiy S.P. Vysshaya matematika v skhemakh i tablitsakh: ucheb.-metod. po-sobiye / S.P. Grushevskiy, O.V. Zasyadko, O.V. Ivanova, O.V. Moroz. — Krasnodar: Kubanskiy gos. un-t, 2018. — 109 s.

4. Grushevskiy S.P. Sgushcheniye uchebnoy informatsii v professional'nom obrazovanii: monografiya / S.P. Grushevskiy, A.A. Osta-penko. — Krasnodar: Kuban. gos. un-t,

2012. — 188 s. Zasyadko O.V. Vizuali-zatsiya v izuchenii prosteyshikh uravneniy matematicheskoy fiziki / O.V. Zasyadko, A.A. Kosyarskiy, S.P. Shmal'ko // Obrazo-vatel'nyye tekhnologii. — 2019. — № 1. — S.103-109.

5. Zasyadko O.V. Vizualizaciya v izuchenii prostejshih uravnenij matematicheskoj fiziki / O.V. Zasyadko, A.A. Kosyarskij, S.P. Shmal'ko // Obrazovatel'nye tekhnologii. — 2019. — № 1. — S. 103-109.

6. Levakov V.V. Resheniye zadaniy S2 YE-GE po matematike koordinatno-vektornym metodom / V.V. Levakov. — Saratov: MOU «SOSH №34 s UIP», 2013. — 44 s.

7. Moroz O.V. Professional'no oriyentirovan-noye konstruirovaniye didakticheskogo obespecheniya kursa matematiki dlya spetsial'nosti «regionovedeniye: avtoref. dis. ... kand. ped. nauk / O.V. Moroz. — M., 2007. — 22 s.

8. Reshu YEGE [elektronnyy resurs]: obrazo-vatel'nyy resurs / D.D. Gushchin, 20112019. Rezhim dostupa: https://ege.sdam-gia.ru/, svobodnyy.

9. FIPI Demoversii, spetsifikatsii, kodifikatory [elektronnyy resurs] / Federal'nyy institut pedagogicheskikh izmereniy 2004-2019. Rezhim dostupa: http://fipi.ru/ege-i-gve-11/ demoversii-specifikacii-kodifikatory, svo-bodnyy.

10. Shmal'ko S.P. Sgushcheniye uchebnoy professional'no oriyentirovannoy informat-sii po matematike pri obuchenii studentov-ekonomistov / S.P. Shmal'ko // Teoriya i praktika obshchestvennogo razvitiya. — 2011. — № 6. — S. 150-166.