CC BY
39
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ
ПЛОСКОСТЯМИ
Ганеева Айгуль Рифовна
кандидат педагогических наук, филиал Казанского (Приволжского) Федерального университета в г. Елабуга, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии
E-mail: aigul ganeeva@mail.ru
WAYS TO SOLVE UNIFIED STATE EXAMINATION PROBLEMS IN
MATHEMATICS ON FINDING OF THE CORNER BETWEEN THE
PLANES
Aygul Ganeeva
Ph. D. in Pedagogy,
Elabuga branch of Kazan (Volga Region) Federal University, associate professor in mathematical analysis, algebra and geometry
АННОТАЦИЯ
Единый государственный экзамен по математике на протяжении многих лет является инновацией, как для учащихся, так и для учителей, так как каждый год появляются все новые и интересные задачи. Особо новыми и нестандартными задачами являются задачи части С. В данной статье рассмотрим решение задач С2 единого государственного экзамена по математике на нахождения угла между плоскостями. Задачи с такой проблемой были на ЕГЭ по математике в 2012 году.
ABSTRACT
For many years the unified state examination in mathematics is an innovation, both for pupils, and for teachers as every year there appear new and interesting problems. Especially new and non-standard tasks are problems of part C. In this article we will consider the solution of problems in C2 of the unified state examination on
mathematics on finding a comer between the planes. Such problem, were on Unified State Examination in mathematics in 2012.
Ключевые слова: единый государственный экзамен; математика.
Keywords: unified state examination, mathematics.
Задание С2 Единого государственного экзамена вот уже два года представляло стереометрическую задачу на определение расстояний или углов в пространстве между объектами, связанными с некоторым многогранником. При решении задач на расстояния и углы в стереометрии обычно используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный метод.
Знание учениками нескольких методов решения задач имеет свои преимущества. Так, решив задачу одним способом, школьник может проверить правильность ответа другим способом. Кроме этого, возможность выбора учащимися разных способов решения задачи способствует развитию вариативного мышления у школьников.
Решая задачу о нахождении угла между плоскостями в курсе стереометрии, упор делается на дополнительные построения, которые позволяют выделить искомый угол, а затем рассчитать его величину. Здесь уместно вспомнить задачи на построение сечений многогранников, которые рассматриваются в 10 классе и у многих школьников вызывают трудности. Существование формального алгоритма для таких построений совершенно не облегчает задачу, поскольку каждый случай достаточно уникален, а любая систематизация лишь усложняет процесс. Именно поэтому задача C2 оценивается в два балла. Первый балл дается за правильные построения, а второй - за правильные вычисления и собственно ответ.
Преимуществами применения поэтапного вычислительного метода являются: высокая наглядность дополнительных построений, которые подробно изучаются на уроках геометрии в 10-11 классах; значительное сокращение объема вычислений при правильном подходе.
Рассмотрим определение двугранного угла
А
С
В
Рисунок 1.
Определение 1. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
1_ЛОБ - линейный угол двугранного угла с ребром СО. Так как ОА±СО, ОВ±СО, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой СО (рис.1).
Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла.
Задача. Дана шестиугольная правильная призма А.. .^. Сторона основания равна 2, а высота 4, СЬ\ЬС\=3А, ^К:К^=1:3. Найти угол между плоскостью КЬБ и плоскостью основания призмы.
Решение.
1 способ (Используя, определение 1). ЬКПСГ=Р (рис. 2).
р
Рисунок 2.
Р
Рисунок 3
Плоскость основания призмы пересекается с плоскостью БКЬ по прямой
ВР. СЬ=3, Ж=1, СF=4.
Ь'К Ь'Р
Из подобия треугольников ЬСР и КЬ'Р следует —— = ——. Пусть РР-х, то-
1 X
гда СР=д:+4 и поучим уравнение - ---------т => * - 2. Т.е. РР=2, тогда СР=6.
^ ОС I I
АВСР = 60°.
Из треугольника СВР по теореме косинусов найдем ВР (рис. 3).
ВР2=СВ1+СР2 - 2СВСР собіВСР.
ВР = ^4 + 36-2-2-6-^ = >/40-12 = >/28 = 2^7.
Найдем площадь треугольника ВСР двумя способами и приравняем полученные выражения площадей.
я = -ВС-СР-йпАВСР = -2-6 — = 3л/з.
ВСР 2
V ^—/i/j 2л/тсн = Лен,
вер 2 2
где СН - высота треугольника 5СР. л/7СЯ = 3>/3.
снЖ
V7.
Угол LHC является искомым углом, т.к. LH±BP и CH±BP. Найдем LH и косинус угла из треугольника CHL.
2 ' /27 , п Зл/З
LH -yJCH2 +CL2 =^J ^ 2+32 = Jf + 9
cos ZLHC -
7
СН >/з л/зо
Ответ: arccos
LH Jw Ю ' л/30
10
К недостаткам использования поэтапного вычислительного метода можно отнести необходимость: знать большое количество формул из стереометрии и планиметрии; строить дополнительные построения. И это может оказаться серьезной проблемой даже для хорошо подготовленных учеников.
Если у учащихся хорошее стереометрическое воображение, проблем с дополнительными построениями не возникнет. Остальным школьникам предлагаем отказаться от традиционного геометрического метода и рассмотреть более эффективный метод координат.
2 способ. Метод координат.
Задачу о нахождении угла между плоскостями а и в, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями a\x+b\y+c\z+d=0 и
а2х+Ь2)'’+С2-+с1=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей пг = {а^,Ъх,сх} и п2 = {а2,Ь2,с2} используя формулу
Решим задачу вторым способом.
Введем систему координат (рис. 4). Начало координат поместим в точке
О, где О - это центр нижнего основания. Оси координат х, у, 2 направим по лучам ОМ, ОЕ, ОО\ соответственно, где М- середина АР, О\ - центр верхнего основания призмы.
Укажем координаты трех точек:
Любую прямую, перпендикулярную плоскости, кратко называют нормалью к плоскости. Любой вектор, лежащий на этой прямой, называют нормальным вектором этой плоскости. Нетрудно заметить, что угол между плоскостями равен между нормальными векторами к данным плоскостям.
/7, • /7
В{ 0,-2,0 ),К(>13, 1, 1),М-73,-1,3).
Аі
О
к \1)
- -^ч
А
X
71 р
Рисунок 4.
Плоскость основания призмы совпадает с плоскостью: 2=0. Нормальный вектор данной плоскости имеет вид г\ = {0,0,1}.
Найдем уравнение плоскости ах+Ъу+с2+^=0, проходящей через точки В,
К, Ь.
а-О + Ь -2 +с-0 + ¿7 = О(для точки В),
'■л/з +ЬЛ + сЛ + с1 = 0 (для точки К), і ■ (-«Уз) + Ъ ■ (-1) + с ■ 3 + = 0 (для точки Ь).
отсюда
-2b + d = 0,
4 с + 2 d = 0, <=> <!
у/За = -b-c-d,
b-d-,
2
__d_
С~ 2’
л/За = -— + — -d = -d, 2 2
Итак,
й й й 1 п
—т=х-\— у г + а = О
л/3 2 2
Имеем, в частности, такое уравнение
2х - уу/3 + г^З - 2>/з = О
Нормальным вектором этой плоскости будет п2 = {2,-л/з,л/з}.
1 • 2 + 0• (—у/З) + 0• >/з| _ ^
COS(nj,n2) =
-ч/l2 + о2 + О2 ^22 + (--ч/з)2 + (7з)2 VÏÔ
10
Задачи для самостоятельного решения.
Дана шестиугольная правильная призма Ä...F\. Сторона основания равна
2, а высота 4.
1) BL:LB1=3:1, K середина ÄÄ1. Найти угол между плоскостью KLM и плоскостью основания призмы, где М середина ВС. Найти угол между плоскостью CKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью DKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью FKL и плоскостью основания призмы.
2) CL:LC1=3:1, AK:KA1=1:3. Найти угол между плоскостью KLM и плоскостью основания призмы, где М середина ВС. Найти угол между плоскостью DKL и плоскостью основания призмы.
3) CL:LC1=3:1, K середина ÄÄ1. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы.
4) L середина CC1, AK:KA1=1:3. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы.
5) CL:LC1=3:1, K середина ÄÄ1. Найти угол между плоскостью EKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью BKL и плоскостью основания призмы.
6) L середина CC1, FK:KF1=1:3. Найти угол между плоскостью ÄKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью BKL и плоскостью основания призмы.
7) CL:LC1=3:1, FK:KF1=1:3. Найти угол между плоскостью ÄKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью BKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью KLM и плоскостью основания призмы, где М середина AF.
8) CL:LC1=3:1, K середина FF1. Найти угол между плоскостью ÄKL и плоскостью основания призмы. Найти угол между плоскостью BKL и плоскостью основания призмы.
Список литературы:
1. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
2. ЕГЭ - 2013.Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.: Национальное образование, 2012. - 192 с.
3. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 5-8 / А.Н. Корняков, А.А. Прокофьев. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. - 100 с.
