CC BY
124
Development of education
Потанина О. В. Ро1атпа О. V.
кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Математика», ФГБОУВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г. Уфа, Российская Федерация
U
Захарова М. А. 2аккагога М. А.
старший преподаватель кафедры «Математика», ФГБОУВО «Уфимский государственный нефтяной техническийуниверситет», г. Уфа, Российская Федерация
Аносова Е. П. Ап080Уа Е. Р.
старший преподаватель кафедры «Математика», ФГБОУВО «Уфимский государственный нефтяной техническийуниверситет», г. Уфа, Российская Федерация
УДК 378
ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ
В статье рассматриваются вопросы взаимосвязи курса стереометрии с дисциплинами, изучаемыми в техническом вузе.
Для эффективной организации обучения в вузе необходимо иметь представление о том, какие знания и умения освоены учащимися в школе и на каком уровне. Для оказания индивидуальной помощи при подготовке к единому государственному экзамену важно знать, какие задания и на каком уровне выполняет выпускник, выявить, какие знания и умения он может продемонстрировать.
Для поступления в высшие технические учебные заведения, где математика является одним из обязательных предметов, абитуриент должен выполнить экзаменационные требования на профильном уровне.
Задания этой части проверяют умения выполнять вычисления и преобразования, выполнять действия с геометрическими фигурами, строить и исследовать математические модели, находить путь решения, комбинируя изученные методы и применяя их в новой ситуации.
Начертательная геометрия, инженерная графика, теоретическая механика, электротехника и ряд других дисциплин предполагают определенный уровень подготовки по геометрии как необходимое условие. Анализ результатов выполнения геометрических заданий повышенного уровня за 2012-2017 гг. единого государственного экзамена по математике и типичных ошибок, допущенных при выполнении этих заданий, показывает, что задачи стереометрии в отличие от планиметрических задач имеют свои специфические особенности. Именно из-за них возникают те или иные трудности при их решении. В работе уделяется внимание особенностям структуры решения стереометрических задач и разработке обобщенных схем анализа их решения. Приводятся примеры правильного решения, оформления геометрических задач повышенного уровня с развёрнутым ответом, рассматриваются нестандартные пути решения задач. Даются формулы, позволяющие оптимизировать ход решения.
Развитие образования
Данная работа предназначена для широкого круга лиц: представителей органов управления образованием разных уровней, специалистов институтов повышения квалификации педагогических кадров, авторов учебников, разработчиков учебных материалов, специалистов, занимающихся проблемами общего образования, а также проблемами оценки качества образования. Материалы могут быть полезны преподавателям и выпускникам образовательных учреждений общего среднего и профессионального образования.
Ключевые слова: качество математической подготовки, курс аналитической геометрии в технических вузах, результаты единого государственного экзамена по математике, структура решения стереометрических задач.
FORMATION OF RECEIVING SOLUTIONS OF STEREOMETRIC PROBLEMS AS A MEANS OF IMPROVING THE QUALITY OF MATHEMATICAL TRAINING
The article discusses the relationship between the course of stereometry and the disciplines studied in a technical university.
To effectively organize the training in the university you need to have an idea of what knowledge and skills are learned by students in the school and at what level. To provide individual assistance in preparing for a unified state exam it is important to know what tasks and at what level the graduate is performing, to reveal what knowledge and skills he can demonstrate.
For admission to higher technical educational institutions, where the ma-subject is one of the compulsory subjects, the entrant must fulfill the examination requirements at the profile level.
The tasks of this part test the ability to perform calculations and transformations, perform actions with geometric figures, build and explore mathematical models, find a solution path by combining the methods studied and applying them in a new situation.
Descriptive geometry, engineering graphics, theoretical mechanics, electrical engineering and a number of other disciplines presuppose a certain level of training in geometry, as a necessary condition. Analysis of the results of the implementation of geometric targets for the higher level for 2012-2017 unified state examination in mathematics, and the typical mistakes made in the performance of these tasks shows that the problems of stereometry, unlike planimetric problems, have their own specific features. It is because of them that there are some difficulties in solving them. The paper pays attention to the features of the structure of solving stereometric problems and the development of generalized schemes for the analysis of their solutions. Examples of the correct decision, registration of geometric problems of the raised level with the developed answer are resulted, nonstandard ways of the decision of problems are considered. The formulas allowing to optimize a course of the decision are given.
This work is intended for a wide range of persons: representatives of education management bodies of different levels, specialists of institutes for advanced training of teachers, authors of textbooks, developers of educational materials, specialists dealing with problems of general education, as well as problems of assessing the quality of education. Materials can be useful for teachers and graduates.
Key words: the quality of mathematical training, the course of analytical geometry in technical universities, the results of a unified state examination in mathematics, the structure of solving stereometric problems.
Распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. N 2506-р утверждена Концепция развития математического образования в Российской Федерации [1]. Согласно этой концепции: «Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к
логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин. Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе».
В математике огромную роль играет умение решать задачи. В ходе их решения закрепляются полученные знания. В процессе
Development of education
решения задачи теория, а именно: аксиомы, теоремы, формулы и правила раскрываются перед нами не как что-то не понятное, оторванное от практической жизни, а во взаимосвязях с действительностью. Так же как грамматику можно изучить лишь в процессе живого общения, так и теорему в математике можно по-настоящему научиться применять только в процессе решения задач. И чем разнообразнее будут эти задачи, тем лучше можно овладеть математической теорией.
Согласно данным мониторинга качества Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» за 20112016 годы [2], около 25-35 %, абитуриентов пытаются поступить в вузы технического профиля.
Начертательная геометрия, инженерная графика, теоретическая механика, электротехника и т.д. предполагают подготовку по геометрии как необходимое условие. «Для успешного освоения начертательной геометрии студенты должны иметь достаточные знания в области стереометрии» [3].
Курс аналитической геометрии — один из базовых разделов курса математики, изучаемых в технических вузах; цель курса — продолжение ознакомления студентов с математическим аппаратом, необходимым для изучения специальных дисциплин. Большинство задач, решаемых студентами в курсе аналитической геометрии, не повстречаются в будущей инженерной деятельности, но помогут развитию пространственного воображения и мышления [4, 5].
Ряд авторов [6] указывает, что «уменьшение часов в связи с переходом на бакалавриат привело к сокращению изучаемого материала по этому разделу», и многим темам приходится уделять меньше внимания, давая лишь краткий обзор, что делает проблему «геометрической» неграмотности еще более глубокой.
Анализ литературы [7-9] и собственный педагогический опыт работы экспертом по проверке ЕГЭ показывают, что лишь единицы выпускников умеют решать геометрические задачи школьного курса, аргументи-
ровать ход решения задачи, грамотно применять теоремы, особенно по стереометрии.
По результатам аналитических отчетов и методических рекомендаций [7-9], основанных на анализе типичных ошибок при выполнении заданий ЕГЭ по математике 2012-2017 года, авторами делается вывод, что «алгебраическая составляющая школьного курса математики до-минирует над геометрической».
Результаты выполнения геометрических заданий повышенного уровня второй части с развёрнутым ответом (от общего числа сдававших экзамен), задания, которые проверяли умение выполнять действия с геометрическими фигурами, приведены в таблице 1 [7-9].
Таблица 1. Результаты выполнения геометрических заданий повышенного уровня второй части с развёрнутым ответом
Годы С2или№ 14 (стереометрия), в % С4или№ 16 (планиметрия), %
2012 9,4 7,5
2013 10,8 14,6
2014 4,6 2,9
2015 7,0 1,0
2016 около 10 4,0
2017 10,3 5,02
Данные таблицы 1 подтверждают вывод, что преподавание стереометрии в школе имеет акцент на формальную сторону в ущерб наглядным геометрическим представлениям.
Исходя из итогов проведения ЕГЭ за последние три года, решение задачи № 14 вызывает наибольшую трудность. Очень малое количество выпускников полностью справляется с этой задачей. Надо также отметить, что по сравнению с предыдущими годами (2010-2014 гг.) задание № 14 последних трех лет значительно усложнилось. Полное решение задачи предполагает решение 2-х задач. Например, построение сечения пространственной фигуры, а затем вычисление площади этого сечения, либо вычисление объема пирамиды, основанием которой является построенное сечение.
В методических рекомендациях [4-6] среди основных проблем невыполнения задания по стереометрии названы следующие:
— несформированность наглядных геометрических представлений;
— недостаточное владение геометрическими знаниями, отсутствие графической культуры.
Наибольшие затруднения в 2017 году участники испытывали при оформлении доказательства задачи № 14. Самая распространённая ошибка заключалась в неверном применении признака перпендикулярности прямой и плоскости. Низкая успешность выполнения этого задания свидетельствует о несформированности пространственных представлений у выпускников. Добавим пробелы в умении правильно изобразить геометрические фигуры в пространстве и провести дополнительные построения.
Задачи стереометрии в отличие от планиметрических задач имеют свои специфические особенности. Именно из-за них возникают те или иные трудности при их решении.
При решении задач планиметрии обычно сравнительно легко изображаются фигура и ее отдельные элементы. Иное дело в пространстве. Умению правильно изобразить пространственную фигуру принадлежит основная роль в развитии пространственного мышления. Решение любой стереометрической задачи начинается с выполнения правильного чертежа, так как без этого этапа в решении задачи трудно усвоить ее условие, проанализировать этапы решения и в конечном итоге решить. Запись условия задачи с помощью чертежа позволяет охватить все условия целиком, яснее понять данные и облегчить поиск пути решения.
В школьной практике пространственную фигуру изображают с помощью параллельной проекции. Отсюда возникают некие трудности. Нужно уметь правильно изобразить фигуру с учетом ее свойств в параллельной проекции, а затем правильно представить пространственную модель по ее условному изображению. Например, если в
Развитие образования
основании тела находится квадрат, то его изображением является параллелограмм, прямоугольный треугольник редко таковым изображается и т.д. Отдельные элементы, о которых идет речь в задаче, строятся не циркулем и линейкой, а теоретическим обоснованием этого построения, в котором будет четкое указание на то, где именно изображается тот или иной элемент.
В данной работе рассматриваются вопросы, связанные со структурой решения стереометрической задачи, разработкой обобщенных схем анализа их решения.
Пример. Дана правильная треугольная пирамида ABCD. Высота DO опущена на грань ABC. Выясним, в какую точку этой грани попадет основание этой высоты. Так как ААВС равносторонний, то основание высоты DO попадет в точку пересечения медиан ААВС, которые в свою очередь делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, основание высоты DO совпадает с точкой пересечения медиан ААВС. Теоретически обоснование этого факта строится на равенстве прямоугольных треугольников и понятии «правильная пирамида».
Анализ геометрической задачи нужен для того, чтобы выявить свойства фигуры, которые связаны с условием, выяснить зависимость между данными и искомыми элементами, включить те и другие в состав вспомогательных плоских фигур. Обоснованием решения задачи могут являться определения, теоремы, признаки, на основании которых делается вывод о взаимосвязи известного и искомого.
Любая стереометрическая задача — это некая последовательность планиметрических задач. Хорошее владение навыками решения позволяет решить любую, даже самую сложную пространственную задачу.
Рассмотрим задачу. На ребре DC правильной треугольной пирамидыАбСО с вершиной D взята точкаМ так, что CM:MD= 1:3. Высота DH= 16, а расстояние между прямыми DH и AD равно 2. Найти тангенс угла
Development of education
между плоскостью ABM я плоскостью основания пирамиды (рисунок. 1).
D
Как уже было сказано ранее, основание высоты (точка Н) совпадает с точкой пересечения медиан AABC, т.е. СЕ — медиана, а E - середина отрезка АВ.
Изобразим планиметрический чертеж (рисунок 2). Так как CM:MD=\3, то по теореме о пропорциональных отрезках CN:NH= 1:3, где N - проекция точки М на плоскость ABC.
D
рисунок 2
Определение угла между прямой и плоскостью требует обоснования. Угол между плоскостями определяется как линейный угол между перпендикулярами к их общему ребру. Так как CE LAB и MELAB (по теореме о трех перпендикулярах), то искомый угол это ZMEN.
Пример. В правильной треугольной пирамиде DABC со стороной основания АВ=30, боковое ребро равно 20. Точки N яМ делят ребра DA и DB в отношении 2:1, считая от вершины D. Плоскость а, содержащая пря-
мую ММ, перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
1) Докажите, что плоскость а делит высоту СЕ основания в отношении 8:1, считая от точки С.
2) Найти площадь сечения пирамиды плоскостью а (рисунок 3).
D
Рассмотрим все этапы решения данной задачи.
Чтобы построить требуемое сечение, выполним планиметрический чертеж. Так как
ND 2 DM DK 2 v
— = - =- => — = -, где точка К — это
NA 1 МВ КЕ 1
точка пересечения высоты DE AADB и отрезка NM. Точка L — проекция точки К на плоскость ABC. DH1EH; KL //DH ^ KL1EH. По теореме о пропорциональных отрезках
ТУТ 'У
= —. Точка H— точка пересечения медиан LE 1 2 2
A ABC, следовательно — = — => СН = -СН;
НЕ I 3
НЕ = —CE;HL = -НЕ; LE = -HE^>LE = ---СЕ = 3 3 3 3 3
= -НЕ => CL = —НЕ 9 9
Таким образом CL:LE=8:1. Искомое сечение является равнобедренной трапецией. ANAR=AMBP (по двум сторонам и углу между ними). Чтобы найти площадь, надо найти основания MN и PR, а также высоту KL этой трапеции. Так как ANDM подобен AADB, то NM:AB=2:3; AKEL подобен ADEH ^ KL:DH = 1:3; ARCP подобен ААСВ\ по доказанному выше RP:AB=8:9.
Найдем высоту DH. АВ=ВС=СА=30 ^
СЕ = ^АС2 -АЕ2 ; СЕ = 4900-225 = 15-V3;
Развитие образования
рисунок 4
т.к. СН=-СЕ, ТО СЯ = Юл/з; DH= ^DC1 -СН2; 3
DH = л/400-300 =10. KL = -DH=> KL = —,
3 3
AB = 30^MN = -AB; MN = 20,PR = ^AB;
80
+ 20
$сеч ~
10
3
700 9
Наиболее сложные задачи стереометрии связаны с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми. Кроме традиционных методов определения этого расстояния, предлагаем рассмотреть, как нам кажется, простой и понятный способ определения этого расстояния через объем треугольной пирамиды. Известна формула объема треугольной пирамидыТ = ^а-Ь• с• sin
в которой аий — это длины скрещивающихся ребер этой пирамиды, с — искомое расстояние между ними, а — угол между этими ребрами.
Задача будет состоять из следующих этапов.
1) Определить объем пирамиды по фор-мулеГ=^£осн-/г. Согласно свойству объемов, он не зависит от выбора основания этой пирамиды.
2) Определить угол между прямыми, проходящими через скрещивающиеся ребра этой пирамиды, между которыми надо определить расстояние. Чаще всего этот угол определяется с помощью параллельного переноса.
3) Подставить полученные результаты в формулу F = и выразить неиз-
ReoTHne с
На практике это будет выглядеть так. Пример. Дан куб с ребром 3. Найти рас' стояние между прямыми ^М, где М— сере^ дина ребра 01С1 и прямой (рисунок 5).
рисунок 5
Построим треугольную пирамиду ВА1 и ДМ Найдем искомое расстояние с помощью формулы (1). Определим объем этой пирамиды по формуле (2), где£ос„ — есть ЯМАМ, а высота — это расстояние от вершины В до плоскости, в которой находится АА1И1М. Это расстояние совпадает с длиной бокового
1 3 9
ребра В1В1. Таким образом,5МАМ = - • 3 • - = -, ^ _вв _з^ у _1 з _ Зная объем, най-
1 пир ^ ^ ^
дем расстояние. Так как^м = д/Л А2 + А>
ам =,/9+- = —-. Д5 = Зл/з. Осталось найти 1 V 4 2 1
угол между прямыми ^М и (рисунок 6).
рисунок 6
Искомый угол а получаем, используя
метод параллельного переноса АК// А}М;
ЕР//ВВ1. АБЕК подобен ДВЕА,— = - = — =
АВ 2 ЕВ
-121
Development of education
= — => AE = -AK. Так как AK=AjM, то EK 3
AE = ---45=5. 3 2
T\T? 1 prp
AFDE подобен AD!DB,— = ± = — => ' FD1 2 DXB
FE = ^D,B. FE = jlS = S, FE = ]^DDX= 1,
AF = ^lAD2+DF2 , AF = л/9ТТ = л/lO . Угол определяем по теореме косинусов^2 = АЕ2+ +EF2 =!■ AE-EF-cosa,\0 = 5 + 3-2-^15-cosa,
1 . I 14 ¡14 9
C0Sa = "VÍ5' Т°ГДа Sina = r"l5=^15^4 =
6 2 V15 14
Угол между прямыми можно было найти и другим способом (рисунок 7).
A1MHAKHBL ^ искомый угол — это угол
D,BL.CL = -AB=> DL = -AB. 1 2 2
1 V 1 V 4 2 2 4
= 27 + — -2-Зл/з •-^-•cosa, откуда cosa=^L= 4 2 Vl5
и находим искомое решение.
Список литературы
1. Концепция развития математического образования в Российской Федерации [Электронный ресурс], https://rg.ru/2013/ 12/27/ matematika-site-dok.html.
2. Мониторинг качества приема в вузы [Электронный ресурс], https://ege.hse.ru/stata.
3. Жирных Б.Г., Серёгин В.И., Шари-кян Ю.Э. Начертательная геометрия: учебник / Под общ. ред. В.И. Серегина. 1-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 168 с.
4. Еремеева H.H., Кухарева Е.А., Романовская Т.Н. Межпредметные связи в формировании математического мышления посредством изучения геометрии (на примере разделов «векторы» и «метод координат») // Вектор науки ТГУ. Серия: Педагогика, психология. 2017. № 2 (29). С. 41-45.
5. Исламгулова Е.Ф. Инфографика в курсе аналитической геометрии // Перспективы науки. 2016. № 11 (86). С. 63-67.
рисунок 7
Вывод
Хорошее владение теоретическим материалом позволяет из многообразия способов решения выбрать наиболее простой и понятный, грамотные ссылки на теоретические основы и правильно выполненные чертежи позволят осуществить решение задачи. Умение решать стереометрические задачи является немаловажной составляющей качественной математической подготовки, которая обеспечит успешное усвоение многих дисциплин в техническом вузе.
6. Комарцов О.М., Короткое В.В., Сахаров В.В. Проблемы преподавания в техническом вузе // Современные проблемы науки и образования. 2014.№6.
7. Ященко И.В., Семёнов A.B., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года по математике [Электронный ресурс], http:// fipi.ru/ege-i-gve-ll/analiticheskie-i-meto-dicheskie-materialy.
8. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания общеобразовательных предметов (на основе анализа ЕГЭ 2013-2014) [Электронный ресурс], http://fipi.ru/ege-i-gve-ll/analr ticheskie-i-metodicheskie-materialy.
9. Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012 г. [Электронный ресурс]. http://fipi. ru/ege-i-gve-11/analiticheskie-i-metodicheskie-materialy.
References
1. The concept of the development of mathematical education in the Russian Federation [Electronic resource], https://rg.ru/2013/ 12/27/matematika-site-dok.html.
2. Monitoring the quality of admission to universities [Electronic resource] https://ege. hse.ru/stata.
3. Zhirnykh B.G., Seryogin V.I., Shari-kyan Y.E. Descriptive Geometry: A Textbook / Edited by V.I. Seregina. 1st ed. M.: MSTU named after N.E. Bauman, 2015. 168 p.
4. EremeevaN.I., KukharevaE.A., Roma-novskaya T.I. Intersubject connections in the formation of mathematical thinking through the study of geometry (for example, the sections «vectors» and «method coordinates») // Vector of science TSU. Series: Pedagogy, psychology. 2017. No. 2 (29). P. 41-45.
5. Islamgulova G.F. Infographies in the course of analytical geometry // Prospects of science. 2016. No. 11 (86). P. 63-67.
Развитие образования
6. Komartsov O.M., Korotkov V.V., Sakha-rov V.V. Problems of teaching in a technical college II Modern problems of science and education. 2014. No. 6.
7. Yashchenko I.V., Semenov A.V., Vysot-sky I.R. Methodical recommendations for teachers, prepared on the basis of the analysis of typical mistakes of the participants of the USE 2017 in mathematics [Electronic resource], http://fipi.ru/ege-i-gve-ll/analiticheskie-i-meto-dicheskie-materialy.
8. Methodical recommendations on some aspects of improving the teaching of general subjects (on the basis of the unified state exam analysis 2013-2014) [Electronic resource], http://fipi.ru/ege-i-gve-ll/analiticheskie-i-meto-dicheskie-materialy.
9. Analytical report on the results of the unified state exam 2012 [Electronic resource], http://fipi.ru/ege-i-gve-ll/analiticheskie-i-meto-dicheskie-materialy.
