CC BY
11
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И СТРОИТЕЛЬСТВО ДОРОГ, МЕТРОПОЛИТЕНОВ, АЭРОДРОМОВ, МОСТОВ И ТРАНСПОРТНЫХ ТОННЕЛЕЙ
УДК 625.7:519.6
КУДУЕВ АЛТЫНБЕКЖАЛИЛБЕКОВИЧ, ст. преподаватель, [email protected]
ЭШАРОВ ЭЛЗАРБЕК АСАНОВИЧ, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]
АРКАБАЕВ НУРКАСЫМКЫЛЫЧБЕКОВИЧ, ст. преподаватель, nurkasym_2002@rambler. т
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДАННЫХ ЛАЗЕРНОГО СКАНИРОВАНИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОГОНАЛЬНОГО ОНМ-МУЛЬТИВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ*
Рассмотрено применение ортогонального ОИМ-мультивейвлет-преобразования для обработки одномерных сигналов и пространственных полей. Предложена программно-аппаратная реализация ОИМ-мультивейвлетов на основе графического процессора. Описаны алгоритмы разработанного пакета прикладных программ для обработки и визуализации данных лазерного сканирования автомобильных дорог с использованием многомасштабных методов анализа и синтеза двумерных графических объектов.
Ключевые слова: мультимасштабирующие функции; мультивейвлеты; ортогональность; обработка данных.
ALTYNBEK Zh. KUDUEV, Senior Lecturer,
ELZARBEKA. ESHAROV, PhD, A/Professor,
NURKASYM K. ARKABAEV, Senior Lecturer, nurkasym_2002@rambler. ru
Tomsk State University of Architecture and Building,
* Работа выполнена при финансовой поддержке по проекту РФФИ 13-07-90900-мол_ин_нр.
© А.Ж. Кудуев, Э.А. Эшаров, Н.К. Аркабаев, 2014
2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
VISUALIZATION OF ROADS LASER SCANNING DATA APPLYING ORTHOGONAL GHM-MULTI WAVELET TRANSFORM
The paper presents orthogonal Geronimo, Hardin, and Massopust (GHM) multi-wavelet transform for processing regular signals and three-dimensional fields. The hard and software for GHM multi-wavelets is suggested based on a graphic processor. The application package algorithms are described to process and visualize data on laser scanning of automobile roads using large-scale analysis and synthesis of two-dimensional objects.
Keywords: multiscale functions, multiwavelets, orthogonality, data processing.
Введение
Повышение эффективности обработки информации является актуальной задачей компьютерной графики. Требования к реалистичности генерируемых изображений постоянно повышаются, что в конечном итоге приводит к росту вычислительных затрат. В то же время для многих приложений (например, визуализации данных лазерного сканирования автомобильных дорог [1]) необходима очень высокая скорость обработки графической информации. Один из путей повышения эффективности обработки информации -применение методов, основанных на многомасштабном представлении графических объектов. Многомасштабное представление - это многослойная структура, первый слой которой содержит информацию, достаточную для грубого (с низким разрешением) приближения объекта; при добавлении информации из каждого последующего слоя степень детализации постепенно увеличивается, пока объект не будет восстановлен полностью (т. е. с максимальным разрешением). Таким образом, полностью изображение показывается в несколько проходов, что позволяет еще до полной загрузки изображения понять его суть и в случае необходимости прервать ее [2].
В [3] нами рассматривались методы решения задач обработки и сжатия данных лазерного сканирования автомобильных дорог на основе билинейного вейвлет-преобразования. В настоящей работе предлагается реализация многомасштабных методов анализа и синтеза двумерных графических объектов, основанная на распараллеливании ортогонального GHM-мультивейвлет-преобразования. Моделирование работает в реальном времени и использует видеокарту для основного объема вычислений, что обеспечивает существенный рост производительности.
Постановка задачи
Вейвлеты служат полезным инструментом в обработке данных, в том числе сжатия изображения, устранения шумов, визуализации графических объектов и т. д. [4]. Ранее использовались только скалярные вейвлеты. Муль-тивейвлеты имеют некоторые преимущества по сравнению со скалярными. Например, такие свойства, как компактный носитель, ортогональность, симметрия, нулевые моменты, безусловно, являются важными в обработке сигна-
лов. Скалярный вейвлет не может обладать всеми этими свойствами в одно и то же время [5]. С другой стороны, система, основанная на мультивейвле-тах, может иметь все эти свойства одновременно. Это означает, что мульти-вейвлеты могут обеспечивать совершенную реконструкцию (за счет ортогональности), хорошую эффективность на границах сигнала (за счет симметрии) и высокий порядок приближения (за счет большого числа нулевых моментов), так что они могут действовать при обработке сигналов и изображений лучше, чем скалярные [6].
Основой для построения вейвлет-преобразования является набор вложенных пространств ...Уь_1 сУь сУь+1... В частности, в исследовании [7] с использованием идей фрактальной интерполяции были построены непрерывные ортогональные симметричные мультимасштабирующие функции ф0 (Г), ф1 (г) с компактными носителями [0,1] и [0,2] соответственно (рис. 1).
Рис. 1. Графики симметричных ортогональных мультимасштабирующих функций (слева - ф0 (г), справа - ф1 (г))
Линейные комбинации сдвигов данных функций обеспечивают второй порядок погрешности приближения. Это означает, что и константа, и линейная функция могут быть воспроизведены точно, что можно проверить непосредственно, вычисляя линейные комбинации векторов ф(0 = [ф0(Г) ф1 (Г)]
с коэффициентами и 0
л/21
1/72 1
(рис. 2):
1 = Еиоф(Г " к) = ... + Т2фо (Г) + ф,(г) + л/2фо (Г -1) + ф,(Г -1)
1
1
Г = Е(и1 -кио)ф(г-к) = ... + -^= фо(г) + ф1 фо (Г-1) + 0-ф! (Г-1) + ...
Здесь граничные артефакты появляются, потому что для целей отрисов-ки данные комбинации вычисляются на конечном отрезке.
Суть вейвлет-преобразования состоит в том, что оно позволяет иерархически разложить заданную функцию на серию все более грубых приближенных представлений. При этом «более грубый» уровень представления функции в УЬ1 получается из «более подробного» уровня представления функции в Уь . Разность между пространствами Уь и УЬ1 заполняет пространство уточняющих подробностей .
к
Рис. 2. Представление 1 и Г с помощью линейной комбинации сдвигов мультимасшта-бирующих функций ф0 (Г), ф1 (г)
Здесь необходимо лишь, чтобы каждая базисная функция в Уь_
могла
быть выражена в виде линейной комбинации базисных функций в Уь . В частности, двухмасштабное соотношение для фрактальных мультимасштабирую-щих функций можно записать в виде следующей векторной формулы [7]:
Фо (Г)
Ф1 (г)
= 1 с,
Фо (2Ь - к) ,Ф1(21 - к)
где
3 1 01
С 0 - 5 5 , С1 - 5
0 1 3 ' 1 _10>/2 1_
_ 10^2 10 _
" 0 0 " " 0 0"
С2 - 9 3 , С3 - _ 1^л/2 0_
_10л/2 10 _
В случае ортогональных вейвлетов требуется, чтобы базисные функции из №ь-1 были ортогональны между собой и одновременно ортогональны базисным функциям в УЬ1 . Соответствующее соотношение разложения содержит также четыре набора матричных коэффициентов [7]:
/о1 -
" 1 Г 9 1
-3 Г - -1 Т2 -10
1 3Л 1 10 -9 0
/ 1 - -/2 10
-3
9
9 -3^2
/1 - -/з 10
1 -1
и, следовательно, существуют два семейства мультивейвлетов у0 (Г), у1 (Г) с носителями [0, 2] (рис. 3):
V о (!)
Е fk
Фо (2t - k) ф (2t - k)
Рис. 3. Вид симметричного и несимметричного «материнских» вейвлетов (слева (г) , справа - ^ (г) )
Предварительное преобразование входных данных
Техника применения мультивейвлетов отличается от случая скалярных вейвлетов тем, что она требует нескольких входных потоков на входе в блок фильтров. В работе [6] описан метод аппроксимации/интерполяции для получения такого векторного входного потока из исходного одномерного сигнала, а также разработаны алгоритмы для симметричного расширения сигнала вблизи границ.
Пусть функция f (t) принадлежит масштабирующему подпространству V0 , порожденному сдвигами фрактальных масштабирующих функций. Это означает, что f (t) - линейная комбинация этих сдвигов:
f(t) - Е*2ф (t - n)(t - n) . (1)
n
Предположим, что входная последовательность f [n] содержит отсчеты ft) в полуцелых числах:
f [2n] = f(n),f [2n +1] = f(n + 1/2).
Носитель ф0 (t) - отрезок [0,1], так что он обнуляется во всех целочисленных точках. Носитель ф (t) - отрезок [0,2], и он отличен от нуля в (1). Выборка (1) в целых и полуцелых числах дает
f[2n] = ^(1K,n, f[2n +1] = Ф1 (3/2)v2,n + Ф0(1 /2)v1,n+1 + Ф^1/2)v2,n+1 . (2)
Коэффициенты vln,v2n могут быть найдены из (2): = Ф1 (1) f [2n -1] - Ф (1/ 2) f [2n - 2] - ф (3/ 2) f [2n] = f [2n]
V1,n Ф (1)Ф0(1/2) ' V2n ф (1) .
Принимая во внимание симметрию ф (t) (ф1 (1/2) = ф (3/ 2)), получаем
= Ф1 (1)I[2л -1] - Ф1 (1/ 2) (/[2п - 2] + /[2л]) _ /[2п]
Ф1 (1)Фо(1/2) ' "2п_ ф (1) • ()
Соотношения (3) дают способ получить две входные строки у1п,у2п исходя из одного заданного сигнала I[п]. Другое преимущество данного способа предварительной обработки в том, что этот метод естественно сочетается с требованием симметричного расширения для мультивейвлетов. Другими словами, если мы симметрично продолжим сигнал I[п] конечной длины за его границы и применим аппроксимационные формулы (3), то две строки , на входе мультивейвлет-обработки будут иметь соответствующую симметрию.
Мультивейвлет-обработка двумерных сигналов сводится к взятию тензорного произведения описанных выше одномерных методов (по каждому направлению отдельно). При этом возникает особенность, состоящая в том, что для случая обработки постоянного сигнала I[л] _ 1 две строки половинного размера имеют значения I[2п] _ л/2 и 11[2п] _ 1 в соответствии с вектором и0 . Чтобы преодолеть это рассогласование, в работе [6] предлагалось каждый раз интерполировать выход горизонтального блока мультивейвлет-фильтра, для того чтобы создать две строки выходов (один аппроксимирующий, другой детализирующий) перед действием в перпендикулярном направлении. Вертикальный выход трансформируют аналогично, прежде чем применяется следующий уровень каскадного алгоритма.
Алгоритмы получения прямоугольной таблицы из данных лазерного сканирования
«Облако» точек не подходит для непосредственного решения таких задач, как определение структурных линий дороги, дефектов покрытия и т. п. Это хорошо видно из представленной на рис. 4 изометрической проекции точек облака на небольшом участке трассы.
Рис. 4. Изометрическая проекция точек облака для участка трассы
На представленной иллюстрации сама трасса выделяется черным цветом в силу сгущения на ней точек. По бокам трассы точки сканирования уходят на сравнительно большую высоту (сканируются деревья). Очистка облака данных лазерного сканирования включает в себя следующие задачи [1]:
1. Разделение данных лазерного сканирования на отдельные сканы.
2. Выбрасывание лишних точек за пределами проезжей части.
3. Удаление помех от препятствий на проезжей части, созданных, например, автомобилями или ремонтными ограждениями.
4. Определение в каждом скане локализации гребня трассы либо самого сканера.
5. Заполнение пропусков в данных лазерного сканирования.
6. Получение прямоугольной таблицы, каждая строка которой содержит одинаковое количество данных и представляет один скан.
Рассмотрим разработанные нами алгоритмы решения каждой из этих
задач.
Разделение данных лазерного сканирования на отдельные сканы.
Последовательность действий по отбору данных одного скана следующая:
- последовательно перебираем данные и определяем расстояние между соседними точками;
- если расстояние между соседними точками превышает ширину дороги (15 м для двухполосной трассы), это означает, что мы определили конец очередного скана;
- если число точек в очередном скане менее 300, эти точки не представляют поверхность трассы и их не следует включать в очищенные данные.
Удаление лишних точек за пределами трассы. Для решения этой задачи предлагается следующий алгоритм:
1. Начиная с первой точки скана, составляем варианты набора точек, принадлежащих проезжей части. В очередной вариант включаем точки данного скана, высота 2 которых попадает в интервал < 2 < Zk0-dz, где - высота первой точки очередного варианта проезжей части, а dz - допустимый перепад высот для точек одного скана (0,3-0,4 м).
2. Вариант, в который попало наибольшее количество точек, принимаем за первое приближение очищенного скана. Таким образом, сразу решается и задача удаления помех на проезжей части. Полученный скан, как правило, все еще будет занимать полосу шире проезжей части.
Локализация положения сканера. На рис. 5, а изображен план небольшого участка трассы с нанесением точек сканирования. Отчетливо прослеживается путь сканера в виде пустой полосы шириной 1,9-2,3 м. Предлагается определять положение сканера следующим образом:
1. Определяем каким-либо способом (даже вручную) положение сканера в первом скане.
2. В последующих сканах определяем разрыв шириной 1,9-2,3 м, наиболее близко расположенный к сканеру в предыдущем скане.
3. Убираем из скана точки, удаленные от положения сканера на более чем 7 м справа и на 12 м слева (цифры удаленности подбираются эмпирически) и запоминаем положение сканера в каждом скане (рис. 5, б).
а б
Рис. 5. План небольшого участка трассы после выделения сканов, удаления лишних точек за пределами трассы и точек, высота которых не вписывается в определенный коридор (а); кусок трассы после очистки от точек, удаленных от положения сканера на расстояние более допустимого (б)
Выявление и заполнение пропусков в данных сканирования. Пропуски в данных одного скана хорошо видны на его плане. Пример такого плана представлен на рис. 6, а. Отчетливо видно, что в данном примере имеется не менее трех пропусков в данных. Максимальное расстояние между точками в непрерывной части (рис. 6, слева внизу) составляет 22-30 см. Таким образом, пропуски в данных характеризуются разрывом в плане скана не менее 30 см. Предлагается заполнять такие разрывы линейной интерполяцией между точками разрыва. Количество добавляемых точек можно определить по среднему расстоянию в соседних непрерывных участках.
После этого останутся пропуски точек по краям трассы. Предлагается еще более сузить ширину трассы (6 м справа и 10 м слева от положения сканера), а затем приступить к заполнению пустот по краям трассы:
1. Выявить очередной разрыв на краю трассы: если первая (последняя) точка скана расположена на расстоянии менее 10 м слева (6 м справа), то этот скан принадлежит разрыву, который надо заполнить.
2. Для заполнения этого разрыва путем линейной интерполяции между крайними точками сканов, граничащих с данным разрывом, вставляются первые (последние) точки сканов, принадлежащих разрыву.
3. Для полного «лечения» краевого разрыва описанным выше способом вслед за крайней точкой вставляется требуемое количество последующих точек.
Получение требуемой выборки в виде прямоугольной таблицы. После того как мы получили очищенную таблицу со значениями координат точек трассы, необходимо сделать наиболее равномерную выборку из этой таблицы для выполнения условий проведения вейвлет-анализа образующейся поверхности, поскольку желательно, чтобы в такой выборке содержалось
2 ^ +1 строк и 2 +1 столбцов. Предположим, что наша таблица содержит п строк, причем в каждой строке разное количество столбцов. Необходимо проредить строки, чтобы их количество было равным к_ 21 +1 < п , причем каждую строку нужно проредить так, чтобы она содержала ровно 2^ +1.
Рассмотрим вопрос, какие строки исходной таблицы включать в нашу выборку, а какие пропускать. Проще всего решить эту задачу, используя целочисленный алгоритм Брезенхэма [8]. Суть этого алгоритма заключается в следующем:
- на каждом шаге вычисляется накопляемая ошибка Е = Е + 2 (к —1) , причем перед началом вычислений Е = (п-1) — 2 (к —1) ;
- если получившееся значение Е больше нуля, то очередная строка включается в выборку, из накопляемой ошибки вычитается 2(п-1) и осуществляется переход к рассмотрению кандидатуры следующей строки на включение в выборку;
- если получившееся значение Е меньше нуля, то очередная строка не включается в выборку, и переходим к следующей точке.
Такой же алгоритм следует применить и при решении вопроса о том, какие столбцы из каждой строки нужно включить в нашу выборку. Выборка данных для моделирования поверхности трассы приведена на рис. 6, б, на котором хорошо видны выброшенные сканы.
Рис. 6. Иллюстрация плана одного скана (а); выборка данных для моделирования поверхности трассы (б)
Приложение разработано на языке C с использованием компилятора Microsoft Visual Studio [9]. Работа с видеокартой происходит с использованием технологии CUDA [10].
Все массивы (сплайн-коэффициентов и вейвлет-коэффициентов) хранятся в виде текстур из 32-битных чисел [11]. Также создаются текстуры с вспомогательными таблицами констант для алгоритма вейвлет-преобразования [12]. Для обработки массивов данных используется рендеринг прямоугольника в текстуру. Для визуализации используется простой вывод полей яркостей для каждого цвета.
Программа позволяет в интерактивном режиме моделировать и визуализировать поверхность автомобильной дороги по данным лазерного скани-
а
б
Реализация
рования. Можно влиять на форму поверхности, используя мышь. Скорость работы на видеокарте ATI Radeon HD 4870 составляет около 280 кадров в секунду на сетке 512x512 узлов и около 70 кадров в секунду на сетке 1024x1024 узлов. Таким образом, в реальном времени возможно моделирование с большой детализацией.
Результаты численных экспериментов
С использованием разработанной программы по выборке данных замоде-лирована поверхность автомобильной дороги (рис. 7). Возникающая средне-квадратическая погрешность аппроксимации поверхности не превышает 5,7 см. Математическое ожидание отклонения является смещенным на 9,4 • 10-4 м.
Рис. 7. Трехмерное изображение части поверхности автомобильной дороги после сжатия GHM-мультивейвлетами
Заключение
С помощью методов, основанных на многомасштабном мультивейвлет-представлении, могут быть решены проблемы удаления шумов изображений и сокращения объемов данных посредством пороговой отбраковки мульти-вейвлет-коэффициентов. При этом эффективность мультивейвлетов часто оказывается лучше, чем эффективность сравнимых по трудоемкости скалярных вейвлет-преобразований.
Библиографический список
1. Предварительная обработка материалов лазерного сканирования автомобильных дорог / Д.А. Турсунов, Б.М. Шумилов, А.Н. Байгулов, С.Н. Колупаева // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2011. - № 3(32). - С. 184-191.
2. Дегтярев, В. Компьютерная геометрия и графика / В. Дегтярев. - М. : Академия, 2010. -192 с.
3. Вейвлет-преобразование и сжатие данных лазерного сканирования автомобильных дорог / А.Т. Бекмуратов, Г.А. Онопенко, А.Ж. Кудуев, Б.М. Шумилов, Э.А. Эшаров // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2011. - № 4(33). - С. 184-191.
4. Переберин, А.В. Многомасштабные методы синтеза и анализа изображений: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М., 2002. - 138 с.
5. Добеши, И. Десять лекций по вейвлетам : [пер. с англ.] / И. Добеши. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 332 с.
6. Strela, V. Multiwavelets: Theory and Applications / V. Strela // Submitted to the Department of Mathematics in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Mathematics. Massachusetts Institute of Technology, 1996. - 99 р.
7. Geronimo, J. Fractal functions and wavelet expansions based on several scaling functions / J. Geronimo, D. Hardin, P. Massopust // J. Approx. Theory 78 (1994). Р. 373-401.
8. Роджерс, Д. Алгоритмические основы машинной графики / Д. Роджерс. - М. : Мир, 1989. - С. 512.
9. William, H. Press. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. / H. William. -Cambridge: Cambridge University Press, 1997. - 994 p.
10. Харламов, А.А. Основы работы с технологией CUDA / А.А. Харламов, А.В. Боресков. -М. : ДМК-Пресс, 2010. - 231 с.
11. GPU gems: programming techniques, tips, and tricks for real-time graphics / editor Randima Fernando. - Boston : Addison-Wesley, 2004. - 765 p.
12. GPU gems 2 / Randima Fernando, Matt Pharr, Hubert Nguyen etc. - Boston : Addison-Wesley, 2007. - 880 p.
References
1. Tursunov D.A., Shumilov B.M., Baigulov A.N., Kolupaeva S.N. Predvaritel'naja obrabotka ma-terialov lazernogo skanirovanija avtomobil'nyh dorog [Preliminary data processing of roads laser scanning]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. No. 3. 2011. Рp. 184-191. (rus)
2. Degtyarev V. Komp'yuternaya geometriya i grafika [Computer geometry and graphics]. Moscow : Publishing Center Academia. 2010. 192 p. (rus)
3. Bekmuratov A.T., Onopenko G.A., Kuduev A.Zh., Shumilov B.M., Esharov E.A. Veivlet-preobrazovanie i szhatie dannykh lazernogo skanirovaniya avtomobil'nykh dorog [Wavelet-transform and data compression of road laser scanning]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. No. 4. 2011. Рp. 184-191. (rus)
4. Pereberin A.V. Mnogomasshtabnye metody sinteza i analiza izobrazhenii [Large-scale methods for image synthesis and analysis]. Moscow : Keldysh Institute of Applied Mathematics. 2002. 138 p. (rus)
5. Daubeshies I. Desyat' lektsii po veivletam [Ten lectures on wavelets]. Izhevsk : NIC «Regu-ljarnaja i haoticheskaja dinamika», 2001. 332 p. (transl. from Engl.)
6. Strela V. Multiwavelets: Theory and Applications. Massachusetts Institute of Technology, 1996. 99 p. Submitted to the Department of Mathematics in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Mathematics.
7. Geronimo J., Hardin D., Massopust P. Fractal functions and wavelet expansions based on several scaling functions, J. Approx. Theory. 78 (1994) 373-401.
8. Rodgers H. Algoritmicheskie osnovy mashinnoi grafiki [Algorithmic foundations of computer graphics]. (Rus. ed.: Rodzhers D. Algoritmicheskie osnovy mashinnoi grafiki. Moscow : Mir, 1989. Pp. 512).
9. William H. Press. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. 994 p.
10. Kharlamov A.A., Boreskov A.V. Osnovy raboty s tekhnologiei CUDA [Guidelines for CUDA technology]. Moscow : DMK-Press. 2010. 231 p.
11. GPU gems: programming techniques, tips, and tricks for real-time graphics. Ed. R. Fernando. Boston: Addison-Wesley, 2004. 765 p.
12. Fernando R., Pharr, M, Nguyen H, et al. GPU gems 2. Boston : Addison-Wesley, 2007. 880 p.
