CC BY
15
Вісник ПДАБА
материаловедение, машиностроение. - Днепропетровск : ПГАСА, 2009. - Вып. 48, ч. 2 - С. 174 - 179.
14. Фунтов В. Н. Основы управления проектами в компании - СПб. : Питер, 2008. - 336 с.
УДК 629.11.012.5
ВИЗНАЧЕННЯ ГІСТЕРЕЗИСНИХ ВИТРАТ ПРИ КОЧЕННІ ШИНИ
Л. М. Бондаренко, к. т. н., доц., Ю. І. Коноваленко, асист.
Ключові слова: гістерезисні витрати, тертя, кочення, масивний гумовий обід, пневматична шина
Постановка проблеми. Оскільки абсолютно пружних тіл не існує, то при циклічному навантаженні та розвантаженні навіть без переходу межі пружності частина енергії розсіюється. Ці витрати характеризуються часткою пружної енергії, яка запасається в тілі кочення за цикл навантаження. Ця величина називається коефіцієнтом гістерезисних витрат а. Вважається [2], що для більшості матеріалів, у всякому випадку матеріалів, які завантажуються в межах пружності, величина а дуже мала і звичайно менша 1 %, але для полімерів та гуми вона може бути суттєво більшою.
В існуючих джерелах у формулах із визначення опору коченню коефіцієнт гістерезисних витрат або взагалі відсутній, або його наявність не дає можливості практичного їх застосування.
Мета роботи. Знайти аналітичну залежність для визначення коефіцієнта тертя кочення коліс із масивним гумовим ободом та з пневматичними шинами.
Аналіз останніх досліджень та публікацій. Вперше аналітичну залежність для визначення коефіцієнта тертя кочення в межах пружності матеріалів, яка утримує коефіцієнт гістерезисних витрат, отримав Табор [5]. Але як визначити його величину, в роботі не вказано, тому ці формули не отримали практичного застосування. В [1] отримані аналітичні залежності, в яких коефіцієнт гістерезисних витрат визначається як функція радіуса тіла кочення для початкових лінійного та точкового контактів. Ці формули справедливі тільки для металів, а можливо навіть, що лише для сталей, остільки при їх отриманні використані експериментальні данні коефіцієнта тертя кочення кранових коліс.
Аналітична залежність з утриманням коефіцієнта а в [2] отримана з таких міркувань. Якщо знехтувати тертям у межах контакту, пружну енергію елемента, що проходить за час dt центральну площину, можна визначити за величиною роботи, виконаної тиском на передній половині межі контакту. Наприклад, для контакту циліндрів одиничної ширини отримано, що елементарна величина пружної енергії деформації
b
dW=rn W=p(x)dx,
о
де а = V / r - кутова швидкість кочення;
r - радіус кочення;
V - швидкість руху автомобіля;
b - півширина плями контакту.
Визначаючи тиск p(х) за теорією контактних напружень Герца, отримали для швидкості дисипації енергії
W' = (2/3п)Pba ,
де P - контактне навантаження.
Якщо вважати, що частина а пружної енергії повинна розсіюватись через гістерезис, то результуючий момент, необхідний для підтримки руху, визначається прирівненням повної потужності величини енергії, що розсіюється, тобто
Ма = aW' = (2/3n)aPba ,
звідки коефіцієнт тертя кочення при початковому лінійному контакті
7
k = M/P = a— . (1)
3n
Аналогічно для початкового точкового контакту (еліптичного)
38
№ 10 жовтень 2011
k = а —. (2)
16
Таким чином, формули (1) та (2) отримані з суворим дотриманням закону збереження енергії та теорії контактних деформацій.
Основний матеріал. 1. Колесо з масивним гумовим ободом. Опір коченню (перекочуванню) може бути знайдений через коефіцієнт опору перекочуванню, який для асфальту, бетону дорівнює ц0 = 0,015...0,025 [3], тобто
З виразів (1) та (3) отримаємо:
W = М0 P.
3nDp0
= 4b
де
b = DtJK д (1 - Кд) - півширина плями контакту в напрямку руху;
(3)
(4)
D - діаметр колеса;
Кд = 0,01...0,025 - коефіцієнт, який залежить від відношення деформації шини та діаметра колеса (деформаційний коефіцієнт).
Залежність від Кд коефіцієнта гістерезисних витрат показана на рисунку 1.
Рис. 1. Залежність від деформаційного коефіцієнта:
1, 2 - коефіцієнта гістерезисних витрат при коефіцієнтах опору перекочуванню 0,015 і 0,025 відповідно; 3 - півширини плями контакту
2. Колесо з пневматичною шиною. При перекочуванні по твердому дорожньому покриттю, тобто коли модуль пружності дороги значно перевищує модуль пружності шини опір перекочуванню [3]
Гр
W = КсР , (5)
\р/
де Кс = 0,045 і 0,11 - відповідно для шин низького та високого тисків; r = 0,5D(1 - Кд);
Pmax = 0,12 pjD^B - навантаження на колесо;
B - ширина обода колеса;
Pj - тиск у шині.
Із формул (2) та (5) отримаємо:
а = 2,7-
, DK Р„
b \P1r
(6)
де b = 0,0343/DP; Р в кН.
Залежності коефіцієнта гістерезисних витрат і радіуса кочення від деформаційного коефіцієнта для шини високого тиску показані на рисунку 2.
39
Вісник ПДАБА
Рис. 2. Залежності від деформаційного коефіцієнта:
1 - коефіцієнта гістерезисних витрат; 2 - радіуса кочення
У подальшому розв’яжемо відому задачу [4] з використанням величини коефіцієнта тертя кочення (рис. 3). Вага автомобіля з колесами дорівнює Р, вага кожного із чотирьох коліс дорівнює р, а радіус r.
До задніх (ведучих) коліс прикладено обертальний момент Моб. Автомобіль, починаючи рух із стану покою, зазнає опір повітря R = /нУ2. Момент тертя в осі кожного колеса дорівнює Мтр. Необхідно визначити: 1) граничну швидкість автомобіля; 2) силу тертя ковзання, що діє на ведучі та ведені колеса на початку руху.
Скориставшись теоремою про зміну кінетичної енергії системи, складемо диференційне рівняння руху автомобіля
(7)
(8)
dT = £ dAk + £ dAk .
Кінетична енергія автомобіля
T = — 2 g
(
Р
2 \
P+4рї—
У2
де р - радіус інерції колеса; g - прискорення вільного падіння.
Із зовнішніх сил роботу здійснює сила опори повітря і сили тертя кочення
k
У dAk =-(нУ2 +-P)dSc.
Робота обертального моменту та сил тертя в осях
У dAk = (M б - 4М )
k V об тр '
dS
Підставивши усі ці значення в рівняння (7), отримаємо:
(р + 4рР V = g[моб - 4Мтр - (нгУ2 + kP)}. r
r
(9)
(10)
(11)
Коли швидкість автомобіля прагне до її граничної величини, прискорення шс наближається до нуля, отже У знайдеться із рівняння
Mб - 4М - (игУ2 + kP) = 0;
об тр \Г / ?
звідки
r
r
40
№ 10 жовтень 2011
V =
M
об
(4М + kP)
v тр '
/ж
(12)
Для визначення сил тертя, що діють на кожне колесо, складемо рівняння обертального руху коліс відносно їх осей. Для ведучих коліс з урахуванням того, що сила тертя Fj направлена вперед,
^ 0,5Mоб - Мтр - 0,25Pk pP
F = ---------------------
r
gr
(13)
Сила, що діє на кожне із ведених коліс, F2 направлена назад. Отже, для веденого колеса
М - 0,5Pk
F = тр __________
РР
gr2
со
(14)
r
Висновки. Аналіз отриманих формул і графіків на рисунках 1 і 2 дозволяє зробити такі висновки:
- при відомих експериментальних величинах опору перекочуванню шин із масивним гумовим ободом і пневматичних шин по абсолютно жорсткій поверхні запропоновані формули дозволяють виділити частку опору, яка припадає на гістерезисні витрати;
- при максимальному навантаженні на колеса з масивним гумовим ободом та пневматичними шинами при високому тиску при русі по абсолютно жорсткій основі на гістерезисні витрати опору руху у першому випадку припадає від 0,24 до 0,6, а в другому близько 0,88 від загального.
ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Бондаренко Л. М. Деформаційні опори в машинах / Л. М.Бондаренко, М. П. Довбня, В. С. Ловейкін - Дніпропетровськ : Дніпро - VAL, 2002. - 200 с.
2. Джонсон К. Механика монтажного взаимодействия / Джонсон К. - М. : Мир, 1989. -510 с.
3. Подъемно-транспортные машины / [В. В. Красников, В. Ф. Дубинин, В. Ф. Акимов и др.]. - М. : Агропромиздат, 1987. - 272 с.
4. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механіки / С. М. Тарг - М.: Наука, 1970. -480 с.
5. Tabor D. The mechanism of rolling friction: the elastic range / Tabor D. - Proc. Roy. Soc., 1955. - p. 198.
УДК 624.4.04 : 539.376
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВИБРОПОЛЗУЧЕСТИ
А. П. Буратинский, асс.
Ключевые слова: ползучесть, бетон, виброползучесть, интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, коэффициент виброползучести, высокочастотные напряжения
Постановка проблемы. Разработанный д. т. н., проф. С. А. Слободянюком модифицированный метод начальных параметров ползучести (ММНПП) [3] позволяет решать задачи ползучести в матричной форме. Тем самым решается проблема интегральных уравнений ползучести железобетонных конструкций. Существует аналогичная проблема при решении задач виброползучести железобетонных конструкций.
Цель статьи. Разработать метод решения задач виброползучести.
Анализ публикаций. В 1986 проф. Е. А. Яценко [5] для решения задач ползучести в матричной форме был предложен метод начальных параметров, где в качестве аргумента принята функция условного фактора времени. Этот метод назывался методом начальных параметров ползучести (МНПП).
Дальнейшее развитие решения задач ползучести в матричной форме было найдено в 1998 году проф. С. А. Слободянюком [3]. Он предложил построения метода с явным фактором времени и метод получил название «модифицированный метод начальный параметров ползучести» (ММНПП).
41
