CC BY
15
УДК 534.111:517.926
Канд. техн. наук Д. I. Анптогов Запор1зький нацюнальний техн1чний ун1верситет, м. Запор1жжя
ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСТОТ ПЛОСКИХ ЗГИНАЛЬНИХ КОЛИВАНЬ
КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ
З використанням процесу ортогоналгзацИ Грамма-Шм1дта запропоновано спосгб формування ортогональних функцт прогину при заданих граничних умовах. Методом Релея-Ргтца знайдено власнг частоти плоских згинальних коливань консольного стержня. Отримаш результати пгдтверджуються збггом частоти нижчо '1 моди з вгдомими значенням.
Ключовi слова: консольний стержень, узагальненг координати, метод Релея-Ргтца, частотне ргвняння, ортогоналгзацгя.
Вступ
У сучасних технолопях мехашчно! обробки е акту-альним врахування коливань оброблювального шстру-менту (наприклад, рiзщв). Прецизiйний динашчний мо-нiторинг часом виявляе вiдмiннiсть вiбрацiй шструмен-ту вщ мономодальних коливань [1], тому природно припустити одночасне спiвiснування декiлькох згинальних мод. Метою ще! роботи е отримання спектру влас-них частот згинальних коливань консольного стержня, який моделюе оброблювальний iнструмент.
Матерiали i методика дослiджень
У робот методом Релея-Рiтца з використанням на-ближень, прийнятих в опорi матерiалiв, розв'язуеться задача про плоска власш коливання консольного стержня з двома ступенями свободи.
Теорiя i амал1з отриманих результата
Нехай однорiдний призматичний стержень масою т i довжиною £ закрiплено консольно (рис. 1).
Рис. 1. Консольний стержень
Модуль Юнга матерiалу позначимо через Е . Об-межимось розглядом згинальних власних коливань. Спектр власних частот знайдемо методом Релея-Рiтца. Проблема полягае в наступному. Застосовувати цей метод можна лише пiсля того, як зроблено певш при-
пущення щодо форм прогину поздовжньо! оа стержня. Наразi цi форми е невщомими.
Нехай / ^) - функц1я прогину. Будемо вважати, що точка г = 0 стержня е жорстко затисненою. Тда шне-матичнi граничнi умови мають вигляд [2, 3]: / (о) = 0, Г' (о)= 0 . Будемо вважати також, що точка г = I е вiльною. Тодi динамiчнi граничт умови [2, 3]: Г" (£ )= 0,
Г'' (* )=0.
Знайдемо функцп прогину серед багаточленiв п -го степеня. Очевидно, для виконання к1нематичних граничних умов на затисненому кiнцi стержня достатньо, щоб цей багаточлен не мютив нульового та першого ступенiв аргументу. Крiм того, вiн мае бути багаточле-ном не менш шж четвертого ступеню. В iншому разi
(тобто при п = 3) умову Г ' = 0 виконати неможли-во. Отже, шукаемо функцш прогину у виглядi
^ (г )=§ ■ г2 + § ■ г3 + 1^ ■
I
е3
г
Ф 0.
к=4
Динамiчнi граничнi умови на вiльному юнщ стержня призводять до системи:
2^2 + 6^3 + Х к (к - 1) = 0;
к=4
6^3 + Х к (к -1)( - 2) = 0.
к=4
Звщси можна знайти лише дш невiдомi, наприклад, и . Iншi коефiцiенти F5,•••,Еп можуть бути заданими довшьно i незалежно один ввд одного. Наприклад, при п = 4 приймемо F4 = 1. Тода F3 = -4 , F2 = 6. При цьому виникае багаточлен
© Д. I. Анптогов, 2015
1607-6885 Нов1 матер1али г технологи в металурги та машинобудуванн1 №1, 2015
103
2 / \3 /
z ) .( z | ( z
/■W=6 7J -4liJ +lj
який задовольняе yci граничш умови. Наприклад, при n = 5 приймемо F5 = 1, F4 = 0 . ToAi F3 = -10 , F2 = 20 . При цьому виникае багаточлен
2
35
z I ( z
f2«=2°ItJ "17J +17
який також задовольняе yci грaничнi умови.
Певш зручносп виникнуть, якщо цi функцп вияв-ляться ортогональними з одиничною вагою на штер-
вaлi z е [0; ¿]. Здiйcнюючи процес ортогонaлiзaцil Гра-мa-Шмiдтa i обмежуючись двома модами, приймемо
f = f^ f2 = /2 - 0/1 . Маемо: J0 f1f2 dz = ^ ЭИДОИ
a = J f1~2 dz J f12 dz = Ц^
0 /0 182
Отже, функцп прогину набувають вигляду
6|zJ -4(fI +1 f
f = f _af =-163 (z f + Hi (z J3 - 661 (z |4 +(z 45
91 I I J 91 I I J 182 I I J I I
Доцiльнiсть введення функцп /2 (зам1сть /2) шюст-
руеться на рис. 2. З точтстю до прийнятних коефщенпв масштабу суцiльною монотонною кривою показано
графш функцп /, а штриховою кривою - графш
функцп /2 (до ортогоналiзацil). Якiсно щ графки е од-наковими i вiдповiдають статичному прогину при консольному закршленш. Графiк функцп /2 (пiсля орто-гоналiзацil) виявляеться немонотонним, i тому дозво-ляе врахувати протифазнiсть коливань рiзних дiлянок
стержня. Тому саме функщю /2 (а не /2) слщ розгля-
дати як бiльш вдале наближення профшю прогину для вищого типу коливань.
Обчислимо к1нетичну енерпю стержня. Знехтуемо змiщенням поперечних перерiзiв уздовж осей Оу , Ох . Тодi рiвняння руху центру тяжшня поперечного пере-рiзу, розташованого в точц1 з координатою х , слад прий-няти у виглядi
х(х, /) = /1(х )• 91(/) + /2 (х). д2 ((), у(х,= 0. (1)
Тут q1 ((), q2 (() - двi узагальнет координап (гх к1льк1сть вiдповiдае прийнятш кiлькостi ступенiв свободи коли-вально! системи). Вигляд рiвнянь (1) вщповщае випадку,
Рис. 2. До ортогонал1заци функцш прогину
коли жорстк1сть стержня при згиш в площинi xOx е малою, а в площиш yOz - великою, тобто нейтральна лтя стержня при згинi залишаеться плоскою кривою в площинi xOz. Зауважимо також, що значення функцп
f1, f2 е безрозмiрними. Ввдповвдш cпiвмножники, що зберiгaють розмiрнicть довжини, а також визначають ввдносну частку коливань рiзних типiв, можна вважати
вщнесеними до фyнкцiй ql, q2.
Площинами z = const видiлимо диференцiaльно малий елемент довжини dz стержня, розташований у
точцi з координатою z . Його маса dm =тdz . Швидысть руху в момент часу t дорiвнюе v = x = f • ql + f2 • q2. Елементарна к1нетична енерпя
dT= Wvi=m^L dz.
2
U
П1сля тегрування:
T = m J1(x fdz = m J1((• ¿1 + f 2 •q2)2 dz.
2/J 2/
0 0
1нтеграл вiд добутку функцш f, f2 дорiвнюе нулю з причини ix ортогонaльноcтi, i отже: Тут через ax, a2 позначено шерцшш константи:
* = m Jf12(z)dz, a2 = Jf22 (z)dz .
t
Обчислимо потенщальну енергiю пружно1 дефор-мацп стержня, вважаючи наявними лише нормальш напруження. Нехай згин стержня зумовлений дiею моменту Му , який обертае поперечний перерiз навколо оа Оу (рис. 3). Нейтральна лшя стержня при цьому виявляеться плоскою кривою в площиш хОх.
4
Рис. 3. Розподiл нормальних напружень у поперечному nepepi3i
У поперечному nepepi3i виникае нормальне напру-ження ст , лшшно розподшене за абсцисою x за законом [4]:
Mv
ст =
v
Тут Iy - осьовий момент шерцп перер1зу вщносно оа
Oy . Координата 5 також вщкладаеться на оа Ox, але вказуе на конкретну точку перер1зу (в той час як координата x(z, t) вказуе на положення центру тяж1ння пе-рер1зу, розташованого в точщ z , у момент часу t).
Виражаючи вщношення Ц^ з ведомого [4] р1вняння
Iv
чистого згину балки x" = (тут другу похвдну взято
E v
за поздовжньою координатою z ), отримуемо:
ст = Ex" -5 = E/r q + Л'-q2)-5 . (2)
Як бачимо, напружений стан матер1алу стержня е одноосним неоднорвдним. Тод1 локальне значення
2
об'емно! густини пружно! енергп дор1внюе w = , i повне значення енергп
п = JJJwdV = 2E Шст2 dzdS . З використанням (2) одержуемо:
п = -2 + (ci2 + c2i )qiq2 + ^2).
Тут позначено
cii = Ely }(/i')2 dz , C22 = Ely JC/2")2 dz,
0 0
I
Ci2 = C2i = Ely J //2' dz .
Коефщенги cik утворюють симетричну матрицю ква-з1пружних констант.
Складемо систему р1внянь Лагранжа для консерва -тивно! мехашчно! системи [5]:
d Г dT 1 дТ дП
dt[dqi J dq} dq}
j = i,2.
З використанням отриманих вище вираз1в для енергш отримуемо:
aiqi + ciiqi + ci2q2 = 0; a2q2 + c2iqi + c22q2 = 0.
(3)
Загальний розв' язок шукаемо у вигляд1 qj (t) = Aj sin (rot + ф), j = i,2 . При цш шдстановщ (3) перетворюеться на систему:
i 2 cii - airo
i2
Ai 1 Г 0 A
(4)
Для юнування нетрив1альних розв'язк1в матриця в (4) мае бути виродженою. Зв1дси частотне р1вняння:
(«iro2 - cnJ^ro2 - c22)- cX2c2i = 0 .
Його розв'язки
2 i 22 "21
-n ±V(
aic22 + a2cii \aic22 -a^-ii
)2 + 4ai
ia2ci2c2i
2ai a2
. (5)
Розрахунки шерцшних i кваз1пружних констант ви-конано в онлайн-середовищ1 WolframAlpha [6] при
замш змшних x = у . Наприклад, при обчисленш ai,
отримуемо штеграл ai = mJ0 (6x2 - 4x3 + x4) dx . Дос-
татньо до командного рядка ввести команду з таким синтаксисом: int_0Ai(6xA2-4xA3+xA4)A2dx. Результата, отримаш в цьому середовищг
i04 45
-m , a2 = -
326 i05i05
-.m, cn =
66236 Ely 4i405 ' £3
i44 Ely, 5 '
272 Ely 455 '~HT.
При використант цих значень з (5) знаходимо:
roi = 3,5i6.
Ely
m£3
ro2 = 22,7i3„ ,
2 V m(
EIv
У [2, с. 3i], [3, с. 307] для основно! частоти вшьних коливань консольного стержня пропонуеться вираз
2
V c2i
c22 - a2ro J
i, 2
ai =
22
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2015
105
3,51 EJ ...
"¡/Ту~ . Вiд отриманого нами вш вiдрiзняеться тим,
що в цих виданнях символом т позначено не масу стержня, а И штенсившсть (масу в розрахунку на одиницю довжини). Числовi коефщенти для найнижчо1 моди збна-ються з високою точнiстю (порядку 0,2 %). Це сввдчить про вдалий вибiр функцiй прогину.
Бачимо далi, що частота друго згинально1 моди знач-но вiдрiзняеться вiд основно1 частоти, тому здшснити спектральний аналiз сигналу вiбросенсору [7] з даагно-стуванням друго1 згинально1 моди труднощiв не скла-дае.
Висновки
У робот методом Релея-Рiтца отримано власнi час-тоти згинальних коливань консольного стержня, що моделюе оброблювальний iнструмент при металооб-робцi. Для вищих типiв згинальних коливань консольного стержня запропоновано спосiб знаходження функц1й прогину, яю задовiльняють кiнематичнi i динамiчнi граничш умови. Використання процесу ортогоналiзацil Грамма-Шмидта дозволяе отримати фiзично реалiстичнi функцп прогину, як1 враховують протифазнiсть коливань окремих дшянок стержня. Вдалiсть подбору функц1й
прогину обгрунтована збiгом отриманого значення
основно! частоти з вiдомими результатами.
Список лтгератури
1. Altintas Y. Manufacturing automation : metal cutting mechanics, machine tool vibrations, and CNC design / Yusuf Altintas. - Cambridge : Cambridge University Press, 2012. -382 p.
2. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний / Пановко Я.Г. - М. : Наука, 1971. - 240 с.
3. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. Т. 3 / [Биргер И. А., Пановко Я. Г., Болотин В. В. и др.] ; под ред. И. А. Биргера. - М. : Машиностроение, 1968. -569 с.
4. Сопротивление материалов / [Писаренко Г. С., Агарев В. А., Квитка А. Л. и др.]. - [4-е изд.]. - К. : Вища шк., 1979. -696 с.
5. Савельев И. В. Основы теоретической физики / Савельев И. В. - М. : Наука, 1991. - 496 с.
6. WolframAlpha: computational knowledge engine [Эл. ресурс]. - Режим доступа : www.wolframalpha.com.
7. Пат. 94382 Укра!на, МПК G01H 11/00, G01M 7/02. Стенд для дiaгноcтики коливань тонкостшно! детaлi типу лопаток моноколеса газотурбшного двигуна (ГТД) при юнцевому фрезеруванш / А. I. Гермашев, В. О. Лого-мшов, Д. I. Анпшогов. - № u201405982 ; заявл. 02.06.2014 ; опубл. 10.11.2014, Бюл. № 21. - 2 с.
Одержано 20.04.2015
Анпилогов Д.И. Определение частот плоских изгибных колебаний консольного стержня
С использованием процесса ортогонализации Грамма-Шмидта предложен способ формирования ортогональных функций прогиба при заданных граничных условиях. Методом Рэлея-Ритца найдены собственные частоты плоских изгибных колебаний консольного стержня. Полученные результаты подтверждаются совпадением частоты низшей моды с известным значением.
Ключевые слова: консольный стержень, обобщённые координаты, метод Рэлея-Ритца, частотное уравнение, ортогонализация.
Anpilogov D. Determining the frequency of the planar bending vibrations of a cantilever beam
Using the process of Gram-Schmidt orthogonalization a method of generating of orthogonal deflection functions with given boundary conditions is provided. The own frequencies ofplane bending vibrations of a cantilever beam are found by Rayleigh-Ritz method. The obtained results confirmed by the coincidence of the frequency of the lowest mode with known value.
Key words: сantilever beam, generalized coordinates, Rayleigh-Ritz method, frequency equation, orthogonalization.
