CC BY
8
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduuannia, "2022, Iss. 89, pp. 5—10
УДК 621.372(075)
Використання шуму як фактора пщсилення корисного сигналу в нелшшнш систем!
Чумаков В. 1.\ Харченко О. I.1, Побережний А. А.2
1 Харювський нацшнальний ушверситет радшелектрошки, м. Харюв, Укра'ша, 2Нацшнальна академ!я Нацшнально!' гвардй' Укра'ши, м. Харюв, Укра'ша
E-mail: nicgall.ool-e&grnaiL com
Розгляпуто ефект стохастичпого резонансу (CP), що дае можлшмсть видглити слабкнй сигнал 1з адитивпо! cyMinii з шумом. Найсильшший ефект в!дбуваеться при певшй ч!тко визпачепш, оптимальпш штепсивпост! шуму. Термш CP було введено в ход! досл!джепь 61стаб1лыю1 модел! осцилятора, яка пропопувалась для апал!зу перюдичшст пастаппя льодовикових перюд!в па Земл1. Модель описувала рух частники в симетричпому одповим1рпому б1стаб!лыгому потепгцал! шд д!ею перюднчпо1 сили в умовах сильного тертя. У подалыних досл1джеппях ефект стохастичпого резонансу було виявлепо в багатьох системах i пе тльки ф1зичпих. Розгляпуто в!дом! результати паближепого piniemm р1впяппя СР. Дапе р1впяппя вгцяшуеться двома методами: методом лшшпого в!дгуку та Teopieio двох сташв. Зазпачепо, що в цих досл1джеппях апал!тичш вирази для коефщ!епта шдсилеппя та в1дпошеш1я сигпал/шум отримуються за допомогою 1шзки паближепь: обмежепь па амшнтуду сигналу, коли в!дгук приймаеться липшим та обмежепь па частоту сигналу. Кр1м того, при пор1впяпш двох розгляпутих метод!в, 1х використаппя для розрахупку дисперсп шуму, при якш мае м!сце ефект CP, призводить до р1зпих результате. Це зумовлюе пеобх!дшсть проведения подалыних досл!джепь з метою розробки апал1тичпого апарату та перев!рки його достов1рпост! чиселышми розрахупками. Наведено результати чиселыюго моделюваппя в!дгуку стохастичпого резонатора па вплив адитивпо! cyMinii гармошйного сигналу та бшого гауовського шуму. Впкопапо розрахупок та проведено апал!з коефщ1епту гармошк вггндпого колнваш1я. Показано, що збагачеппя виндпого сигналу гармошками та ефективпе иригш-чепия шуму е припциповою особлшмстю СР. Наведено результати чиселыюго розрахупку фупкцп в1дпошенпя сигнал/шум на виход! в!д дисперси вх!дного шуму D. Залежшсть мае складний характер, де можна вид!лити локальнпй максимум у точгц D = 0.4, що не в!дпов1дае в!домим результатам розрахупку дисперси вх!дпого шуму при р!зпих паближепих piniemmx р1впяппя СР. Показано, що стохастичпий резонатор д!е як 1шзькочастот1шй фгльтр, забезпечуючп водно час зпачпе змепшеппя р!впя вггндпого шуму.
Клюноаг слова: стохастичпий резонанс: пелшише р1впяппя: в1дпошеш1я сигпал/шум DOI: 10.20535/RADAP.2022.89.5-10
Вступ
Одшяо з найважливших вимог. що висуваються до радютехшчних 1 телекомушкацшних систем, с забсзпечення високо1 достов1рносп повщомлень. що передаваться. У сучасних умовах боротьба 1з перешкодами висуваеться па перпшй план. Створено коригувалыи коди. оптималыи фшьтри. використо-вусться виявлення методом накопичення. питания приймання сигнал1в розглядаються з позищй тоор1°1 статистичних ршень. все ширше застосування зна-ходять системи на основ1 дискретних та цифрових сигнал1в [1 5].
Разом з тим. дослщження. проведен! наирикшщ XX ст. [6 9]. призвели до парадоксалышх виснов-шв. Наявшсть шуму на вход1 нелшшних систем, що мають ефект так званого стохастичпого резонансу (СР). дозволяс видшити слабкий (пор1вняно
з шумом) сигнал з адитивно! сухйнп з бшим гауйв-ським шумом.
Поняття СР було запроваджено ф1зиками. що дослщжували виникнення льодовикових иерюд1в [10. 11]. Цей термш визначас явище в нелшшних системах, коли слабкий вхвдний сигнал може бути шдсилений шумом. Ефект СР характеризус вщгук нолшишсм системи на слабкий вхвдний сигнал. При цьому вихщш параметри нолшишсм системи. таш як коеф1щснт п1дсилення та вщношення сигнал/шум. за певних умов мають чико виражений максимум [12]. На даний час це явище визнане фундаменталь-ним 1 виявлено у р1зних галузях науки, зокрема: у бюлои1. ф1зищ. х1м11. медицин!, соцюлоп! тощо [12 14]. Зокрема. в рад1олокащ1. рад1оастроном11. де р1вень сигналу с значно нижним за р1вень шуму.
6
Оштакоу V. 1., КЬагсЬопко О. 1., РоЬогогЬгт Л. Л.
сфект СР можс бути використано задля видшення корисного сигналу.
Р1вняння СР можс бути записано як
х'(Ь) = ах — Ъх3+А сов(^0£+(1)
де х (I) - вихвдний сигнал; А - амшптуда входного иерюдичного сигналу з частотою ш0 та початковою фазою <р0; ^(Ь) - вхцщо! бший гаутавський шум з нульовим середшм значениям та диспераею И; а 1 Ь - системш параметри.
1 ЕПдсиш результати наближе-
ного СР
Р1вняння СР (1) с р1внянням Абеля 1-го порядку та не мае точного аналиичного розв'язку [15].
У робот [16] розглядаються мстоди розв'язання диференщйних р1внянь. що характсризують ф1зич-ний процес у нелшйпшх колах. Розв'язання. що отримаються. виражаються у виглядо функщй роз-подшу або щшыгостей ймов1рность Однак зазначс-но. що для р1вняння виду
у + Ро(у) = ^ (ь),
де Р0(у) = у2,у3,... розв'язання невадоме.
У доелвдженнях ф1зики явигца СР анаттичш вирази для коефщента шдсилоння та вщношення сигнал/шум отримаш за допомогою низки набли-жень: обмежень на амшптуду сигналу, коли ввдгук приймаеться шшшшм та обмежень на частоту сигналу [17].
Вважаючи а = Ь = 1, отримаемо р1вняння СР виду
х' ^) = х — х3 +А сов(^0£+о)+).
(2)
Дане р1вняння вщлшуеться двома методами: методом лшйшого ввдгуку та теор1яо двох сташв [12.17].
1.1 Теор1я двох сташв
Ця модель була запроионована в [18]. де пе-редбачалося. що за иевних обмежень дана модель забезпечуе точно уявлення для бшыносп бштабшь-них систем.
Розглядалося. що змшна стану в симетричшй бштабшыпй систем! набувае лише двох дискретних значень х(Ь)= ±хт\ , ]. 1мов1рноста знаходження системи у в1дпов1дному сташ п±(Ь) задовольняють умов1 нормування
п±(г)+ пТ(г) = 1.
Розв'язання р1вняння (2) отримано у раз1 слаб-кого сигналу (Ахт << Л) шляхом розкладання у ряд Тейлора та збереження лише лйийних члошв [12]. Впм. це призводить до неточноста розв'язання та потребуй розвитку цього методу. Так. шд час розрахуншв визначено косфшдент шдсилоння за по-тужшетю
V =-
Аг\ хАт
02(4г1 + и
розв язання ршняння
а також отримано вираз для в1дношення сигнал /шум
БМК=п
I Ахт \
\~D~J
2
Г к,
де г к - частота (швидкшть) Крамерса.
Однак. дисиерая шуму, за яко! БУК приймае максимально значения, не зб1гаеться з1 значениям диспорсп. яке макстизуе амшптуду ввдгуку, або с екв1валентним максимуму ¿-шка в даному сиектр1 иотужностй
Отже. можна дойти висновку. що означеш результати нообшдно використовувати з певною час-ткою оборежносп та доповнити иодальшим аналь зом з метою отримання адекватних та достсшрних висновшв.
1.2 Теор1я лшшного вщгуку
Вище зазначено. що особливктю ефекту СР с йо-го використання для шдсилоння слабких сигнатв, яш знаходяться в адитивнш сумшп з шумом.
Концепщя лйпйного вадгуку полягае у тому, що реакщя нелшшно! системи (х(Ь)) на слабкий зовш-шнш вплив Р(I) в асимптотичнш гранищ великих чаейв визначаеться штогралышм р1внянням [19]
сю
(х(г)) = (х)0 + ] — Т,В)Р(т)д,т,
—с
до (х)0 — середне значения незбурено! змшно! стану системи; Б - дисперйя шуму.
Як видно, даний вираз с штогралом накладання. який використовуеться в анашз1 електричних ыл. Ядро штегрального иеретворення — Т,Е) визна-часться зпдно флуктуащйно-дисииащйно1 тоороми [12] \ тут мае сенс 1мпульсно1 характеристики. Про-те. основна суперечлив1сть цього результату полягас у тому, що метод штограла накладання с шетрумен-том виключно лйпйного анатзу, тобто його використання в даному випадку иотребус. щонаймоншо. бшьш глибокого доведения [20].
Визначено коофшдент шдсилоння за потужшетю та вщношення сигнал/шум [12].
'П(^0, О)
(д\Хт) (а2 + ш1) + (д<2а) (Х^ + ш^) + 2д1^аХт(аХт + шр В2(Х1 + и20)(а2 + и2) '
SNR =
■кА2 (giXm)2(a2 + + (д20.)2(\2т + + 2g1g2a\m(a\m + uQ)
2D2
g2a(a\m + wQ) + g1Xm (a2 +
ДО
V2 , -
a = 2; Xm = 2rK = — exp - —
(-¿);
gi-
(x2)0-g2;
g2 =
^■m (% }q
\m — a
+
<*2>q-
X )q
На шдстав1 даних вираз1в та результату, отри-мапого в [12]. визначено, що для низькочастотних вплив1в максимум вщношення сигнал/шум досяга-еться при В к 1/8.
Як випливае з пор1вняння двох розгляиутих методов 1х використання для розрахунку дисиерЙ1 шуму. за яко\' мае мшце ефект СР. призводить до р1зних результате. ГИдношоння сигнал/шум для модат двох сташв мае едииий максимум при Б = 1/4, а зидно тоор1'1 лпийного ввдгуку максимум досяга-еться при В к 1/8. Таш розб1жноста результате можна пояснити тим, що лшер1аризащя, отримаиа шляхом вадкидання старших члешв у вираз розкла-дання швидкост переход1в у ряд Тейлора, використання штограла накладання, а також припущення. що швидккть Крамерса не заложить вщ дисперЙ1 шуму, с неирипустимим сирощенням.
Таким чином, мае хйсцо значне розходження мЬк результатами розрахунку дисиерЙ1 шуму, при яко-му спостершаеться ефект СР. отриманими р1зними методами, що зумовлюе необхщшеть проведения иодальших дослщжень з метою розробки анат-тичного апарату та перев1рки його достов1рност чиселышми розрахунками.
2 Чисельний розрахунок в1д-гуку стохастичного резонатора на вплив адитивно1 су-м1ни гармошйного сигналу та шуму
Результата чиселыгого моделювання вщгуку стохастичного резонатора на вплив адитивно1 су-мпш гармошйного сигналу та бшого гауйвського шуму наведеш на Рис. 1.
Характеристики вхщного виливу: частота гармошйного сигналу ] = 0.125 вщн. од., вщношення сигнал/шум на вход1 вМК =3 дБ.
1стотне збшынення вихщного вщношення сигнал/шум проявляеться явно в цьому рисунку.
Рис. 1. Видшення сигналу за допомогою ефекту СР (червона лпия гармоншний вхщний сигнал з частотою / = 0.125 вщн. од., чорний пунктир -адитивна сумш гармошйного сигналу та бшого гауйвського шуму на вход1 з дисперйею Б = 1, синя -
сигнал на виходо стохастичного резонатора)
Амшптудний спектр вщгуку наведено на Рис. 2 [22]. Даний рисунок вщображае важливу особли-вшть ефекту СР, яка полягае у збшыненш иоту-жност гармошйного сигналу. Збагачення вщгуку гармошками е природним результатом нелшшного перетворення. Втм, очевидним е досягнення мети, що полягае у забезпеченш ефективного пригшчення шуму [23].
Рис. 2. Амшптудш спектри вхщиого сигналу (су-цшьна лпия) та вихщного сигналу (пунктир)
Зазначимо також, що, як випливае з Рис. 2, сто-хастичний резонатор працюе як низькочастотний фшьтр [22,23].
3 Розрахунок вщношення
сигнал/шум на виход1 стохастичного резонатора
Як було сказано вище, найбшын зручним по-казником якост видшення корисного сигналу е вщношення сигнал/шум на виходь Скориставшись р1внянням (2), визначимо залежшеть вщношення сигнал/шум на виход1 вщ дисперЙ1 вхщного шуму В (Рис. ). Залежшсть мае складний характер, до можна видшити локалышй максимум у точщ Б = 0.4, що не вщповщае описании у [ ] значениям
\т- а
8
Chumakov V. 1., Kharchenko O. 1., Poberezlmyi Л. Л.
диспорсп' вхвдного шуму при pÍ3imx иаближоиих розв'язання piBirainra СР.
SNR
13
12.8¡
12.6
12.41
12.2
12
11.8
11.6:
111Т1 г
i i i i i i
0 0.1 0.2 03 0.4 0.5 0.6 0Л 0.8 0.9 В
Рис. 3. Залежшсть ввдношоння сигнал/шум на ви-ходо стохастичного резонатора (8>Шоп1рп1) вщ дис-перЙ1 вхвдного шуму Б (частота вхвдного гармошч-ного сигналу $ = 0.125 вщн. од.)
Анатз часових заложностой та споктр1в сигна-«шв показав, що на виходо стохастичного резонатора ирисутш ноштйш спотворсння. яш визнача-ються нелпшишм процесом перетворення вхщно-го сигналу.
Для кшьшсно1 оцшки цих сиотворень обчислимо коефщент гармошк [23]
_у/12+Íj + Ij +... к _ h '
де Ik - амшптуда k-oi гармошки.
На Рис. 4 наведено залежшсть коефщента гармошк в1д диспорсп' вхвдного шуму. Ця залежшсть показуе, що за умови роатзацй' ефекту СР спо-твореиня сигналу на виходо с функщею диспорсп' шуму.
Рис. 4. Залежшсть коофшдента гармошк вщ диспорсп' видного шуму на частот! гармошйного сигналу на вход1 f _0.\2Ь Гц
Коофшдент гармошк у цьому випадку мае доста-тньо високо значения. Рис. 3. 4 показують, що коофь щент гармошк та вщношоння сигнал/шум на виходо иов'язаш mdk собою. Так, при D _ 0.2 cnocTepirae-ться MiiiiMyM вихщного вщношення сигнал/шум та максимум коефшдента гармошк, а при D _0.4 мае мкце максимум вщношення сигнал/шум та мппмум косфшдента гармошк.
Звадси випливае, що збагачоння спектру сигналу гармошками скв1валентно збшыпеншо piBira шуму, що призводить до знижоння вихвдного вщношен-ня сигнал/шум. Цо иоясшоеться тим, що гармошки входять у шумову компоненту у загальному баланс! eiioprii' вшйдного колнвання.
Висновки
Розглянуто ефокт СР, якнй дозволяе видшити слабкий (nopiBiMiio з шумом) сигнал з адитивнем cyMimi сигналу з бшим шумом.
Анатз результате достджоння ф1зики стохастичного резонансу показав, що тоорш СР но роз-роблена в повному обсязь В тоорп' CP е низка аспекпв, що потребують додаткового дослщжоння. Так, анаттичш вирази для коофшдента шдсилоння та вщношення сигнал/шум на виходо стохастичного резонатора отримаш за доиомогою ряду набли-жонь: обложения на амшптуду сигналу, коли вщгук ириймаеться лппйним та обмежоння на частоту сигналу. Проведений пор1внялышй анатз iciiyioniix теоротичних тдходов щодо розрахунку диспорсп' видного щуму, за яко! вщбуваеться офект СР, ви-явив розб1жносп у результатах, отриманих р1зними методами. Використанням чисельного розрахунку вперше отримано значения D_0А, за якого сиосте-риаеться единий максимум вщношоння сигнал/шум на виходь Показано, що розрахунок вщношення сигнал/шум на виходо потребуй анатзу його частотно! залежность Впорше проведено анатз косфшдента нелппйних спотворонь на виходо стохастичного резонатора. Показано, що мппмум викривлень сигналу мае мкце за певного piBira диспорсп' вхадного шуму.
Чисолыге модолювання ефокту СР показало та-кож, що стохастичний резонатор дое як низькоча-стотний фшьтр, забезиочуючи в той же час значне змоншення piBira вихщного шуму.
Перелж посилань
1. Ширмаи Я. Д. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. (Справочник) / Я. Д. Ширмаи. Ю. 11. Лосев, Д. 11. Леховицкии и др. // М.: ЗЛО «МЛКВ11С». 1998. 828 с.
'2. Ширмаи Я. Д. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. (Справочник). Изд. 2-е нерераб. и дои. / Я. Д. Ширмаи. С. Т. Вагдасаряи, Д. 11. Леховицкии и др. // М.: «Радиотехника»/ 2007. 512 с.
3. Sklar B. Digital communication. Fundamental and Application. Second Edition // University of California, Los Angeles. 2001. 1104 p.
4. Kartashov V'., et al. Use of Acoustic Signature for Detection, Recognition and Direction Finding of Small Unmanned Aerial Vehicles // "2020 IEEE loth International Conference on Advanced Trends in Radioelectronics, Telecommunications and Computer Engineering (TCSET). 2020. P. 1-4. doi:10.1109/TCSET49122.2020.235458.
о. Постанова КМУ uu 13 черня 2018 p. JY" 509 «Про внесения :шши до Плану використаиия радш частотного росу рсу У кра'ши».
6. Jerome, Moses М., Ramakalyan Ayyagari. A Brief Survey of Stochastic Resonance and Its Application to Control // 1FAC Proceedings Volumes. 2014. Vol. 47, Iss. 1. P. 313-320. doi: 10.3182/20140313-3-1N-3024.00223.
7. Cammaitoni L., Hanggi P., .lung P., Marchesoni F. Stochastic Resonance: A remarkable idea that changed our perception of noise // The European Physical Journal B. 2009. Vol. 69. P. 1 3. DOI: 10.1140/epjb/e2009-00163-x.
8. Budrikis Z. Forty years of stochastic resonance // Nature Reviews Physics. 2021. Vol. 3. P. 771-780. https://doi.org/10.1038/s42254-021-00401-7.
9. Zhi-hui Lai, Yong-gang Long. Weak-signal detection based on the stochastic resonance of bistable Duffing oscillator and its application in incipient fault diagnosis // Mechanical Systems and Signal Processing. 2016. Vol. 81. P. 60 74. https://doi.Org/10.1016/j.ymssp.2016.04.002.
10. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // Journal of Physics A: mathematical and general. 1981. Vol. 14, Iss. 11.
P. 453. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/14/11/006/meta.
11. Benzi R., Parisi O., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic resonance in climatic change // Tellus. 1982. Vol. 34, Iss. 1. P. 10-16 doi: 10.3402/tellusa.v34il. 10782.
12. Anishchenko V. S., Neiman А. В., Moss F., Schimansky-Coior L. Stochastic resonance: noise-enhanced order // Uspekhi Fizichoskikh Nauk, Russian Academy of Sciences. 1999. Vol. 42, Iss. 1. P.7-34. https://iopscienco.iop.org/articlo/10.1070/PU1999v042n-01ABEH000444/mota.
13. Bruno A., Oraziani S. Stochastic resonance. Theory and application // Kluwer Academic Publishers. 2000. 220 P-
14. Hanggi P. Stochastic resonance in biology. How noise can enhance detection of weak signals and help improve biological information processing // Chemphyschem. 2002. Mar 12; 3(3). P. 90-101. DOI: 10.1002/1439-7641(20020315)3:3<285::A1D-CPHC285>3.0.CO;2-A.
15. Домидович В. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения / изд-во Лань. 2020. 280 с.
16. Миддлтои Д. Введение в статистическую теорию связи / Пер. с англ./ Под ред. В.Р. Левина, М.:«Советское радио», Т. 1. 1961. 791 с.
17. Cammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Reviews of Modern Physics. 1998. Vol. 70, No. 1. P. 223. DOI: 10.1103 / Re v Mo d Phy s. 70.223.
18. lannelli J. M, Yariv A., Chen T. R., and Zhuang Y. H. Stochastic resonance in a semiconductor distributed feedback laser // Appl. Phys. Lett. 1983 (1994, 1998). Vol. 65, P. 2626. doi:10.1063/1.112838.
19. Hanggi P. Stochastic processes 1: Asymptotic Behaviour and Symmetries // Helv. Phys. Acta. 1978. Vol. 51. P. 183-201. http://doi.org/10.5169/soals-114941.
20. Полетов E. Ф., Филоичиков В. Д., Школьный Л. А. Радиотехнические цеии и сигналы / Учебник. М.: ВВИЛ им. П. Е. Жуковского. 1993. 720 с.
21. Risken Н. Fokkor-Planck Equation. Methods of Solution and Applications // Berlin: Springed-Verlad, 1989. 472 p.
22. Харчоико О. И. Выделение синусоидальных составляющих в случайном сигнале // Радиотехника: Всеукр. можвед. иауч.-тохи. сб. 2010. Выи. 160. С. 247 252. https://openarchive.nure.ua/bitstream/documont/15053-/1 / RT _ 2 010 _ 160 _ 247-252. р d f
23. Williams D. Understanding, Calculating, and Measuring Total Harmonic Distortion (THD) // All About Circuits.
References
[1] Shirman Y. D., et al. (1998). Radio electronic systems: fundamentals of construction and theory (Reference book) ¡Radioelektronnye sistemy: osnouy postroeniya i teoriya. (Spravochnik)J. Moscow: ZAO "MAKV1S", 828 p. [In Russi-anl-
[2] Shirman Y. D., et al. (2007). Radio electronic systems: construction principles and theory. (Reference book). Ed. 2nd revision, and additional ¡Radioelektronnye sistemy: osnouy postroeniya i teoriya. (Spravochnik). Izd. 2-e. pererab. i dop.J. M.: "Radiotechnique", 512 p.
[3] Sklar B. (2001). Digital communication. Fundamental and Application. Second Edition. University of California, Los Angeles, 1104 p.
[4] Kartashov V., et al. (2020). Use of Acoustic Signature for Detection, Recognition and Direction Finding of Small Unmanned Aerial Vehicles. 2020 IEEE 15th International Conference on Advanced, Trends in Radioelectronics, Tele.comm.unicati.ons and Computer Engineering (TCSET), pp. 1-4, doi: 10.1109/TCSET49122.2020.235458.
[51 Resolution of the CMU of June 13, 2018 No. 509 "On Amendments to the Plan for the Use of Radio Frequency Resources of Ukraine" [Postanova KMU vid 13 chernia 2018 r. JY" 509 «Pro vnesennia zminy do Planu vykorystannia radiochastotnoho resursu Ukrainy»]. [In Ukrainian].
[6] Jerome, Moses M., Ramakalyan Ayyagari. (2014). A Brief Survey of Stochastic Resonance and Its Application to Control. 1FAC Proceedings Volumes, Vol. 47, Iss. 1, pp. 313-320. doi: 10.3182/20140313-3-1N-3024.00223.
[7] Cammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. (2009). Stochastic Resonance: A remarkable idea that changed our perception of noise. The. European Physical .Journal B, Vol. 69, pp. 1 3. DOI: 10.1140/opjb/o2009-00163-x.
[8] Budrikis Z. (2021). Forty years of stochastic resonance. Nature. Reviews Physics, Vol. 3, pp. 771-780. DOI: 10.1038/s42254-021-00401-7.
[9] Zhi-hui Lai, Yong-gang Long. (2016). Weak-signal detection based on the stochastic resonance of bistable Duffing oscillator and its application in incipient fault diagnosis. Mechanical Systems and Signal Processing, Vol. 81, P. 60 74. doi:10.1016/j.ymssp.2016.04.002.
10
Chumakov V. 1., Kharchenko O. 1., Poberezhnyi A. A.
[10] Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. (1981). The mechanism of stochastic resonance. .Journal of Physics A: mathematical and general. Vol. 14. Iss. 11. p. 453.
[11] Benzi R., Parisi G.. Sutera A.. Vulpiani A. (1982). Stochastic resonance in climatic change. Tellus, Vol. 34. Iss. 1. pp. 10-16. doi: 10.3402/tellusa.v34il. 10782.
[12] Anishchenko V. S.. Neiman A. B.. Moss F.. Schimansky-Geier L. (1999). Stochastic resonance: noise-enhanced order. Physics- Uspekhi, Russian Academy of Sciences. Vol. 42. Iss. 1. pp.7-34.
[13] Bruno A.. Graziani S. (2000). Stochastic resonance. Theory and application. Kluwer Academic Publishers. 220 p.
[14] Hanggi P. (2002). Stochastic resonance in biology. How noise can enhance detection of weak signals and help improve biological information processing. Chemphyschem, Mar 12; 3(3). pp. 285-90. DOI: 10.1002/1439-7641(20020315)3:3<285::A1D-CPHC285>3.0.CO;2-A.
[15] Demidovich B. P.. Modenov V. P. (2020). Differential equations [Differencial'nye urmmeniyaj. Publishing house Lan. 280 p. [In Russian].
[16] Middleton D. (1961). An Introduction to Statistical Communication Theory. Transl. from English / Ed. B.R. Levin. M.: "Soviet radio". Vol. 1. 791 p. [In Russian].
[17] Gammaitoni L.. Hanggi P.. .lung P.. MarchesoniF. (1998). Stochastic resonance. Reviews of Modern Physics, Vol. 70. No. 1. pp. 223. DOI: 10.1103/RevModPhys.70.223.
[18] lannelli .1. M. Yariv A.. Chen T. R.. and Zhuang Y. H. (1983 (1994) 1998). Stochastic resonance in a semiconductor distributed feedback laser. Appl. Phys. Lett., Vol. 65. P. 2626. doi:10.1063/1.112838.
[19] Hanggi P. (1978). Stochastic processes 1: Asymptotic Behaviour and Symmetries. Helu. Phys. Acta, Vol. 51. pp. 183-201. doi:10.5169/seals-114941.
[20] Tolstov E. F.. Filonchikov V. D.. Shkolny L. A. (1993). Radio circuits and signals. Textbook [Radiotekhnicheskie cepi i signaly. Uchebnikj. M .: VV1A im. N. E. Zhukovsky. 720 p. [In Russian].
[21] Risken H. (1989). Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. Berlin: Springed-Verlad. 472 p.
[22] Kharchenko O. 1. (2010). Isolation of sinusoidal components in a random signal [Vydelenie sinusoidal:nyh sostavlyayushchih v sluchajnom signale]. Radio engineering: Vseukr. interdepartmental sci.-t.ech. collection, Iss. 160. pp. 247 252. [In Russian].
[23] Williams D. (2017). Understanding. Calculating, and Measuring Total Harmonic Distortion (THD). All About Circuits.
Using of the Noise as Signal Enhancement Factor in Nonlinear System
Chumakov V. I., Kharchenko O. I., Poberezhnyi A. A.
The stochastic resonance (SR.) effect is considered, which makes it possible to stand out a weak signal from an additive mixture wit.li noise. The strongest effect is shown to occur at certain well-defined, optimal noise intensity. The term SR. was introduced during studies of the oscillator bistable model, which was proposed to analyze the glacial periods repeatability on Earth. The model described the particle motion in a symmetric one-dimensional bistable potential under the action of periodic force under strong friction conditions. In subsequent studies, the effect of stochastic resonance was found in many systems and not only physical. The known results of the approximate solution of the SR. equation are considered. This equation is solved by two methods: the method of linear response and the theory of two states. In these studies, analytical expressions for the gain and signal-t.o-noise ratio are obtained using a number of approximations: restrictions on the signal amplitude when the response is linear, and restrictions on the frequency of the signal. In addition, when comparing the two methods considered, their use to calculate the noise variance at which the SR. effect occurs, is shown to lead to different results. This necessitates further research to develop an analytical apparatus and verify its reliability by numerical calculations. The results of numerical simulation of the stochastic resonator response on the influence of an additive mixture harmonic signal and white Gaussian noise are presented. The enrichment of the output signal wit.li harmonics and effective noise suppression are shown. The signal-t.o-noise ratio at. the output, numerical calculation results dependence on the input, noise variance are presented. As it. seen the dependence is complex, where you can select, a local maximum at. a point, that, does not. correspond to the known values of the input, noise variance at. different, approximate solutions of the equation SR.. It. is shown that, the stochastic resonator acts as a low-pass filter, while providing a significant, reduction in the output, noise level.
Keywords: stochastic resonance: nonlinear equation: signal to noise ratio
