Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 82-93

= Математика =

УДК 517.95

Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим вырождением

Р.М. Сафина

Аннотация. Для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя

k

uxx + ux + uyy + Sgnz|z| uzz a u 0

в полуцилиндре D = {(x,y,z)l x2 + y2 < 1, x > 0, —a < z < в}, где a > 0, k > 0, 1 < m < 2, a > 0, в > 0 — заданные

действительные числа, методом спектральных разложений исследуется видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией.

Ключевые слова: оператор Бесселя, уравнение смешанного типа, задача Дирихле, спектральный метод.

Рассмотрим уравнение смешанного типа

д2и к ди д2и . т д2и 2

Ьви = + _^_ + ^' + _ а и = 0 (1)

дх2 х дх ду2 дг2

в полуцилиндре Б = {(х,у,г)\ х2 + у2 < 1, х > 0, —а < г < в}, где а >

> 0, к > 0, 1 < т < 2, а > 0, в > 0 — заданные действительные числа.

Методом спектральных разложений на основании свойства полноты системы собственных функций одномерной спектральной задачи исследован вопрос

о корректности постановки задачи Е при 1 < т < 2.

Исследование вопроса о корректности краевых задач для уравнения (1) в полуцилиндре Б проще всего проводить в цилиндрических координатах (р,р,г). Уравнение (1) в цилиндрических координатах имеет вид

д2и к + 1 ди 1 д2и кЬар ди . т д2и 2 , .

Ьв и =—^ +---------— + -з —----------^ — + 8%пг\г\т—^ — а2и = 0. (2)

др2 р др р2 др2 р2 др дг2

Чтобы сформулировать постановку краевых задач для уравнения (2) с осевой симметрией, требуется симметричность решения по углу р. Поэтому щ =0 в Б и уравнение (2) упрощается и принимает вид

^ д2и к + 1 ди . т д2и 2 . .

ТВ и = д? + ~д~р + 3ёПг|г\ дГ2 — аи = °' (3)

Следует отметить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относятся к исследованию краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа.

Вопросы о существовании и единственности решения краевых задач для уравнения смешанного типа с оператором Бесселя с характеристическим вырождением до последнего времени оставались открытым.

1. Построение частных решений уравнения (3) в полуцилиндре О при 1 < т < 2

В начале построим систему частных решений уравнения (3), удовлетворяющих условиям

и(р,г) е С2(Б+ и Б-); (4)

Тви(р,г) = 0, (р,г) е Б+ и Б-; (5)

ди др

где Б+ = Б П {г > 0}, Б- = Б П {г < 0}.

Частные решения уравнения (3) ищем в виде

и = Я(р)2 (г), (7)

где К(р) и Z(г) — пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы функция (7) удовлетворяла уравнению (3) и условиям (4) и (6). С этой целью подставим ее в уравнение (3) и граничные условия (6)

к+1

(г) + ^—Е^ (г) + 8ипг\г\т^" — a2RZ = 0, (8)

р

R'(0)Z (г) = 0, К(1^ (г) = 0. (9)

Деля равенство (8) на RZ и перенося второе слагаемое вправо, получим К' + К sgnz\z\mZ'' — а2 Z

К = Z • (10)

Приравнивая обе части равенства (10) постоянной —Л2, приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

= 0, и\р=\ = 0, —а < г < в, г = 0, (6)

р=0

2 — (а2 + Л2^пг\г\-7П2 = 0, (11)

к'' + к_+1 К' + Л2 К = 0. (12)

р

Из равенств (9) имеем

К'(0) = 0, К(1) = 0. (13)

Найдем решение спектральной задачи (12),(13). Умножая уравнение (12) на р2, получим

р2К'' + (к + 1)рК + Л2р2К = 0. (14)

В этом уравнении произведем замену переменной р и неизвестной функции К по формулам

к

К= (д 2 ^ р=^ (15)

В результате имеем уравнение Бесселя

2 й2ь йь ( 2 (к \ 2\

Г1Р-2 + ГТт + Ч V )” = 0. (16)

Известно [1], что общее решения уравнения (16) имеет вид

ь(г) = С\3к (г) + С2Ук (г), (17)

2 2

где ]к (г) и Ук (г) — функции Бесселя первого и второго родов

2 2

соответственно, С\ и С2 — произвольные постоянные.

к

Переходя к переменным р и К по формулам г = Лр, V = р 2 К, которые

получаются из (15), получим общее решение уравнения (14). Оно имеет вид

кк К = Сгр- 2 ]к (Лр) + С2р-2Ук (Лр), (18)

2 2

где Л, С\ и С2 — произвольные постоянные. Их найдем из требования, чтобы

решение (18) удовлетворяло граничным условиям (13).

По известным формулам дифференцирования функции Бесселя имеем

кк К = —СгЛр- 2 ]к+2 (Лр) — С\Лр- 2 Ук+2 (Лр). (19)

2 2

Из формулы разложения функции Бесселя в степенной ряд следует, что при р = 0 первое слагаемое в (19) обращается в нуль, а второе слагаемое — в то. Поэтому решение (18) удовлетворяет первому граничному условию из (13), если С2 = 0. Также здесь положим С г = 1, так как собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. В результате имеем

к

К(р) = р- 2 ]к (Лр). (20)

2

Потребуем теперь, чтобы решение (20) удовлетворяло второму граничному условию из (13)

]к (Л) = 0.

По известным теоремам [1] это уравнение имеет бесконечное число простых вещественных корней Л1 < Л2 < ... < Лп < ..., которые определяют собственные значения спектральной задачи (12), (13). Полагая в (20) Л = Лп, получим соответствующие собственные функции

к

Вп = р- 2 3к (ЛпР), п = 1,2,3,... (21)

2

Известно [1], что система функций {3к (Лпр)} ортогональна с весом р в

2

промежутке [0,1]. Поэтому система собственных функций (21) ортогональна

с весом рк+1 в этом промежутке, т.е.

1

кк

I р 2 ]к (Лщ р)р 2 ]к (ЛП2 р)р + йр — I р]к (ЛП1р)]к (ЛП2 р)йр — 0. (22)

У 2 2 У 2 2

0 0

Также известно [1], что система функций {]к (Лпр)} полна в пространстве

2

Ь2([0,1], р) и для них имеет место соотношение

1

I р] к (ЛПр)йр — “ ] к+2 (Лп).

.¡2 2 2

0

Отсюда следует, что система собственных функций (21) полна в пространстве Ь 2 ([0,1],рк+1) и для функций этой системы имеет место соотношение

1 1

[ р-к]к (Лпр)рк+1 йр = [ р]к (Лпр)йр = 1 ]к+2 (Лп). (23)

.} 2 .} 2 2 2

00

Поэтому любая функция f (р) из Ь2([0,1], рк+1) может быть разложена в ряд Фурье — Бесселя по системе собственных функций (21), т.е.

го

к

/(р) = ^ °пр 2 3к (лпр). (24)

( ^ 2

"пн " 'п,

2

п=1

Коэффициенты определяются по формулам

1

2

/к + 2

/(р)3к (лпр)р~ Лр = /п. (25)

2

0

На основании формул дифференцирования цилиндрических функций коэффициенты ап представим в виде

1

ап = 2 2 ( ) I /(р) Л- (р2+3к+2 (лпр)) Лр. (26)

Лп32+2 (Лп) У ар \ 2 )

0

1

Интегрируя по частям интеграл (26), получим

1

2

^п = 1 72 7~\ “ /(1)]к+2 (Лп)

2

Лп]к+2 (Лп)

2

1

/к + 2

/'(р)р~ ]к+2 (Лпр) йр

2

0

(27)

21

Л ]2 (ЛТ^ /(1)]к+2 (Лп) — т-

Лп] к + 2 (Лп) | 2 Лп

2

21 Л ]2 7ЛТ 1 /(1)]— (Лп) — Л"

Лп] к + 2 (Лп) | 2 Лп

2

/к + 4

/"(р)р~ ]к+4 (Лпр) йр

2

0

(28

/'(1)]к+4 (Лп) (29

— д- ^''(1)]к+6 (Лп) — J /'''(р)р 2 ]к+6 (Лпр)

(30)

Обозначим через Сд[0,1] множество функций /(р) из класса С3[0,1], удовлетворяющих условиям

/'(0) = 0, / (1) = 0, /'(1) = 0, /''(1) = 0.

Если /(р) е С£[0,1], то коэффициенты разложения (24) могут быть определены по формулам

лп] 2+2 (Лп)

к+2 п 2 0

1

Г к+6 /'''

/”'(р)р— ]к+6 (Лпр) йр = /3. (31)

.) 2 ЛП

Полагая в (11) Л2 = ЛП, получим

ZПг — (а2 + ЛП)вёПг\г\ mZn = 0-

Это уравнение при г > 0 имеет вид

а при г < 0 — вид

^'п — (а2 + Л2n)г-mZn = 0,

&П + (а,2 + ЛП)(—г) mzn = 0-

(32)

(33)

Известно [2], что уравнения (32) и (33) с помощью замены переменных соответственно по формулам

Г7 А 1 ( ¡- \ А 2у а2 + ЛП 2-т

^ = С2-ти(с), с = 2_т г 2 ,

Zп = С«’«), С = 2ч{а2 т- ( — г) ^

2т

(34)

(35)

2

приводятся соответственно к уравнениям

СЧ'" + Си' — (С2 +(2^) и = 0 (36)

+ (т' + (V — (2 —т)2^ т = 0 (37)

Также известно [1], что общее решение уравнений (36) и (37)

определяются соответственно по формулам

и(С) = С1/_^ (С) + С2К—1— (С),

2 — т 2 — т

т(С) = Сз]^ (С) + С4У—1— (С),

2 — т 2—т

где I 1 (С) и К 1 (С) — модифицированные функции Бесселя

2 — т 2—т

соответственно первого и третьего родов порядка 2^, ] 1 (С) и У 1 (С)

функции Бесселя соответственно первого и второго родов порядка

2 — т

1

2—m ’

С, ] = 1, 2, 3, 4 — произвольные постоянные.

Переходя к переменным г и Zn по формулам (34), (35), получим общие решения уравнений (32) и (33) соответственно

Z+ (г) = а,п^г1^ (рпгд) + Ъп^гК^ (рпгд), г> 0, (38)

2 — т 2 — т

Z—(z) = Сп^—г,]^_ (рп(—г)д)+ йп^—гУ^ (рп(—г)4), г< 0, (39)

2 — т 2 — т

2д /а2+\‘П[ 2 7 7

где рп = —, 9 = ~^Г~; ап, Ъп, Сп и йп — произвольные постоянные.

Таким образом, система частных решений уравнения (3) при 1 < т < 2

на множестве Б+ и Б—, удовлетворяющих условиям (4) - (6), определяются

по формулам

ип(р,г) = Rп(р)Zn(г), п = 1,2,3,..., (40)

где КП(р) заданы равенствами (21) , а Zn(z) определены по формулам (38)

и (39)

z (г) = / ^(г) = ап^П(г) + ЪnZ2n(г), г>0;

I ^ (г) = Сп^п(г) + йnZ2n(г), г < 0

где

Z+п(г) = -4~г1^- (Рпгя), Z2П(z) = ^~гК(рпгд),

2 '' 2 " (41)

21п(г) = \[—г3(Рп(—г)Я), 22п(г) = \[—У_1_ (Рп( — г)Я).

2—т 2 — т

2. Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией для уравнения (1) при 1 < т < 2

Видоизмененная задача Дирихле с осевой симметрией (Задача Е с осевой симметрией). Найти в области Б функцию и(р, г), удовлетворяющую

условиям __

и(р, г) е С2(Б+ и Б-) П С 1(Б) П С (Б); (42)

Тви(р,г) = 0, (р,г) е Б+ и Б-; (43)

ди

др

= 0, и\р=\ = 0, —а ^ г ^ в; (44)

р=0

и(р,в) = /(Р"), 0 < Р < 1, /(Р) е С0[0, !]• (45)

Для решения задачи (42) - (45) применим метод разделения переменных. Решение задачи Е ищем в виде

' ОО

^___ к

и+(р,г) = 2^ {апг+п(г) + ьпг+п(г)) р-2зк (\пр)1

и(р, г) =

2

По1 (46)

——к

и-(Р,г) = 2^ (сп^-п(г) + йп72п(г) Р- 2 3к (АпР),

2

по1

где ап, Ьп, сп, йп — пока неопределенные постоянные. Их найдем из требования, чтобы функция и(р,г), определяемая рядами (46), удовлетворяла условиям (42) и (45).

Для этого сначала исследуем поведение функций 7±п, г = 1,2, и их производных первого порядка при г ^ 0.

Используя формулы дифференцирования цилиндрических функций, получим

й7,1п = д/ а2 + Хп г I т-1 (рпгя),

у _ , , п~ - т-1 \Ипг

йг 2-т (47)

й2п = — д/ а2 + А2пг К т-1 (рпгч),

йг ' '" 2-т

аг.

1п

= —\/ а2 + Хп (—г) ™ 3 т-1 (рп(—г9)),

йг V - ■ --пч игт-1 \рп\

аг 2-т (48)

аг-1 = — Vа2 + Хп (—г) 1‘2т Ут-1 (рп(—г) )•

йг 2-т

С помощью формул асимптотического поведения цилиндрических функций при 1 < т < 2 и г ^ 0 имеем

1 1 7+ (г) (рп/2) 2-т г 7- (г) (Рп/2) 2-т (_ г) (49)

71п(г) ~ Г / 3-т \ г’ 71п(г) ~ Г / 3-т \ ( г) ’ (49)

1 V 2-т ) 1 V 2-т /

1

2 — т

(2/рп)2—т

2п(г) — -п / 1—т) ’ ^2п(г)г / 1—т '

2—т) \2-mj

і /-------------------- 1 — т

йг+п(г) л/а2 + \п(2/рп)2—т

йг

г

2—т

лг—п(г) _ /а2 + хп(2/рп) 2

йг

йг+п(г)

1 — т т

(50)

(51)

г

1

2т

йг

йг—(г)

--------- г

йг

1 — т

- -хОГх2. {рп!?\2—т г1—т

■п г /3-2т' 1 1 2-т ,

— л/ а2 + хп

1 — т

(Рп/2) 2—т ( 1_г

(52)

■(—г)1

В силу формул (52) асимптотического поведения первой производной функций г2п(г) и г-п(г) при 1 < т < 2

йг+п(г) йг2п(г)

ііш —2^^ = ж, ііш 2п

%—>о+о йг

%—>0—0 йг

оо.

Так что функция и(р, г) не удовлетворяет условию (42). Поэтому, чтобы функция (46) удовлетворяла этому условию, положим Ьп = 0 и йп = 0.

В таком случае решение (46) принимает вид

+

и(р, г) = <

и

и

(р, г) = ^ апг+п(г)р 2 3к (Хпр),

п=1

го

_—к (р, г) = 2_^ с-пг—п(г)р— 2 3к (Хпр).

(53)

п=1

Также требуется, чтобы выполнялось условие

ди+ (р, 0 + 0) ди- (р, 0 — 0)

дг

дг

В силу (51) решение (53) удовлетворяет этому условию, если ап = —сп. Поэтому решение (53) может быть представлено в виде

+

ГО

(р, г) = ^ апг+п(г)р— 2 3к Хр),

п=1

ГО

к

(Р,г) = — ¿^ апг—п(г)р— 2 3к (Хпр).

и(р, г) =

и—

(54)

= — > ап*

п=1

1

Заменяя И±п(г) на их значения из (41), получим

и(р,г) = <

и

+(р,г) = У] аплД1_^ (Рпгд)р 2 3к (Хпр),

' 2-т 2

по1

ГО

Е._ к

ап\[—г3_^_ (Рп(—г)д)р-2 3к (Хпр).

2 — т 2

(55)

по1

Постоянные ап находим из требования, чтобы решение (55) удовлетворяло граничному условию (45). Подставляя его в это граничное условие, получим

У^ап\/в1(Рпвд)р 2 3к (Хпр) = /(р).

( ^ 2 — т 2

(56)

по1

Ряд (56) представляет собой разложение функции /(р) в ряд Фурье -Бесселя по системе собственных функций (21). В силу (31) коэффициенты этого разложения находим по формуле

1

г- 2 ( к+6 /111

апл/в1 (Рпвд) = Х3—(ХТ /Ш(р)р~ 3к+6 (Хпр) йр = Х3,

т Хп3к+2(Хп) и 2 Хп

0

откуда

/

ш

п

Х3п,/в1^_ (Рпвд)'

2-т

Заменяя в (55) коэффициенты ап на их значения из (57), получим

(57)

и

+

и(р, г) =

/'!!^~г1 (Рпгд) _к

(р,г) = ^ Х3 тТ т ( вд) р 2 3к (Хпр)’ п=1 Хп^вт ^1- (РпРд) 2

и

(р, г) = —

___ 2-т

~ /'Ц\/—г31 (Рп( — г)д)

(58)

=1 хпл/в1-^ (Рпвд)

о1 2 т

- р 2 3 к (Хпр) •

Сначала докажем равномерную сходимость рядов из (58) в области Б. Известно [3], что для цилиндрических функций при £ ^ то имеют место следующие асимптотические формулы

3V (£) = О

1

рп

1

?п

(59)

(60)

Также известно [1], что при /(р) е С[0,1] и £ — то

1

У /(Р)Р3(£р) йР = ° (^372 ) • (61)

о

Из (59)и (61) следует, что при п — то

Хп

Отсюда и из (59)и (60) имеем, что при п -— то

/п = 0 ( 7^1 • (62)

/пу/г1^_ (Рпгд)

2 — т

к

р 2 3к (Хпр) = о

хпл/р! (Рп13д) 2 \хп/2

2—т

/'п\[—~г3^- (Рп(—г)Ч) к

_____ Купь

2 — т

Х1*/в1^ (Рпв>) 'р— ‘ 3к2 {Х"р) ЧхуО

Отсюда следует, что ряды из (58) сходятся равномерно в Б и, следовательно, и(р,г) е С (Б).

Продифференцируем ряды из (58) по г и р

ди

дг ^

ди+ ._/пг 2 1 т—1 (РпгЯ) к

л/а2 + Х?п т ^ (Р ) р 2 3к (Хпр),

дг п Х>п^І^_ (РпвЧУ 2

п—1 2 — т

ди— ГО і-Ігі,(—г) 2 3 т—1 (Рп(—г)д) к

^ = £ хОТХ2-----------Х3 вт 2-™ вя)--------------------р— к 3к (Хпр),

дг п—1 Хп (РпвЧ) 2

' п—1 2 — т

(63)

ди др ^

ди+ _і_ (РпгЧ) к

1Г = £ Х2 ПТт ( вЧ) р— к 3к+2 (Хпр),

др п—1ХпЫ^1^- (РпРд) 2

' п—1_ 2 — т

ди— ГО ГпУ^3(Рп(—г)Ч) _к

~ёр = —п—1 Х,ТЖТШ*) р 23“(Хпр).

—1 2 т

(64)

Также из асимптотических формул (59), (60) и (62) следует, что при п

то 1-т

,_______/!пг 1 т-1 (Рпгд) к ( 1 \

2-т( р- 2 3к (Хпр) = О ,

хп ыв1^- (РпРд) 2 \х„/2/

2—т

,-----/'п( — г) 2 3 Г— (Рп( — г)Ч) _к ( і , _ т

^а2 + Хп ШвПОРв4) р232(Хпр) = е Рп ’

і

¡плТг3^- (РпгЧ) к ( 1

р 2 3 к + 2 (\пр) — О

\п^1 (Рпвч)' 2 "" \\П/2

2 — т

¡п^-^3 г (Рп(-г)ч)

УпЬ

2—_

\2 вТ ( вЧ) 'Р 2 3 к+2 (ХпР)— О( -!г^) е Рпв

Ку/Р!^ (РпРд) 2 V Х5/2)

Отсюда следует, что п(р,г) £ С 1(Б).

Дифференцируя два раза по г ряды из (58) и применяя к ним оператор Вр— + ^рт др, полУчим

д2и

дг2 ^

... 1 — 2—

д 2и+ ,_____¡пг 2 т 1 (Рпг4) к

— у л/а^тх2, х3 2—_ ол р-2 зк (\пР),

дг п Хп^[вТ^_ (рпв1) 2

п—1 2——

д2и~ _¡'П'(-г) Ч* 3^_ (рп(-г)1) _к

£ л/°2 + хп Х3,/пт , (Рвч) р 2 32(Хпр

к

3 ■ Х/-

Х3 л/ в I 1 !Р„ вЧ ) 2

п—1

(65)

дг2 п Х3п (Рпвч) 2

Ври —

+ го ¡'плГгТ(РпгЧ) к Ври+ — £ х ПТт ( вч) р-23к (ХпР),

п—/ к,ли —_Рвч) 2

го ¡Ц'^3(Рп(-г)Ч) к

Ври- — -£ х вт2—_ ( вч) Р- 2 3к (ХпР).

п—1 Хпл/в1_1_ (Рпв4) 2

' п—1 2——

Аналогично вышеизложенному для членов рядов (65), (66) при п ^ ж имеют место следующие асимптотические формулы

.______¡"'г ^ т2(Рпгч) к ( 1 \

^а^ТХп 2—( р- 2 3 к (ХпР) — О -1/-2) ,

Хп л/рт^- (РпРч) 2 \х1/2 /

2—_

1 2_

,-----¡п(-г) 2 3 (Рп (-г)Я) ( 1 \ _ т

^^т"Хп Х/Т!-^4) р 2 3к(ХпР) — О\Х37^ е Рп ’

2—— '

¡п'л/г1 1 (РпгЧ) к ( 1

2—_ -Р- к 3 к (ХпР)— О1

Хп'/Р3-^ (Рпвч) 2 \хЗ/2/’

2 — _

¡п^-*3^ (Рп(-г)Ч) к ( 1

'п V 1 \уп,

2 — _

Х вт ( вЧ) Р к 3 к (ХпР)— О( ^7^) е Рпв

Хпл/в!2(Рпв4) 2 \хп/2/

Из этих асимптотических формул следует, что ряды (65), (66) на множестве Б+ и Б- сходятся равномерно и поэтому и(Р, г) £ С2(Б+ и Б-).

Единственность решения задачи Е (42) - (45) следует из полноты системы собственных функций (21) в пространстве Ь2([0,1],Ркрг).

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема. Если f (р) е Cq[0, 1], то задача E с осевой симметрией (42)

- (45) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (58).

Список литературы

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: ИЛ, 1949. 799 c.

2. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 2003.

255 c.

3. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966.

Т.2. 296 c.

Сафина Римма Марселевна (rimma77705@mail.ru), старший преподаватель, кафедра экономической информатики и математики, Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, Казань.

The modificate problem of Dirichlet with axial symmetry for a mixed type equation with the Bessel operator with characteristic degeneration

R.M. Safina

Abstract. For the equation mixed type with the Bessel operator k

uxx +—ux + uyy + sgnz\z\m uzz — a2 u = 0

in the semi cylinder D = {(x,y,z)\ x2 + y2 < 1, x > 0, —a < z < в} where a > 0, k > 0, 1 < m < 2, a > 0, в > 0 — the setting real numbers, of method spectral decomposition is investigated the modificate problem of Dirichlet with axial symmetry.

Keywords: Bessel operator, the equation of mixed type, Dirichlet problem, method of the spectral analysis.

Safina Rimma (rimma77705@mail.ru), senior teacher, department of Economic Computer Science and Mathematics, Tatar State University of Humanities and Education, Kazan.

Поступила 16.11.2010