ВЕЙВЛЕТ-РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ B-СПЛАЙНОВ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 519.6:539.3

DOI: 10.22227/1997-0935.2022.1.32-41

Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов на основе Б-сплайнов для локального решения двумерной задачи теории упругости

Павел Алексеевич Акимов, Марина Леонидовна Мозгалева

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Строится локальное численно-аналитическое решение двумерной задачи теории упругости. Область исследования составляют соответствующие конструкции (например, балки-стенки), у которых по одному из направлений имеется регулярность (постоянство) физико-геометрических параметров (модуль упругости материала конструкции, коэффициент Пуассона материала конструкции, размеры поперечного сечения конструкции). Это направление условно называется основным.

Материалы и методы. Для решения указанной задачи используется вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) на основе В-сплайнов. Исходная операторная постановка задачи сформулирована с использованием аппарата обобщенных функций в рамках метода стандартной (расширенной) области, предложенного А.Б. Золотовым.

Результаты. Рассмотрены некоторые актуальные вопросы построения нормализованных базисных функций (У (у В-сплайна, описана техника аппроксимации соответствующих вектор-функций и операторов в рамках ДКМКЭ. По ос-

новному направлению задача остается континуальной и ищется точное аналитическое решение, тогда как по неосновному направлению используется конечно-элементная аппроксимация в сочетании с аппаратом вейвлет-анализа. В результате формируется дискретно-континуальная постановка задачи, представляющая собой многоточечную ^ Ф (в частности, двухточечную) краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (первого

порядка) с постоянными коэффициентами, для решения которой может быть применен разработанный и описанный в публикациях авторов корректный аналитический метод. В верификационных целях рассмотрен простейший пример расчета балки-стенки, закрепленной по боковым граням в обоих направлениях, под воздействием сосредоточенной в центре нагрузки.

£ Ф Выводы. Решение верификационной задачи предложенным методом хорошо согласовывалось с решением, полу-

2 Ц ченным на основе метода конечных элементов (были построены соответствующие решения с учетом и без учета ло-

кализации, которые практически полностью совпадали, при этом преимущества численно-аналитического подхода 5» достаточно очевидны). Показано, что использование В-сплайнов различной степени в рамках вейвлет-реализации

л HQ N

<u ф

СО <

CD ^

S =

8 «

z ■ i

от *

от E

E о CL О

^ с

ю о

S «

о E

от от

О э

ДКМКЭ приводит к значительному сокращению количества неизвестных.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: дискретно-континуальный метод конечных элементов, вейвлет-реализация, В-сплайны, расчеты конструкций, балка-стенка, локальное решение, дискретно-континуальная операторная постановка, метод § о стандартной (расширенной) области

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Акимов П.А., Мозгалева М.Л. Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов на основе B-сплайнов для локального решения двумерной задачи теории упругости // Вестник МГСУ. 2022. Т. 17. Вып. 1. С. 32-41. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.1.32-41

Автор, ответственный за переписку: Павел Алексеевич Акимов, AkimovPA@gmail.com.

B-spline wavelet discrete-continual finite element method for the local solution to the two-dimensional problem

§ 3 of the theory of elasticity

Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

V) (MGSU); Moscow, Russian Federation

(9

I Ё

ABSTRACT

_ Introduction. The distinctive article presents a local semi-analytical solution to the problem of the two-dimensional theory of

jj jj elasticity. The corresponding structures, featuring the regularity (constancy) of physical and geometric parameters (the modulus

U > of elasticity of the material of the structure, the Poisson's ratio of the material of the structure, dimensions of the cross section of

the structure) along one direction (dimension) are under consideration. This direction is conventionally called the basic direction.

32 © П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, 2022

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

Materials and methods. The B-spline wavelet discrete-continual finite element method (DCFEM) is used. The initial operational formulation of the problem was constructed using the theory of distribution and the so-called method of extended domain, proposed by Prof. Alexander B. Zolotov.

Results. Some topical issues of construction of normalized basis functions of a B-spline are considered, the approximation technique for corresponding vector functions and operators within DCFEM is described. Along the basic direction, the problem remains continual and an exact analytical solution can be obtained, while along the non-basic direction the finite element approximation is used in combination with a wavelet analysis apparatus. As a result, we can obtain a discrete-continual formulation of the problem. Thus, we have a multi-point (in particular, a two-point) boundary problem for the first-order system of ordinary differential equations with constant coefficients. A special correct analytical method for the solution of such problems was developed, described and verified in numerous papers written by the authors. In particular, we consider the simplest sample analysis of a deep beam, fixed along the side faces and subjected to the load concentrated in the centre of the structure.

Conclusions. The solution to the verification problem obtained using the proposed version of the wavelet-based DCFEM was in good agreement with the solution obtained using a conventional finite element method (corresponding solutions were constructed with localization and without localization; these solutions coincide almost completely, while the advantages of the numerical-analytical approach are quite obvious). It is shown that the use of B-splines of various degrees within the wavelet-based DCFEM leads to a significant reduction in the number of unknowns.

KEYWORDS: discrete-continual finite element method, wavelet-based method, B-splines, structural analysis, deep beam, local solution, discrete-continuous operational formulation, method of extended domain

FOR CITATION: Akimov P.A., Mozgaleva M.L. B-spline wavelet discrete-continual finite element method for the local solution to the two-dimensional problem of the theory of elasticity. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2022; 17(1):32-41. DOI: 10.22227/1997-0935.2022.1.32-41 (rus.).

Corresponding author: Pavel A. Akimov, AkimovPA@gmail.com.

ВВЕДЕНИЕ

За последние годы было опубликовано немало работ, посвященных различным вариантам вейвлет-реализаций метода конечных элементов (МКЭ), основанных на использовании сплайн-вейвлетов [1-11]. Различные варианты вейвлет-реализаций МКЭ на основе сплайн-вейвлетов применительно к разным задачам расчета (в том числе на этапе мониторинга состояния) строительных конструкций, включая некоторые вопросы построения новых типов конечных элементов (в том числе вейвлет-элементов), описаны в трудах П.А. Акимова [2, 7-11], Т.Б. Кайтукова [2, 7, 8, 10, 11], М.Л. Мозгалевой [2, 7-11], X.F. Chen [12-20], D.P. Chen [21], H.B. Dong [14], J.G. Han [22-25], Y.M. He [16], Z.H. He [18], Z.J. He [12-17, 19, 20], Y. Huang [22-25], Z.S. Jiang [26], B. Li [12, 14, 16, 17], M. Liang [27, 28], J.Q. Long [29], G. Ma [29], T. Matsumoto [26, 29], S.T. Mau [30], H.H. Miao [17], Q.M. Mo [18], T.H.H. Pian [21, 30, 31], K. Sumihara [31], P. Tong [30], K.Y. Qi [14], W.X. Ren [22-25], Y.W. Wang [26], J.W. Xiang [12, 15, 16, 18, 26-29, 32], Z.B. Yang [13, 17, 19], X.W. Zhang [13, 19, 20], Y.H. Zhang [15], Y.T. Zhong [32].

Как показано в исследованиях перечисленных специалистов, предложенные ими подходы эффективны с точки зрения численной реализации, в том числе при наличии сингулярностей обладают высокой точностью, быстрой сходимостью и могут рассматриваться как альтернатива стандартному МКЭ. Настоящая работа продолжает серию статей авторов [2, 7-11], развивающих теорию и приложения вейвлет-реализаций дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) [1-11].

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Пусть х2 — переменная, соответствующая основному направлению. Операторная постановка в рамках метода стандартной области [5] с учетом выделения основного направления определяется уравнением:

-Ьиид22й + Ьшд2й + Ь0й = Р, (1)

где Р = ВЁ + 8Г/;

К = от2СИ2, ьиу = а;дгсо2 -А'сда,, к. = адсад.

(2)

и = щ. , V = д-,и _ V1

-U2- _V2_

"1 0" "0 0"

А = 0 0 , А = 0 1

0 1 1 0

2 ц + Я, X 0"

с = Я 2ц + А, 0

0 0

< п

8 8 IH

kK

G Г

S 2

o

n СО

I D

y 1

J со

u-I

n °

DD S o

=s (

oi n

CO

со

0)

(3)

дк= — , к = 1,2, 8хк

где х1, х2 — используемые декартовы координаты; /1,12 — соответствующие габаритные размеры конструкции; О — область, занимаемая конструкцией, ^ = , х2 )/0 < х1 < 11,0 < х2 < 12}; Г = 5О — граница области О; 9 — характеристическая функция области О; 5Г — дельта-функция границы Г; и — вектор перемещений; Г — вектор нагрузок в обла-

i\j со о

DD 6

r 66 c я

h о

С n

DD ) [[

[ 7 [

. DO

■ г

s S

s у с о <D *

10 10 О О 10 10 10 10

зз

сч N

сч N

о о

N N

¡г ш

и 3

> (Л

с «

и I»

I

Ф <и

О ё

о

о о со < со

8 « ™ §

ОТ "

от Е — '

с

Е о

£ о

^ с

ю о

£ « о Е

СП ^ т- ^

от от

«г?

О (О

сти f — вектор нагрузок на границе области Г = Ж; X, д — параметры Ламе.

С учетом обозначений в выражении (3) можем переписать уравнение (1) в виде системы дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами:

и ' = ТТ и + ¥,

где

(4)

> (5)

которая дополняется граничными условиями в сече-

Ъ _П „ь

тт= 0 Е , Ё = 0 , и = и

Т1 Т т1 т V

ниях с координатами х^д — 0

^Х^ь 2 — ^Ь *

Построение базисных функций В-сплайна определяется рекурсивными формулами Кокса-де Бура:

к = 1/ Ф(Д(0 =

1, х, < / < х.

+1 >

О, t<x<ví>x^

-х

(6)

1

к = 2т/у0к(О =

(2/я-1)! 2

£ = 2/я + 1/фм(0 =

4МД 2Г((/-т)2'»-1

(7)

/-/я

I).

Приведем далее несколько примеров. Так, на элементах локализации можно задать Ык = 5, т.е. неизвестные функции будут представлены полиномами (В-сплайнами) пятой степени. Обозначим: . е — номер элемента; N = Ык + 1 = 6 — количество узлов на элементе; х^) и х6(г'е) — соответственно координаты начальной и конечной точек ie-го элемента. Таким образом, количество неизвестных на элементе при такой разбивке равно = 2Ыр = 12. Если на элементах локализации задать меньшее значение Ык, например = 3, то неизвестные функции будут представлены полиномами (В-сплайнами) третьей степени, N = N. + 1 = 4, N. = 2N = 8, х, (/' )

А 7 р к 7 1е р е'

и х4(/'е) — соответственно координаты начальной и конечной точек i -го элемента. Если на элемен-

е

тах локализации задать значение Nk = 1, то неизвестные функции будут представлены полиномами (В-сплайнами) первой степени, N = Nk + 1 = 2, N.e = 2Np = 4, х1(/'е) и х2(/'е) — соответственно координаты начальной и конечной точек /'е-го элемента.

Переход к локальным координатам осуществляется по формуле:

Х1( к)- Х^ХМ, (),

(9)

Будем рассматривать такое построение для х. = i — целые числа. Тогда можно показать, что справедливы следующие формы соответственно для четных и нечетных значений параметра к:

(2т)! 2

где Д1 — оператор первой разности; Д2 — оператор второй разности; фг ,к (t) = ф0>к (t -.); ф0к (^) является полиномом степени к - 1 с ограниченным носителем, равным интервалу [0, к];

^ Фо ,к (t -.) = 1 для любого значения t. (8)

.

Дискретная составляющая численного решения представлена направлением вдоль оси х1. Восполнение на элементе (отрезке) для всех компонентов вектор-функций и и V (см. выражение (3)) одинаковое. Поэтому для простоты изложения при последующих построениях обозначим х = х1,1 = I и у = у(х) — неизвестная функция (компонента вектор-функции). Разобьем отрезок (0, I) на Ne частей (элементов), he = l/N — длина элемента. Каждый элемент разобьем также на Nk частей. При этом на элементах локализации решения Nk имеет большее значение, чем на остальных элементах.

0< 1.

В случае N = 12 для представления неизвестной функции прогиба воспользуемся В-сплайном степени 5. Обозначим

-6(7 + 2 )4| / + 2| +15(7 + 1 )417 + 1| -20/41*| + +15(7-1)4|7-1|-6(7-2)4|/-2| + (10)

+(*-з)4|*-з|].

Эта функция является В-сплайном, симметричным относительно t = 0, и ее носитель определен интервалом [-3, 3].

В качестве базисных функций на единичном отрезке принимаются следующие функции:

Ф1(0 = Ф(* + 2), Ф2(0 = Ф(^ + 1), ФЗ(0=Ф(0,Ф4(0=Ф(^-1), Ф5(0 = Ф(/-2),ФЙ(0 = Ф('-3), 0</<1.

(11)

В случае N = 8 для представления неизвестной функции прогиба воспользуемся В-сплайном степени 3. Обозначим

ф(о=^-у(д2 )2(*2м)=

= _!_[(,+ 2)2|7 + 2|-4(7 + 1)2|/ + 1| +

+6*21 -4(7-1 )217-1| -(7-2)217-2|].

Эта функция является В-сплайном, симметричным относительно t = 0, и ее носитель определен интервалом [-2, 2].

В качестве базисных функций на единичном отрезке принимаются следующие четыре функции:

ф1(0=ф('+1), ф2(0 = ф(0, Ф3(0 = Ф(г-1),Ф4(0 = ф('-2), (13) 0<г<1.

В случае = 4 для представления неизвестной функции прогиба воспользуемся В-сплайном степени 3. Обозначим

ф( t)=2 д2|

|=2р+1 -2М+и-1|], (14)

Эта функция является В-сплайном, симметричным относительно t = 0, и ее носитель определен интервалом [-1, 1].

В качестве базисных функций на единичном отрезке принимаются следующие функции:

фД I) = ф(t), ф2(^) = ф(t-1),0 < t < 1. (15)

Представим неизвестную функцию прогиба у(х) на элементе i в виде

У( х) = Цt) = £ «^ Фк (),

Х1( ") ^ Х ^ ХМ, (' ),0 ^t ^ 1.

(16)

Можно показать, что справедливы следующие формулы:

при N = 6, имеем у'' = Т6 а;

Т6 =

Ф1<0) Ф2 (0 ) Фз(0) Ф4(0) Ф5(0) Ф6 (0) " У1 а

ф1(0,2) Ф2(0,2) Фз(0,2) Ф4(0,2) ф5(0,2) Ф6(0,2) у2 а

Ф1 (0,4) Ф2(0,4) Фз(0,4) Ф4 (0,4) Ф5 (0,4) Ф6(0,4) , у'' — уз _ а

Ф1(0,6) Ф2(0,6) Фз(0,6) Ф4(0,6) Ф5 (0,6 ) Ф6(0,6) У4 , а — а

Ф1(0,8) Ф2(0,8) Фз(0,8) Ф4(0,8) Ф5 (0,8) Ф6(0,8) у5 а

Ф1(1) Ф2(1) Фз(1) Ф4(1) Ф5(1) Ф6(1) _ у6 _ а

при N = 4, имеем у'' = Т4 а;

" Фх(0) Ф2(0) Ф3(0) Ф4(0) ' У1 а1

Фх(1 /3) Ф2(1/3) Ф3(1 /3) Ф4(1/3) У2 а2

Т4 = Фх(2/3) Ф2(2/3) Ф3 (2 / 3) Ф4(2/3) , у' = у3 , а = а3

Фх(1) Ф2(1) Ф3(1) Ф4(1) _ у4 _ а4 _

(18)

при N = 2, имеем у'' = Т2 а;

Т = Т 2

Ф1 (0 ) Ф2(0)" Ф1(1) Ф2(1).

" У1 " а1

, У' = , а =

_ у 2 _ а2

, (19)

где у' — вектор узловых неизвестных на элементе i.

й" = Р

В общем случае имеем:

* = ТМ) У , где Т*г ={Т у, Т=Фу Ь).

Введем следующие обозначения:

(20)

и1

и*'

и' =

откуда в силу Р-1 = Рт имеем

(21)

--Ртй1е .

(17)

"1 0 • • 0 0 0 • ■ 0"

0 0 • • 0 1 0 • • 0

0 1 • • 0 0 0 • ■ 0

0 0 • • 0 0 1 • . 0

0 0 • ■ 0

• 0

• 1 ■ 0

0 0 • • 0 0 0 1_

где и'' — узловые значения вектор-функции на элементе ie; и' — значение вектор-функции в i-м узле на элементе ie; и* — узловые значения ^й компоненты вектор-функции на элементе i , k = 1, 2.

Пусть Р — матрица перестановок, такая, что

хМр(1е)

"2ц. + к \

5м, йг

V /

<1х\

< п

I*

кк

о Г и 3

о со § со

У 1

о со

и--

^ I § °

о

з (

о;?

о §

(22)

о

со со

Для построения локальных матриц жесткости, соответствующих операторам Ьш, и Ьт (см. выражение (2)), рассмотрим на элементе i билинейные формы:

(Ьиий,г) = (з'Д'СДдмд) = (дгСД5м,йг) =

(23)

§ 2 § 0

2 6

> 6 £ (

РТ §

ф ) Ц

® 7 л "

. он

■ г

(Я □

(Я У

С О

Ф Ж

ы ы о о 10 10 10 10

к=1

1

2-N

и

к

Ш

и'' =

к

(Luvu,z) = (d'D[CD2u -DT2CDxdu,z) = = (D?CD2u, dz) - (DT2CDxdu, Z) = (24)

~j\p(ie

- J

\ 1« / \

dx— 8ii,z

J1 . / J X У

dx:

(Lvvu,z) = (DT2CD2u,z)-

xNp(ie)

J

M-

*i(i>) V

на функциях вида (12):

2ц + А,

u,z

dx,

u(x) = w(t) = Yjq>J(t)aJ,

j=i

j=i

^ко-*-^)'0-'-1'

"ai

aJ

a:

Pi Pi

N N N N О О N N

a ш u з > и E И

2 "7

tQ I"« ;

T $

__^ •

CD CD

Л !з

ol

•—•

о

0 <£

CD <r

8 <5 z ■ ^

(Л E -

^ W

1 <5

CL ° —• £= Ю О

8 « о E

от ^

сл о

и 3 L_ И

nil

i5

о (Л Ш ф

to >

Можно показать, что, подставив выражение (26) последовательно в формулы (23)-(25), получим:

гд еК=Р

А„

An=(TNl)TBT~l; B = {biJ}iJ-_1,..,Np,

где btJ = —j(i>'im'J(t)dt,

"е О

причем bjj = bt J, т.е. Вт = В; (Luvu,z) = {KZu\z% где** = **-К* (29)

причем К*=(К*)Т;

Кл =Р

Ка=Р

О Ы10 Mm 0 .

о

Мо, О

-Р > Д)1 ЗДгJ

* = (31)

1

где = |ф;(0фу W, ^ = L=i ,

где stJ =\qi{t)(v'j(t)dt, т.е. RT =S;

где К1'=P

{LJi,z) = (KZu\zie), МЛо

(2H + X)4j0

Am=(T-ip)TMT-ip;

M = {mi,j}i,j=U,N .

(32)

1 }

(25)

где т.. =— |ф,(0фу(0Л.

(33)

e О

причем m} i = mUJ, т.е. Мг = М;

(26)

и к, z к — соответствующие векторы узловых неизвестных на элементе i.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В качестве модельного примера рассмотрим определение перемещений балки-стенки, закрепленной по боковым граням в обоих направлениях, под воздействием сосредоточенной в центре нагрузки (рис. 1).

Геометрические параметры: I = 6 м, I = 12м. Расчетные параметры материала балки-стенки: коэффициент упругости Е = 26 500 • 104 кН/м2, коэффициент Пуассона V = 0,15. Параметр внешней нагрузки: Р = 100 кН.

Рассмотрим расчет с учетом локализации. Зададим N = 4 — количество элементов. Длина элемента he = 11/№е = 6/4 = 1,5. Определим локализацию решения в зоне нагрузки. Элемент 1: N = 5 — сплайн пятого порядка, h = 1,5/5 = 0,3 — шаг между узлами на элементе. Элемент 2: N = 3 — сплайн третьего порядка, h1 = 1,5/3 = 0,5 — шаг между узлами на элементе. Элементы 3 и 4: N = 1 — сплайн первого порядка, h3 = h4 = h = 1,5/1 = 1,5 — шаг между узлами на элементе. При таком разбиении суммарное количество узлов по всем элементам составляет N = (28) = 5 + 3 + 2 • 1 + 1 = 11. Общее количество неизвестных узловых значений для перемещений и, V = = 4 • N = 4 • 11 = 44.

х

Рассмотрим также расчет без учета локализации. В этом случае будем исследовать только стан-

(27)

(30)

P

Рис. 1. Пример расчета (к постановке задачи)

Fig. 1. The example of the analysis (in respect of the problem

statement)

x

2

x

I

I

2

С. 32-41

дартное линейное восполнение. При этом длина элемента принимается равной минимальному шагу между узлами, т.е. h = 0,3. Тогда количество элементов N = 6/0,3 = 20 и общее количество узлов N = 21. В этом случае общее количество узловых неизвестных для перемещений и, V: N = 4 • N = 4 • 21 = 84.

Представлено графическое сопоставление результатов счета (рис. 2), при этом FEM:loc — узловые значения, полученные с учетом локализации;

х-10-5

FEM:standart — узловые значения, полученные без учета локализации.

Как видно, полученные результаты практически полностью совпадают. И при этом применение локализации на основе использования В-сплайнов различной степени приводит к существенному уменьшению количества неизвестных. Разница для рассматриваемого примера составляет Д = 84 - 44 = 40.

0,5

* -1- — FEM:standart * FEM:loc

х-10-6

U = (x=0,3)

b

Рис. 2. Сопоставление результатов счета в серединных сечениях: а — по направлению x2; b — по направлению x1 Fig. 2. Comparison of the results of analysis made in the middle sections: а — along the x2 direction; b — along the x1 direction

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Итак, в настоящей статье представлена вейв-лет-реализация ДКМКЭ на основе В-сплайнов для решения двумерной задачи теории упругости. Рассматриваются конструкции, у которых по одному из направлений имеется регулярность (постоянство) физико-геометрических параметров. Исходной является операторная постановка задачи в рамках

метода расширенной (стандартной) области, реализован переход к соответствующей дискретно-континуальной постановке, рассмотрено решение верификационного примера, подтвердившее высокую эффективность и точность предложенного подхода, который представляется весьма перспективным с учетом достигаемого значительного сокращения объема вычислительной работы вследствие существенной редукции неизвестных.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам: научное издание / под ред. А.П. Петухова ; пер. с англ. Е.В. Мищенко. М. ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2001. 463 с.

2. Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Кайтуков Т.Б. Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов на основе В-сплайнов для локального расчета пластины // Вестник МГСУ 2021. Т. 16. № 5. С. 666-675. DOI: 10.22227/19970935.2021.6.666-675

3. Akimov P.A. Correct discrete-continual finite element method of structural analysis based on precise analytical solutions of resulting multipoint boundary problems for systems of ordinary differential equations // Applied Mechanics and Materials. 2012.

< n

iH

о

S

с

0 со n со

1 S y i J CD

u-

^ I

n °

S 3 o

zs (

oi

о n

CO CO

CD

Vol. 204-208. Pp. 4502-4505. DOI: 10.4028/www.sci-entific.net/amm.204-208.4502

4. Akimov P.A., Belostosky A.M., Mozgaleva M.L., Aslami M., Negrozov O.A. Correct multilevel discrete-continual finite element method of structural analysis // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1040. Pp. 664-669. DOI: 10.4028/www.scien-tific.net/amr.1040.664

5. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Method of extended domain and general principles of mesh approximation for boundary problems of structural analysis // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vol. 580-583. Pp. 2898-2902. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ amm.580-583.2898

6. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Wavelet-based multilevel discrete-continual finite element method for

w

CO

о S §

r §6 c я

h о

S )

i! !

. DO

■ г

s □

s У с о <D Ж

10 10 о о 10 10 10 10

0

1

2

3

4

5

6

а

local plate analysis // Applied Mechanics and Materials. 2013. Vol. 351-352. Pp. 13-16. DOI: 10.4028/www. scientific.net/amm.351-352.13

7. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of beam analysis with the use of B-spline finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020. Vol. 16. Issue 3. Pp. 12-22. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-3-12-22

8. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of B-spline discrete-continual finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020. Vol. 16. Issue 4. Pp. 14-28. DOI: 10.22337/2587-9618-202016-4-14-28

9. Mozgaleva M.L., Akimov P.A. Localization of solution of the problem for Poisson's equation with the use of B-spline discrete-continual finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021. Vol. 17. Issue 3. Pp. 157-172. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-3157-172

10. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. en cy Localization of solution of the problem of isotropic o o plate analysis with the use of b-spline discrete-contin-

, - ual finite element method // International Journal for x o Computational Civil and Structural Engineering. 2021. & In Vol. 17. Issue 1. Pp. 55-74. DOI: 10.22337/2587-9618-§ " 2021-17-1-55-74

11. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. £ ® Localization of solution of the problem of two-di-

5 3 mensional theory of elasticity with the use of B-spline H JJ discrete-continual finite element method // Interna-JL. • tional Journal for Computational Civil and Structural J § Engineering. 2021. Vol. 17. Issue 2. Pp. 83-104. DOI: O | 10.22337/2587-9618-2021-17-2-83-104

o | 12. Chen X.F., Xiang J.W., Li B., He Z.J. A study

§ < of multiscale wavelet-based elements for adaptive finite g c element analysis // Advances in Engineering Software. cn § 2010. Vol. 41. Issue 2. Pp. 196-205. DOI: 10.1016/j. ^ 'H advengsoft.2009.09.008

52 | 13. Chen X.F., Yang Z.B., Zhang X.W., He Z.J.

s § Modeling of wave propagation in one-dimension struc-c tures using b-spline wavelet on interval finite element //

6 — Finite Elements in Analysis and Design. 2012. Vol. 51.

CJ) ^

o | Pp. 1-9. DOI: 10.1016/j.finel.2011.10.007 g ° 14. Dong H.B., Chen X.F., Li B., Qi K.Y., He Z.J. ^ Rotor crack detection based on high-precision modal w § parameter identification method and wavelet finite ele-~ 2 ment model // Mechanical Systems and Signal Pro* ^ cessing. 2009. Vol. 23. Issue 3. Pp. 869-883. DOI:

g 10.1016/j.ymssp.2008.08.003 X EE 15. Xiang J.W., Chen X.F., He Z.J., Zhang Y.H.

| £ A new wavelet-based thin plate element using b-spline

¡3 In wavelet on the interval // Computational Mechanics.

£ £ 2007. Vol. 41. Issue 2. Pp. 243-255. DOI: 10.1007/ s00466-007-0182-x

16. Xiang J.W., Chen X.F., Li B, He Y.M., He Z.J. Identification of a crack in a beam based on the finite element method of a B-spline wavelet on the interval // Journal of Sound and Vibration. 2006. Vol. 296. Issue 4-5. Pp. 1046-1052. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.02.019

17. Yang Z., Chen X., Li B., He Z., Miao H. Vibration analysis of curved shell using b-spline wavelet on the interval (bswi) finite elements method and general shell theory // CMES-Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2012. Vol. 85. Issue 2. Pp. 129-156. DOI: 10.3970/cmes.2012.085.129

18. Xiang J.W., Chen X.F., Mo Q.M., He Z.H. Identification of crack in a rotor system based on wavelet finite element method // Finite Elements in Analysis and Design. 2007. Vol. 43. Issue 14. Pp. 1068-1081. DOI: 10.1016/j.finel.2007.07.001

19. Yang Z.B., Chen X.F., Zhang X.W., He Z.J. Free vibration and buckling analysis of plates using b-spline wavelet on the interval mindlin element // Applied Mathematical Modelling. 2013. Vol. 37. Issue 5. Pp. 3449-3466. DOI: 10.1016/j.apm.2012.07.055

20. Zhang X.W., Chen X.F., He Z.J., Yang Z. The analysis of shallow shells based on multivariable wavelet finite element method // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. Issue 5. Pp. 450-460. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60044-x

21. Pian T.H.H., Chen D.P. Alternative ways for formulation of hybrid stress elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982. Vol. 18. Issue 11. Pp. 1679-1684. DOI: 10.1002/nme. 1620181107

22. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A multivariable wavelet-based finite element method and its application to thick plates // Finite Elements in Analysis and Design. 2005. Vol. 41. Issue 9-10. Pp. 821-833. DOI: 10.1016/j.finel.2004.11.001

23. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A spline wavelet finite-element method in structural mechanics // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006. Vol. 66. Issue 1. Pp. 166-190. DOI: 10.1002/ nme.1551

24. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A spline wavelet finite element formulation of thin plate bending // Engineering with Computers. 2009. Vol. 25. Issue 4. Pp. 319-326. DOI: 10.1007/s00366-009-0124-7

25. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A wavelet-based stochastic finite element method of thin plate bending // Applied Mathematical Modelling. 2007. Vol. 31. Issue 2. Pp. 181-193. DOI: 10.1016/j.apm.2005.08.020

26. Xiang J.W., Matsumoto T., Wang Y. W., Jiang Z.S. Detect damages in conical shells using curvature mode shape and wavelet finite element method // International Journal of Mechanical Sciences. 2013. Vol. 66. Pp. 83-93. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2012.10.010

27.Xiang J.W., LiangM. A two-step approach to multi-damage detection for plate structures // Engineering Fracture Mechanics. 2012. Vol. 91. Pp. 73-86. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2012.04.028.

28. Xiang J.W., Liang M. Wavelet-based detection of beam cracks using modal shape and frequency measurements // Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2012. Vol. 27. Issue 6. Pp. 439-454. DOI: 10.1111/j.1467-8667.2012.00760.x

29. Xiang J.W., Matsumoto T., Long J.Q., Ma G. Identification of damage locations based on operating deflection shape // Nondestructive Testing and Evaluation. 2013. Vol. 28. Issue 2. Pp. 166-180. DOI: 10.1080/10589759.2012.716437

30. Mau S.T., Tong P., Pian T.H.H. Finite element solutions for laminated thick plates // Journal of Com-

Поступила в редакцию 5 января 2022 г. Принята в доработанном виде 24 января 2022 г. Одобрена для публикации 24 января 2022 г

posite Materials. 1972. Vol. 6. Issue 2. Pp. 304-311. DOI: 10.1177/002199837200600212

31. Pian T.H.H., Sumihara K. Rational approach for assumed stress finite elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. Vol. 20. Issue 9. Pp. 1685-1695. DOI: 10.1002/ nme.1620200911

32. Zhong Y.T., Xiang J.W. Construction of wavelet-based elements for static and stability analysis of elastic problems // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. Issue 4. Pp. 355-364. DOI: 10.1016/ s0894-9166(11)60036-0

Об авторах: Павел Алексеевич Акимов — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информатики и прикладной математики, ректор, академик Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН); Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 256191, Scopus: 35974766800, ResearcherID: B-4230-2016; AkimovPA@mgsu.ru;

Марина Леонидовна Мозгалева — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры информатики и прикладной математики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, r. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 601631; marina.mozgaleva@gmail.com.

Вклад авторов:

Акимов П.А. — идея, сбор и обработка материала, научное редактирование текста статьи, итоговые выводы.

Мозгалева М.Л. — концепция исследования, развития методологии, сбор и обработка материала, написание исходного текста статьи, разработка реализующего программного обеспечения, численные эксперименты, итоговые выводы.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

REFERENCES

1. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets: scientific publication / ed. by A.P. Petukhov. Moscow; Izhevsk, Regular and chaotic dynamics, 2001; 463. (rus.).

2. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. About the B-spline wavelet discrete-continual finite element method of the local plate analysis. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(6): 666-675. DOI: 10.22227/19970935.2021.6.666-675 (rus.).

3. Akimov P. A. Correct discrete-continual finite element method of structural analysis based on precise analytical solutions of resulting multipoint boundary problems for systems of ordinary differential equations. Applied Mechanics and Materials. 2012; 204208:4502-4505. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ amm.204-208.4502

4. Akimov P.A., Belostosky A.M., Mozgaleva M.L., Aslami M., Negrozov O.A. Correct multilevel discrete-continual finite element method of structural analysis. Advanced Materials Research. 2014; 1040:664-669. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ amr.1040.664

5. Akimov P. A., Mozgaleva M.L. Method of extended domain and general principles of mesh approximation for boundary problems of structural analysis. Applied Mechanics and Materials. 2014; 580-583:2898-2902. DOI: 10.4028/www. scientific. net/amm.580-583.2898

6. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Wavelet-based multilevel discrete-continual finite element method for local plate analysis. Applied Mechanics and Materials. 2013; 351-352:13-16. DOI: 10.4028/www.scientific. net/amm.351-352.13

7. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of beam analysis with the use of B-spline finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020; 16(3):12-22. DOI: 10.22337/25879618-2020-16-3-12-22

8. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of B-spline discrete-continual finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020;

< П

iH

kK

G Г

S 2

0 CO § CO

1 S

У 1

J to

^ I

n °

S> 3 o

zs (

о §

E w

§ 2

n 0

S 6

A CD

Г 6

t (

PT §

SS )

ii

® 7 л ' . DO

■ T

s □

s У с о <D Ж

10 10 О О 10 10 10 10

16(4):14-28. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-414-28

9. Mozgaleva M.L., Akimov P.A. Localization of solution of the problem for Poisson's equation with the use of B-spline discrete-continual finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021; 17(3):157-172. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-3-157-172

10. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. Localization of solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of b-spline discrete-continual finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021; 17(1):55-74. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-1-55-74

11. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. Localization of solution of the problem of two-dimensional theory of elasticity with the use of B-spline discrete-continual finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021; 17(2):83-104. DOI: 10.22337/25879618-2021-17-2-83-104

12. Chen X.F., Xiang J.W., Li B., He Z.J. A study of multiscale wavelet-based elements for adaptive finite element analysis. Advances in Engineering Soft-

cv n ware. 2010; 41(2):196-205. DOI: 10.1016/j.adveng-o o soft.2009.09.008

" " 13. Chen X.F., Yang Z.B., Zhang X.W., He Z.J.

«£ a Modeling of wave propagation in one-dimension struc-> In tures using b-spline wavelet on interval finite element.

C tfl

2 — Finite Elements in Analysis and Design. 2012; 51:1-9.

® £ DOI: 10.1016/j.finel.2011.10.007

14. Dong H.B., Chen X.F., Li B., Qi K.Y., He Z.J.

5 3 Rotor crack detection based on high-precision mod-

H j5 al parameter identification method and wavelet fi-

JL. • nite element model. Mechanical Systems and Signal

J § Processing. 2009; 23(3):869-883. DOI: 10.1016/j.

O ® ymssp.2008.08.003

o | 15. Xiang J.W., Chen X.F., He Z.J., Zhang Y.H.

§ < A new wavelet-based thin plate element using b-spline

g c wavelet on the interval. Computational Mechanics.

8 | 2007; 41(2):243-255. DOI: 10.1007/s00466-007-

^ K 0182-x

52 1 16. Xiang J.W., Chen X.F., Li B., He Y.M., He Z.J. E § Identification of a crack in a beam based on the finite c element method of a B-spline wavelet on the interval. ° Journal of Sound and Vibration. 2006; 296(4-5):1046-o | 1052. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.02.019 cB ° 17. Yang Z., Chen X., Li B., He Z., Miao H. Vi-^ bration analysis of curved shell using b-spline wavelet w § on the interval (bswi) finite elements method and geneT ^ ral shell theory. CMES-Computer Modeling in Enginee-* ^ ring & Sciences. 2012; 85(2):129-156. DOI: 10.3970/

g cmes.2012.085.129 ® E 18. Xiang J.W., Chen X.F., Mo Q.M., He Z.H.

| Identification of crack in a rotor system based on wave-

¡3 "J let finite element method. Finite Elements in Analysis

£ £ and Design. 2007; 43(14):1068-1081. DOI: 10.1016/j. finel.2007.07.001

19. Yang Z.B., Chen X.F., Zhang X.W., He Z.J. Free vibration and buckling analysis of plates using b-spline wavelet on the interval mindlin element. Applied Mathematical Modelling. 2013; 37(5):3449-3466. DOI: 10.1016/j.apm.2012.07.055

20. Zhang X.W., Chen X.F., He Z.J., Yang Z. The analysis of shallow shells based on multivariable wavelet finite element method. Acta Mechanica Solida Sinica. 2011; 24(5):450-460. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60044-x

21. Pian T.H.H., Chen D.P. Alternative ways for formulation of hybrid stress elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982; 18(11):1679-1684. DOI: 10.1002/nme.1620181107

22. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A multivariable wavelet-based finite element method and its application to thick plates. Finite Elements in Analysis and Design. 2005; 41(9-10):821-833. DOI: 10.1016/j. finel.2004.11.001

23. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A spline wavelet finite-element method in structural mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006; 66(1):166-190. DOI: 10.1002/nme.1551

24. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A spline wavelet finite element formulation of thin plate bending. Engineering with Computers. 2009; 25(4):319-326. DOI: 10.1007/s00366-009-0124-7

25. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A wavelet-based stochastic finite element method of thin plate bending. Applied Mathematical Modelling. 2007; 31(2):181-193. DOI: 10.1016/j.apm.2005.08.020

26. Xiang J.W., Matsumoto T., Wang Y.W., Jiang Z.S. Detect damages in conical shells using curvature mode shape and wavelet finite element method. International Journal of Mechanical Sciences. 2013; 66:83-93. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2012.10.010

27. Xiang J.W., Liang M. A two-step approach to multi-damage detection for plate structures. Engineering Fracture Mechanics. 2012; 91:73-86. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2012.04.028.

28. Xiang J.W., Liang M. Wavelet-based detection of beam cracks using modal shape and frequency measurements. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2012; 27(6):439-454. DOI: 10.1111/j.1467-8667.2012.00760.x

29. Xiang J.W., Matsumoto T., Long J.Q., Ma G. Identification of damage locations based on operating deflection shape. Nondestructive Testing and Evaluation. 2013; 28(2):166-180. DOI: 10.1080/10589759.2012.716437

30. Mau S.T., Tong P., Pian T.H.H. Finite element solutions for laminated thick plates. Journal of Composite Materials. 1972; 6(2):304-311. DOI: 10.1177/002199837200600212

31. Pian T.H.H., Sumihara K. Rational approach for assumed stress finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984; 20(9):1685-1695. DOI: 10.1002/nme.1620200911

32. Zhong Y.T., Xiang J.W. Construction of elastic problems. ActaMechanicaSolidaSinica. 2011; of wavelet-based elements for static and stability analysis 24(4):355-364. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60036-0

Received January 5, 2022.

Adopted in revised form on January 24, 2022.

Approved for publication on January 24, 2022

Bionotes: Pavel A. Akimov — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics, Rector, Academician of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 256191, Scopus: 35974766800, ResearcherlD: B-4230-2016; AkimovPA@ mgsu.ru;

Marina L. Mozgaleva — Doctor of Technical Sciences; Associate Professor, Professor of the Department of Informatics and Applied Mathematics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 601631; marina.mozgaleva@gmail.com.

Contribution of the authors:

Akimov P.A. — idea, collection and processing of material, scientific editing of the text of the paper, final conclusions.

Mozgaleva M.L. — the concept of research, development of methodology, collection and processing of material, writing the original text of the paper, development of implementing software, numerical experiments, final conclusions. The authors declare no conflict of interest.

< П

8 8 i н

kl

G Г

S 2

0 С/з § С/3

1 C y 1

J CD

u-

^ I

n °

cd 3 o

=s (

oi

о §

§ 2 n g

s 6

Г œ t ( an

CD ) [[

® 7 л ' . DO

■ г

s □

s У с о <D *

10 10 о о 10 10 10 10