ВЕЙВЛЕТ-РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ОСНОВЕ B-СПЛАЙНОВ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО РАСЧЕТА ПЛАСТИНЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ

УДК 539.3 DOI: 10.22227/1997-0935.2021.6.666-675

Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов на основе Б-сплайнов для локального

расчета пластины

П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, Т.Б. Кайтуков

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Строится локальное численно-аналитическое решение задачи об изгибе изотропной пластины. Область исследования составляют пластины, у которых по одному из направлений имеется регулярность (постоянство) физико-геометрических параметров (модуль упругости материала пластины, коэффициент Пуассона материала пластины, размеры поперечного сечения пластины). Это направление условно называется основным.

Материалы и методы. Для решения указанной задачи используется вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) на основе В-сплайнов. Исходная операторная постановка задачи сформулирована с использованием аппарата обобщенных функций в рамках метода стандартной (расширенной) области,

N N предложенного А.Б. Золотовым.

о о

N РЧ Результаты. Рассмотрены некоторые актуальные вопросы построения нормализованных базисных функций

<0<0 В-сплайна, описана техника аппроксимации соответствующих вектор-функций и операторов в рамках ДКМКЭ. По

основному направлению задача остается континуальной и ищется точное аналитическое решение, тогда как по не> 3 основному направлению используется конечно-элементная аппроксимация в сочетании с аппаратом вейвлет-анали-за. В результате формируется дискретно-континуальная постановка задачи, представляющая собой многоточечную щ (д (в частности, двухточечную) краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (первого порядка) с постоянными коэффициентами, для решения которой может быть применен разработанный и описанный в публикациях авторов корректный аналитический метод. В верификационных целях рассмотрен простейший при-2 § мер расчета тонкой изотропной пластины (прямоугольной в плане), жестко закрепленной по боковым граням под |2 ]5 воздействием сосредоточенной в центре нагрузки.

. 5»

ф

.Е о

ю о

s «

о Е

СП ^ т- ^

от сл

5» V)

Выводы. Решение верификационной задачи предложенным методом хорошо согласовывалось с решением, полученным на основе метода конечных элементов (были построены соответствующие решения с учетом и без учета ло-

£= -{5 кализации, которые практически полностью совпадали, при этом преимущества численно-аналитического подхода достаточно очевидны). Показано, что использование В-сплайнов различной степени в рамках вейвлет-реализации

§ о ДКМКЭ приводит к значительному сокращению количества неизвестных.

со > со ^

£= КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: дискретно-континуальный метод конечных элементов, вейвлет-реализация, В-сплайны,

Э го ~ ,

со с расчет пластины, локальное решение, дискретно-континуальная операторная постановка, метод стандартной (рас-

2 ширенной) области

ОТ "Ц

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Акимов П.А., Мозгалева М.Л., Кайтуков Т.Б. Вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов на основе В-сплайнов для локального расчета пластины // Вестник МГСУ. 2021.

О Т. 16. Вып. 6. С. 666-675. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.6.666-675

About the B-spline wavelet discrete-continual finite element method

of the local plate analysis

Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva, Taymuraz B. Kaytukov

O jj Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU);

O Moscow, Russian Federation

I C ABSTRACT

J" *

j jj Introduction. This distinctive paper addresses the local semi-analytical solution to the problem of plate analysis. Isotropic

U > plates featuring the regularity (constancy) of physical and geometric parameters (modulus of elasticity of the plate material,

Poisson's ratio of the plate material, dimensions of the cross section of the plate) along one direction (dimension) are under

© П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, Т.Б. Кайтуков, 2021 Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

п _ С.666—675

на основе B-сплайнов для локального расчета пластины

consideration. This direction is conventionally called the basic direction.

Materials and methods. The B-spline wavelet discrete-continual finite element method (DCFEM) is used. The initial operational formulation of the problem was constructed using the theory of distribution and the so-called method of extended domain, proposed by Prof. Alexander B. Zolotov.

Results. Some relevant issues of construction of normalized basis functions of the B-spline are considered; the technique of approximation of corresponding vector functions and operators within DCFEM is described. The problem remains continual if analyzed along the basic direction, and its exact analytical solution can be obtained, whereas the finite element approximation is used in combination with a wavelet analysis apparatus in respect of the non-basic direction. As a result, we can obtain a discrete-continual formulation of the problem. Thus, we have a multi-point (in particular, two-point) boundary problem for the first-order system of ordinary differential equations with constant coefficients. A special correct analytical method of solving such problems was developed, described and verified in the numerous papers of the co-authors. In particular, we consider the simplest sample analysis of a plate (rectangular in plan) fixed along the side faces exposed to the influence of the load concentrated in the center of the plate.

Conclusions. The solution to the verification problem obtained using the proposed version of wavelet-based DCFEM was in good agreement with the solution obtained using the conventional finite element method (the corresponding solutions were constructed with and without localization; these solutions almost completely coincided, while the advantages of the numerical-analytical approach were quite obvious). It is shown that the use of B-splines of various degrees within wavelet-based DCFEM leads to a significant reduction in the number of unknowns.

KEYWORDS: discrete-continual finite element method, wavelet-based method, B-splines, plate analysis, local solution, discrete-continuous operational formulation, method of extended domain

FOR CITATION: Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. About the B-spline wavelet discrete-continual finite element method of the local plate analysis. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(6): 666-675. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.6.666-675 (rus.).

ВВЕДЕНИЕ

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Прежде всего, следует отметить, что за последние годы было опубликовано немало работ, посвященных различным вариантам вейвлет-реализа-ций метода конечных элементов (МКЭ), основанных на использовании сплайн-вейвлетов [1-7].

В частности, решению задач об изгибе пластин методом Ритца с помощью бикубических фундаментальных сплайнов посвящена статья H. Antes [8]. Различные варианты вейвлет-реализаций МКЭ на основе сплайн-вейвлетов применительно к разным задачам расчета (в том числе на этапе мониторинга состояния) строительных конструкций, включая вопросы построения новых типов конечных элементов (в том числе вейвлет-элементов), описаны в трудах: П.А. Акимова, Т.Б. Кайтукова, М.Л. Мозгалевой [6, 7, 9]; X.F. Chen [10-18]; D.P. Chen [19]; H.B. Dong [12]; J.G. Han [20-23]; Y.M. He [14]; Z.H. He [16]; Z.J. He [10-15 17, 18]; Y. Huang [20-23]; Z.S. Jiang [24]; B. Li [10, 12 14, 15]; M. Liang [25, 26]; J.Q. Long [27]; G. Ma [27] T. Matsumoto [24, 27]; S.T. Mau [28]; H.H. Miao [15] Q.M. Mo [16]; T.H.H. Pian [19, 28, 29]; K. Simuhara [29] P. Tong [28]; K.Y. Qi [12]; W.X. Ren [20-23]; Y.W. Wang [24]; J.W. Xiang [10, 13, 14, 16, 24-27, 30]; Z.B. Yang [11, 15, 17]; X.W. Zhang [11, 17, 18]; Y.H. Zhang [13]; Y.T. Zhong [30].

Как показано в исследованиях перечисленных специалистов, предложенные ими подходы эффективны с точки зрения численной реализации, в том числе при наличии сингулярностей обладают высокой точностью, быстрой сходимостью и могут рассматриваться как альтернатива стандартному МКЭ.

Настоящее исследование продолжает серию статей авторов [6, 7], развивающих теорию и приложения вейвлет-реализаций дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) [1-7].

Пусть х2 — переменная, соответствующая основному направлению. Операторная постановка в рамках метода стандартной области [4] с учетом выделения основного направления определяется уравнением:

-L4 d42 y + L2 д2 y + L y = 9F + 5Г f,

< n

ÍH

kK

G Г

(1) U

где х1, х2 — используемые декартовы координаты; I 12 — соответствующие габаритные размеры пластины; ^ — область, занимаемая пластиной, & = {(, х2 )/0 < х1 < 11, 0 < х2 < 12}; Г = Ш — граница области ф 9 — характеристическая функция области О; 5г — дельта-функция границы Г; у — прогиб пластины; Е — нагрузка на пластину, приложенная в области ф f— нагрузка, приложенная на границе Г; д1 = д/сЦ; д2 = д/дх2; 52 = 52/дх2 ; 52 = 52/дх22;

П4 = 0D

n2 = +2d^D(i - v )ex + gdvö2 ];

n0=-d¡QDd 2,

(2)

где В — цилиндрическая жесткость пластины; V — коэффициент Пуассона материала пластины. После введения обозначений:

Ух =У, у2 =д2у = у[; Уз =д\у = у'1\ У4 =д32у = у'3,

(3)

можем переписать уравнение (1) в виде системы дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами:

и ' = Ь и + Р, (4)

где

0 с/3 § с/3

1 2 y 1

j со

u-

^ i

n ° o

=¡ ( oi

о §

§ 2

n 0

2 6

2 ®

r D t (

ф )

ii

. В

■ г s □

s У с о

<D * ®®

О О 10 10

сч N о о

N N

<0 <0 ¡г а)

и 3 > (Л с «

и «в <о щ

¡1

Ф <и

о ё

о

о о со < со

8 « ™ §

ОТ "

от Е — '

с

Е о

£ ° ^ с

ю о

£ Ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

гЗ

О (О

и £

' 0 1 0 0 ' 0 ~Ух

0 0 0 0 1 0 0 1 ; Р= 0 0 \и= У2 Уз

0 0 У4.

, (5)

которая дополняется граничными условиями в сечениях с координатами х211 = 0, х2 2 = 12.

Построение базисных функций В-сплайна определяется рекурсивными формулами Кокса-де Бура:

* = 1/ф,д(0 =

1,х,<1<хм О, t<x¡vt>хм'

чг/ъМ-е-^'К (6)

+

Будем рассматривать такое построение для х. = i — целые числа. Тогда можно показать, что справедливы следующие формы соответственно для четных и нечетных значений параметра к:

(7)

'x{{t-m)lm-l\t-m\),

где Д1 — оператор первой разности; Д2 — оператор второй разности; = ф0k(t - ,); Ф0k(t) является полиномом степени к - 1 с ограниченным носителем, равным интервалу [0, к];

(I ~ i) = 1 для любого значения t. (8)

г

Дискретная составляющая численного решения представлена направлением вдоль оси х1. Восполнение на элементе (отрезке) для всех компонентов вектор-функции и (см. выражение (5)) одинаковое. Поэтому для простоты изложения при последующих построениях обозначим х = х1,1 = I и у = у. для всех. = 1, 2, 3, 4. Разобьем отрезок (0, I) на Ые частей (элементов), к= ИЫ — длина элемента. Каждый элемент разобьем также на Ык частей. При этом на элементах локализации решения Ык имеет большее значение, чем на остальных элементах. Например, на элементах локализации можно задать Ык = 5. Обозначим: , е — номер элемента; Ыр = Ык + 1 = 6 — количество узлов на элементе; х1(.) и х6(,) — соответственно координаты начальной и конечной точек , е-го элемента. В граничных точках примем в качестве неизвестных у, и у'. , , = 1, 6, во внутренних — у,,. = 2, 3, 4, 5. Таким образом, количество неизвестных на элементе при

такой разбивке равно Ы1е = Ык -1 + 2 • 2 = Ык + 3 = 8. Переход к локальным координатам осуществляется по формуле:

* = ( - Х1( е) ) , *1( *) < X < (,), 0 < * < 1. (9)

В случае Ы.е = 8 для представления неизвестной функции прогиба воспользуемся В-сплайном степени 7. Обозначим

Ф(0 = ФЬЛ('+4)~(А2)4(/6|*|)=

= 2Тт[('+4)б|'+4|-8(' + 3)б|' + 3| +

+ 28(/ + 2)б|^ + 2|-56(Г + 1)6|г + 1|+ (10)

+ 70?61* -56(г-1)6 +28(^-2)6 х

х|г-2|-8(*-3)6|г-3| + (г-4)6|*-4|].

Эта функция является В-сплайном, симметричным относительно t = 0, и ее носитель определен интервалом [-4, 4].

В качестве базисных функций на единичном отрезке принимаем следующие восемь функций:

фДt) = ф( + 3), ф2(t) = ф(t + 2), фз(t) = ф^ + 1), Ф4(t) = ф(t), ф5(t) = ф(t-1), ф6(t) = ф(t-2), (П) ф7(t) = ф(t-3), ф8^) = ф(t-4), 0 <t< 1.

Представим неизвестную функцию прогиба у(х) на элементе , в виде

к=1

(12)

х1(/е)<х<х„(й),0<;<1.

Для построения локальных матриц жесткости, соответствующих операторам Ь , Ь2 и Ь4 (см. уравнение (2)), рассмотрим билинейные формы:

Х«Р{К) ,2 Л

ёх с!х

xzdx = -Q¡eBle | ——^с!х =

Ч(и )

„ сЬс2 сЬс2

х1(к)

й1™ й2у . .

(13)

В,{у,1)=<ЬАу,1>=%В,е ¡ух

*1(»)

1

= уЛ = ДДМ>, у),

о

В2(у, = ¿) = {Ь11у, z} + ¿} + {Ь1Ъу,

(14)

где

Вестник МГСУ • ISSN 1997-0935 (Print) ISSN 2304-6600 (Online) • Том 16. Выпуск 6, 2021 Vestnik MGSU • Monthly Journal on Construction and Architecture • Volume 16. Issue 6, 2021

В случае N . = 6:

Z = А

y e rrr — = 76 a, где yie = dyl dy4 У1~Т У2 Уз Уа~Т _ dx dx _

a = [at а2 а3 а4 а5 а6 J ,

Ф2(0) Фз(0) Ф4(0) Ф5(0) Ф6(0)

Ф!(0) ФИО) 9з(0) Ф;(О> Фз(0) Фб(0)

<Pi(1/3) ф2(1/3) 9з(1/3) ф4(1/3) Ф5(1/3) Ф6(1/3)

ф1(2/3) 9,(2/3) Фз(2/3) Ф4(2/3) Ф5(2 / 3) Фб(2 / 3)

ФД1) 92(1) Фз(1) Ф4(1) ф5(1) Ф6(1)

. Ф;(О) 92 (0) Фз(0) ФИО) ФИО) Фб(0)

(28)

(29)

D6=diag( 1 l/he 1 1 1 1 / /ге).

В случае N.e = 4 имеем: Г = T4 а,

(30)

где у,е =

* f1 ^ f их ах

, а = [а^2 а3 а4]г;

N N О О

СЧ сч фф

X Ф

О 3

> 1Л

с «

на со

<0 ф

¡1

ф ф

Л 15

<5?

§ i СО <

2. о

92 Л ^ w

.!= о

£ ° с

LO О

8 Ц

CD E cn ^

z j= со о

SfS

i =

О (Л

T = D

14--U4

(31)

ф1(0) ф2(0) Фз(0) Ф4 (0) ф1(0) Ф2(0) ФЗ(0) Ф4(0)

Ф1(1) ф2(1) фз(1) ф4(1)

Ф!(1) Ф2(1) ФЗ(1) Ф4(1)_

Da = diag (1 1/ he 1 1/ he). Аналогично получим:

zе = ^ Р для N = 8, N = 6, N = 4. (32)

Из выражений (26), (28), (30) и (32) следует:

а = т^1 У, $ = T~Nl г .

(33)

В общем случае, имеет место следующая цепочка равенств:

=[{т„1)т к^т Л").

Таким образом, подставляя выражение (33) последовательно в (20)-(24), получим локальные матрицы жесткости К® К®, К2® , К23 , К® , К®, соответствующие операторам Ь0, Ь4, Ь21, Ь23, Ь22, Ь2.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В качестве примера рассмотрим задачу об изгибе тонкой плиты, жестко закрепленной по боковым граням, под воздействием сосредоточенной в центре нагрузки (рис. 1).

Геометрические параметры: Ь = 0,9 м, Ь2 = 1,0 м, h = 0,05 м — толщина. Расчетные параметры материала плиты: коэффициент упругости Е = 3000 • 104 кН/м2, коэффициент Пуассона V = 0,16. Параметр внешней нагрузки: Р = 1 кН.

Рассмотрим расчет с учетом локализации. Зададим N = 6 — количество элементов. Длина

Рис. 1. Пример расчета (к постановке задачи)

Fig. 1. Sample calculations (following the problem statement)

элемента к = €1/Ы = 0,9/6 = 0,15. Определим локализацию решения в зоне нагрузки. Элементы 1 и 6: Ык = 1 — сплайн третьего порядка, к1 = к6 = 0,15/1 = 0,15 — шаг между узлами на элементах 1 и 6. Элементы 2 и 5: Ы , = 3 — сплайн пятого порядка, к2 = к5 = 0,15/3 = 0,05 — шаг между узлами на элементах 2 и 5. Элементы 3 и 4 (под нагрузкой): Ык = 5 — сплайн седьмого порядка, к3 = к4 = 0,15/5 = 0,03 — шаг между

узлами на элементах 3 и 4. Общее количество внутренних узлов Np = 2(4 + 2 + 0) = 12, общее количество граничных узлов Nb = Ne +1 = 7. Суммарное количество узлов по всем элементам составляет Nx = Np + Nb = 12 + 7 = 19. Количество узловых неизвестных для каждой компоненты у., ] = 1, 2, 3, 4: Ng = Nр + 2 N. = 12 + 2 -7 = 26. Общее количество узловых неизвестных Ыи = 4 N2 = 4 • 26 = 104.

- 0,5

x10

xi=Li/2

0,5

1,5

2,5

l Ф- c oc-splin ub e

/

\ / ?

\ /

4 /

\

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Х2

х 10

Х2 =¿2/2

1,25

1,5

1,75

loc-spline

cub

< П

I H

kK

G Г

S 3

0 co n co

1 s

y 1

j to

^ i

n 0

s 3 o

zs (

oi

о n

co co

0)

2,25

2,5 1-

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

xi(/)

Рис. 2. Сопоставление результатов счета в серединных сечениях: а — по направлению xp b — по направлению x2 Fig. 2. The correlation of the results obtained for the center sections: a — along the Xj direction; b — along the x2 direction

i\j со о

s § Г §6

c я

h о

с n

ss )

[Ï

. В

■ T

s □

s У с о

® Ж р р

2 2 О О 10 10

0

а

2

b

2

Рассмотрим также расчет без учета локализации. В этом случае будем исследовать только стандартное кубическое восполнение. При этом длина элемента принимается равной минимальному шагу между узлами, т.е. he = 0,03. Тогда количество элементов Ne = 0,9/0,03 = 30 и общее количество узлов N = 31. В этом случае количество узловых неизвестных для каждой компоненты вектор-функции y, j = 1, 2, 3, 4: Ng =2NX =2-31 =62 и общее количество узловых неизвестных Ыи = 4 Ng = 4 • 62 = 248.

Выше представлено графическое сопоставление результатов счета (рис. 2), при этом loc-spline — узловые значения, полученные с учетом локализации; cub — узловые значения, полученные без учета локализации.

Как видно, полученные результаты практически полностью совпадают. И при этом применение локализации на основе использования В-сплайнов различной степени приводит к существенному уменьшению количества неиз-

вестных. Разница для рассматриваемого примера составляет NUcub - NUloc = 248 -104 = 144.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Итак, в настоящей статье представлена вейвлет-реализация ДКМКЭ на основе В-сплайнов для локального расчета пластин, у которых по одному из направлений имеется регулярность (постоянство) физико-геометрических параметров. Исходной является операторная постановка задачи в рамках метода расширенной (стандартной) области, реализован переход к соответствующей дискретно-континуальной постановке, рассмотрено решение верификационного примера, подтвердившее высокую эффективность и точность предложенного подхода, который представляется весьма перспективным с учетом достигаемого значительного сокращения объема вычислительной работы вследствие существенной редукции неизвестных.

г г

N N О О

сч сч 1. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам.

<о <о Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,

о з 2001. 464 с.

2. Akimov P.A. Correct discrete-continual finite ele-

3

to <o ment method of structural analysis based on precise ana-

<o ф lytical solutions of resulting multipoint boundary prob-

2 Ц lems for systems of ordinary differential equations // Ap-

£ 75 plied Mechanics and Materials. 2012. Vol. 204-208.

Д. ^ Pp. 4502-4505. DOI: 10.4028/www.scientific.net/

J § amm.204-208.4502

О ф 3. Akimov P.A., Belostosky A.M., Mozgaleva

о M.L., Aslami M., Negrozov O.A. Correct multilevel

§ <i discrete-continual finite element method of structural

' "O

о § analysis // Advanced Materials Research. 2014. Vol.

<n I 1040. Pp. 664-669. DOI: 10.4028/www.scientific.net/

от ■§ amr.1040.664 от E

~ "S 4. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Method of exten-§ q ded domain and general principles of mesh approxima-¡^ § tion for boundary problems of structural analysis // ApS plied Mechanics and Materials. 2014. Vol. 580-583. Pp.

° | 2898-2902. DOI: 10.4028/www.scientific.net/amm.580-

co °

^ ^ 583.2898

^ £ 5. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Wavelet-based

41 J multilevel discrete-continual finite element method for

; local plate analysis // Applied Mechanics and Materials.

^ W 2013. Vol. 351-352. Pp. 13-16. DOI: 10.4028/www.sci-5 О

e s entific.net/amm.351-352.13 к e

s * 6. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B.

¡3 4- Numerical solution of the problem of beam analysis

щ ^ with the use of B-spline finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural

Engineering. 2020. Vol. 16. Issue 3. Pp. 12-22. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-3-12-22

7. Akimov P.A., MozgalevaM.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of B-spline discrete-continual finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020. Vol. 16. Issue 4. Pp. 14-28. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-4-14-28

8. Antes H. Bicubic fundamental splines in plate bending // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1974. Vol. 8. Issue 3. Pp. 503-511. DOI: 10.1002/nme.1620080306

9. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. Localization of solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of B-spline discrete-continual finite element method // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021. Vol. 17. Issue 1. Pp. 55-74. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-1-55-74

10. Chen X.F., Xiang J.W., Li B., He ZJ. A study of multiscale wavelet-based elements for adaptive finite element analysis // Advances in Engineering Software. 2010. Vol. 41. Issue 2. Pp. 196-205. DOI: 10.1016/j.adveng-soft.2009.09.008

11. Chen X.F, Yang Z.B., Zhang X.W., He Z.J. Modeling of wave propagation in one-dimension structures using B-spline wavelet on interval finite element // Finite Elements in Analysis and Design. 2012. Vol. 51. Pp. 1-9. DOI: 10.1016/j.finel.2011.10.007

12. Dong H.B., Chen X.F, Li B, Qi K.Y., He Z.J. Rotor crack detection based on high-precision modal parameter identification method and wavelet finite element model // Mechanical Systems and Signal Process-

ing. 2009. Vol. 23. Issue 3. Pp. 869-883. DOI: 10.1016/j. ymssp.2008.08.003

13. Xiang J.W., Chen X.F., He Z.J., Zhang Y.H. A New wavelet-based thin plate element using B-spline wavelet on the interval // Computational Mechanics. 2007. Vol. 41. Issue 2. Pp. 243-255. DOI: 10.1007/s00466-007-0182-x

14. Xiang J.W., Chen X.F., Li B, He Y.M., He Z.J. Identification of a crack in a beam based on the finite element method of a B-spline wavelet on the interval // Journal of Sound and Vibration. 2006. Vol. 296. Issue 4-5. Pp. 1046-1052. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.02.019

15. Yang Z., Chen X., Li B., He Z., Miao H. Vibration analysis of curved shell using B-spline wavelet on the interval (bswi) finite elements method and general shell theory // CMES-Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2012. Vol. 85. Issue 2. Pp. 129-156. DOI: 10.3970/cmes.2012.085.129

16. Xiang J.W, Chen X.F, Mo Q.M., He Z.H. Identification of crack in a rotor system based on wavelet finite element method // Finite Elements in Analysis and Design. 2007. Vol. 43. Issue 14. Pp. 1068-1081. DOI: 10.1016/j. finel.2007.07.001

17. Yang Z.B., Chen X.F, Zhang X.W., He Z.J. Free vibration and buckling analysis of plates using B-spline wavelet on the interval mindlin element // Applied Mathematical Modelling. 2013. Vol. 37. Issue 5. Pp. 3449-3466. DOI: 10.1016/j.apm.2012.07.055

18. Zhang X.W., Chen X.F, He Z.J, Yang Z. The analysis of shallow shells based on multivariable wavelet finite element method // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. Issue 5. Pp. 450-460. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60044-x

19. Pian T.H.H., Chen D.P. Alternative ways for formulation of hybrid stress elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982. Vol. 18. Issue 11. Pp. 1679-1684. DOI: 10.1002/nme.1620181107

20. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A multivariable wavelet-based finite element method and its application to thick plates // Finite Elements in Analysis and Design. 2005. Vol. 41. Issue 9-10. Pp. 821-833. DOI: 10.1016/j. finel.2004.11.001

21. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A spline wavelet finite-element method in structural mechanics // Inter-

national Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006. Vol. 66. Issue 1. Pp. 166-190. DOI: 10.1002/ nme.1551

22. Han J.G., Ren WX., Huang Y. A spline wavelet finite element formulation of thin plate bending // Engineering with Computers. 2009. Vol. 25. Issue 4. Pp. 319326. DOI: 10.1007/s00366-009-0124-7

23. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A wavelet-based stochastic finite element method of thin plate bending // Applied Mathematical Modelling. 2007. Vol. 31. Issue 2. Pp. 181-193. DOI: 10.1016/j.apm.2005.08.020

24. Xiang J.W., Matsumoto T., Wang Y.W., Jiang Z.S. Detect damages in conical shells using curvature mode shape and wavelet finite element method // International Journal of Mechanical Sciences. 2013. Vol. 66. Pp. 83-93. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2012.10.010

25. Xiang J.W., LiangM. A two-step approach to multi-damage detection for plate structures // Engineering Fracture Mechanics. 2012. Vol. 91. Pp. 73-86. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2012.04.028

26. Xiang J.W., LiangM. Wavelet-based detection of beam cracks using modal shape and frequency measurements // Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2012. Vol. 27. Issue 6. Pp. 439-454. DOI: 10.1111/j.1467-8667.2012.00760.x

27. Xiang J.W., Matsumoto T., Long J.Q., Ma G. Identification of damage locations based on operating deflection shape // Nondestructive Testing and Evaluation. 2013. Vol. 28. Issue 2. Pp. 166-180. DOI: 10.1080/10589759.2012.716437

28. Mau S.T., TongP., Pian T.H.H. Finite element solutions for laminated thick plates // Journal of Composite Materials. 1972. Vol. 6. Issue 2. Pp. 304-311. DOI: 10.1177/002199837200600212

29. Pian T.H.H., Sumihara K. Rational approach for assumed stress finite elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984. Vol. 20. Issue 9. Pp. 1685-1695. DOI: 10.1002/nme.1620200911

30. Zhong Y.T., Xiang J.W. Construction of wavelet-based elements for static and stability analysis of elastic problems // Acta Mechanica Solida Sinica. 2011. Vol. 24. Issue 4. Pp. 355-364. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60036-0

Поступила в редакцию 6 июня 2021 г. Принята в доработанном виде 6 июня 2021 г. Одобрена для публикации 16 июня 2021 г.

Об авторах: Павел Алексеевич Акимов — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики, ректор, академик Российской академии архитектуры и строительных наук (РААСН): Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ)

129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 256191, Scopus: 35974766800, ResearcherlD: B-4230-2016: AkimovPA@mgsu.ru;

Марина Леонидовна Мозгалева — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 601631; marina.mozgaleva@gmail.com;

< П

iH

kK

G Г

0 с/з § с/3

1 2 у 1

j со

и-

^ i

n ° o

з (

о §

e w

§ 2

n 0

2 6

a cd

г 6

t (

cc §

ф )

ii

. В

■ T

s 3

s У с о <D X W®

2 2 О О 2 2

Таймураз Батразович Кайтуков — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, проректор, советник РААСН; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 335104, Scopus: 56528438800, ResearcherlD: N-3930-2017, ORCID: 0000-0002-9589-9113; tkaytukov@gmail.com.

REFERENCES

N N

о о

tv N

<0 <0

Ü <D

U 3 > 1Л

С И 2

U <o

<0 ф

¡1

<D <u

О ё

о

о о СО <

cd

8« Si §

CO "

со E

E о

CL °

• с

ю о

S «

о E

CO ^

T- ^

CO CO

■S

iE 35

О tn

1. Daubechies I. Ten lectures on wavelet. Izhevsk, Research Center "Regular and Chaotic Dynamics", 2001; 464. (rus.).

2. Akimov P.A. Correct Discrete-Continual Finite Element Method of Structural Analysis Based on Precise Analytical Solutions of Resulting Multipoint Boundary Problems for Systems of Ordinary Differential Equations. Applied Mechanics and Materials. 2012; 204-208:4502-4505. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ amm.204-208.4502

3. Akimov P.A., Belostosky A.M., Mozgaleva M.L., Aslami M., Negrozov O.A. Correct Multilevel Discrete-Continual Finite Element Method of Structural Analysis. Advanced Materials Research. 2014; 1040:664669. DOI: 10.4028/www.scientific.net/amr.1040.664

4. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Method of Extended Domain and General Principles of Mesh Approximation for Boundary Problems of Structural Analysis. Applied Mechanics and Materials. 2014; 580-583:2898-2902. DOI: 10.4028/www.scientific.net/ amm.580-583.2898

5. Akimov P.A., Mozgaleva M.L. Wavelet-based Multilevel Discrete-Continual Finite Element Method for Local Plate Analysis. Applied Mechanics and Materials. 2013; 351-352:13-16. DOI: 10.4028/www.scien-tific.net/amm.351-352.13

6. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of beam analysis with the use of B-spline finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020; 16(3):12-22. DOI: 10.22337/25879618-2020-16-3-12-22

7. Akimov P.A., Mozgaleva M.L., Kaytukov T.B. Numerical solution of the problem of isotropic plate analysis with the use of B-spline discrete-continual finite element method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2020; 16(4):14-28. DOI: 10.22337/2587-9618-2020-16-4-14-28

8. Antes H. Bicubic Fundamental Splines in Plate Bending. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1974; 8(3):503-511. DOI: 10.1002/ nme.1620080306

9. Mozgaleva M.L., Akimov P.A., Kaytukov T.B. Localization of Solution of the Problem of Isotropic Plate Analysis with the Use of B-Spline Discrete-Continual Finite Element Method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021; 17(1):55-74. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-1-55-74

10. Chen X.F., Xiang J.W., Li B., He Z.J. A Study of Multiscale Wavelet-Based Elements for Adaptive Finite Element Analysis. Advances in Engineering Software. 2010; 41(2):196-205. DOI: 10.1016/j.adveng-soft.2009.09.008

11. Chen X.F., Yang Z.B., Zhang X.W., He Z.J. Modeling of Wave Propagation in One-Dimension Structures Using B-Spline Wavelet on Interval Finite Element. Finite Elements in Analysis and Design. 2012; 51:1-9. DOI: 10.1016/j.finel.2011.10.007

12. Dong H.B., Chen X.F., Li B., Qi K.Y., He Z.J. Rotor Crack Detection Based on High-Precision Modal Parameter Identification Method and Wavelet Finite Element Model. Mechanical Systems and Signal Processing. 2009; 23(3):869-883. DOI: 10.1016/j.yms-sp.2008.08.003

13. Xiang J.W., Chen X.F., He Z.J., Zhang Y.H. A New Wavelet-Based Thin Plate Element Using B-Spline Wavelet on the Interval. Computational Mechanics. 2007; 41(2):243-255. DOI: 10.1007/s00466-007-0182-x

14. Xiang J.W., Chen X.F., Li B., He Y.M., He Z.J. Identification of a crack in a beam based on the finite element method of a B-spline wavelet on the interval. Journal of Sound and Vibration. 2006; 296(4-5):1046-1052. DOI: 10.1016/j.jsv.2006.02.019

15. Yang Z., Chen X., Li B., He Z., Miao H. Vibration Analysis of Curved Shell using B-spline Wavelet on the Interval (BSWI) Finite Elements Method and General Shell Theory. CMES-Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2012; 85(2):129-156. DOI: 10.3970/cmes.2012.085.129

16. Xiang J.W., Chen X.F., Mo Q.M., He Z.H. Identification of Crack in a Rotor System Based on Wavelet Finite Element Method. Finite Elements in Analysis and Design. 2007; 43(14):1068-1081. DOI: 10.1016/j. finel.2007.07.001

17. Yang Z.B., Chen X.F., Zhang X.W., He Z.J. Free Vibration and Buckling Analysis of Plates Using B-Spline Wavelet on the Interval Mindlin Element. Applied Mathematical Modelling. 2013; 37(5):3449-3466. DOI: 10.1016/j.apm.2012.07.055

18. Zhang X.W., Chen X.F., He Z.J., Yang Z. The Analysis of Shallow Shells Based on Multivariable Wavelet Finite Element Method. Acta Mechanica Solida Sinica. 2011; 24(5):450-460. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60044-x

19. Pian T.H.H., Chen D.P. Alternative Ways for Formulation of Hybrid Stress Elements. International

Journal for Numerical Methods in Engineering. 1982; 18(11):1679-1684. DOI: 10.1002/nme.1620181107

20. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A multivariable wavelet-based finite element method and its application to thick plates. Finite Elements in Analysis and Design. 2005; 41(9-10):821-833. DOI: 10.1016/j.finel.2004.11.001

21. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A Spline Wavelet Finite-Element Method in Structural Mechanics. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006; 66(1):166-190. DOI: 10.1002/nme.1551

22. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A Spline Wavelet Finite Element Formulation of Thin Plate Bending. Engineering with Computers. 2009; 25(4):319-326. DOI: 10.1007/s00366-009-0124-7

23. Han J.G., Ren W.X., Huang Y. A Wavelet-Based Stochastic Finite Element Method of Thin Plate Bending. Applied Mathematical Modelling. 2007; 31(2):181-193. DOI: 10.1016/j.apm.2005.08.020

24. Xiang J.W., Matsumoto T., Wang Y.W., Jiang Z.S. Detect Damages in Conical Shells Using Curvature Mode Shape and Wavelet Finite Element Method. International Journal of Mechanical Sciences. 2013; 66:83-93. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2012.10.010

25. Xiang J.W., Liang M. A two-step approach to multi-damage detection for plate structures. Engi-

Received June 6, 2021.

Adopted in revised form on June 6, 2021.

Approved for publication on June 16, 2021.

neering Fracture Mechanics. 2012; 91:73-86. DOI: 10.1016/j.engfracmech.2012.04.028

26. Xiang J.W., Liang M. Wavelet-Based Detection of Beam Cracks Using Modal Shape and Frequency Measurements. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2012; 27(6):439-454. DOI: 10.1111/j.1467-8667. 2012.00760.x

27. Xiang J.W., Matsumoto T., Long J.Q., Ma G. Identification of damage locations based on operating deflection shape. Nondestructive Testing and Evaluation. 2013; 28(2):166-180. DOI: 10.1080/10589759.2012.716437

28. Mau S.T., Tong P., Pian T.H.H. Finite Element Solutions for Laminated Thick Plates. Journal of Composite Materials. 1972; 6(2):304-311. DOI: 10.1177/002199837200600212

29. Pian T.H.H., Sumihara K. Rational approach for assumed stress finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1984; 20(9):1685-1695. DOI: 10.1002/nme.1620200911

30. Zhong Y.T., Xiang J.W. Construction of wavelet-based elements for static and stability analysis of elastic problems. Acta Mechanica Solida Sinica. 2011; 24(4):355-364. DOI: 10.1016/s0894-9166(11)60036-0

< П

IH

kK

G Г

S 2

Bionotes: Pavel A. Akimov — Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of Applied Mathematics, Academician of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Rector; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 256191, Scopus: 35974766800, ResearcherID: B-4230-2016; AkimovPA@ mgsu.ru;

Marina L. Mozgaleva — Doctor of Technical Sciences; Associate Professor, Professor of the Department of Applied Mathematics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 601631; marina.mozgaleva@gmail.com;

Taymuraz B. Kaytukov — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics, Advisor of the Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, Vice-Rector; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 335104, Scopus: 56528438800, ResearcherID: N-3930-2017, ORCID: 0000-0002-9589-9113; tkaytukov@gmail.com.

0 co § co

1 s

у 1

j to

u-

^ i

n °

s> 3 o

zs (

о §

e w

§ 2

n 0

s 6

a cd

г 6 t (

ss )

ii

. В

■ T

s □

s У с о <D *

б>б>

О О 10 10