CC BY
79
Ветвление и излом траекторий трещин отрыва в поликристаллах
В.М. Корнев
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Изучены рост и ветвление острых трещин в идеальных монокристаллах. Предложены силовой и деформационный критерии ветвления острых трещин. Эти критерии описывают хрупкое, квазихрупкое, квазивязкое и вязкое поведение материалов при разрушении. Для внутренних трещин получены простые соотношения, описывающие ветвление трещин, когда известны кривые теоретической прочности монокристалла типа Кулона-Мора для обобщенного напряженного состояния. Обнаружена возможность множественного ветвления трещин, что связывается с кратностью собственных значений при потере устойчивости системы. Установлено, что для идеальных монокристаллов выполняется принцип локальной симметрии в окрестности вершины трещины, если ось симметрии кристалла совпадает с осью трещины. Когда имеются несимметричные возмущения атомной решетки в окрестности вершины трещины или когда ось симметрии монокристалла не совпадает с осью трещины, принцип локальной симметрии нарушается.
Предлагается обобщение предлагаемого подхода на твердые тела с иерархией регулярных структур, типичных для макро-, мезо- и микромасштабов. Считается, что известны кривые теоретической прочности (типа Кулона-Мора) каждого структурного уровня материала для обобщенного напряженного состояния.
Изучены рост и ветвление острых трещин, когда вершина плоской трещины упирается (заканчивается) в плоскую границу раздела монокристаллов. Эта граница раздела (например, малоугловая граница) рассматривается как некоторое тонкое твердое тело регулярного строения с заданными свойствами. Если тонкое твердое тело имеет пониженные характеристики прочности по сравнению с идеальными монокристаллами, то предпочтительное направление распространения трещины совпадает с границей раздела монокристаллов.
1. Введение
Вопросы устойчивого роста острых трещин (или их ветвления) при некотором нагружении тела с прямолинейной острой трещиной представляют несомненный интерес. В окрестности вершины острой трещины нормального отрыва возникает сложное поле напряжений. При определенных условиях может происходить затупление острых трещин из-за больших сдвиговых напряжений или деформаций. Пока отсутствует определенный ответ на вопрос: является ли острая трещина отрыва устойчивой в идеальной кристаллической решетке Браве из-за наличия сдвиговых напряжений или сдвиговых деформаций в окрестности вершины трещины? Как эта устойчивость связана с идеальной прочностью монокристалла на растяжение и сдвиг или предельной дефор-мативностью кристаллической решетки при сдвиге?
Келли, Тайсон и Коттрелл [1] представили условие устойчивости для трещины отрыва в виде силового критерия. Райс и Томсон [2, 3] предложили другое условие устойчивости для трещины отрыва в виде приближенного соотношения, соответствующего деформационному критерию. Подчеркнем, что ветвление или затупле-
ние трещин по этим критериям может происходить, вообще говоря, в разных местах относительно вершины трещины: для силового критерия ветвление трещины имеет место перед вершиной трещины в самом материале, а для деформационного критерия затупление трещины происходит путем сдвига на берегах трещины.
Поскольку ниже при формулировке критериев прочности будет использоваться подход Нейбера-Новожи-лова [4, 5], приведем кратко основные сведения об этих гибридных критериях. Для трещин отрыва критерий хрупкой прочности материала без повреждений формулируется в виде
1 “ о
— }ау(х) <ат. (1)
“о 0
Здесь а ^ (х) — нормальные напряжения на продолжении трещины, когда правая вершина трещины совпадает с началом прямоугольных координат; “0 — интеграл осреднения; ат — теоретическая (идеальная) прочность структуры. Если осредненные напряжения меньше теоретической прочности, то продвижение трещины отсутствует. Если осредненные напряжения сов-
© Корнев В.М., 2003
падают с теоретической прочностью, то имеет место продвижение трещины на интервал осреднения. Очевидно, что поле напряжений в окрестности вершины трещины определяется из решения краевой задачи континуальной теории упругости, теоретическая прочность определяется методами физики твердого тела. Рисунок 1 поясняет соотношение (1): для макрообъекта с трещиной на рис. 1, а используется принцип микроскопа, что позволяет выявить структуру либо зернистого материала на рис. 1, б по Нейберу ^0 = г — диаметр зерна ^й структуры), либо идеального монокристалла на рис. 1, в по Новожилову = ге — постоянная крис-
таллической решетки в выбранном направлении).
2. Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины (однородный материал)
В изотропном материале на каждом структурном уровне i рассматривается внутренняя трещина, которая является острой (1 < i < г0). В однородном материале внутренняя прямолинейная трещина моделируется двусторонним разрезом длиной 21. Пусть для трещины нормального отрыва заданы на бесконечности напряжения
. Будем рассматривать устойчивость роста острых трещин, подразумевая под этим проблему ветвления или излома траекторий трещин. Допустим, что рассматриваемый материал на каждом структурном уровне i может обладать или не обладать симметрией прочностных характеристик относительно плоскости трещины. На рис. 2 изображена сплошной кривой правая вершина такой трещины в первом квадранте, а штриховая кривая — предполагаемое новое положение трещины при ветвлении, где ±0* — углы ветвления (излома), точки
О и 01 соответствуют старому и новому положению вершин трещины при элементарном акте продвижения
Рис. 1.
трещины. При 0* = 0 трещина распространяется устойчиво, оставаясь прямолинейной; при 0* Ф 0 имеет место излом траектории трещины; при ±0* Ф 0 трещина ветвится, меняя свое направление, причем при 0* = = ± п/ 2 происходит затупление трещины при ее раскрытии. Элементарный акт хрупкого и вязкого поведения материала при разрушении можно отождествить с углами 0* = 0 и 0* = ±П2 соответственно [1-3, 6], но возможно и квазивязкое (0* = ±п/2) или квазихрупкое (0* = ±0) поведение материала, когда ±0* Ф 0, 0* <
< п/2. Подчеркнем, что заранее никакие ограничения на поведение системы не накладываются (в отличие от [1, 3]). Поэтому, вообще говоря, возможны режимы, когда происходит множественное ветвление: например, 021 Ф 022 Ф 023 (индексы внизу соответствуют номеру структуры материала и типу нагружения). Множественное ветвление связано как со сложностью поля напряжений в окрестности вершины трещины, так и с прочностными характеристиками изотропного материала при сложном напряженном состоянии.
При описании ветвления трещин надо иметь информацию о поле напряжений в полярной системе координат Or0 для силового критерия, а для деформационного критерия при описании затупления трещин надо знать смещения берегов трещины в прямоугольной системе координат Oxy в окрестности вершины трещины. Поле напряжений и смещения берегов трещины в окрестности правой вершины трещины нормального отрыва можно выписать в виде (см. стр. 15-17 из [4])
О0 (г, 0) = (Kjjtoa) cos3(0/ 2) + O(r0),
Тг0 (г,0) =
= (Kj V2nr) sin(0/ 2) cos2 (0/ 2) + O(r 0), (2)
к, = о„л/П7.
2v(x, 0) = [(n +1)/G]K, ^2^ + O(x), (3)
x < 0.
Здесь o0 (г, 0) и ог0 (г, 0) — нормальные и сдвиговые напряжения; К — коэффициент интенсивности напряжений; 2v(x, 0) — раскрытие берегов трещины; G — модуль сдвига; n = 3 - 4ц для плоской деформации;
O-i /
Рис. 2.
П = (3 - ц)/(1 + ц) для плоского напряженного состояния, где ц — коэффициент Пуассона. Согласно рекомендациям Ф.А. Маклинтока, Дж.Р. Ирвина [7] целесообразно для кристаллов изучать плоскую деформацию, а для зернистых тонких тел используются соотношения, соответствующие плоскому напряженному состоянию. Поле напряжений, см. соотношение (2) и рис. 2, определено в теле монокристалла; а раскрытие берегов трещины, см. соотношение (3) и рис. 2, — вне тела монокристалла.
Изучим хрупко-вязкий переход при разрушении монокристаллов и зернистых тел регулярной структуры для достаточно длинных трещин, точнее, ¡1 > 10V ^ = 1,
2,..., i0), где V — диаметры зерен г-й структуры, характерных для макро-, мезо- и микромасштабов, диаметры зерен упорядочены следующим образом: г1 > > г2 > ... > го = ге, причем ге — постоянная атомной решетки. При таких ограничениях на длины трещин 2^ соотношения (2), (3) для всех структур можно упростить: члены порядка 0(г ) опускаются в соотношении
(2), а члены порядка 0( х) опускаются в соотношении
(3). Далее будет использоваться подход Нейбера-Ново-жилова для материалов с регулярной структурой, за характерный линейный размер изотропного зернистого материала или изотропного монокристалла выбирается либо диаметр зерна V, либо постоянная атомной решетки ге. Интервал осреднения для г-й структуры совпадает с длиной отрезка 001 на рис. 2, он равен V или 2г{ для материалов без повреждений.
3. Силовой и деформационный критерии (однородный материал)
При постепенном возрастании напряжений ато имеет место пропорциональное нагружение при сложном напряженном состоянии в окрестности вершины трещины. Возможно ветвление трещины [8-10] или испускание дислокаций [11]. Ветвление имеет место на каждом г-м структурном уровне материала [12], а испускание дислокаций происходит только для микроструктуры / = г’о. Выбор системой того или иного пути ветвления и излома траектории связан с прочностными характеристиками материала. На рис. 3 приведены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора [13, 14] р = = р(ф) для двух разных структур однородного материала и указан путь нагружения. На рис. 3 использованы обозначения: а и т — нормальные и сдвигающие напряжения на рассматриваемой площадке при сложном напряженном состоянии, когда оси симметрии прочностных характеристик структур совпадают с трещиной-разрезом; кривые 1 и 2 — кривые теоретической прочности первой и второй структур такие, что а т = а т1 = а т 2 — теоретические (идеальные) прочности на растяжение [13, 14], а тт1 Ф тт2 — теоретические (идеальные) прочности на сдвиг [13, 14] (если теоретические проч-
ности структур на растяжение совпадают, то теоретические прочности структур на сдвиг существенно различаются); цифрой три около стрелки показан пропорциональный путь нагружения; а(1) и т(1) — нормальные и сдвигающие напряжения на рассматриваемой площадке при сложном напряженном состоянии, когда ни одна из осей симметрии кристалла не совпадает с разрезом; а — угол между осью симметрии кристалла и разрезом. Путь нагружения характеризуется следующим соотношением а*3 / т*3 = а2>3 / т2>3 = C3 = const (обозначения а*, т* используются для напряжений критических состояний с индексами, соответствующими номеру структуры и типу нагружения); кроме постоянной С3 путь нагружения можно задать углом ф на плоскости а-т. Эта постоянная С3 или угол ф определяют тип нагружения на плоскости а-т, тип нагружения не зависит от прочностных характеристик материалов.
Итак, введены в рассмотрение две плоскости: физическая плоскость с трещиной-разрезом (координаты г, 0) (рис. 2) и воображаемая плоскость а-т с координатами р, ф (рис. 3).
3.1. Силовой критерий
Рассматривается зернистый материал, содержащий трещину. Пусть 1) прочностные характеристики этого материала имеют ось симметрии, и эта ось совпадает с осью трещины; 2) материал не имеет дефектов. Предлагается силовой дискретно-интегральный критерий [8, 9, 12, 14] хрупкой прочности типа Нейбера-Новожилова подрастания трещин по выбранным направлениям ±0, определяемым углами ветвления (рис. 2),
(а0 (0)) < а*, (т,0 (0)) <т*, (4)
(а0 (0^ = — /а0 (r, 0)dr,
nr i
Рис. 3.
(тГ0 (0^ =--- /тr0 (r, 0)dr,
nr 0
n 1, 2, i 1, 2,..., ^0•
Здесь ^а0(0)), ^тг0(0)) — осредненные нормальные и сдвигающие напряжения i-й структуры на выбранных направлениях ±0. При ^а0 (0)) < а*, ^тr0 (0)) <т* трещина не продвигается (ветвление отсутствует). Когда осредненные напряжения ^а0 (0)), ^тг0 (0)) совпадают с напряжениями критических состояний а*, т*, выполняется критерий (4): на выбранных направлениях ± 0* происходит а) продвижение прямолинейной трещины на интервал осреднения, если 0* = 0 (ветвление отсутствует), б) ветвление внутренней трещины длиной 2li, если 0* Ф 0, и вершина трещины из точки O квазистатически перемещается в точки O1 и симметричную ей (рис. 2). Когда произошло продвижение трещины при 0* = 0, критерий (4) применяется повторно к прямолинейной трещине длиной 2(li + nrt) для оценки возможности ветвления новой трещины. Когда имеет место ветвление при 0* Ф 0, надо уточнить поле напряжений для трещины со сложным изломом, см., например, справочник [15] и работу [16], а также библиографию к ним. Затем повторяется процедура оценки возможности ветвления трещины с изломами. Однако при 0* Ф 0 для трещины со сложным изломом поле напряжений существенно усложняется, так как появляется кроме первой моды и вторая мода деформирования.
Оценим тип напряженного состояния в окрестности вершины трещины в зависимости от угла 0 (-п < 0 <
< п) на физической плоскости (рис. 2). На рис. 4 изображено распределение напряжений а0, тr0 в соответствии с упрощенными формулами (2), когда члены порядка O(r0) опущены. Все величины отнесены к KJyj2nR0 , где R0 = const, т.е. для кривой 1 имеем а0
Д[Ш0, а для кривой 2 имеем тr0 /[ Kj/^2tcR0 ]. Для некоторого угла 0 на физической плоскости выполняется соотношение
тr0 (г, 0)1 а0 (r, 0) =
= (т r0 (0))/(а0 (0)) = tg(0/ 2). (5)
Итак, на продолжении трещины 0 = 0 реализуется чистое растяжение а0 Ф 0, тr0 = 0; в малой окрестности берегов трещины при 0 ^ ±п в окрестности ее вершины реализуется преимущественно сдвиговой характер поля напряжений; при произвольных углах -п < 0 < п имеет место обобщенное напряженное состояние а0 Ф 0, тr0 Ф 0.
Переходим к рассмотрению воображаемой плоскости а-т. Пусть задан некоторый зернистый «однородный» материал, поле напряжений которого после осреднения хорошо описывается уравнениями изотропной
Рис. 4.
теории упругости, см. (2), (3). Когда одна из осей симметрии структуры г совпадает с разрезом, предельная кривая прочности типа Кулона-Мора на плоскости а-т описывается функцией р *(ф) = р* (-ф) = ^ (ф) = ^ (-ф) (см. рис. 3 и [14]), что можно связать с принципом локальной симметрии [17, 18]. Тогда теоретические прочности структуры г на разрыв и сдвиг соответственно равны ат ^ (0), тт = fi (п /2), а напряжения критических состояний определяются следующим образом:
а* = ^ (ф)сс® ф, т* = ^ (ф^т ф,
т*/ а* = tgф, i = 1,2,..., г'о. (6)
Сравнивая соотношения (5) и (6), получим ф = 0/ 2: при ф = 0/ 2 = 0 имеем растяжение, при ф = 0/ 2 = п/ 2 имеем сдвиг. Таким образом, очень легко перейти от типа нагружения в окрестности вершины трещины к типу нагружения на плоскости а- т для конкретной структуры г.
Проводятся необходимые преобразования в соотношениях (4)-(6), когда в равенствах (2) члены порядка 0(г0) опущены. Заметим, что использование первых или вторых соотношений из (4), (6) при пропорциональном нагружении приводит к одинаковым результатам [8-10]. Уравнения, описывающее ветвление внутренних трещин 2^ для структуры г, имеют вид
21, (0) = п/12(0/ 2)
V ам ^4(0/2)’
0<0<п,
2li(ф) = nfj (ф) 0
r ам cos4 (ф), 2’
(7)
i 1, 2,..., *0.
Таким образом, получены явные выражения ¡( = = ¡( (0) или ¡( = ¡( (ф) для критических длин трещин в зависимости от углов 0 на физической плоскости или ф на воображаемой плоскости а-т. Поясним функциональные зависимости (7) для достаточно гладких функций ^(ф) (разрывы первого рода отсутствуют). Напом-
ним, что при ф = 0 имеет место чистое растяжение и fi(0) = Gmi > 0, а при ф = п/2 имеет место чистый сдвиг и f (П2) = тmi > 0 (рис. 2). Очевидно, что lt (0) > 0 и lt(ф) — ^ при ф — п/2, причем /•(ф) > 0 при ф —— П 2.
Определим критические углы ветвления ± 0* или ф* из следующего соотношения
k (0*) = min k (0i),
и (ф*.) = min и (ф,.), j > 1. (8)
Соотношение (8) допускает кратное ветвление трещин, например, при j = 2 или j = 3.
Воспользуемся результатами, приведенными в обзоре [13]. Относительные оценки теоретических прочностей монокристаллов на растяжение gmi и сдвиг тт,0 в предельных случаях таковы [13]: 1) для кристаллов, склонных к раскалыванию, имеем gmi > тmi , но Gmi ~ тmi; 2) для кристаллов, слабо сопротивляющихся испусканию дислокаций, имеем gm,0 >> т mi.. Для материалов, склонных к хрупкому разрушению [17], имеем те же оценки gmi > тmi, но Gmi ~ тmi. Оценим число экстремумов функции 1,0(ф) на интервале (-п/2, тс/2). Для первого случая li0 (ф) ~ const, имеем минимум в точке ф* = 0, т.е. трещина распространяется прямолинейно при хрупком типе разрушения. Для второго случая Gmi0 >>тmi0 может появиться такой угол ±ф3, при котором /-0 (±ф3) = 0 и возможна реализация трех соотношений: 1) li0 (0) < /i0 (±ф*) (трещина распространяется прямолинейно при хрупком типе разрушения);
2) li0 (0) = li0 (±ф3) (трехкратное ветвление трещины);
3) /t (0) > /t (±ф*) (двукратное ветвление трещины при квазихрупком или квазивязком типе разрушения).
Полученные функциональные зависимости (7) критических длин трещин 2/j jr. от угла ветвления 0 или вида напряженного состояния ф представлены на рис. 5. На рис. 5 приведены три типичные кривые, характеризующие ветвление трещин в различных типах структур j = 1, 2, 3 материала при заданном уровне нагружения GTO: кривая 1 описывает поведение первого типа структуры, для которой 0*1 = 0; кривая 2 — поведение второго типа структуры, для которой 021 = 0, ± 022 Ф 0; кривая 3 — поведение третьего типа структуры, для которой ± 0з 1 Ф 0. Различия в поведении связаны с характеристиками прочности f1 (ф), f2 (ф), f3 (ф) первого, второго или третьего типа структур материала соответственно. При заданном уровне нагружения gto для первого, второго или третьего типа структур получаются критические длины трещин /1 (0^ ) (ветвление трещины отсутствует), /2 (021) = /2 (+022) = /2 (-022) (имеет место трехкратное ветвление), /3(+031) = /3 ( 031 ) (имеет место двукратное ветвление) соответственно. Выполняется принцип локальной симметрии [18]. Если первый тип
-71/2 -0^ -022 о 022 031 71/2 Ф
Рис. 5.
структуры материала относится к хрупким [17], так как 0^ 1 = 0, то третья структура материала (±0^ Ф 0 и 03ц < п/2) ведет себя квазихрупко при 0^ - 0, и квазивязко при 03ц - п/2* Классифицировать второй материал затруднительно, когда 0^ 1 = 0 и 022 -п/2. Очевидны переходы от критических длин внутренних трещин /* для типичных структур на рис. 5 к критическим коэффициентам интенсивности напряжений К* у = 1, 2, 3, а также от критических длин внутренних трещин /* для всех рассматриваемых структур к критическим коэффициентам интенсивности напряжений К*
К * = см д/П*', г = 1,2,¿0. (8')
Заметим, что возможно проявление и более сложного поведения материалов, например, множественное растрескивание. Экспериментальные результаты работы [19] не противоречат принципу локальной симметрии [18] и приведенным рассуждениям; например, в работе [19] на рис. 7 приведена микрофотография вершины ветвящейся трещины при множественном растрескивании керамики.
3.2. Деформационный критерий для микроструктур
Переходим к деформационному критерию для вязких и квазивязких материалов, содержащих внутреннюю трещину. Будем рассматривать для деформационного критерия только монокристаллы, т.е. Г0 = ге. Пусть монокристалл симметричен относительно трещины и не имеет каких-либо дефектов. При нагружении из вершины трещины симметрично могут испускаться две дислокации [2]. Примем во внимание реальную геометрию атомной решетки [20] в окрестности вершины трещины для плоского случая. Воспользуемся простейшей моделью дислокации Френкеля-Конторовой [11]. Эта модель характеризуется двумя геометрическими параметрами: критическим смещением Нт и расстоянием между двумя слоями атомов г * (это расстояние может не совпадать с постоянной атомной решетки Не ). Пусть
Рис. 6.
±в — угол между нормалью к плоскости трещины и плоскостями, по которым испускаются дислокации (-п/2 < в < П2). При в = 0 угол «ветвления» трещины
0 * * при испускании двух дислокаций равен ±п/2, т.е.
0 * * = ±п/ 2 (рис. 2). Реальная трещина, которая моделируется двусторонним разрезом, образована следующим образом: на линии трещины убраны все атомы; считается, что атомы, расположенные на берегах трещины, не взаимодействуют между собой. В соотношении
(3) за точку отсчета выбирается вершина трещины, а смещение берегов трещины оценивается на расстоянии х = -r * cos в от ее вершины [11] (члены порядка O(x) в соотношении (3) опущены). Для микроструктур предлагается использовать деформационный критерий, описывающий симметричное испускание двух дислокаций из вершины внутренней трещины,
о / * о а\ П +1 ^ r* cos R 2hm
2v(-r * cos R, 0) = K J < -m,
G V 2n cos R
KI =амл/П7, (9)
где hm — критическое смещение в атомной решетке при конкретной упаковке атомов такое, что при деформировании системы с учетом геометрической и физической нелинейности превышена теоретическая прочность на сдвиг тт (см. [11, 13]). Для критического смещения в плотноупакованном слое атомов в [8-10] были получены оценки критических смещений hm от 0.3re до 0.4re; конкретные значения hm зависят от потенциалов межатомного взаимодействия. Закритическое состояние систем после испускания двух дислокаций приведено на рис. 6 для докритического расположения атомов в узлах квадратной решетки (рис. 6, а) и узлах плотноупакованного слоя атомов (рис. 6, б).
При v(-r * cos R, 0) < hm/cos в испускание дислокаций не происходит. Пусть выполнены ограничения (G0 (0)) < а * , (тr0 (0)) < т* для критерия (4), тогда при выполнении деформационного критерия (9), когда v(-r * cos в, 0) = hmlcos в, имеет место весьма эффективное затупление трещины из-за испускания двух дис-
локаций (двукратное собственное значение). Для тупой трещины выполняется гипотеза С.А. Христиановича о конечности напряжений в вершине трещины. Материалы, в которых трещина затупляется при испускании дислокаций, относятся либо к вязким при в = 0 (0 ** = = ±п/2), либо к квазивязким при в - 0 (0 * * - ± п/2). Из деформационного критерия (9) для критических коэффициентов интенсивности напряжений К** и критических длин трещин /** монокристаллов имеют место простые соотношения 2Нт
KI** = m
2п
cos в П +1 у r * cos в
**
K, а„
I
(10)
Трудно классифицировать материал при множественном растрескивании, когда одновременно выполняются силовой (4) и деформационный (9) критерии, т.е.
(а0 (0)) = а*, (тr0 (0)) = т *,
v(-r * cos в, 0) = hmlcos в.
Выразим сомнение, что подобный материал существует среди реальных материалов в виде идеальных монокристаллов. Затупление трещин на атомном уровне подробно описано в [21, 22]. Однако в [21] отсутствуют простые выражения для критических параметров Kj {,
Ф ФФ ФФ
, Kj , l , см. (6 ) и (8). После испускания дислокаций материал повреждается. Теперь в материале с повреждениями целесообразно рассматривать тупую трещину [21, 22], точнее узкий вырез с радиусом закругления в вершине. Эти радиусы закругления приближенно равны R ~ 1.5re и R ~ 1.5>/0.75re для микросистем с квадратной и плотноупакованной решетками соответственно.
Предлагаемый деформационный критерий (9) и его следствия (10) позволяют описать потерю устойчивости атомной решетки в окрестности вершины трещины при испускании дислокаций. Введенный деформационный
параметр (критическое смещение в атомной решетке hm) по физическому смыслу аналогичен энергетическому параметру, характеризующему потерю устойчивости атомной решетки [23]. Предлагаемый критерий вероятно проще, чем критерий из [23], частично это связано с тем, что в критерии (9) используется более простая модель дислокации Френкеля-Конторовой [11], а не модель Пайерлса [23].
4. Ветвление трещин в однородных материалах
Изучим отдельно ветвление трещин на микроуровне и для разных структурных уровней. Проведем сопоставление критических длин трещин для микроструктур и для разных структур.
4.1. Ветвление трещин для микроструктур
На микроуровне целесообразно сравнить критичес-
/* //~\*\ »**//4**4
¿0(ü¿) и l (9 ), а также критичес-
кие коэффициенты интенсивности напряжений Kj*o и K** по силовому (4) и деформационному (9) критериям
соответственно, см. (8') и (10). Сравнивая эти крити,* ,** Тг * уу**
ческие параметры , l , K, K* , установим, ка-
кой из этих критериев реализуется при ветвлении тре-
1 -г-l ХУ* ХУ** í* Í**
щин. 1. Если Kji < Kj , li0 < l , то происходит ветв-
ление трещин по силовому критерию (4) без испускания дислокаций, возможно хрупкое, квазихрупкое и квазивяз-
ХУ* ХУ** I* I**
кое поведение материала. 2. Если Kji > K* , li0 > l , то происходит ветвление трещин при испускании дислокаций по деформационному критерию (9), возможно квазивязкое и вязкое поведение материала. 3. Если Kj* =
ХУ** í* Í**
= K* , li0 = l , то имеет место ветвление трещины как по силовому критерию (4), так и испускание дислокаций по деформационному критерию (9).
4.2. Ветвление трещин для разных структурных уровней
Выше были построены критические длины трещин ветвления l* (9*) и критические коэффициенты интенсивности напряжений Kj* (i = 1,2,..., i0 -1) для разных структурных уровней, см. (8) и (8'). Очевидно, что для разных структурных уровней могут реализоваться разные критические углы ветвления 9i , так как критические углы ветвления 9 i определяются видом предельной кривой прочности fi (ф). Более того, на разных структурных уровнях из-за различия в этих кривых прочности fi (ф) структурированный материал может проявлять разные свойства. Например, на одном структурном уровне материал может вести себя как квазихрупкий, а на другом как квазивязкий или вязкий. Поэтому классифицируем поведение материалов по двум параметрам: критическим длинам трещин l* (9*) (i = 1, 2,..., i0 -1) и углам ветвления 9*.
Начнем со сравнения углов ветвления 9 *. Могут представиться следующие случаи для разных структур.
1. Если предельные кривые прочности почти тождественны, т.е. f (Ф)/ fj (ф) = const, то критические углы ветвления почти совпадают, т.е. 0 * =0* (i, j = 1,2,...,
i0 -1, i Ф j) и материал на разных структурных уровнях ведет себя однотипно (например, хрупко, квазихрупко, квазивязко или вязко). 2. Если предельные кривые прочности существенно различаются, т.е. f(ф^fj(ф) Ф Ф const, то критические углы ветвления не совпадают, т.е. 0* Ф 0* (i, j = 1, 2,..., i0 -1, i Ф j) и поведение материала на разных структурных уровнях существенно различается. Смешанный тип поведения на разных структурных уровнях является наиболее типичным для материалов с иерархией структур.
Остановимся более подробно на первом случае, когда 0* = 0* (i, j = 1, 2,..., i0 -1, i Ф j). Сопоставим критические длины трещин l*(0*) (i = 1, 2,..., i0 -1). Напомним, что при совпадении длины трещины с критической длиной происходит потеря устойчивости системы. Могут представиться случаи для разных структур.
1. Если критические длины трещин l*(0*) (i = 1, 2,...,
i0 -1) почти тождественны, т.е. l*(0*) = l*(0*) (i, j = 1, 2,..., i0 -1, i Ф j), то материал склонен к катастрофическому разрушению (кратное собственное значение для разных структурных уровней). 2. Если критические длины трещин l*(0*) (i = 1,2,..., i0 -1) существенно различаются, т.е. l*(0*) Ф l*(0*) (i, j = 1, 2,..., /0 -1,
i Ф j), то материал не склонен к катастрофическому разрушению (простое собственное значение для наименьшей критической длины li * (0i * ) i - й структуры).
Замечание. Использование материалов, склонных к катастрофическому разрушению, иногда оказывается полезным. Например, автомобильная промышленность освоила производство стекол, исключающих появление крупных осколков при автомобильных авариях.
Рассмотрим структурированный материал, который не склонен к катастрофическому разрушению. 1. Если i* > 1, то в вершине макротрещины i = 1 образуются
.* W
микротрещины I -й структуры; эти микротрещины суть микроповреждения для структурных уровней i < i* -1.
2. Если i * = 1, то вершина макротрещины квазистатически перемещается из точки O в точку Ох и симметричную ей (см. рис. 2).
5. Ветвление трещин в составных материалах типа поликристаллов
За модель поликристалла, взаимодействующего с трещиной, выберем простейший объект, состоящий из двух монокристаллов. Рассматриваются два случая, когда 1) монокристаллы имеют идеальное соединение по плоской границе раздела, 2) монокристаллы разделены плоской тонкой прослойкой (малоугловой границей). Изучим рост и ветвление острых трещин на микроуровне, когда вершина плоской трещины упирается в плос-
Рис. 7.
кую границу раздела двух монокристаллов. Пусть постоянные атомных решеток этих монокристаллов совпадают и равны ге. Два идеальных идентичных монокристалла, имеющих разные оси симметрии, изображены на рис. 7. На рисунке использованы обозначения: 1 и
2 — монокристаллы, 3 — их граница раздела. Эта граница раздела наклонена к плоскости трещины на угол у, сплошной кривой обозначена трещина, проходящая по первому монокристаллу. Точки О и 01 — исходное положение вершины трещины и новое предполагаемое положение вершины трещины, в частном случае эта точка О1 может располагаться на границе раздела в первом или третьем квадрантах.
Для второго случая граница раздела двух монокристаллов рассматривается как некоторое тонкое твердое тело регулярного строения с заданными свойствами. Характерный линейный размер «материала» регулярной границы раздела для малоугловых границ имеет оценку г3 = О (10 ге ). Если для монокристаллов в соотношении
(4) используется постоянная кристаллической решетки ге, то для тонкой прослойки в критерии (4) используется характерный линейный размер г3 = О(10ге) малоугловой границы. Для «материала» границ можно получить грубые оценки относительной прочности. Очевидно, что для одномерного случая для малоугловых границ имеем одну или две реальные «работающие» межатомные связи на 10 межатомных расстояний, относительное уменьшение прочности такого «материала» составляет 0.1 или 0.2. Для двумерного случая для малоугловых границ имеем относительное уменьшение прочности от 1/50 до 1/25.
Допустим, что известна исчерпывающая информация о прочностных характеристиках типа Кулона-Мора как монокристаллов (кривые теоретической прочности р1 (ф) и р2 (ф)), так и «материала» границы (кривая теоретической прочности р3(ф)). Для упрощения принято, что все три кривые подобны эллипсам, когда углы раз-ориентировки плоскости трещины и оси симметрии монокристаллов отсутствуют. На рис. 8 приведены три ка-
Рис. 8.
чественные кривые, описывающие прочность двух монокристаллов и «материала» малоугловой границы с учетом разориентировки плоскости трещины с осями симметрии прочностных свойств рассматриваемых объектов: кривая 1 соответствует первому монокристаллу, а1 — угол разориентировки плоскости трещины и одной из осей симметрии первого монокристалла, кривая 2 соответствует второму монокристаллу, а2 — угол разориентировки второго монокристалла, кривая
3 соответствует малоугловой границе, причем угол разориентировки этой границы совпадает с углом у. Подчеркнем, что прочностные характеристики «материала» границы на полтора порядка меньше, чем прочностные характеристики идеального монокристалла, поэтому для кривых 1 и 2 и кривой 3 использованы разные масштабы по осям. Пояснения к обозначениям точек 4-9 даны ниже. Кроме того, «материал» малоугловой границы оказывает слабое сопротивление сдвигу вдоль нее, т.е. ат3 >> тт3. Для первого случая какие-либо ограничения на величины углов а1 и а 2 отсутствуют, а для второго случая разность этих углов а1 - а2 должна быть малой величиной, такой, что на границе раздела может существовать малоугловая граница. Когда углы разориентировки отсутствуют а1 = а 2 = 0, имеем р1(ф) = = р1(-ф) = р 2(ф) = р 2(-ф), т.е. выполняется принцип локальной симметрии [18].
Кривая теоретической прочности р(ф) составных монокристаллов имеет для первого случая разрывы первого рода при ф = у/2 и ф = (-п + у)/2, а для второго случая кроме разрывов первого рода появляются изолированные точки при ф = у/2 и ф = (-п + у)/2. В самом деле, принимая во внимание соотношение между углами физической плоскости и воображаемой плоскости а-т, в общем случае имеем (если справедливы соотношения (2), (3)):
- для первого квадранта плоскости а-т, см. точки 4-6 на рис. 8
р(ф) = р1 (ф), ф>у/2, р(ф) = р2(ф), ф<у/2,
р(ф) = Рз(ф), ф = у/2, (11)
lim р1(ф) ф lim р2(ф),
ф^у/2+0 ф^у/2-0
lim Pi(ф) >>рз(у/2),
ф^у/2+0
lim р 2 (ф) >>р з(у/2),
ф^у/2-о
- для четвертого квадранта плоскости а-т, см. точки 7-9 на рис. 8,
Р(ф) = Pi (ф), ф< (-п + у)/2,
Р(ф) = Р2 (ф), ф> (-п + у)/2,
Р(ф) = Рз(ф), ф = (-п + у)/2, (12)
lim Р1(ф) ф lim Р 2(ф),
ф^(-п+у)/2-0 ф^ (-П+у)/2+0
lim Р1(ф) >>Р з(у/2),
ф^ ( -П + у )/2 - 0
lim Р2 (ф) >>Рз(у/ 2).
ф^ ( -П + у )/2 + 0
Допустим, что после осреднения монокристаллы хорошо описываются уравнениями изотропной теории упругости, а толщина прослойки настолько мала, что этой толщиной можно пренебречь при описании деформирования объекта во втором случае. Итак, с точки зрения механики деформируемого твердого тела первый и второй случаи описываются одинаково. Воспользуемся соотношениями типа (2), (3). Однако в этих соотношениях в общем случае, когда рассматриваются разнородные монокристаллы, появляются еще два параметра, характеризующие жесткостные параметры, а именно [24, 25]:
ß = 1 Gj(1 -ц2) - G2(1 -Hj) Pi 2 Gj(1 -ц2) + G2(1 -щ)’
ß = 1 Gj(1 - 2ц 2) - G2(1 - 2ц) (13)
P2 2 Gj(1 -ц2) + G2(1 -Ц1) ’
где G1, G2 — модули сдвига материалов первого и второго монокристалла; ц1, ц2 — коэффициенты Пуассона материалов первого и второго монокристалла. Но так как G1 = G2 и ц1 = ц2 в (13), то ß1 = ß2 = 0. Поэтому ниже используются соотношения (2), (3) с учетом подобластей и изолированных точек для характеристик прочности монокристаллов и малоугловой границы, см. (11) и (12).
После очевидных выкладок для внутренних трещин нормального отрыва получаются соотношения, описывающие ветвление трещин, см. (7). Разрывные кривые длин трещины как функция угла 0 приведены на рис. 9. Кривые, описывающие ветвление внутренних трещин длиной 21, в некотором смысле подобны кривым теоретической прочности Р(ф) составных монокристаллов и имеют: для первого случая разрывы первого рода при ф = у/2 и ф = (-п + у)/2, а для второго случая кроме разрывов первого рода появляются изолированные точки при ф = у/2 и ф = (-п + у)/2. На рис. 9 расположе-
2//ге
■п/2 -71/2 + ц//2 О \|//2 71/2 Ф
Рис. 9.
ние точек 4-9 согласовано с кривой прочности составного материала на рис. 8. Для определения критических углов ветвления 0* или ф* найдем минимумы функции
l с учетом разрывов первого рода и наличием изолированных точек
l(0*) = minl(0), l(ф*) = minl(ф). (14)
Если тонкое твердое тело (малоугловая граница) во втором случае имеет пониженные характеристики прочности по сравнению с идеальными монокристаллами, то предпочтительное распространение трещины совпадает с границей раздела монокристаллов 0* = у (первый квадрант на физической плоскости), причем не исключена возможность появления и другого угла ветвления 0** = п + у, когда ат3 >> тт3 (третий квадрант на физической плоскости).
Замечание. Испускание дислокаций в данном разделе не рассматривается, так как отсутствует решение задачи о дислокациях в составных монокристаллах.
6. Нарушение локального принципа симметрии
Выдвинутый локальный принцип симметрии [18], который широко использовался выше, может быть нарушен. Перейдем от изучения идеальных микроструктур к более или менее реальным структурам. Ограничимся только качественными рассуждениями для микроуровня. Допустим, что [20]: 1) монокристалл, кроме трещины, имеет дефекты типа вакансий, дислокаций или примесных атомов, которые расположены произвольно относительно вершины трещины, но их концентрация в среднем по кристаллу мала; 2) оси симметрии трещины и идеального монокристалла не совпадают. Пусть наличие дефектов слабо влияет на изменение осредненных жесткостных параметров материалов, пренебрежем этими изменениями. Из-за наличия дефектов в окрестности вершины трещины меняется предельная кривая Р(ф) = f (ф) прочности материала типа Кулона-Мора на плоскости а-т, причем в общем случае Р(ф) ф Р(-ф). Кроме того, эта функция Р(ф) может иметь разрывы
первого рода, см. предыдущий раздел. При указанных несимметричных дефектах и рассогласовании осей монокристалла и плоскости трещины локальный принцип симметрии [18] нарушается.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01-00873) и гранта Президента РФ № НШ-
319.2003.1.
Литература
1. Kelly A., Tyson W.R., Cottrell A.H. Ductile and brittle crystals // The Philos. Mag. - 1967. - V. 15. - P. 567-586.
2. Rice J., Thomson R. Ductile versus brittle behaviour of crystals // The Philos. Mag. - 1974. - V. 29. - P. 73-97.
3. Thomson R. Physics of fracture // Atomistics of fracture / Ed. by R. Latanision and J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. -P. 167-204.
4. Нейбер Г. Концетрация напряжений. - М., Л.: Гостехтеоретиздат,
1947. - 204 с.
5. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // Прикл. математика и механика. - 1969. - Т. 33. -Вып. 2. - С. 212-222.
6. Knott J.F. Mechanics of fracture // Atomistics of fracture / Ed. by R. Latanision and J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. -P. 209-235.
7. Маклинток Ф.А., Ирвин Дж.Р. Вопросы пластичности в механике
разрушения // Прикладные вопросы вязкости разрушения. - М.: Мир, 1968. - С. 143-186.
8. Kornev V.M., Kurguzov V.D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. - 1999. - V. 22. - No. 11. - P. 989-995.
9. Корнев В.М., Кургузов ВД. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. - 2000. - № 6. - С. 99-106.
10. Корнев В.М., Кургузов ВД. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния при наличии примесных атомов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. -Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2001. - Вып. 119. -С. 62-67.
11. Корнев В.М., Кургузов ВД. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. - 2000. - Т. 41. - № 5. - С. 211-216.
12. Корнев В.М. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. -2000. - Т. 41. - № 2. - С. 177-187.
13. Macmillan N.H. The ideal strength of solids // Atomistics of fracture / Ed. by R. Latanision and J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. - P. 95-164.
14. Paul B. Macroscopic criteria for plastic flow and brittle fracture // Fracture. An Avanced Treatise. Vol. II. Mathematical Fundamentals / Ed. by H. Liebowitz. - N. Y.-London: Academic Press, 1968. - P. 313496.
15. СаврукМ.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Механика разрушения и прочность материалов: В 4-х т. - Киев: Наук. думка, 1988. - Т. 2.
16. Аргатов И.И., Назаров С.А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском анизотропном теле // ПММ. - 2002. - Т. 66. -Вып. 3. - С. 502-514.
17. Эрдоган Ф., Си Дж. О развитии трещин в пластинах под действием продольной и поперечной нагрузок // Труды Амер. об-ва инж.-мех. Сер. Д. - Техническая механ. - 1963. - №2 4. - С. 49-59.
18. Goldstein R.V., Salganik R.L. Brittle fracture of solids with arbitrary crack // Int. J. Fract. - 1974. - V. 10. - P. 507-523.
19. Rauchs G., Munz D., Fett T. Calculation of crack tip phase transformation zones in TZP with the weight function method // Fracture Mechanics of Ceramics. Vol. 13. Crack-Microstructure Interaction, R-Curve Behavior, Environmental Effects in Fracture, and Standardization / Ed. by R.C. Bradt et al. - N. Y., Boston, Dordrecht, London, Moscow: Kluwer Academic / Plenum Pulishers, 2002. - P. 1-8.
20. Schmitt-Thomas K.G. Metallkunde fur das Maschinenwesen. Berlin, Heidelberg, N. Y, Springer-Verlag. 1989.
21. Gumbsch P. An atomistic study of brittle fracture: Toward explicit failure criteria from atomistic modeling // J. Mater. Res. Nov. - 1995. -V. 10. - No. 11. - P. 2897-2907.
22. Корнев В.М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещиноватых тел с дефектами при наличии вакансий в носике трещины. Прочность компактированных тел типа керамик // ПМТФ. -1996. - Т. 37. - № 5. - С. 168-177.
23. Rice J.R. Dislocation nucleation from a crack tip: an analysis based on the Peierls concept // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - V. 40. -No. 2. - P. 239-271.
24. Dundurs J. Edge-bonded dissimilar orthogonal elastic wedges under nomal and shear loading // ASME J. of Appl. Mech. - 1969. - V. 36. -No. 3.- P. 650-652.
25. Hutchinson J.W., Mear M.E., Rice J.R. Crack paralleling an interface between disimilar materials // ASME J. of Appl. Mech. - 1987. -Vol. 54. - No. 4. - P. 828-832.
Branching and kink of opening crack paths in polycrystal
V.M. Kornev
M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
Growth and branching of sharp cracks in perfect single crystals are studied. Force and deformation criteria of sharp crack branching are proposed. The criteria describe brittle, quasibrittle, quasiviscous and viscous behavior of materials in fracture. For internal cracks simple relationships describing crack branching are derived for the case when the curves of theoretical strength (the Coulomb-Mohr type) of a single crystal are known for the generalized stress state. The possibility of multiple branching is revealed, which is related to the multiplicity of eigenvalues at the system stability loss. It is found that for perfect single crystals the principle of local symmetry is satisfied in the vicinity of the crack tip, if the crystal symmetry axis coincides with the crack axis. The principle of local symmetry is violated, in case if there are asymmetric disturbances of the atom lattice or if the crystal symmetry axis does not coincide with the crack axis.
It is suggested that the approach proposed be generalized for solids with the hierarchy of regular structures typical of macro-, meso-and microscales. The curves of theoretical strength (the Coulomb-Mohr type) are assumed to be known for each structural level of the material for the generalized stress state.
Growth and branching of sharp cracks are studied for the case when the plane crack tip is terminated by a plane interface of single crystals. This interface (low-angle boundary, for example) is considered as a thin solid of the regular structure with given properties. If a thin solid has low characteristics of strength as compared to perfect single crystals, the preferential direction of crack propagation coincides with the interface of single crystals.
