ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД Текст научной статьи по специальности «Физика»

11. С.Н.Маслоброд, Е.С.Маслоброд, О.М.Сидорова. Изменение состояния семян под влиянием воздействия физико-химического стресса на их фотографические изображения. // Материалы VIII Межд.Крымской конф. «Космос и биосфера», Киев, 2009, С.151-153.

12. Андрияшева М. А. Изменение свойств воды через числовые коды. // ЖФНН, 2015, том 3, номер 10, С. 7-14,

13. С. Н. Маслоброд, Е. С. Маслоброд Поле фотографий, детектируемое биологическим датчиком (семенами растений). Часть 1. Фотопортреты известных личностей. // ЖФНН, 2019, номер 23-24(7), С. 15-31.

УДК 539.3;534.1

14. Vasiliev S. A. Basic Physical Properties of the Physical Non-material World Objects. // Applied Physics Research, 2012, vol. 4 (2), p. 175 - 189. http://dx.doi.org/10.5539/apr.v4n2p175, ISSN 19169639 (print), ISSN 1916-9647 (on line). URL: http://nonmaterial.narod.ru/Nonmatrus.pdf h http://nonmaterial.narod.ru/Nonmateng.pdf .

15. Victor Shkatov, Vitaliy Zamsha Torsion Field and Interstellar Communication. // 2018. URL: https://rxiv.org/abs/1804.0319.

16. Vlatko VedraL Decoding Reality: The Universe as Quantum Information. Oxford University Press, 2010, 256 p..

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ

ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД_

Поленов Виктор Сидорович

доктор физ. -мат. наук, профессор.

ВУНЦВВС ВВА им. проф.

Н.Е. Жуковского и Ю.А.Гагарина», г. Воронеж

АННОТАЦИЯ

Рассматривается одномерная модель неоднородной двухкомпонентной среды, ода компонента которой является упругой средой, а вторая- сжимаемая жидкость. Для динамического деформирования такой среды применяется вероятностный метод. Показано влияние неоднородности среды на коэффициент затухания и скорость распространения поперечных волн.

При заданной величине дисперсии получены аналитические выражения для определения скорости распространения и коэффициента затухания поперечной волны в неоднородной двухкомпонентной среде.

ANNOTATION

A one-dimensional model of a two-component inhomogeneous medium is considered, one component of which is an elastic medium, and the other is a compressible fluid. For dynamic deformation of such a medium, a probabilistic method is used. The influence of medium inhomogeneouity on the damping coefficient and the speed of propagation of transverse waves is shown.

For a given value of dispersion, analytical expressions are obtained to determine the propagation velocity and attenuation coefficient of a transverse wave in an inhomogeneous two-component medium.

Ключевые слова: неоднородность, среда, волна, упругость, жидкость, вероятность, скорость, коэффициент затухания.

Key words: inhomogeneous medium, wave, elasticity, liquid, probability, speed, damping coefficient.

В монографии [1] рассматриваются задачи о распространении продольных и поперечных волн в однокомпонентных стохастически неоднородных средах. Предполагалось, что среда является неограниченной, изотропной и стохастически неоднородной.

В работах [2-6] рассматривались задачи динамического деформирования однородных и неоднородных пористых детерминированных сред.

Ниже решается задача о применении вероятностного метода к исследованию распространения поперечных волн в неоднородной двухкомпонентной среде, когда одна из компонент-сжимаемая жидкость.

Динамическое поведение неоднородных двухкомпонентных сред, в векторной форме описывается системой уравнений [3]

л о о л — ^Ч. Лт — (2\ д ( — W . — (2)\ A(Ä + 2ß)ul ) + A(QuL )=—(putt; +Pl2^¡ J

A/Y!^(l) ^ D^(2\ 92 ( — —>(2) N

A(QuL +RUl ) = —(Pl2Ut +P22UL J

д^ дь2

( — (1) — (2Л л ( — \PiiUt )=ь(ци1. ),

д2 дС2

( — (1), —>(2) \ \Pl2Ut +Р22и1 ) =

(2)

где А -оператор Лапласа;

—(1)

и —вектор

(2)

перемещения твердой компоненты; и —вектор перемещения жидкости; Х,= Х(х{) ^ = — модули упругости Ламе; Q = (¿(х^)^ = — коэффициенты, зависящие от пористости твердой компоненты (пористого скелета), истинного модуля сжимаемости твердой компоненты и модуля сжимаемости жидкости; р11= р11(х{) и Р22 = Р22.(хд — массы твердой компоненты и жидкости в единице объема среды; р12 = р12(х[) — коэффициент динамической связи твердой компоненты и жидкости. Все параметры пористой

среды являются функциями пространственных координат. Индексы, стоящие вверху в круглых скобках, относятся: 1- к твердой компоненте, 2 - к жидкости.

Системы (1) и (2), соответственно, описывают распространение продольных и поперечных упругих волн в неоднородной двухкомпонентной среде.

Рассмотрим систему (2) для одномерного случая, описывающую распространение поперечных волн в неоднородных двухкомпонентных средах, и запишем ее (индекс £ опущен) в следующем виде

д2и(1)

Рц-

дг2

■ + Р12-

д2и(2) д ( ди(1)

дг2

дх\^ дх

Р12'

д2и(1)

Их2

+ Р22-

д2и(2)

Ш2

(3)

= о

где ^ = ц.(х) — модуль сдвига, р12 = р12(х) — коэффициент динамической связи упругой компоненты и жидкости, р11(х) = р1(х) — р12(х), Р22(х) = Р2(х) — Р12(х) — эффективные массы упругой компоненты и жидкости;

Р1,Р2 —плотности компонент. Параметры, описывающие данную среду, являются случайными функциями координаты х..

Представим , (1,] = 1,2) в виде

суммы математического ожидания и флуктуации

(4)

и(1) = < и(1) > +и'(1),р.. = < р.. > +р'.., р = < +ц'

Символ < > обозначает математическое Систему (3) с учетом (4) и зависимости

ожидание соответствующих функций, штрих-их перемещений компонент от времени при помощи флуктуации. множителя ехр ( шЬ) запишем таким образом

ш2$1 + Ъ = 0 <;=0

(1 = [< Р11 >< и(1 > +< р12 >< и(2) > +< р11 > и'(1) + +р'±1 < и(1) > +р'11и'(1)+< р12 > и'(2) + р'12 < и(2) > +р'12и'(2)]

д< и(1) > др.' ди'(1) д2 < и(1) > (5)

^2 дх дх + дх дх +< ^ > дх2 +

д2и'(1) д2 < и(1) > д2и'(1) + < ^ > а 7--+ Р'---+ Р'

дх2 дх2 ^ дх2

£ =< р12 >< и(1) > +< р22 >< и(2) > +< р12 > и'(1) + р[2 < и(1) > + +Р'2и'(1)+< Р22 > и'(2) + Р'22 < и(2) > +Р'22и'(2

Усредним систему (5) и из (5) вычтем усредненное выражение, получим систему уравнений относительно средних перемещений

д2<и(1)> ,

-т-2-+ кЦ< Ун >< и(1) > +< у 12 >< и(2) >) = —¡1

дх (6)

< У12 >< и(1) > +< У22 >< и(2) >= —¡2

д ди'(1'

= м' — >' + k2(< yhu'(1) > +< y1iu'(2) >'

f2 =< у12и'> +< r12u'(2' >

и флуктуаций

^ + k2(< У11 > и'(1' + < у 12 > и'(2') = —f3

<У12 >U'(1'+<Y22 >U'(2 = f4 д д < u(1' >

f3 =fc(M'-YX-' + ^'u < U > +У12 < U >)

f4 = Y12 < U(1) > +Y22 < u(2) >

(7)

В формулах (6) и (7) введены следующие обозначения:

<у.>=<Щ, у. = Al (i,j = i,2) 'i} <р> i] <р>v J '

< p >=< Pu >+2< P12 > +< P22 > (8)

k2=4, c2=<tl_ M'=JL-

1 r2' <p>' <ß>

где с —скорость поперечной волны в Систему (7) для флуктуаций перемещения

неоднородной двухкомпонентной среде. среды преобразуем к виду

d2U'(1) дх2

+ к2и '(1' = —F (9)

(10>

где

д д < и(1' > F = —(М'---' + kf (a1 < и(1' > +a'2 < и(2' >'

дЖ, д л

a1 = Yh — Ь1у12, (¿2 = У12 — KY'22,

д,2 _ Д.2 <YH><Y22>-(<Yl2>'2 ^ _ <Yl2> 2 1 <Y22> , 1 <Y22>

Уравнение (9) представляет собой уравнение Гельмгольца, решение которого выражается через функцию Грина С

fœ д д

¿С' = I g[—(M'—< и(1' >' + k2(a1 < и(1' > +a'2 < u(2' >']dx

J-œ дх (JX

и

Функция Грина должна удовлетворять дифференциальному уравнению вида

G:XX + k%G = -4nS(x - xj (12)

где 5(х — х1) — функция Дирака. Тогда (10) с учетом (11) запишем таким

образом

Г« QQ д

и'(2) = -b1 I [— (М' — < и(1) >) + k?G(a{ < и(1) > + J-m дх дх

+a2 < и(2) >)]dx - (Ь1 < и(1) > +b'2 < и(2) >) (13)

Ы = Ь2 =

1 <У22> 2 <У22>

Подставим (11) и (13) в правые части относительно средних перемещений компонент

уравнения (6) и, учитывая уравнение (12), получим среды систему дифференциальных уравнений

_ д2 1 _

(1 — 4п< М'М' >)^< и(1) > +кЦ< у11 >--< у12у'12 >) < и(1) > —

дх2 1V Г11 <Г22>

д Г< _ д Г< _

G < М'М' >—< и(1) > dx1+kf I G < у11у' >< и(1) > dx1 +

рЖ рЮ

I G < y12yl2 > < и(1) > dx1 - k^b1 I G < y12y'2 >< u(2) > dx1 +

J— Ю '—Ж

(14)

+k4b2 I G < y'12y'2 > < u(1) > dx1 - klu1

<

2

+kf < y12 >< u(2) >= 0

<<

< y12 >< u(1) > -k1b1 I G < y12y'2 > < u(1) > dx1 + k^ I G < y12y'2 > < u(2) > dx1 + -< -<

r< __1 _

+k2b2 I G < y12y12 > dx1 + (< У22 > ---- < У22Г±2 >) < u(2) >= 0

J-m < У22 >

(15)

Черта сверху над буквой обозначает Решение интегро-дифференциальных

комплексно-сопряженную величину. уравнений (14) и (15) будем искать в виде

< и(а) >= Аа exp(iqx) (а = 1,2) (16)

Здесь Аа -амплитуды волн, q -волновое Подставим < и(а) >= Aaexp(iqx), , решение

комплексное число, i = -мнимая единица. функции Грина G(t) = — exp(ik2\t\) и заданные

к2

значения корреляционных функций: м^ — п _____( кП

(17)

< М'М' >= D1 exp < yhyh >= D2 exp

< Y12Y[2 >= D3 exp < У22УГ2 >= D4 exp

в систему (14). (15) и сделав замену х — х1=г, систему двух алгебраических уравнений после преобразований, получим однородную относительно амплитуд А1 и А2 поперечных волн

(П^3 + П^2 + П^ + П4)А1 + + 12)А2 = 0

(®1Ч + ®2)А1 + (Q3q + Q4)A2 = 0 ^ = iB1k2, П2 =^-ik2C1, П3 = iB3k'lk2

= в-^- ik^c1, а3 = iB3k2k (18)

П4 = ^^ - ik2(B3k2 + В4к2, Z1 = i<y12> к2к2

а

= <12>^—ik12i<Y12>k22—B3kl

&1=i<Y12> k2 &2 =<^—i(< у 12 > ki — Bskî Q3 = iB6k2 <¿4=^ — i(B6k2 + В7kl'

где введены обозначения

B1 = 4nD1 — 1, B2= 2nD1, B3 =< У" > - °3

<722 >

В4 = 2п(02 + Ы03), В5 = 2лЬ103, В6 =< у22 > (19)

<У22>

В7 = 2пфэ + ь2О4), С1 = В1+ В2

где Д (7 = 14) - дисперсии, а -радиус порядка, составленный из коэффициентов при ^ и

корреляции функции ['(х), г = х - х1. ^ [7], получим алгебраическое уравнение

Однородная система (18) имеет нетривиальное четвертой степени с комплексными

решение при условии, когда определитель системы коэффициентами относительно волнового

равен нулю. Раскрывая определитель второго к°мплексн°г° числа ц

ГоЯ4 + Г^3 + Г2Я2 + Г3д + Г4 = 0 (20)

где

Г0 = —В^Щ, Г = (B1B6k22 + B1B7klk2 + С1В6к22' +^В1В6к$ 1

Г2 =

^ВгВбк2^ — С1В6к4 — (С1В7 + ВзВ6—< уи >2 кЩ'

а

1- [в&к^ + (В1 + С1'в6к2],

Г3 = [2(ВзВ6—< уц >2)к1Щ + (В2В7 + В4В6 — 2 < у 12 > В5'к4к2] + 2i

(21)

+ -(ВзВб—<У12 >2'к2к2,

а

Г =

— (ВзВб — < У12 >2)klkl + (—ВзВб+< у 12 >2'kîk4

La

-(ВзВ7+< уц >В5+ В4Вб'к4к2 + (В5В5 — В4В7'к6] +

+ 1-[2(ВзВ6+< уц >2'к2к2 — (В2В7 + В4В6 — 2 < у 12 > В5'к4к2]

Из уравнения (20) находим волновое число q, поперечных волн в стохастически неоднородных а затем по формулам [8] определим коэффициент двухкомпонентных средах затухания у и скорость распространения с

Y=Vmql с=^ (22)

ш —круговая частота; Jmq —мнимая часть дисперсии: D1 = —, D2 =< yrr >< у12 >,

комплексного числа q; Re q —действительная часть „ ^ . ^

тт" D3 =< У" >< у22 >, D4 =< у22 >2. В этом случае

комплексного числа q. 2 /im™ 4 '22

„ „ „ соотношения (19) принимают вид Рассмотрим частный случаи неоднородной

двухкомпонентной среды с заданной величиной

L

2

Вг = 0, В2= В3 = 0, В4=4п< Г11 >< у 12 >, В5=2Л< у и >< у 12 > В6 = 0, В7 = 2п(< уц >< у 22 > +< У12 >2)

(23)

распространения поперечной волны в Тогда уравнение (20) для определения неоднородной двухкомпонентной среде свелось к коэффициента затухания и скорости квадратному уравнению вида

а2Х1Ч2 + (а2Х2 + 1аХз)Ч +(14 + а2Хв) + 1аХе = 0

(24)

где

/1 = [< У12 >2 - П(< У11 >< У22 > +< У12 >2 )]к2к% Х2 = -2[< У12 >2к2к2 + 2п< уц >< У22 > к4к2] Хз =-2 < У12 >2 к2к2,/4 = -< У12 >2 к2к2

/5 =< У12 >2 к2к4 -4п< у 11 >< У12 >2 к\к2 + 4п2[< у 11 >2< у^ >2--2 < уц >< У12 >2 (< уц >< У22 > +< 712 >2№

Хб = 2[< У12 >2к?к3 + 2п< уц >< У12 >2 к4к2]

Решая квадратное уравнение (24), находим волновое комплексное число д

1

Я =

2пх1

I— Ф I— Ф

(ах2 ±УГСОБ—) + Ь(хз ± УГБЫ—)

(25)

По формулам (22) определим коэффициент поперечной волны в стохастически неоднородной затухания у и скорость с распространения двухкомпонентной среде

1 Ф

У = ~-(Хз ± УГБт-)

с = ш

2ах1 1

Ф,

2ах1

(ах2 ±^гсо5-)

(26)

г = ^р2+р2, ф = агс1д|

Р1 = а2(х2 - 4x1X5) - (Хз + 4X1X4), Р2 = 2а(х2Хз - 2X1X6)

При заданных значениях математических ожиданий {у11), {у12), {у22) можно получить зависимости коэффициента затухания и скорости распространения поперечной волы от частоты при различных значениях радиуса корреляции.

Заключение. Таким образом, применение вероятностного метода к динамическим задачам неоднородной двухкомпонентной среды позволяет сделать следующие выводы:

1. На основе вероятностного метода и функции Грина решена задача о распространении поперечных волн в неоднородной двухкомпонентной среде и получено алгебраическое уравнение четвертой степени с

комплексными коэффициентами относительно волнового комплексного числа.

2. Рассмотрен частный случай неоднородной двухкомпонентной среды с заданной величиной дисперсии, при которой уравнение четвертой степени сводится к уравнению второй степени относительно волнового комплексного числа.

3.Получены аналитические выражения для коэффициента затухания и скорости распространения поперечных волн.

-1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Чигарев А.В. Стохастическая и регулярная динамика неоднородных сред // Минск.: Технопринт,-2000-425 с.

2. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-frequency range// J. Acoust. Soc. America.-1956. V. 28.-№ 2.-P.168 -178.

3. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. -1959.-Т. 23.-Вып. 6. -С. 1115 - 1123.

4. Поленов В.С.,Чигарев А.В. Распространение волн в насыщенной жидкостью неоднородной

пористой среде // ПММ. -2010.- Т. 74.-Вып. 2.-С. 276- 284.

5. Polenov V.S., Chigarev A.V. Mathematical modeling of shock waves in inhomogeneous viscoelastic two component media// Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018. 6. (5) .P. 997-1005.

6. Поленов В.С. Распространение упругих волн в насыщенной вязкой жидкостью пористой среде // ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 4. С.501-507.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра// М.: 1984. 204 с.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости// М.: Наука, 1965. 202 с.