CC BY
13УДК 539.3:624.131+539.215
Дисперсия и зависимости частотных характеристик скорости волн Био от параметров пористо-упругой среды с учетом диссипации
А. Р. Сницер
Крымский факультет Запорожского национального университета Симферополь 95005. E-mail: snitser_arnold@yahoo.com
Аннотация. В рамках теории М. Био исследуются дисперсия и зависимости частотных характеристик фазовых скоростей и коэффициента затухания поверхностной волны (ПВ) на проницаемой поверхности скважины в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде от ее фильтрационных свойств с учетом диссипации. На примере среды с заданными параметрами показано, что наличие межфазного взаимодействия уменьшает, а внутреннее трение в упругом скелете увеличивает относительную и абсолютную фазовые скорости ПВ. Оценено также влияние диссипативных характеристик среды на коэффициент затухания ПВ. Проведен анализ амплитудно-частотных характеристик фазовой скорости и коэффициента затухания ПВ при различных коэффициентах пористости и проницаемости среды.
Ключевые слова: модель Био, пористо-упругая насыщенная жидкостью среда, поверхностные волны на полости, дисперсионное уравнение, диссипация, межфазные взаимодействия, внутреннее трение, фазовая скорость, затухание, амплитудно-частотные характеристики.
1. Введение
Поверхностные волны (ПВ) на полой цилиндрической скважине в бесконечной упругой среде при ее гармонических колебаниях впервые исследованы в работе Био [9], а в случае упругого полупространства — в работе [14]. В этих работах для различных коэффициентов Пуассона приведены зависимости относительной фазовой скорости ( = V/c2 поверхностной волны от отношения ее длины к диаметру полости x = Л/D и от отношения окружной длины скважины к длине поперечной волны в упругой среде — Q = nD/\2. Такие зависимости следуют из решения дисперсионных уравнений Био полученных из условий отсутствия напряжений на поверхности. Все упомянутые здесь переменные вещественны в силу отсутствия поглощения в среде. Компоненты перемещений ПВ представляют локализованные вблизи поверхности волны, распространяющиеся в направлении оси полости без затухания, с амплитудой убывающей экспоненциально в нормальном направлении к ее поверхности (вглубь среды). Исследование дисперсионных зависимостей для ПВ Био на полой цилиндрической скважине в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде (ПУНЖС)1 приведено в статье автора [5]. В этой работе в качестве модели пористо-упругой среды принималась модель Био [10]. Расчеты проводились для среды Фэтта [4, 11] без учета диссипации. В указанной работе получены дисперсионные зависимости ((x) и ((Q) для различных коэффициентов пористости среды. При этом в безразмерных величинах ( и Q вместо скорости поперечных волн в упругой среде c2 = л/р/р (р — модуль сдвига, р — плотность) и длины волны \2 = c2T
1 Данная аббревиатура введена в монографии [7]
© А. Р. СНИЦЕР
(Т — период колебаний) принимались скорость поперечных волн в ПУНЖС без учета диссипации [5, 7]:
С2 = ц/(р11 - р\2/р22), Р11 = (1 - т)рз - Р12, Р22 = (mpf - Р12) (1.1)
и соответствующая длина волны Л2 = с2Т. В формулах (1.1): ц — модуль сдвига упругого скелета, ш — коэффициент пористости среды, р3 и р^ — плотности твердой и жидкой фаз, Р12 — коэффициент динамической связи в модели Био.
В вопросах вибровоздействий на породы через поверхность полой скважины, применяемых в нефте- и газодобывающей промышленности, а также в практике мониторинга среды, важно знание распределения энергии по типам волн, среди которых существенное значение имеют поверхностные волны. Этот факт является одним из стимулов анализа таких волн в реальных породах с учетом максимального количества параметров среды.
Целью настоящей статьи является изучение зависимостей скорости и коэффициента затухания ПВ на цилиндрической полости в ПУНЖС с учетом диссипации от различных параметров среды и частот воздействий, вызывающих волновые процессы. Мы не будем, избегая громоздкости, проводить подробные выкладки, а по возможности ссылаться на номера частных поясняющих формул из работы [5], наделяя их дополнительным знаком (*).
2. Диссипация в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде
Диссипация энергии при динамических явлениях в ПУНЖС имеет место вследствие взаимодействия твердой и жидкой фаз и внутреннего трения в упругом скелете.
Диссипативный член в уравнениях М.Био, учитывающий силы межфазного взаимодействия в среде имеет вид [10]:
6 = ( ) Г (ш), (2.1)
\ крг /
где ш, крг, во — коэффициенты пористости, проницаемости и динамической вязкости среды соответственно. Функция Г(ш), определяющая частотную зависимость диссипа-тивного члена, в трехмерном случае имеет вид:
Г(к(Ш)) = 4[1 -Тт{к)/гк], Т(к) = егп/411(квгп/4)/1о(квгп/4), (2.2)
где: 10(г), 11(г) — модифицированные функции Бесселя; к = а2^/ш, а2 = П\/крг/ш — структурный коэффициент, Vf — кинематическая вязкость, п — коэффициент, учитывающий геометрию пор. В дальнейшем будем предполагать поры сферическими, для которых эксперимент дает п = 3.2 [1, 8].
Согласно теории М.Био [10], частотная область определения функции Г(ш) находится из следующих физических соображений. Для частот ш < Ш1, когда течение жидкости в порах подчиняется закону Пуазейля, можно считать функцию Г(ш) равной единице (не зависящей от частоты). На частотах ш > ш2 при размерах пор, соизмеримых с длинами волн, течение жидкости в пористо-упругой среде не описывается теорией М.Био. Критические частоты находятся по формулам:
¡1 = пво/4d2рf, ¡2 = 02/(1, ш!,2 = 2п/1,2, (2.3)
где й = 2а\ — эффективный диаметр пор, с2 — скорость поперечных волн в двухфазной среде без учета диссипации определяется формулой (1.1).
Для учета диссипации за счет внутреннего трения в упругом скелете двухфазной среды введен комплексный модуль сдвига [3, 7, 15]: Л = ¡е%1, 7 — коэффициент внутреннего трения. При этом упругие параметры среды: Л, Q, А, Я, Н, в силу их кратности модулю сдвига [7], также станут комплексными и зависящими от коэффициента внутреннего трения (в этом случае в дальнейшем их будем обозначать: Л, <5,...).
3. Поверхностные волны при сосредоточенном воздействии на поверхность скважины
Если в задаче [5] о гармоническом воздействии на проницаемую поверхность скважины в ПУНЖС в граничном условии (4*): агг(а, г) = -р\(г) ехр(гш1) выбрать нагрузку в виде сосредоточенного по окружности г = а, в плоскости г = 0 воздействия:
Рг(г) = р5(г), (3.1)
то для составляющих вектора перемещений твердой фазы мы получим из (35*) - (36*):
n ( ur (r,z)\ [ ( — Fr (r,0\
V uz(r,z) ) J V (ißo)-1 Fz(r,0 )
Uz(r,z) J 2nß J V (ißo)-1 Fz(r,0 ) V(£)
(3.2)
где
[Fr (r,z)\ (2? — Щ) ( Al(r)\_2 B(r^f e \ (33)
V Fz(r,z) ) N($ V Ao(r) ) 2N(0\ (ßoß2) ) , (33)
D(i) = 4iß2
—— — H2
a ß2
B(a) 2C2 — k2
2 + 2e—2o2 H - +--ß-H0
a ßo
(3.4)
N(0 а
Ai(r) = TH1n(i)(ßor) — (Hon(i)(ß1r), B(r) = (THi — BHo)H(i)(ß2r), (3.5
N (0= THi — EHo, H(i) (ßj r) = r), Hj = H%.(ßj a), i = 0,1; (3.6)
H(i2)(f33 a) HfXßj a)
к = У Ъ2 - 3 =0,1 2 (3.7)
Входящие в (3.5), (3.6) коэффициенты Е = Е\/Е0, Т = (Тхк,2)/(Ток2) определяются выражениями (29*) - (31*), (12*), (13*); индексы 3 = 0,1, 2 соответствуют медленной продольной, быстрой продольной и поперечной волнам.
Для изучения структуры волнового поля, в ПУНЖС, вызванного указанным динамическим воздействием, формальные выражения (3.2) для вектора перемещений твердой фазы среды следует представить контурными интегралами в комплексной плоскости. При этом для удовлетворения условий излучения и учета особенностей подынтегральных функций, ветви трех двузначных радикалов (3.7), соответствующих постоянным распространения к^ трех типов объемных волн в ПУНЖС, выбираются так, чтобы
Imßj = Im^jЩ — а2 < 0. (3.8)
Для проведения контурных преобразований интегралов (3.2) из комплексных точек ветвления ( = проводятся разрезы вдоль линий 1т/к/ = 0, строится шестилистная ри-манова поверхность и выбирается лист, на котором выполняется условие (3.8) для всех трех типов волн. Техника контурных преобразований аналогична преобразованиям, проведенным в работах [2, 6].
В данной работе нас интересует возникающая в результате контурных преобразований составляющая, которая определяет поверхностную волну на полости. Такую составляющую при контурных представлениях интегралов на указанном листе римановой поверхности дают вычеты в точках £ = £в, являющихся нулями дисперсионного соотношения (3.4). Так как задача рассматривается с учетом диссипации в среде, то корни дисперсионного уравнения £в) = 0 становятся комплексными (в отсутствие диссипации они вещественны), так что: £в = Ке(£в) + ¿!т(£в).
В среде без диссипации ПВ экспоненциально затухают вглубь среды (по радиусу г > а) и без затухания распространяются вдоль ее поверхности (|г| < то). Наша цель — исследовать, как изменится характер ПВ в задаче при учете диссипации в среде.
Для проведения контурных преобразований интегралов (3.2) необходимо учесть следующее. Сосредоточенная по окружности г = а, г = 0 нагрузка (3.1) вызывает как объемные волны в среде, так и поверхностные волны, которые распространяются от источника в противоположных направлениях: г > 0 и г < 0. При переходе к контурным интегралам необходимо зафиксировать, для каких значений будут рассматриваться перемещения (3.2). Это связано с использованием леммы Жордана для оценки интегралов по окружности большого радиуса [13]. Так, например, для г < 0 можно образовать контур, обходящий разрезы и замыкающийся окружностью большого радиуса в нижней полуплоскости. В этом случае вычисляя вычеты подынтегральных функций в (3.2) при значениях £ = £в и затем, отделяя вещественную часть в полученных выражениях, находим компоненты ПВ, бегущей против положительного направления оси г:
^=(=ä ('S') cos H+zReiB+(
(t) = «*( Üj ), D(£b )=
фг Р^Ыв) ' - д£
7 V Щ/ЗоШР'^в) ) ^
Как и в работе [5], введем безразмерные величины
(3.9) (3.10)
t,=t,B
kj V т т , „ т „ 2п
zj = = 'Т", Vj
Cj = '-j = —, Vj = —, j = 0,1, 2; ж = Л/D, V = vT = v — , (3.11)
Sj £ Cj j Vj' J ' ' ' 1 ' w' v 7
где к — скорость поверхностных волн на полости (комплексная величина);
ко = Н/рго, к = Н/рг\, к2 = \/ р,(рц + Р12М2) (3.12)
— скорости медленной продольной, быстрой продольной и поперечной волн в ПУНЖС с учетом диссипации (комплексные величины); х (вещественная величина) - отношение длины поверхностной волны в ПУНЖС к диаметру цилиндрической полости; V —
фазовая скорость ПВ (ниже будет показано, что V = 1/КеУ_1); г0, г1 — корни квадратного уравнения (19*) с коэффициентами, определяемыми выражениями (15*), (16*) и диссипативным членом (2.1); в выражениях (3.12) р и имеют вид:
р = Р11 + Р22 + 2р12, М2 = (Ъ/Ш - ры)/(Ъ/ш + р22)■ (3.13)
Введение отношений а^ = С2/к, 3 = 0,1, 2 дает:
Ъ = \1 Лрг3/Н(Р11 + Р12М2), 3 =0,1; @2 = 1; о = ъ (, (2 = с (3.14)
В результате замены переменных дисперсионное соотношение (3.4) приводим к виду:
D(a) = a-2{-)2 Ao(Z,x),
Ao(Z, x) = 4 - + — Z2K2 Ln
B(a)
Ш
— 2(2 — Z2)
- + 1 — ro°oZ 2
П
Здесь
B(a) =
Ko — rzi Ki, N (Z ) = ^tt( Ko — r^- Ki,
ei(Z)
zi
zo
eo(Z)
zo
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
К^ (г) — функция Макдональда.
Заметим, что переменная ( = (2, введенная согласно (3.11), есть отношение комплексной скорости ПВ в ПУНЖС к скорости поперечных волн с учетом диссипации. Нас будет интересовать скорость ПВ по отношению к скорости, независимой от частоты воздействия (и следовательно от диссипативной функции Ъ, зависящей от частоты ш). Поэтому введем относительную скорость ПВ:
(Z ) = ^1 — j2 + - (1 — rj a2Z 2)Kj, rj = 1 + Tj/2ß, j = 0,1.
Ko (П / — j2) у
Kj =-( \ 0 ) , j = 0,1,2; Z = Z2 = -
Ki{ 1л ^—j2^ C2
? - s ß2
Z = — = qZ, q = —,
C2 C2
(3.20)
где с2 — скорость поперечных волн в ПУЖС без учета диссипации (не зависящая от частоты воздействия вещественная величина, определяемая согласно (1.1)). В результате указанных замен переменных выражение (3.9) принимает вид:
( uB°\ = pa2x2 ( \u?*) n2ß\A'o(Zß ,x)\ l
('S 1)exp(—zC2 im( ¿))
x cos Ш
t + zRe
1
1
+ -
C2U ш \ Ф-
(t)
(3.21)
e
j
x
Из полученного выражения следует, что компоненты перемещений ПВ Био в случае введения диссипации в среду представляют неоднородную бегущую волну в направлении z < 0 с фазовой скоростью v и нормированным коэффициентом затухания ßB:
v = dz/dt = -C2/Re((B Г1, ßB = Im(£B )-1. (3.22)
Кроме этого, вследствие комплексности корня (в и волновых чисел ki = w/ki, комплексной становится величина ßiB = \JЩ — £B. Тогда, в силу зависимости перемещений от функции Ханкеля (см. выражения (3.2) - (3.6)), это приводит к распространению ПВ также и в радиальном направлении, в то время как без учета диссипации волна в радиальном направлении не распространялась, а лишь экспоненциально затухала.
Из (3.22) следует, что относительная фазовая скорость при учете диссипации принимает вид
v/c2 = ±1/Re((B )-1. (3.23)
Отметим, что полученное выражение отличается по виду от вещественной части введенной согласно (3.11) относительной комплексной скорости ПВ Био2: Re(V/С2) = ±Re (в. В случае отсутствия диссипации в среде, нули (в дисперсионного выражения (3.16) вещественны и только в этом случае эти разные выражения (v/c2 и V/С2) дают одно и то же вещественное значение — (в, а коэффициент затухания при этом исчезает — ßB = 0.
4. Влияние диссипации на частотные зависимости фазовой скорости и коэффициента затухания волн Био при различных фильтрационных параметрах среды
С целью изучения влияния диссипативных и фильтрационных свойств среды на частотные и дисперсионные характеристики фазовой скорости и коэффициент затухания ПВ Био, решалось дисперсионное уравнение (3.16) при различных значениях коэффициентов пористости — m, проницаемости — kpr, внутреннего трения — y, и фиксированных упругих параметрах пористо-упругой среды [12]3:
Л = 1.47 • 108 Н/м2; ц = 9.79 • 107 Н/м2;
Q = 2.7948 • 108 Н/м2; R = 2.74 • 108 Н/м2;
A = Л + 1.02 Q; H = A + 2ß + R + 2Q;
Pf = 9.94 • 102 кг/м3; ps = 2.67 • 103 кг/м3;
р12 = 0; v = 0.255 — коэф. Пуассона.
При расчетах функций b(w) и F(к) для коэффициентов динамической и кинематической вязкости поровой жидкости взяты значения до = 10-3 Н • с/м, Vf = 2.1 • 10-6 м2/с. Радиус a полости полагался равным 0.2 м.
2Введение относительной комплексной скорости в виде (3.20) не означает автоматически, что ее вещественная часть определяет относительную фазовую скорость. Подставляя комплексный корень дисперсионного уравнения в выражение (3.9) и приравнивая нулю производную по времени от выражения под знаком косинуса, получим фазовую скорость в виде (3.22).
3В случае наличия внутреннего трения в упругом скелете среды все упругие константы следует умно-
жать на коэффициент ехр(г7) [7].
На рис. 1 а) и б) представлены зависимости относительной скорости и коэффициента затухания ПВ Био от относительной длины волны при различных значениях коэффициента пористости среды и коэффициента Пуассона. Расчеты проводились с учетом только взаимодействия жидкой и твердой фаз в ПУНЖС, т.к. именно этот вид диссипации зависит от частоты, внутреннее трение в скелете, не зависящее от частоты, здесь не учитывалось. Сериям кривых 1а - 4а, 1Ь - 4Ь, 1с - 4с соответствуют коэффициенты Пуассона V = 0.49; 0.25; 0; кривым 1а, 1Ь, 1с - коэффициент пористости среды т = 0; кривым 2а, 2Ь, 2с — т = 0.15, кривым 3а, 3Ь, 3с — т = 0.255, кривым 4а, 4Ь, 4с — т = 0.35. Из приведенных на рис. 1 а) и б) графиков следует, что с увеличением коэффициента Пуассона относительная скорость ПВ растет, а коэффициент затухания уменьшается (сравнить, например, кривые 4с, 4Ь, 4а). Сравнивая серии кривых 4а, 4Ь, 4с; 3а, 3Ь, 3с и 2а, 2Ь, 2с, можно заключить, что при заданных коэффициентах Пуассона увеличение коэффициента пористости среды ведет к уменьшению относительной скорости ПВ и росту коэффициента затухания. Заметим, что кривые 1а, 1Ь, 1с на рис. 1 а) при коэффициентах пористости среды равных нулю совпадают с дисперсионными кривыми для ПВ в упругой среде с цилиндрической полостью при коэффициентах Пуассона V = 0.49; 0.25; 0 соответственно [9, 14].
Рис. 1. Влияние пористости среды на зависимости фазовой скорости (а) и коэффициента затухания (б) волн Био от отношения длины волны к диаметру полости. Расчеты проведены при параметрах: кРг — 10 10 м2, а — 0.2 м, 7 — 0, с учетом межфазного взаимодействия (Ь — 0). Кривым 1а - 4а соответствует коэффициент Пуассона — V — 0.49; кривым 1Ь - 4Ь — V — 0.25; кривым 1с - 4с — V — 0.
На рис. 2 а) и б) представлены зависимости относительной фазовой скорости v/c2 = 1/Ке((в)_1 и нормированного коэффициента затухания вв = 1т((в)_1 (см. в выражении (3.21) показатель экспоненты) от относительной частоты О = пО/к2 при различных значениях коэффициента внутреннего трения 7 в упругом скелете, с учетом (Ь = 0) и без учета (Ь = 0) межфазного взаимодействия в среде Био. Сравнение
кривых 1 с 4 и 2 с 3 на рис. 2 а) показывает, что учет межфазного взаимодействия в среде существенно уменьшает относительную фазовую скорость. Наличие же внутреннего трения в скелете (сравнить кривые 1 с 2 и 3 с 4) незначительно увеличивает скорость. Оценивая частотные зависимости коэффициента затухания на рис. 2 б) отметим, что вклад в затухание диссипативного члена Ъ(ш) — (2.1), при фиксированных коэффициентах проницаемости и пористости среды и динамической вязкости жидкости не меняется (сравнить кривые 3 и 4), а лишь складывается с вкладом определяемым наличием внутреннего трения в твердой фазе (кривые 1, 2, 5, 6). При этом с ростом коэффициента 7 возрастает и коэффициент затухания (сравнить
О 25 50 75 1W о 23 50 75 IM
а) б)
Рис. 2. Влияние диссипативных характеристик среды на частотные зависимости фазовой скорости (а) и коэффициента затухания (б) волн Био. Кривые 1 — зависимости в отсутствие диссипации (7 = 0, Ь = 0); 2, 5, 6 соответствуют диссипации за счет внутреннего трения в скелете (7 = 0, Ь = 0), 4 — диссипация за счет межфазного взаимодействия (7 = 0, Ь = 0), 3 учитывает полную диссипацию (7 = 0, Ь = 0). Расчеты проведены при параметрах: крг — 10 11 м2, т = 0.35, V = 0.25, а = 0.2 м.
кривые 1, 5, 6, 2, соответствующие отсутствию межфазного взаимодействия: Ъ = 0). Из рис. 2 б) также видно, что соотношение между вкладами в затухание от диссипации за счет внутреннего трения в скелете и межфазного взаимодействия существенно зависит от величины коэффициента внутреннего трения. Сравнивая кривые 5, 6, 2, соответствующие коэффициентам 7 = 0.05, 0.087, 0.2, в отсутствии межфазного взаимодействия в среде с кривой 4, отвечающей за затухание только за счет межфаз-
ного взаимодействия, можно видеть, что вв(7 = 0.05, Ь = 0) < вв(7 = 0, Ь = 0) — кривые 5, 4; вв(7 = 0.087, Ь = 0) < вв(7 = 0, Ь = 0) — кривые 6, 4; вВ(7 = 0.2, Ь = 0) > вВ(7 = 0, Ь = 0) — кривые 2, 4. Это означает, что затухание за счет только внутреннего трения в скелете может быть меньше, равно или больше, чем затухание за счет только межфазного взаимодействия в среде.
На рис. 3 в логарифмическом масштабе циклической частоты представлены частотные зависимости относительной фазовой скорости (а) и коэффициента затухания (б) ПВ Био при различных коэффициентах пористости среды. Из рис. 3 а) видно, что относительные фазовые скорости ПВ Био уменьшаются с ростом коэффициента пористости т, их частотные максимумы при этом сдвигаются в область более высоких частот, и выше некоторой частоты (для выбранных здесь параметров среды / = 2П ~ 800 Гц) графики для всех значений т сливаются и принимают постоянное значение, которое с ростом частоты почти не изменяется. Коэффициент затухания, как видно из графиков на рис. 3 б), с ростом коэффициента пористости возрастает, его резонансные пики при этом сдвигаются в область возрастания частоты.
а) 6)
Рис. 3. Влияние коэффициента пористости среды на частотные характеристики относительной фазовой скорости (а) и коэффициент затухания (б) волн Био. Кривым 1-4 соответствуют коэффициенты пористости среды т = 0.15, 0.25, 0.35, 0.5 соответственно. Расчеты проведены с учетом сил межфазного взаимодействия (Ь = 0) при параметрах среды: крг = 10~8 м2, 7 = 0.02, V = 0.25, а = 0.2 м.
В силу зависимости скорости с2 поперечных волн в ПУНЖС (относительно которой проводится анализ влияния параметров среды на скорость ПВ) от коэффициента пористости среды т (см. выражение (1.1) для с2), зависимости на рис. 3 а) не отражают влияние пористости на абсолютную скорость ПВ. Поэтому проводились расчеты частотных характеристик абсолютной скорости ПВ V = — с2/Ке((в)-1 при различных значениях коэффициента пористости. На рис. 4 представлены частотные зависимости
абсолютной фазовой скорости (а) и коэффициента затухания (б) ПВ Био при различных коэффициентах пористости среды. Из рис. 4 а) видно, что абсолютные фазовые скорости ПВ Био возрастают с ростом коэффициента пористости среды. Этот результат качественно согласуется с работами [5, 7]. Расчеты проведены при параметрах среды: крг = 10 8 м2, V = 0.25, а = 0.2 м, 7 = 0.2 с учетом сил межфазного взаимодействия (Ъ(ш) = 0 — сплошные кривые 1Ь - 3Ь) и без учета этих сил (Ъ(ш) = 0 — штрихпунктир-ные кривые 1а - 3а). Кривым 1а - 3а и 1Ь — 3Ь соответствуют коэффициенты пористости среды т = 0.15, 0.25, 0.5. При учете сил межфазного взаимодействия абсолютные фазовые скорости ПВ Био уменьшаются по сравнению со скоростями при учете только сил внутреннего трения (сравнить 1а с 1Ь, 2а с 2Ь, 3а с 3Ь). Из графиков на рис.4 б) следует, что лишь при наличии сил межфазного взаимодействия коэффициент затухания зависит от коэффициента пористости среды (возрастает вместе с ростом пористости -кривые 1Ь - 3Ь). Если силы межфазного взаимодействия не учитывать, то коэффициент затухания не зависит от пористости (кривые 1а - 3а) и определяется только величиной коэффициента внутреннего трения 7.
Рв
зъ
lg ы
б)
Рис. 4. Влияние коэффициента пористости среды на частотные характеристики абсолютной фазовой скорости (а) и коэффициент затухания (б) волн Био при коэффициенте внутреннего трения 7 = 0.2 с учетом (сплошные кривые 1Ь - 3Ь) и без учета (штрихпунктирные кривые 1а - 3а) сил межфазного взаимодействия. Кривым 1а - 3а и 1Ь - 3Ь соответствуют коэффициенты пористости среды т = 0.15, 0.25, 0.5 соответственно. Расчеты проведены при параметрах среды: крг = 10~8 м2, V = 0.25, а = 0.2 м.
Частотные зависимости абсолютной фазовой скорости V и коэффициента затухания в в ПВ Био при различных коэффициентах проницаемости среды представлены графиками на рис. 5. Расчеты проводились при параметрах среды: т = 0.35, 7 = 0.02, V = 0.255, а = 0.2 м с учетом функции ^(ш), определяющей частотную зависимость диссипативно-го члена межфазного взаимодействия (Ъ = (т2д0/крг)Г(ш) — сплошные кривые 1а - 4а) и без учета такой зависимости (^(ш) = 1 — штрихпунктирные кривые 1Ь - 4Ь). Кривым
1а - 4а и 1Ь - 4Ь соответствуют коэффициенты проницаемости среды крг = 10"8, 10"9, 10_ 10, 10"11 м2. Из графиков видно, что с уменьшением коэффициентов проницаемости абсолютная фазовая скорость ПВ Био уменьшается, а резонансные частоты коэффициентов затухания возрастают вместе с незначительным увеличением их амплитуд. Учет частотной функции ^ (ш) в диссипативном члене Ь дает незначительные уменьшения амплитуд абсолютной скорости V и коэффициента затухания вв в сравнении со случаем, когда эту функцию полагали равной единице (сравнить серии кривых 1а - 4а и 1Ь - 4Ь).
а) 6)
Рис. 5. Влияние коэффициента проницаемости среды на частотные характеристики абсолютной фазовой скорости (а) и коэффициент затухания (б) волн Био при коэффициенте внутреннего трения 7 = 0.02 с учетом (сплошные кривые 1а - 4а) и без учета (штрихпунктирные кривые 1Ь - 4Ь) зависимости сил межфазного взаимодействия от частоты. Кривым 1а - 4а и 1Ь - 4Ь соответствуют коэффициенты проницаемости среды крТ = 10~8, 10~9, 10-10, 10~п м2. Расчеты проведены при параметрах среды: т = 0.35, V = 0.25, а = 0.2 м.
Для оценки влияния коэффициента внутреннего трения на частотные характеристики абсолютной фазовой скорости и коэффициент затухания волн Био, были проведены соответствующие расчеты с учетом сил межфазного взаимодействия при параметрах среды: крг = 10_1° м2, т = 0.25, V = 0.25, а = 0.2 м. Кривые 1 - 4 на рис. 6 соответствуют значениям 7 = 0.02, 0.1, 0.2, 0.3. Из графиков видно, что с ростом коэффициента внутреннего трения абсолютные фазовые скорости и коэффициенты затухания ПВ Био возрастают.
5. Заключение
В работе исследовалось влияние диссипации, пористости и проницаемости среды на дисперсионные и частотные характеристики фазовой скорости и коэффициента затухания ПВ Био вдоль полости в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде.
Показано, что диссипация приводит к затуханию ПВ вдоль полости в направлениях от источника, в то время как в отсутствии диссипации затухания нет. Общая диссипация
") б)
Рис. 6. Влияние коэффициента внутреннего трения на частотные характеристики абсолютной фазовой скорости (а) и коэффициент затухания (б) волн Био. Кривым 1-4 соответствуют коэффициенты внутреннего трения 7 = 0.02, 0.1, 0.2, 0.3 соответственно. Расчеты проведены с учетом сил межфазного взаимодействия (Ь = 0) при параметрах среды: крг = 10~10 м2, т = 0.25, V = 0.25, а = 0.2 м.
в ПУНЖС обусловлена действием сил вязкого трения между жидкой и твердой фазами среды (межфазное взаимодействие) и сил внутреннего трения в упругом скелете. Установлено, что межфазное взаимодействие уменьшает относительную и абсолютную фазовую скорости ПВ, по сравнению со скоростями в его отсутствии (рис. 2 а, 4 а). Коэффициент затухания ПВ в случае отсутствия межфазного взаимодействия при заданных значениях коэффициента внутреннего трения практически не зависит от частоты (рис. 2б) или монотонно возрастает (рис. 4б). Учет межфазного взаимодействия придает амплитудно-частотным характеристикам коэффициента затухания резонансный характер (кривые 3,4 на рис. 2б и кривые 1Ъ-3Ъ на рис. 4б). Увеличение коэффициента внутреннего трения, как при учете, так и без учета межфазного взаимодействия при прочих неизменных параметрах среды приводит к росту относительной и абсолютной фазовых скоростей и коэффициента затухания ПВ (рис.2,6). Следует отметить, что наличие диссипации в ПУНЖС приводит к распространению («просачиванию») ПВ в радиальном направлении (вглубь среды), в то время как в ее отсутствии в этом направлении поверхностная волна не распространяется, а лишь экспоненциально затухает. Характер ПВ в радиальном направлении требует отдельного рассмотрения.
Для анализа влияния пористости и проницаемости среды на дисперсионные и частотные характеристики фазовой скорости и коэффициента затухания ПВ на полости,
проведены численные расчеты, в которых использовались параметры известной пористо-упругой среды [12] и при этом менялись значения коэффициентов пористости и проницаемости. Полученные дисперсионные зависимости относительной фазовой скорости и коэффициента затухания от относительной длины ПВ показали, что для заданного коэффициента Пуассона увеличение коэффициента пористости среды приводит к уменьшению относительной скорости и увеличению коэффициента затухания. Анализ результатов расчета показал, что с увеличением коэффициента пористости относительная фазовая скорость уменьшается (рис. 3а), а абсолютная скорость и коэффициент затухания ПВ возрастают во всем диапазоне частот. При этом резонансные пики коэффициента затухания сдвигаются в сторону возрастания частоты. Учет сил межфазного взаимодействия приводит к уменьшению абсолютной скорости для каждого заданного коэффициента пористости (рис.4а) и возрастанию коэффициента затухания с ростом коэффициента пористости, а в отсутствии межфазного взаимодействия последний не зависит от коэффициента пористости и незначительно монотонно возрастает с ростом частоты (рис. 4б). Влияние коэффициента проницаемости среды на частотные характеристики ПВ отражено на рис.5. Уменьшение коэффициента проницаемости среды приводит к уменьшению абсолютной фазовой скорости и незначительному росту амплитуд коэффициента затухания ПВ, а их резонансные максимумы сдвигаются в область более высоких частот.
Список цитируемых источников
1. Городецкая Н. С. Волны на границе пористо-упругого полупространства. I. Свободная граница // Акустичний вшник. — 2005. — Т. 8, № 1-2. — С. 28-41.
2. Гринченко В. Т., В. В. Мелешко Гармонические колебания и волны в упругих телах. — К.: Наук. думка, 1978. — 264 с.
3. Донцов В. Е., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е. Распространение волн давления в пористой среде, насыщенной жидкостью // ЖПМТФ. — 1988. — Т. 167, № 1. — С. 120-130.
4. Сеймов В. М., Трофимчук А. Н., Савицкий О. А. Колебания и волны в слоистых средах. — К.: Наук. думка, 1990. — 224 с.
5. Сницер А. Р. Дисперсия скорости поверхностных волн Био в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде // Динамические системы. — 2009. — Вып. 27. — С. 93-105.
6. Сницер А. Р. Волны при нормальном гармоническом нагружении скважины в упругой среде. I. Структура волнового поля на поверхности скважины и в дальней зоне // Динамические системы. — 2006. — Вып. 20. — С. 68-88.
7. Трофимчук А. Н., Гомилко А. М., Савицкий О. А. Динамика пористо-упругих насыщенных жидкостью сред. — К.: Наук. думка, 2003. — 232 с.
8. M.Badiey, A.H.-D. Cheng, Y.Mu From geology to geoacoustics Evaluation of Biot-Stoll sound speed and attaniation for shallow water acoustics //J. Acoust. Soc. Amer. — 1998. — 103, № 1. — P. 309-320.
9. M. A. Biot Propagation of Elastic Waves in Cylindrical Bore Containing a Fluid //J. Appl. Physics. — 1952. — Vol.23, № 9. — P. 997-1005.
10. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid i. low-frequency ii. higher frequency range //J. Acoust. Soc. Amer. — 1956. — 28, № 2. — P. 168-191.
11. Fatt I. The Biot-Willis elastic coefficients for sanstone // J. Appl. Mech. — 1959. — № 2. — P. 296-297.
12. Halpern M. R., Christiano P. Response of poroelastic half-space to steady-state harmonic surface tractions // Int. J. Numer and Anal. Meth. Geotech. — 1986. — 10, № 6. — P. 609-632.
13. Mittra R., Lee S. W. Analytical techniques in the theory of guided waves. — N.Y.: Macmillan, 1971. — 302 p.
14. Snitser A.R. Surface waves on a cavity in a semi-infinite elastic medium // J.Math. Scienc. — 2001. — Vol. 107, № 6. — P. 4386-4394.
15. Yamamoto T. Acoustic propagation in the ocean with a poro-elastic bottom //J. Acoust. Soc. Amer. — 1983. — 73, № 5. — P. 1587-1596.
Получена 30.09.2011
