CC BY
9Динамические системы, том 2(30), No. 3-4, 323-335 УДК 539.3+539.215+532.546+622.276
Определение фильтрационных свойств пористо-упругой среды на основе решения
и и и Т 1
одной краевой задачи для уравнений Био
А. Р. Сницер
Таврический национальный университет им. В.И.Вернадского, НИИ Проблем геодинамики,
Симферополь 95007. E-mail: snitser_arnold@yahoo.com
Аннотация. Предложен алгоритм определения гидропроводности и скорости фильтрационных волн давления для пористо-упругой насыщенной жидкостью среды. Алгоритм основан на решении краевой задачи для уравнений Био о гармоническом вибровоздействии на поверхность скважины и является обобщением исследования продуктивных пластов методом фильтрационных волн давления на случай среды Био. Полученный алгоритм эффективен в широком диапазоне частот воздействия на среду.
Ключевые слова: теория М. Био, метод фильтрационных волн давления, гидропроводность, скорость фильтрационных волн давления, пористо-упругая насыщенная жидкостью среда, скважина, дебит.
Введение
В монографии С. Н. Бузинова, И. Д. Умрихина [1] получены формулы для определения коэффициентов гидро- и пьезопроводности пористых насыщенных жидкостью пластов методом гармонических фильтрационных волн давления (ФВД). Для описания движения жидкости использована модель классического упругого режима фильтрации В. Н. Щелкачева [13], в основу которой положен закон Дарси, линейно связывающий скорость фильтрации с градиентом порового давления, а для определения порового давления — хорошо исследованное в математической физике уравнение теплопроводности [5]. В последнем вместо температуры стоит давление, а вместо коэффициента температуропроводности — коэффициент пьезо-проводности, характеризующий скорость распространения волны давления [3, 13]. Из решения краевой задачи для данной модели и получены формулы для определения коэффициетов к — пьезо- и kh — гидропроводности. Эти коэффициенты выражаются через значения модулей гармонически изменяющихся во времени дебита жидкости, давления в скважине и разности фаз между ними, определяемые из решения краевой задачи. Если амплитуды дебита и давления в скважине и разности фаз между их временными изменениями измерить в натурных условиях при помощи специальной аппаратуры и подставить в эти формулы, то мы получим фильтрационные параметры среды. Данный способ определения коэффициентов
© А. Р. СНИЦЕР
к^ и к, входящих в закон Дарси и уравнение пьезопроводности, представляет, в сущности, решение обратной задачи [4] по отношению к прямой задаче плоскорадиальной фильтрации.
При исследовании околоскважинного пространства методом ФВД в рамках указанной модели используются динамические воздействия на среду с частотами менее 1 Гц. Так натурные исследования пластов методом гармонических ФВД описанные в работах [2, 6] соответствуют колебаниям дебитов и давлений в скважине с частотой милли- и микрогерцового диапазона. При этом учитываются фильтрационно-гидродинамические, а не упруго-акустические эффекты.
Для учета не только таких фильтрационных параметров насыщенной пористой среды как проницаемость, пористость, вязкость и сжимаемость жидкости, использованных в данной классической упругой модели фильтрации, но также упругих свойств скелета и взаимодействия фаз, применяется хорошо зарекомендовавшая себя модель и теория М. Био для пористо-упругой насыщенной жидкостью среды [15]. Модель М. Био учитывает упругие, вязкостные и инерционные взаимодействия фаз, а также содержит поправки в случае отклонения от закона Дарси, позволяющие применять модель в широком диапазоне частот воздействия на пласт (0.001 — 106 Гц) и более полно и адекватно описывает реальные породы. Следует отметить, что согласно теории Био перетоки жидкости в среде обусловлены разностью компонент перемещений твердой и жидкой фаз, связанных с медленной продольной волной. Существование последней, наряду с обычными продольной и поперечной упругими волнами, впервые было установлено Я. Френкелем [11] и позднее получило экспериментальное подтверждение [17].
Фильтрационные параметры входят в решения краевых задач для уравнений динамики Био более сложным образом, чем в решения аналогичных задач классической упругой фильтрации. Поэтому и реализация обратной задачи о нахождении фильтрационных параметров среды по решению краевой задачи в рамках модели Био значительно усложняется. Однако, указанные выше преимущества этой модели представляются достаточно убедительным стимулом для решения обратной задачи в этом случае.
В данной статье определяется гидропроводность и скорость фильтрационных волн давления, по известному решению краевой задачи для уравнений М.Био, полученному автором в работах [8, 9]. Чтобы не переписывать достаточно громоздкие выражения и данные, представленные в указанных работах, в дальнейшем, по мере необходимости, будем использовать ссылки на соответствующие номера формул.
1. Краевая задача для уравнений Био о гармоническом воздействии на поверхность скважины
В работе [9] в рамках теории Био рассмотрена краевая задача о притоке жидкости из продуктивного пласта при гармоническом воздействии проницаемой нагрузкой на поверхность скважины в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде. Пласт расположен на заданной глубине Н^ от дневной поверхности весомой
породы. Приведем здесь лишь необходимые в дальнейшем некоторые данные и результаты решения этой задачи.
В отсутствии гармонического воздействия на скважину имеет место стационарная фильтрация жидкости из пласта в скважину и дебит определяется постоянной независимой от времени величиной
Qst = -2nhkprp^/e0 ln(rc/a), (1)
где kpr — коэффициент проницаемости пласта; в0 — динамическая вязкость по-ровой жидкости; h — мощность пласта; a — радиус скважины; rc — радиальное расстояние от оси скважины, на котором поровое давление (с заданной точностью) мало отличается от пластового давления
Рж = Pf gHd = const, (2)
здесь pf — плотность поровой жидкости, g — ускорение свободного падения.
При нагружении поверхности скважины заданной проницаемой нагрузкой, гармонически изменяющейся во времени
Ap = pi cos ut, (3)
появляется дополнительный дебит жидкости в скважину. Величина динамической составляющей дебита определяется из решения краевой задачи для уравнений М. Био (5*), (6*)1 с граничными условиями:
a'Sr(a, z) = Ap = p1 cos ut, (a, z) = 0, af (a, z) = 0, (4)
где индекс s относится к твердой фазе, f — к жидкой; p1 = const — амплитудное значение нагрузки, приложенной к твердой фазе поверхности скважины.
Решение данной краевой задачи для скорости перемещений жидкой фазы относительно твердой дает:
w0(u, t) = iu(M0 - l)u0eiMt, (5)
где M0 — комплексный коэффициент пропорциональности между компонентами перемещений жидкой — U0 и твердой — u0 фаз, связанных с медленной продольной волной, определяется выражением (23*), а радиальная компонента перемещений твердой фазы u0 — выражениями (12*), (17*). Необходимое в дальнейшем выражение для перемещений твердой фазы на поверхности скважины представим в виде:
ReuoeiWt = |uo| cos((f + ut), ф = arg(u0). (6)
1 Здесь и далее ееылки на номера формул из работы [9] будут наделяться дополнительным знаком (*).
Умножая скорость фильтрации (5) на площадь поверхности скважины примыкающей к пласту мощности к и отделяя вещественную часть, мы получаем выражение для изменяющейся во времени динамической составляющей дебита жидкости:
ДQdm(ш,t) = 2пакш\Ы0 — 1|К! сов(п/2 + хо + (7)
где
Хо = агд[(Мо — 1)4- (8)
Заметим, что все приведенные величины относятся к поверхности скважины г = а
(в дальнейших расчетах принимаем а = 0.3м). Во всей работе аргументы комплексных величин Z будем считать положительными и непрерывно изменяющимися от 0 до 2п при отсчете углов от положительного направления вещественной оси против часовой стрелки так что
Г агссо8(Ке^/^!), если ImZ >
a'gZ \ 2п — arccos(ReZ/\Z\), если ImZ < 0. (9)
С учетом стационарной составляющей дебита (1), связанной с пластовым давлением и динамической составляющей дебита (7), обусловленного динамическим нагружением скважины, выражение для полного дебита в зависимости от времени примет вид
(ш,г). (10)
При фильтрации скорость движения жидкости и градиент порового давления имеют разные знаки (что отражено в законе Дарси). Поэтому, как показано в работе [9], только на части периода Дт £ Т при условии противоположности знаков выражений Rew0(ш,t) и Re gradpdm(ш)ешЬ и направленности скорости против радиальной оси имеет место приток жидкости в скважину, связанный с гармоническим воздействием на ее поверхность. Величину Дт = т2 — т1 находим, используя выражения:
Т1 = (2п — хо)/ш, Т2 = (5п/2 — фо)/ш, (11)
где хо определяется согласно (8), а фо является аргументом комплексной амплитуды градиента порового давления связанного с продольной волной 2-го рода:
фо = arggradpfnM• (12)
На рис. 1 приведены изменения во времени нагрузки Др — (3) и перемещения твердой фазы |ио| соъ(^ + ф) — (6) на поверхности скважины, а на рис. 2 полного дебита жидкости д(Ь) — (10). Указанные зависимости просчитаны при значениях упругих параметров жидкой и твердой фаз, определяемых данными (31*), взятыми из работы [16], при коэффициентах проницаемости, пористости и динамической вязкости соответственно равных крг = 10_9м2, т = 0.25, 9о = 10_3Н-с/м2, на частоте f = 100.42Гц. Коэффициент внутреннего трения [9] и коэффициент Пуассона брались соответственно равными 7 = 0.5 и V = 0.25.
Из рисунка 1 видно, что нагрузка и перемещение сдвинуты по фазе на величину ф = атди0, которую можно определить непосредственно из графиков. Из рисунка 2 видно, что на отрезках Ь £ (т\ + пТ, т2 + пТ), появляются динамические добавки к постоянной составляющей дебита, вычисленного согласно формулам (1), (2) при р^ = 9.94 • 102кг/м3, На = 1000м, тс = 1000м, к = 1м. Из подобных графиков, полученных из натурных наблюдений можно определять моменты времени т\ и т2 и отрезок времени Дт = т\ — т2, в течение которого за период колебания происходит приток жидкости в скважину, обусловленный динамическим воздействием на ее поверхность.
Др(МПа)--Uocos(rot+9)(M)
0 0.005 0.01 0.015 0.02
Рис. 1. Зависимости изменения радиальной нагрузки и перемещения поверхности скважины от времени. Приведенные графики рассчитаны при параметрах: kpr — 10 9м2, m — 0.25, во — 10~3Н-с/м2, a — 0.3м, y — 0.5, v — 0.25, f — 100.42Гц. Из подобных графиков, полученных при натурных наблюдениях можно определить амплитудные значения радиальной нагрузки, перемещения и разность фаз между ними.
Интегрирование выражения (7) на отрезке t £ (т\,т2), дает динамическую составляющую дебита жидкости в скважину за период колебания T:
aQ2M = -2nah\Mo — 1|Ы(1 + sin(xc - Фо)}, (13)
Зная Ат из выражений (11) находим \0 — ф0 = шАт—п/2 и, в итоге, выражение (13) приобретает вид:
AQdSM = —2nah\Mo — 1||uo|(1 — cos шАт). (14)
Рис. 2. Зависимости изменения дебита жидкости от времени. Приведенный график рассчитан
при параметрах: kpr = 10
-9м2,
= 0.25, в0 = 10~3Н-с/м2, а = 0.3м, 7 = 0.5, V = 0.25, f = 100.42Гц. Из подобного графика, полученного при натурных наблюдениях можно определить моменты времени т\ и Т2 и отрезок времени Дт = Т2 — т\, в течение которого за период колебания происходит приток жидкости в скважину, обусловленный динамическим воздействием на ее поверхность.
Заметим, что за время равное любому целому числу периодов Ь = пТ приток жидкости в скважину составит
)
nTQst + nAQ^.
:15)
Из равенства (15) можно выразить изменение дебита, обусловленное гармоническим воздействием на поверхность скважины, за время Ь = пТ:
AQSP = nAQ^ = Q{nTT - nTQst.
:16)
2. Задача определения гидропроводности и скорости фильтрационных волн давления
Определение коэффициентов дифференциальных уравнений по решениям соответствующей краевой задачи является одним из типов обратных задач [4]. Поставим задачу: через решение уравнений М. Био — (5*), (6*), при краевых условиях (4), определить коэффициент гидропроводности
kh = kPr h/e0 (17)
пласта мощности к и скорость с0 распространения фильтрационных волн давления. Через коэффициент гидропроводности можно выразить диссипативный член Ь, входящий в слагаемое уравнений Био, учитывающее силу фильтрационного трения W1, которое определяется законом Дарси-Герсеванова [7, 12]:
д -
W1 = Ь-(и — и). (18)
В (18) и, и — вектора перемещений жидкой и твердой фаз, а множитель Ь выражается через коэффициенты пористости — т, проницаемости — крг, динамической вязкости жидкости — в0 и введенную М. Био корректировочную функцию РМ [15]: 2
ь=т* р {Ш), (19)
крг
F(и) =| 1 тк) U < T(k) = em^h(kem^)/Io(keш/А), (20)
4[1—2T(k)/ik]> и >
k = a2\j upf /во, Ü2 = ^ kpr /m, Ui = n9o/4pf d
(21)
где: 10(г), 11 (г) — модифицированные функции Бесселя; а2 — структурный коэффициент, п — коэффициент, учитывающий геометрию пор (поры предполагаются сферическими, для которых эксперимент дает п = 3.2 [14]); ш1 — предельная частота, до которой течение жидкости в порах подчиняется закону Пуазейля [7, 15]; d = 2а1 — эффективный диаметр пор (в дальнейшем при расчетах будем принимать а1 = 8 ■ 10"5м). В силу (17) и (21) величину к, входящую в выражение для функции Р(ш), можно представить в виде:
V
и тогда диссипативный член Ь с учетом (17), (19) и (22) запишем как функцию кн:
Ь = т2кР (кн). (23)
кн
Таким образом, при заданном коэффициенте пористости среды т и плотности поровой жидкости р^ задача определения гидропроводности кн для заданной частоты ш воздействия на скважину эквивалентна проблеме определения коэффициента Ь уравнений Био через решение рассмотренной краевой задачи, т.е., является по отношению к ней обратной задачей. Идея реализации такой задачи состоит в решении системы двух уравнений относительно неизвестной к — (21) и неизвестной г0, о которой будет сказано ниже. Одно из уравнений системы — трансцендентное, содержащее неизвестные к и г0, другое — квадратное уравнение для определения 50. Члены этих уравнений выражаются через известные упругие
2
параметры среды и взятые из натурных наблюдений величины, характеризующие фильтрацию жидкости. Согласно (22), через корень к — (21) трансцендентного уравнения выражается коэффициент гидропроводности кн, а через корень г0 квадратного уравнения — скорость С0 фильтрационных волн давления.
Для получения системы уравнений используем тот факт, что через параметры крг и 90, определяющие коэффициент гидропроводности кн, а вместе с ним и дисси-пативный член Ь, выражается также комплексная величина М0 — (23*) и волновое число /с0 медленной продольной волны. Последнее зависит от комплексного нуля г0 полинома 2-й степени, коэффициенты которого также зависят от Ь [9]:
Ь(г) = аг2 — в г + Ь(г0) = 0, (24)
2
С0 = -^0- (25)
Коэффициенты полинома (24) выражаются через матричные элементы рг ^, 9г ^, Тг^, характеризующие упругие свойства двухфазной среды согласно (21*), (22*), а в коэффициенты в и 7 линейно входит диссипативный член Ь, и таким образом корень г0 полинома (24) также зависит от фильтрационных параметров среды; параметры р, Н определены в данных (31*).
Получим трансцендентное уравнение для определения к. Его левую часть возьмем в виде явного выражения (19) для коэффициента Ь, а правую — представим этим же коэффициентом, исключенным из уравнения Ь(г0) = 0. При этом комплексный нуль г0 будет заменен на г0, найденный из некоторого квадратного уравнения, коэффициенты которого выражаются через известные упругие константы двухфазной среды и данные, взятые из натурных измерений. Выражая Ь из уравнения Ь(г0) = 0, получим:
Ь = С(^0) = 1р-(аг0 — вг + 71)/г — 1), (26)
где
а = 911922 — д22, в1 = 911722 + 922711 — 2912712, (27)
71 = 711722 — 712, р = Р11 + Р22 + 2р12. (28)
Приравнивая выражение (19) к функции (26), вычисленной при г0 = г0, приходим
к трансцендентному уравнению для определения величины к —( 22):
к
Ш-^г = Т (к) <2<9>
Правая часть уравнения (29) определена выражением (20). Зная решение полученного уравнения, из соотношения (22) легко найти коэффициент гидропроводности кн.
Исходными данными для получения квадратного уравнения, определяющего корень г0, необходимый для отыскания скорости С0 и решения трансцендентного уравнения (29), будем считать результаты решения краевой задачи, физические
параметры среды (31*), исключая коэффициенты проницаемости — kpr и динамической вязкости жидкости — в0, и взятые из натурных наблюдений характеристики:
1) амплитуды pi и |u0| гармонически изменяющихся во времени давления и радиальной компоненты перемещения на твердой части (скелете) поверхности скважины и разность фаз между ними ф, взятые соответственно из экспериментальных графиков зависимостей (3) и (6), подобных расчетным кривым, приведенным на рис. 1;
2) время Дт = т2 — т1 притока жидкости, в пределах периода колебаний, связанного с гармоническим воздействием на поверхность скважины и момент времени т1, определяемые из экспериментального графика изменения во времени полного дебита Q(t) — (10), подобного расчетной кривой, приведенной на рис. 2;
3) разность между полным дебитом (при динамическом воздействии на скважину) и стационарным дебитом, обусловленным только пластовым давлением, за время натурных наблюдений равное целому числу периодов колебаний
(T)
(для определения динамической составляющей ДQdin дебита жидкости за период колебания).
Получим уравнение для определения комплексного корня 50. Из выражения (14) находим:
|Мо — 1| =--Ш) Л \ • (30)
1 0 1 2nah|u0| (1 — cos шДт) v '
В силу (16), зная измеренные величины дебитов Q(nT) и nTQst (пункт 3), можно вычислить входящую в выражение (30) динамическую составляющую дебита за
период— д^тПМ:
ДQldTn = (Q(nT) — nTQst)/n (31)
В (30) a — радиус скважины, h — мощность пласта, ш — заданная циклическая частота колебаний, |u0| и Дт согласно пунктам 1),2) считаются известными определяемыми из графиков наблюдений, подобных изображенным на рис. 1 и рис. 2.
Из выражения (8) следует:
arg(Mo — 1) = Хо — arguo. (32)
По кривой наблюдения изменения во времени полного дебита жидкости, как на рис. 2, определяем значение т1, а затем из выражения (11) находим:
Хо = 2п — шт1. (33)
В итоге аргумент комплексной величины M0 — 1 выражается через известные из наблюдений величины т1 и ф:
ф = arg(M0 — 1) = 2п — шт1 — ф. (34)
Таким образом, формулы (30) и (34) определяют комплексную величину (М0 — 1) по данным наблюдений:
Мо — 1 = |Мо — 1\вгф = С. (35)
С другой стороны, из решения краевой задачи нам известна комплексная величина Мо, которая согласно (23*) выражается через корень го полинома (24) и диссипа-тивный коэффициент Ь. Подставляя последний, выраженный согласно (26) через го, в (23*) и вычитая из результата единицу, получим:
Мо — 1 = Ь-1(г20 + Аг + Бх)/(г1 + Л го + Б2), (36)
Приравнивая правые части (35) и (36) после преобразований получим квадратное уравнение для определения комплексного корня 5о:
А*го + Б *го + С* = 0, (37)
—Б * — л/Б*2 — 4А*С * , Л
го =-—л-, (38)
о 2А*
где
А* = СЬз — 1, Б * = СЬА — А1, С * = СЬз Б2 — Бх; (39)
А1 = — (Ь1 + 1), А2 = Ь2 — Ыа, (40)
Б1 = Ь1, Б2 = —(Ь2 — ъ/а) (41)
Ь1 = [422(111 + 712) — ^12(722 + 112)]а~1, (42)
Ь2 = (^12722 — Я22^12)/а(д12 + 422), (43)
Ьз = —а(^12 + д22)/(дпЯ22 — Яп), (44)
/31, 7 в (40), (41) определяются согласно (27), (28).
Отметим, что значение константы С — (35), входящей в коэффициенты квадратного уравнения (37) зависит от величин, определяемых из натурных наблюдений, неявно характеризующих фильтрационные параметры среды, в то время как величины А1, А2, Б1, Б2 отвечают только за ее упругие свойства. Таким образом, получена система уравнений (29), (37) для определения неизвестных го и к. Из квадратного уравнения (37) находим корень го, соответствующий медленной продольной волне. Подставляя корень го в трансцендентное уравнение (29) и решая
его, находим к, а затем из (22) определяем коэффициент гидропроводности:
к 2 тк
кн =(-) --(45)
\П/ шР/
Используя соотношение (25) и значение корня го, находим скорость со медленной продольной волны, с которой распространяется и фильтрационная волна давления: _
со = СШ = , Р"-- (46)
Со V Рго
3. Тестирование алгоритма решения обратной задачи
Опираясь на решение прямой краевой задачи, и полагая заданными все параметры пористо-упругой среды в соответствии с данными (31*) при kpr = 10_9м2, в0 = 10_3Н-с/м2, m = 0.25 и частоте f = 100.42Гц, вычисляем коэффициент гид-ропроводности kh и скорость c0 фильтрационных волн давления непосредственно, согласно формулам (17), (46):
k h
kh = Jph = 10"6м2/Н • с, Reco = 314.843м/с. (47)
во
С другой стороны, принимая заданными в соответствии с теми же данными (31*) только упругие характеристики среды (считая коэффициенты kpr и в0 неизвестными), и, следуя предложенному алгоритму определения kh и c0, определяем ве-(т)
личины AQdin, |u0|, Ti, Ar и ф, необходимые для нахождения комплексной константы C, входящей в коэффициенты A*, B* и C* квадратного уравнения (37). С целью тестирования алгоритма указанные величины вычисляем по точным формулам, вытекающим из решения прямой краевой задачи [9], тогда получим: AQT = 1.14 • 10"3м3, |u0| = 1.17 • 10"3м, r1 = 6.385 • 10"3с, Ar = 3.164 • 10"3с, ф = —0.924. Далее, согласно алгоритму по формулам (30), (34) и (35), соответственно, находим |М0 — 1| = 2.3 , ф = 2п — шт1 — ф = 3.179 и C = —2.298 — i • 0.086. Далее через константу C и выражения (40) — (44), характеризующие только известные упругие свойства среды, вычисляем коэффициенты квадратного уравнения (37). Решение последнего дает корень Z0 = 4.778 — i3.067. Решая численно трансцендентное уравнение (29) при полученном значении Z0, находим его корень — k = 5.068. По формулам (45), (46) вычисляем:
5
7 м5 4 дарси • см _ м .
kh = 9.998 • 10"7-— = 9.798 • 104 —-, Re c0 = 314.843-. (48)
Н • с сп с
Результаты расчета (47), основанного на решении прямой краевой задачи и результаты расчета (48), согласно алгоритму решения обратной задачи, совпадают. Такое полное совпадение естественно, так как при реализации алгоритма обрат-
(T )
ной задачи использовались величины |u01, Ar, r1, ф, AQ di,взятые не из натурных наблюдений, а соответствующие фиктивные величины, найденные на основе решения прямой краевой задачи с полностью заданными параметрами двухфазной среды (31*).
Заключение
Получен алгоритм численно-экспериментального определения гидропроводно-сти и скорости фильтрационных волн давления в пористо-упругой среде, эффективный в широком диапазоне частот вибровоздействия на среду (0.001 — 106 Гц). Оценку устойчивости данного алгоритма позволяет дать численный эксперимент в
сочетании с натурными измерениями параметров процесса фильтрации. В случае
нарушения устойчивости алгоритма может потребоваться регуляризация.
Список цитируемых источников
1. Бузинов С. Н. Исследование нефтяных и газових скважин и пластов. / С.Н. Бузинов, И.Д. Умрихин — М.: Недра, 1984. — 269 с.
2. ГавриловА.Г. Исследование окрестности скважины методом высокочастотных фильтрационных волн давления / А.Г. Гаврилов, А.Н. Марданшин, М.Н. Овчинников, А.В. Штанин // Нефтегазовое дело. Электронный научный журнал: http://www.ogbus.ru — 2007. — С. 1-10.
3. ЕнтовВ.М. Теория фильтрации / В.М. Ентов // Соросовский образовательный журнал — 1998. — № 2 — С. 121- 128.
4. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. / С.И. Кабанихин // Наука в Сибири. —2009. — № 40 — С. 1-7.
5. Лыков А. В. Теория теплопроводности /А.В. Лыков — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.
6. Овчинников М. Н. Интерпретация результатов исследований пластов методом фильтрационных волн давления / М.Н. Овчинников — Казань: ЗАО «Новое знание», 2003 — 84 с.
7. Сеймов В. М. Колебания и волны в слоистых средах. / В.М. Сеймов, А.Н. Трофим-чук, О.А. Савицкий — К.: Наук. думка, 1990. — 224 с.
8. СницерА.Р. Дисперсия скорости поверхностных волн Био в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде / А.Р. Сницер // Динамические системы. — 2009. — Вып. 27 — С. 93-105.
9. Сницер А. Р. Волны давления и движение жидкости в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде при динамических воздействиях / А.Р. Сницер // Динамические системы. —2011. — Т. 1 (29), №2 — С. 281-297.
10. ТрофимчукА. Н. Динамика пористо-упругих насыщенных жидкостью сред. /
A.Н. Трофимчук, А.М. Гомилко, О.А. Савицкий — К.: Наук. думка, 2003. — 232 с.
11. Френкель Я. И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве / Я.И. Френкель // Изв.АН СССР. Сер. географическая и геофизическая. — 1944. — 8, №4. — С. 1330-149.
12. Флорин В. А. Основы механики грунтов. / В.А. Флорин — М.: Госстройиздат, 1959. — Т. 1. — 358 с.
13. Щелкачев В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации. /
B.Н. Щелкачев — М., Нефть и газ, 1995. - ч.1 — 586 с., ч.2 — 493 с.
14. BadieyM. From geology to geoacoustics Evaluation of Biot-Stoll sound speed and attaniation for shallow water acoustics / M. Badiey, A.H.-D. Cheng, Y. Mu // J. Acoust. Soc. Amer. — 1998. — 103, №1. — P. 309-320.
15. BiotM.A. Theory of propagation of elastic waves in fluid-saturated porous solid i. low-frequency ii. higher frequency range / M.A. Biot // J. Acoust. Soc. Amer. — 1956. — 28, № 2. — P. 168-191.
16. HalpernM. R. Response of poroelastic half-space to steady-state harmonic surface tractions / M.R. Halpern, P. Christiano // Int. J. Numer and Anal. Meth. Geotech. — 1986. — 10, №6. — P. 609-632.
17. Plona T. J. Observation of a second bulk compressional wave in porous medium at ultrasonic frequencies / T.J. Plona // Appl. Phys. Let. — 1980. — 36. — P. 259-261.
Получена 12.11.2012
