Вероятностные игры со "сгорающими" очками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ - ПРАКТИКЕ

В. В. Афанасьев, М.В. Пойкалайнен ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ИГРЫ СО "СГОРАЮЩИМИ" ОЧКАМИ

... ведь игра соблазнительная вещь Н.В .Гоголь. Игроки

...Игра старше культуры, ибо культура предполагает наличие человеческого общества, а животные вовсе не ждали появления человека, чтобы он научил их играть.

Психология и физиология давно занимаются наблюдением, описанием и объяснением игры животных, детей и взрослых. Каковы же биологические функции игры? Это выход избыточной жизненной силы; подчинение врожденному инстинкту подражания; потребность в отдыхе и разрядке; тренировка перед серьезным делом; упражнение в самообладании; стремление к главенству; компенсация вредных побуждений; восполнение монотонной деятельности; удовлетворение невыполнимых в реальной обстановке желаний.

Ни одно из приведенных объяснений не отвечает на вопрос "Но в чем же все-таки "соль" игры?". Почему младенец визжит от восторга? Почему игрок, увлекаясь, забывает все на свете? Почему публичное состязание повергает в неистовство тысячеголовую толпу? Интенсивность игры не объяснить никаким биологическим анализом. И все же как раз в этой интенсивности, в этой способности приводить в исступление кроется сущность игры, ее исконное качество. Логический рассудок говорит нам, что Природа могла бы дать своим детям все эти полезные биологические функции разрядки избыточной энергии в форме чисто механических упражнений и реакций. Но нет, она дала нам Игру, с ее напряжением, с ее радостью, с ее шуткой и забавой [2].

Именно поэтому игра занимает одно из ведущих мест в системе обучения, воспитания и развития. Предложение взять за основу задачи "игру" было сделано в статье [1], и представленная работа является продолжением этой публикации.

В данной статье рассматриваются вероятностные игры со "сгорающими" очками. Под вероятностными играми понимаем такие игры двух или более участников, которые допускают вероятностные оценки (вероятность победы участника, математические ожидания величины выигрыша и т.п.).

Игры со "сгорающими" очками - такие, в которых участники по очереди проводят какие-либо опыты сериями и могут добровольно передать ход другому игроку после определённого числа испытаний или набрав то или иное число очков в данной серии, или ход передается по принуждению, когда очки серии "сгорели" при определенном исходе испытания. Игра прекращается либо после проведения одинакового числа серий у участников, либо по истечении определенного времени.

Задача 1. Два игрока бросают игральную кость сериями по очереди, складывая количество выпавших очков, в любой момент игрок может остановиться и передать ход другому игроку, но если выпало 1 очко, то очки серии "сгорают" и ход автоматически передаётся противнику. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку? Возможны два подхода к выбору стратегии:

— по количеству набранных очков в серии;

— по числу подбрасываний в серии.

Решение 1 (по количеству набранных очков).

Пусть мы набрали N очков в данной серии.

Случайная величина Х={число очков серии после следующего броска}

Построим граф распределения случайной величины Х.

Найдём математическое ожидание как вес всего графа. 1/

M[X] = + 20)

Продолжение станет невыгодным, если М[Х]^ 1/

/6 ^ + 20) < N

N > 20,при N > 20 продолжение игры становится для игрока невыгодным.

Следовательно, можно предложить игроку бросать игральную кость в серии до появления в сумме от 19 до 24 очков и передать ход другому игроку. Решение 2 (по числу сделанных бросков).

Пусть п - число бросков.

Случайная величина X1={ число очков при одном бросании} Случайная величина X1 имеет следующий закон распределения.

X! 0 2 3 4 5 6

P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Найдём математическое ожидание случайной величины X1. M[Xl]=1/6*(2+3+4+5+6)=10/3, тогда

M[n* X1]=n*M[X1]=10*n /3. Заметим, что M[n* X1] является случайной величиной. Вычислим математическое ожидание с. в. M[n* X1]

Составим закон распределения для с.в. M[n* X1].

М[п*Х1] 10/3*п 0

Р (5/6)п 1-

(5/6)п

M[M[n* X1]]= (10*п /3) * (5/6)п, тогда м[м[(п+1)* Xl]]= (10*(п+1)/3) * (5/6)(п+1) Продолжение серии бросков будет невыгодным, если M[M[(n+1)* Xl]] <М[М[п* Х1]] (10*(п+1) /3)* (5/6)(п+1) <(10*п /3) * (5/6)п (п+1)*5/6 <п п>5

Значит, следует делать не более 5 бросков в серии.

Задача 2.Два игрока бросают две игральные кости сериями по очереди, складывая количество выпавших очков, в любой момент игрок может остановиться и передать ход другому игроку, но при сумме выпавших чисел, равной 12, все набранные очки серии "сгорают" и ход передаётся другому игроку. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

Решение 1 (по количеству набранных очков). Стр. 130

Пусть мы набрали N очков в данной серии.

Случайная величина Х={число очков серии после следующего броска}

Построим граф распределения с. в. Х и по нему найдём математическое ожидание М[Х]:

М[Х]

= /36

(35N + 240)

Продолжение станет невыгодным, если М[Х] < N 1/

/ 36 (35N + 240) < N N > 240.

Следовательно, можно предложить игроку бросать пару игральных костей в серии до появления в сумме 239 очков, а при получении 240 очков можно рискнуть и бросить ещё раз, а можно передать ход другому игроку.

Решение 2 (по числу сделанных бросков).

Пусть п - число бросков.

Случайная величина Х1 {число очков при одном бросании} имеет следующий закон распределения.

Х1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0

р 1/ /36 2/ /36 3/ /36 4/ /36 5/ /36 6/ /36 5/ /36 4/ /36 3/ /36 2/ /36 1/ /36

Найдём математическое ожидание с.в. Х1

М[Х1]= (2+6+12+20+30+42+40+36+30+22) *1/36=240/36=20/3

м[п* Х1]=п*М[Х1]= п *20/3

М[М[п* Х1]]=?

Составим закон распределения для М[п* Х1].

М[п* Х1] п *20/3 0

Р (35/36)п 1-(35/36)п

М[М[п* Х1]]= п *20/3*(35/36)п

м[м[(п+1)* Х1]]= (п+1) *20/3 * (35/36)(п+1)

Продолжение серии бросков будет невыгодным, если

М[М[(п+1)* Х1]] <М[М[п* Х1]]

(п+1) *20/3 * (35/36)(п+1)< п *20/3*(35/36)п

35/36*(п+1) <п

п>35

Значит, разумно делать не более 35 бросков.

Задача З.Два игрока бросают две монеты сериями по очереди, складывая количество выпавших гербов, за каждый выпавший герб игрок получает одно очко, в любой момент игрок может остановиться и передать ход другому игроку, но если не выпало ни одного герба, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому игроку. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

Решение 1(по числу набранных очков)

Пусть мы набрали N очков в данной серии, а случайная величина Х={число очков серии после следующего броска}

Построим граф распределения и по нему найдём математическое ожидание случайной величины Х.

М^^У^Уг+^+Уг+О*^ =^N+1

Продолжение станет невыгодным, если

М[Х] < N % N + 1 < N N > 4, при N > 4 продолжение игры становится для игрока невыгодным.

Следовательно, можно предложить игроку бросать пару монет в серии до появления в сумме 3 или 4 очков и передать ход другому игроку.

одном бросании} Случайная величина Х1 имеет следующий закон распределения.

Х1 0 1 2

р 1/4 2/4 1/4

Найдём математическое ожидание с. в. Х1 М[Х1]=1*2/4+2*1/4+0*1/4=1 м[п* Х1]=п*М[Х1]=п. Заметим, что М[п* Х1] числим математическое ожидание с.в. М[п* Х1]

Составим закон распределения для М[п* Х1], ли ни разу не выпадет пара решек)

М[п* Х1] п 0

р (3/4)п 1-(3/4)п

М[М[п* Х1]]= п * (3/4)п

м[м[(п+1)* Х1]]= (п+1) * (3/4)(п+1)

Продолжение серии бросков будет невыгодным, если

Решение 2(по числу сделанных бросков).

Пусть п - число бросков.

Случайная величина Х1={ число очков при

является случайной величиной. Вы-учитывая, что очки «не сгорят» (ес-

М[М[(п+1)* Х1]]< М[М[п* Х1]] (п+1) * (3/4)(п+1) <п * (3/4)п (п+1)*3/4 <п п>3

Значит, следует делать не более 3-х бросков.

Сравним эффективность предложенных двух подходов в определении стратегии по количеству набранных очков и по количеству подбрасываний в серии. Для этого найдём математические ожидания набранных очков в серии.

1. Прекратим испытания при появлении 3-х очков в серии. М[Х]=(1+1+1)*1/2*1/2*1/2+(1+1+2)*1/2*1/2*1/4+(1+2)*1/2*1/4+(2+1)**1/4*1/2+ +(2+2)*1/4*1/4=9/8+4/8=13/8=1.625

2. Прекратим испытания при появлении по крайней мере 4-х очков в серии.

Построим вероятностное дерево исходов:

М[Х]=4*1/16+5*1/32+4*1/16+4*1/16+5*1/32+4*1/16+5*1/32+4*1/16==20/16+15/32 =55/32-1.72

По числу бросков п=3 М[Х]=3*(3/4)3=81/64-1.26

1.72 >1.625>1.26, следовательно, более эффективна первая стратегия(по числу набранных очков в серии ).

Задача 4.Игроки бросают три монеты, за каждый выпавший герб они получают одно очко, в любой момент игрок может остановиться и передать ход другому игроку, но если не выпало ни одного герба, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому игроку. Какой стратегии выгоднее придерживаться?

Решение 1(по количеству набранных очков).

Пусть мы набрали N очков в данной серии.

Случайная величина Х={число очков серии после следующего броска} Построим граф распределения случайной величины Х:

Математическое ожидание найдём как вес всего графа распределения.

M[X]=1/8(3N+3+3N+6+N+3)==1/8 (Ш + 12)

Продолжение станет невыгодным, если

M[X] < N /(Ш + 12) < N

N > 12, следовательно, можно предложить игроку бросать пару монет в серии до появления в сумме 11 очков, а можно получить 12, 13 или 14 очков и передать ход другому игроку.

Решение 2(по числу сделанных бросков). Пусть мы произвели п бросков.

Случайная величина X1 (число очков при одном бросании) имеет следующий закон распределения.

X! 1 2 3 0

P 3/8 3/8 1/8 1/8

Найдём M[X1] M[Xl]=1/8*(3+6+3)=3/2 M[n* Xl]=n*M[Xl]=3/2*n

M[M[n* Xl]]=?

Составим закон распределения для M[n*X1].

М[п* Х1] 3/2*п 0

Р (7/8)п 1-(7/8)п

M[M[n* Xl]]= 3/2*п * (7/8)п м[м[(п+1)* X1]]= 3/2*(п+1) * (7/8)(п+1)

Продолжение серии бросков будет невыгодным, если

M[M[(n+1)* Xl]] <М[М[п* Х1]]

3/2(п+1) * (7/8)(п+1) <3/2*п * (7/8)п

7/8*(п+1) <п

п>7

Следовательно, можно рекомендовать игроку делать не более семи бросков в серии.

Задачи для самостоятельного решения

1. Игроки бросают три монеты сериями по очереди, определяя количество выпавших гербов, за каждый выпавший герб игрок получает одно очко, а если выпало три герба, то игрок получает 6 очков; в любой момент он может остановиться и

передать ход другому игроку, но если не выпало ни одного герба, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому игроку. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

2. Имеется колода, состоящая из 4 валетов, 4 дам и 4 королей. Два игрока выбирают из колоды вслепую по одной карте с возвратом её в колоду сериями по очереди, складывая количество набранных очков, за каждого валета-2 очка, даму-3, короля-4. В любой момент игрок может остановиться и передать ход другому, но если игрок достал даму пик, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

3. Имеется колода, состоящая из 36 карт. Два игрока выбирают из колоды вслепую по одной карте с возвратом её в колоду сериями по очереди, складывая количество набранных очков: за каждого валета-2 очка, даму-3, короля-4, за остальные карты - 0. В любой момент игрок может остановиться и передать ход другому, но если он достал даму пик, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

4. Имеется колода, состоящая из 4 валетов, 4 дам, 4 королей и двух джокеров. Два игрока выбирают из колоды вслепую по одной карте с возвратом её в колоду сериями по очереди, складывая количество набранных очков; за каждого валета-2 очка, даму-3, короля-4. В любой момент игрок может остановиться и передать ход другому, но если игрок достал джокера, то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

5. Игроки крутят рулетку сериями по очереди, складывая количество набранных очков, за каждое красное игрок получает одно очко, за каждое черное - 2, в любой момент он может остановиться и передать ход другому игроку, а если выпало "ZERO", то очки серии "сгорают" и ход передаётся другому. Какой стратегии выгодней придерживаться игроку?

Библиографический список

1. Афанасьев В.В., Новожилова И.В. Вероятностные игры // Ярославский педагогический вестник. 2000. №3. С.121-134.

2. Народное образование. 2000.№ 8.