CC BY
18
Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2017, Т.3, №1
http://vestnik-nauki.ru -^ 2413-9358
УДК 519.2:627.13
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОЙ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОГО
АРГУМЕНТА
В.А. Наумов, И.М. Ахмедов
PROBABILISTIC CHARACTERISTICS OF THE FUNCTION OF RANDOM
ARGUMENT
V.A. Naumov, I.M. Ahmedov
Аннотация. Рассмотрены вероятностные характеристики квадратичной функции случайного аргумента. Использованы равномерный и нормальный закон распределения исходной величины с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями. Получена формула для расчета среднего квадратического отклонения функции случайного аргумента. Проанализировано влияние коэффициента вариации. Показано, что коэффициент вариации функции может быть в два раза больше коэффициента вариации аргумента. Результаты работы могут быть использованы при расчетах эффективных значений сил гидродинамического сопротивления в инженерных задачах.
Ключевые слова: сила гидродинамического сопротивления; функция случайного аргумента, плотность распределения; математическое ожидание, дисперсия.
Abstract. The probabilistic characteristics of quadratic functions of random argument were studied. Uniform and normal distribution the initial value with the same mathematical expectations and dispersions were used. The formula for calculating standard deviation function of the random argument was received. The effect of variation coefficient was analyzed. It is shown that the variation coefficient of the function will be twice the variation coefficient of argument. The results can be used in the calculation of the effective values of the drag forces in engineering problems.
Keywords: hydrodynamic drag force; function of a random argument, distribution density function; mathematical expectation, dispersion.
Введение
Исследование различных свойств многочленов от случайных величин является предметом исследования специалистов по теории вероятностей [1-4]. Так в [4] получены оценки характеристических функционалов многочленов, стохастическое обобщение теоремы Виноградова о среднем. При этом результаты охватывают случайные элементы со значениями и в конечномерных, и в бесконечномерных гильбертовых пространствах, могут быть использованы при решении прикладных задач.
При моделировании многих процессов и объектов приходится использовать квадратичную функцию от случайной величины X:
Y = k ■ X2, (1)
где k - заданный числовой коэффициент.
В частности, сила гидродинамического сопротивления, действующая на физическое тело в неподвижной вязкой среде, при прямолинейном движении со скоростью U может быть рассчитана по формуле
http://vestnik-nauki.ru
F = 0,5 • Cx • S-Pf -U2 = k U2,
(2)
где S - характерная площадь тела, Pf - плотность жидкости. Cx - коэффициент гидродинамического сопротивления, который в квадратичной области сопротивления является постоянной величиной. Следовательно, в (2) будет выполнено условие k = const.
Формула (2) используется при решении инженерных задач динамики дисперсных частиц [5-7], равновесия элементов сетного полотна [8-10] и др. [11-13].
Заметим, что в перечисленных работах [5-13] применяется детерминированный подход. В данной статье при анализе характеристик использована вероятностная модель, Y(X) считается функцией случайного аргумента (ФСА).
Плотность распределения функции случайного аргумента
Пусть задана плотность распределения случайного аргумента f(x). Найдем плотность распределения g(y). Будем рассматривать область неотрицательных аргументов (x >0), что характерно для упомянутых инженерных задач, тогда
y = p(x) = x2 ^ x = w(y) = 4y .
(1)
Известно [14], что для монотонной функции щ(у) искомая плотность распределения находится по формуле
g(y) = f (w(y)) l w'(y) |, w'(y) = 0,5 /y[ky.
(2)
Сначала рассмотрим равномерный закон распределения случайной величины X:
fl(x) 4
0 при x < a;
1 /(b - a) при a < x < b; 0 при x > b.
(3)
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение:
a + b
mx =■
°x =
b - a
2л/3
(4)
Из (2) и (3) следует
g1( y) =<
0 при x < ka ;
,5 /((b - a)Jky ) при ka2 < x < kb2;
0
0 при x > kb
(5)
Зададим нормальный закон распределения случайной величины X с параметрами (4):
f2 (x) =
exp
(x - mx )2
2^3
(6)
Из (2) и (6) следует
2
1
http://vestnik-nauki.ru
g2(У)=■
0,5
Gx
■yjln- ky
exp
(УУ- mxJk )2
2кст2
(6)
На рис. 1 представлен пример плотностей распределений квадратичной функции, построенных при значениях a = 2; Ь = 3; k = 0,55.
а
(у
00 0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
О
2
г**--*' 4
/ /
/ / 4 \
/ / t 4 4
4 *
1
4
v
Рисунок 1 - Плотности распределения квадратичной функции случайного аргумента: 1 - при равномерном законе распределения X; 2 - при нормальном законе
Вывод расчетных формул
Как правило, в инженерных приложениях не нужно знать закон распределения, достаточно рассчитать числовые характеристики случайной величины Y. Полагаем, что закон распределения случайной величины X известен, ее математическое ожидание - mX, среднее квадратическое отклонение - ах. Найдем математическое ожидание Y, используя свойства ФСА [14]:
my = M[k ■ X2 ] = k ■ M[X2 ]. (7)
Начальный и центральный моменты порядка s случайной величины X [14]:
^ = M[Xs] , Ms = M[(X - mx)s]. (8)
Дисперсия случайной величины X - это центральный момент 2-го порядка:
2 2 2 2 2 ^x =^2 = M[(X - mx) ] = а2 - mx = mx + °x . (9)
Подставляя (9) в (7), получим выражение для математического ожидания Y, не зависящее от закона распределения случайной величины X:
M[Y] = k а = k ■ m2x(1 + С2 ), Cx =Ox/mx, (10)
где CX - коэффициент вариации.
Дисперсию квадрата случайной величины V=X найдем из выражения
M[V2 ] = my +ст2 ^ DV =ст2 = M[V2 ] - my = M[X4 ] - (m\ )2. (11)
В (11) необходимо вычислить начальный момент 4-го порядка случайной величины X. Выразим центральный момент 4-го порядка с учетом свойств ФСА
/и4 = M[(X - mx)4 ] = M[X4 - 4XЪmx + 6X2ш2 - 4XmЪx + m4 ] =
= M[X4 ] - 4mxM[X3 ] + 6m2м[X2 ] - 4mЪxM [ X ] + m4• (12)
Из(12)следует
M[X4 ] = /4 + 4mxM[X3 ] - 6m2 (mXc + а^ ) + 3mx =
= /4 + 4mxM[X3] - 6mxoX - 3mx . (13)
Выразим центральный момент 3-го порядка с учетом свойств ФСА:
/и3 = M[(X - mx)Ъ ] = M[X3 - 3X 1mx + 3XmX - mX ] =
= M[XЪ ] - 3mxM[X2 ] + 3m2м[X] - mX. (14)
Из(14)следует
3 2 2 3 2 3
M[X ] = / + 3mx(mx
+ <x) - = / + ^^ + ^ • (15)
Положим, что закон распределения случайной величины X - нормальный. Тогда коэффициент асимметрии и эксцесс равны нулю [16]:
Sk = / / = 0 ^ / = 0, Ex = / / < - 3 = 0 ^ / = 3<4 . (16)
Из (15)-(16) следует
М [ X3 ] = 3mx<2x + mix;
4 4 23 2244224
М[X ] = 3аx + 4mx(3mxax + mx) - 6mxax - 3mx = mx + 6mxax + 3аx;
Ву = M[X4 ] - (m1x +а2х )2 = m¡ + 6m1xG1x + 3<4 - m¡ - 2m1xo1x - а^; (17)
Ву = 4mXаX + 2а4х. (18)
По (18) найдем среднее квадратичное отклонение У при нормальном законе распределения X
а у = k 4mX + < , * = 2. (19)
При равномерном законе распределения случайной величины X коэффициент асимметрии и эксцесс [16]:
Sk = /и3 / аX = 0 ^ /3 = 0, Ex = /и4 / - 3 = -1,2 ^ /и4 = 1,8а4 . (20)
С учетом (20) изменится лишь второй коэффициент в формуле (19): X = 0,8.
http://vestnik-nauki.ru
Из (10) и (19) следует выражение для коэффициента вариации Y:
С _ k 4m2 +
U
Cx 4 + ЛСХ 1 + С2
m
y
k • (mx +Ox)
(21)
На рис. 2 показано изменение коэффициента вариации У при увеличении Сх.
Су 0.8 0.6 0.4 0.2
1
и 0.05 0.1 0.15 0.2 0 25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 Сх
Рисунок 2 - Коэффициент вариации функции случайного аргумента: 1 - при нормальном законе распределения X; 2 - при равномерном законе
Заключение
Таким образом, при малых значениях Сх коэффициент вариации Су зависит от него линейно и превосходит в два раза. Закон распределения случайного аргумента влияет на Су незначительно и только при больших величинах Сх. Данные выводы могут быть использованы при расчетах эффективных значений сил гидродинамического сопротивления в инженерных задачах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гетце Ф., Прохоров Ю.В., Ульянов В.В. Оценки для характеристических функций многочленов от асимптотически нормальных случайных величин // Успехи математических наук, 1996. Т. 51, № 2. С. 3-26.
2. Agafontsev B.V., Bogachev V.I.Asymptotic properties of polynomials in Gaussian random variables // Doklady Mathematics, 2009. V. 80. No 3. P. 806-809.
3. Arutyunyan L.M., Yaroslavtsev I.S. On measurable polynomials on infinite-dimensional spaces // Doklady Mathematics, 2013. V. 87. No 2. P. 214-217.
4. Ульянов В.В. О свойствах многочленов от случайных элементов // Теория вероятностей и ее применение, 2015. № 2. С. 391-402.
5. Naumov V.A. Motion of a solid particle in a rotating fluid // Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 1997. V. 31, No 6. P. 515-519.
6. Наумов В. А. Динамика дисперсной частицы в вязкой среде // Математическое моделирование, 2006. Т. 18, № 5. С.27-36.
7. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Космодамианский А.С., Великанова М.Н. Моделирование осаждения твёрдых частиц в пульпопроводе // Наука и техника транспорта, 2011. № 2. С. 69-78.
8. Великанов Н.Л., Наумов В.А., Кикот А.В., Бояринова Н.А. Методика определения гидродинамического сопротивления плоских элементов рыболовных сетей при поперечном обтекании // Рыбное хозяйство, 2010. № 4. С. 72-75.
9. Наумов В. А. Математическая постановка краевой задачи о равновесии полоски сети ставного невода // Известия КГТУ, 2013. № 28. С. 182-187.
10. Наумов В.А., Агиевич Н.А. Эмпирическая формула для коэффициента гидродинамического сопротивления плоской рыболовной сети при продольном обтекании в автомодельной области // Известия КГТУ, 2014. № 32. С. 238-244.
11. Великанов Н.Л., Корягин С.И., Наумов В.А. Уменьшение отложений в водопроводных и канализационных сетях // Технико-технологические проблемы сервиса, 2015. № 2 (32). С. 20-23.
12. Ахмедов И.М., Наумов В.А. Коэффициент гидродинамического сопротивления криволинейного каната // Известия КГТУ, 2015. № 38. С. 53-60.
13. Липский В.К., Лиштван И.И. Технические средства защиты водных объектов при аварийных разливах нефти. Новополоцк: Изд-во Полоцкого государственного университета, 2009. 304 с.
14. Вентцель Е С. Теория вероятностей. М.: КНОРУС, 2010. 664 с.
REFERENCES
1. Gettse F., Prokhorov Iu.V., Ul'ianov V.V. Otsenki dlia kharakteristicheskikh funktsii mnogochlenov ot asimptoticheski normal'nykh sluchainykh velichin [Estimates for characteristic functions of polynomials in asymptotically normal random variables]. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1996. V. 51, No 2, pp. 3-26.
2. Agafontsev B.V., Bogachev V.I. Asymptotic properties of polynomials in Gaussian random variables. Doklady Mathematics, 2009. V. 80. No 3, pp. 806-809.
3. Arutyunyan L.M., Yaroslavtsev I.S. On measurable polynomials on infinite-dimensional spaces. Doklady Mathematics, 2013. V. 87. No 2, pp. 214-217.
4. Ul'ianov V.V. O svoistvakh mnogochlenov ot sluchainykh elementov [On the properties of polynomials in random elements]. Teoriia veroiatnostei i ee primenenie, 2015. No 2, pp. 391-402.
5. Naumov V.A. Motion of a solid particle in a rotating fluid. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 1997. V. 31, No 6, pp. 515-519.
6. Naumov V.A. Dinamika dispersnoi chastitsy v viazkoi srede [Dynamics of dispersed particles in viscous media]. Matematicheskoe modelirovanie, 2006. V. 18, No 5, pp.27-36.
7. Velikanov N.L., Naumov V.A., Kosmodamianskii A.S., Velikanova M.N. Modelirovanie osazhdeniia tverdykh chastits v pul'poprovode [Modeling of solids deposition in the pipeline]. Nauka i tekhnika transporta, 2011. No 2, pp. 69-78.
8. Velikanov N.L., Naumov V.A., Kikot A.V., Boiarinova N.A. Metodika opredeleniia gidrodinamicheskogo soprotivleniia ploskikh elementov rybolovnykh setei pri poperechnom obtekanii [The method of determining hydrodynamic resistance of flat elements of fishing nets at a cross flow]. Rybnoe khoziaistvo, 2010. No 4, pp. 72-75.
9. Naumov V.A. Matematicheskaia postanovka kraevoi zadachi o ravnovesii poloski seti stavnogo nevoda [Mathematical formulation of the boundary value problem for the equilibrium of the strips of the network stationary nets]. IzvestiiaKGTU, 2013. No 28, pp. 182-187.
10. Naumov V.A., Agievich N.A. Empiricheskaia formula dlia koeffitsienta gidrodinamicheskogo soprotivleniia ploskoi rybolovnoi seti pri prodol'nom obtekanii v avtomodel'noi oblasti [The empirical formula for hydrodynamic drag coefficient of flat fishing nets with longitudinal flow in self-similar region]. Izvestiia KGTU, 2014. No 32, pp. 238-244.
11. Velikanov N.L., Koriagin S.I., Naumov V.A. Umen'shenie otlozhenii v vodoprovodnykh i kanalizatsionnykh setiakh [Reduction of deposits in water and sewer pippelines]. Tekhniko-tekhnologicheskieproblemy servisa, 2015. No 2 (32), pp. 20-23.
12. Akhmedov I.M., Naumov V.A. Koeffitsient gidrodinamicheskogo soprotivleniia krivolineinogo kanata [The hydrodynamic drag coefficient of curvilinear rope]. Izvestiia KGTU, 2015. No 38, pp. 53-60.
13. Lipskii V.K., Lishtvan I.I. Tekhnicheskie sredstva zashchity vodnykh ob"ektov pri avariinykh razlivakh nefti [Technological protection of water objects in case of emergency oil spills]. Novopolotsk: Polotsk state University Publ., 2009. 304 p.
14. Venttsel' E.S. Teoriia veroiatnostei [Probability theory]. Moscow: KNORUS Publ., 2010. 664 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Наумов Владимир Аркадьевич Калининградский государственный технический университет, г. Калининград, Россия, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования, действительный член Российской инженерной академии, действительный член Российской академии естественных наук, E-mail: van-old@rambler.ru.
Naumov Vladimir Arkad'evich Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad, Russia, Chairman of The Water Resources Department, Doctor of Technical Science, Professor, Member of Russian Engineering Academy, Member of Russian Academy of Natural Science, E-mail: van-old@rambler.ru.
Ахмедов Исфендияр Махмуд-оглы Калининградский государственный технический университет, г. Калининград, аспирант кафедры водных ресурсов и водопользования E-mail: isfendi@mail.ru
Ahmedov Isfendiar Mahmud-oglu Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad, the post-graduate student of The Water Resources Department
E-mail: isfendi@mail.ru
Корреспондентский почтовый адрес и телефон для контактов с авторами статьи: 236022, Россия, Калининград, Советский пр., 1, КГТУ, ГУК, каб. 372. Наумов В.А.
8(4012)99-53-37
