CC BY
10МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ НАУКАХ
УДК 53.072
В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, И.Н. Толкачев
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОГО ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ПРОЦЕССА
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
Хорошо известно, что в логистической модели хи+1 = a{xn — x2) 0 < a < 4, последовательность |хи}
может вести себя стохастическим образом. Однако в литературе нет сведений о вероятностных характеристиках этой последовательности таких, как функция распределения и моменты. В статье приводятся результаты обширных вычислений, восполняющие этот пробел.
Ключевые слова: хаос, асимптотическая периодичность, окна периодичности, гистограмма, центрированные моменты.
Сочетание «вероятностный» и «детерминированный» при изучении математических моделей представлялось бы необычным до обнаружения стохастических свойств процессов, описываемых сравнительно простыми уравнениями. В первую очередь, это относится к открытию Лоренцом «странного аттрактора» и к изучению рекуррентных последовательностей типа xn+1 = f {xn). Из последних наиболее известна (и замечательна) так называемая логистическая модель, в которой f {x) = a{x — x2). Качественное понимание явлений в этой модели достигнуто уже давно (см. [1]), однако некоторые вопросы остаются нерешенными. Это объясняется тем, что адекватный математический аппарат для исследования подобных моделей еще не создан и большую часть результатов приходится получать численными методами, не всегда вызывающими доверие у исследователей, предпочитающих строгие доказательства. В этой статье, примыкающей к [4], численными методами оцениваются функция распределения и моменты логистической модели, рассматриваемой как временной ряд или динамическая система.
1. В качестве справочного материала приведем основные сведения о логистической модели [ 1]—[4]. В рекуррентном соотношении
fc — x„2 ) (1)
xw+1 = a{xn xn
параметр а берется из интервала [0, 4]. Это обеспечивает принадлежность xn интервалу [0,1],если из того же интервала берется начальное значение x0 . При а<3,56994567 поведение траектории достаточно простое. Либо существует lim xn, либо (при а>3) почти все траектории асимптотически периодичны с периодами 2 • 2к (к > 0) . Имеются m - окна периодичности, где траектория асимптотически периодична с периодами m х 2к. Например, 3-окно
© Галкин В.М., Ерофеева Л.Н., Толкачев И.Н., 2013.
имеет место при 1 + >/8 < а < 3,8496... .Между окнами периодичности находятся интервалы стохастичности, а нас интересуют вероятностные характеристики траекторий из этих интервалов.
2. Предварим приведение результатов численных расчетов, изложением некоторых теоретических сведений о предполагаемых законах распределения стохастичности в логистической модели.
Предложение 1. При а > 1 и начальном значении х0 из интервала [а, р], где
2 3
_ а а а г )
р = —, а =---, все члены последовательности {хп } принадлежат тому же интервалу.
4 4 16
Доказательство элементарно и заключается в проверке нужных неравенств. Отметим попутно, что а < р.
Предложение 2. Если 0<х0 <а и а >2, то начиная с некоторого п члены последовательности {хп} попадают в интервал [а, р].
Доказательство. хп+1 > хп ^ а(1 - хп ) > 1 ^ хп < 1 - —.
а
1 1 а2 а 1
Разность 1---а = 1-----1--=-(а - 2) (а + 2)> 0, при а > 2. Поэтому, если бы
а а 4 16 16а
члены последовательности {хп} лежали вне [а,р], то последовательность возростала бы.
Но тогда она имела бы предел, который, как нетрудно видеть, был бы равен 1--> а.
а
Противоречие.
Предложение 3. Пусть ¥(х)— функция распределения стохастической величины X, чьи значения являются значениями членов последовательности {хп }.
Тогда ¥(х) = 0, при х <а, ¥(х) = 1, при х >р = а.
Доказательство. По закону больших чисел ¥ (х) есть предел статистической функции распределения ¥* (х), построенной по экспериментальным данным хп для п < N, при N ^ да. Предложения 1 и 2 обеспечивают ¥(х) = 0 при х < а. Второе утверждение следует
из того, что хп+1 < тах а(х — х2 )= , т.е. самое большее х не может быть вне [а, р].
Естественно задаться вопросом, какую часть [а, р] занимают значения хп при х0 е [а, р]. Неожиданными оказались экспериментальные данные, полученные для х1, х2,..., х100 (табл. 1). В качестве х0 было взято 0,5.
Таблица 1
a min xn max xn а ß
3,5 0,382819 0,874997 0,382813 0,875
3,6 0,324364 0,899870 0,324000 0,900
3,7 0,258610 0,924388 0,256688 0,925
3,74 0,227476 0,934940 0,227299 0,935
3,8 0,180531 0949989 0, 180500 0,950
3,9 0,095062 0,974974 0,095062 0,975
Эти данные оправдывают предложение, что а = inf (х), ß = sup (х).
F(x)>0 F (х )<1
3. При исследовании распределения значений последовательности {хи } внутри интервала [а, р] следует учитывать два обстоятельства. Относительно теоретической функции распределения F(х) a priori неизвестно, обладает ли она плотностью вероятностей. Если рассматривать значения а, не входящие в области стохастичности, то это заведомо не так.
Асимптотическая периодичность ведет к тому, что при N ^да частоты появления определенных значений будут стремиться к нулю для тех из них, которые отличаются от значений предельной периодической траектории. Распределение становится дискретным и F'(х) не существует.
Случай a = 4 дает иное. Здесь есть явное выражение для хп : хп = sin2 ((2"t) Поведение
хп зависит от поведения 2nt по mod %, т.е. от двоичного разложения числа —, определенно-
%
го начальным условием. Из метрической теории чисел известно, что в двоичных разложениях почти всех чисел значения 0 и 1 встречаются одинаково часто, т.е. 2nt mod % распределено равномерно на [0, %]. Отсюда легко найти и распределение хп . Его плотность дается вы-
,М 2 1 ражением f (х) =
% S¡х(1 - х)
Таблица 2
Другое обстоятельство связано с проведением компьютерных вычислений. Компьютерная ошибка в вычислении хп и растет экспоненциально порядка а" . Действительно, если ошибка в определении хп есть Ап, то Ап+1 « а(1 - 2хп)Дп. Поскольку а в расчетах >3, то погрешность даже при сравнительно небольших п становится существенной. Фактически при вычислении происходит усреднение значений хп для различных начальных данных. От-
сюда следует, что при построении гистограмм зависимость от начального значения х0 должна мало проявляться. Так оно и оказалось в результате расчетов. В табл. 2 приводится ряд гистограмм, полученных по 10000 первых значений хп . Интервал [0,1] делится на 50 подин-тервалов так, что основания прямоугольников в гистограммах равны 0,02.
Визуальный анализ гистограмм приводит к следующим выводам. Наличие лакун (при а = 3,60 и а = 3,64) означает, что область значений хп может быть несвязной. Далее наличие больших выбросов свидетельствует в пользу разрывности функции распределения. Гистограмма для а = 3,84 соответствует траектории из 3 -окна. Последняя асимптотически периодична с периодом 3. Периодичность именно асимптотическая, т.е. разность хп+3 — хп лишь стремится к 0 при п ^ да, но от нуля отлична. Аналогичный вывод можно сделать в случае а = 3,74. Соответствующая траектория_находится в 5-окне. Это объясняет результат, полученный из вычисления показателя Херста. Значение показателя для а = 3,74 должно быть равно нулю, как это имеет значение для окон периодичности. Может показаться неожиданным, что 5-окно находится между 2- и 3-окнами. Наконец, при а = 4 наблюдается очень хорошее приближение к теоретическому распределению.
4. Оценки математического ожидания и центральных моментов производились по формулам:
х = -1 £хп, тк = - £(хп — хУ.
^ N<п П п<Ы
Значение N бралось равным 10 000. Результаты для тех же значений а, которые использовались для составления таблицы, приведены в табл. 3.
Таблица 3
а 3,60 3,64 3,70 3,74
х 0,6464541941 0,6533017856 0,6676716338 0,6316760141
М2 0,04898453 0,04701964 0,04144264 0,06375505
Мз -0,00186490 -0,00347736 -0,00572293 -0,00624473
М4 0,00306926 0,00347182 0,00392354 0,00749077
М5 -0,00028323 -0,00055998 -0,00102891 -0,00156973
Мб 0,00021872 0,00031283 0,00048794 0,00104617
М7 -0,00003200 -0,00007250 -0,00016274 -0,00030166
М8 0,00001706 0,00003165 0,00006848 0,00015754
М9 -0,00000330 -0,00000884 -0,00002521 -0,00005307
Мю 0,00000142 0,00000343 0,00001019 0,00002462
Таблица З(продолжение)
а 3,80 3,84 3,90 3,96 4,00
х 0,6417085596 0,5323780944 0,5919962520 0,5487472755 0,5026727803
М2 0,06104216 0,11030207 0,08973320 0,10906247 0,1243422651
М3 -0,00728511 0,00721588 -0,00494431 -0,00398569 -0,000618231
М4 0,00717988 0,01825103 0,01273429 0,01859092 0,023235929
М5 -0,00175536 0,00198922 -0,00187597 -0,00157263 -0,000237661
Мб 0,00106262 0,00307232 0,00216739 0,00357068 0,004832788
М7 -0,00035399 0,00046080 -0,00052327 -0,00049327 -0,000075173
М8 0,00017796 0,00052279 0,00041192 0,00073432 0,001056232
М9 -0,00006863 0,00009841 -0,00013167 -0,00014187 -0,000022033
Мю 0,00003197 0,00008984 0,00008421 0,00015846 0,000237533
Начальное значение х0 для табличных данных выбрано равным 0,6, кроме случая а = 4, где х0 = 0,8. Однако проводились вычисления и для других значений. Так, для х0 = 0,6
и х0 = 0,8 разница результатов наблюдалась в 3 и 4-м знаках. Исключение составил случай a = 4. Для него при х0 = 0,6 получилось х = 0,515654, M2 = 0,120855. Причина сравнительно больших расхождений объясняется тем, что х0 = 0,5 приводит к хп = 0 и N = 10000 недостаточно для получения более точных оценок при х0 близком к 0,5. При х0 = 0,8 табличные данные можно сравнить с теоретическими. Последние проще всего получить следующим образом.
Из хи = sin2 (2nt )=1 + 1cos(2n+1t) следует, что х = —. Для получения точных значений
f 1 Y
Mk надо усреднить значения I - — cos X I в предположении равномерного распределения X.
Но 1 cos XI =
k fjx, „-¿хЛk
e + e 4
Биномиальное разложение и обращение в нуль среднего значения экспоненты дает
к/
с(2 к
Мк = к при к четном и 0 при к нечетном. Здесь Ск2 - биномиальный коэффициент.
Числовые значения таковы: х = 0,5;М2 = 0,125; М4 = 0,023438; М6 = 0,004883; М8 = 0,001068; М10 = 0,000240
5. Определенный интерес представляет вопрос о существовании и нахождении периодических последовательностей {хп }. Для последовательности периода к имеем хп+к = хп для всех п . Достаточно, впрочем, рассматривать это уравнение при п = 0: х0 = хк. Вывод, сделанный при анализе табл. 1, позволяет ввести замечательный класс периодических последовательностей, для которых х0 = а. Уравнение х0 = хк превращается в алгебраическое урав-
ок+1 1
нение степени 2 — 1 относительно а .
Здесь мы не будем анализировать это уравнение, а приведем лишь результаты численного счета для некоторых к :
• к = 2. Уравнение седьмой степени для а имеет корнями 0, 2, 1 ±л/5, причем ненулевые корни имеют кратность 2. Нетривиален лишь случай а = 1 + л/5, приводящий к последовательности из 2-окна периодичности;
• к = 3. Уравнение 15-й степени для а имеют семь действительных корней - 0, 2 (кратности 2), Х = 3,831874... и 2 — X (оба кратности 2). И здесь нетривиален лишь случай а = X, приводящий к последовательности из 3-окна периодичности;
• к = 4. Из 31 корня действительными являются - 15. Это 0, 2, 1 ±л/5, Х1 = 3,498561..., Х2 = 3,960270..., 2 — Х1, 2 — Х2. Ненулевые корни имеют кратность 2. Значение а = X! принадлежит 2-окну, но другое а = Х2 выходит за его пределы. Период последовательности составляют х0 = 0,998067, х1 = 0,038944, х2 = 0,148224, х3 = 0,500000. Расчеты для а, близких к Х2, показывают, что Х2 принадлежит 4-окну периодичности;
• к =5. Здесь выявляются три 5-окна, соответствующие а = 3,738914913; 3,905766470; 3,990267047. Укажем период для первого из этих значений: х0 = 0,934728;х1 = 0228114; х2 = 0,658342; х3 = 0,840985; х4 = 0,500000.
Библиографический список
1. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. По-мо, К. Видаль. - М.: Мир, 1991.
2. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. - М.: Меркурий Пресс, 2000.
3. Хаос и две задачи Рамануджана / В.М. Галкин [и др.] // Прогрессивные технологии в Машино-и приборостроении: сб. ст. - Н.Новгород - Арзамасс, 2010.
4. Галкин, В.М. Логистическое отображение: некоторые экспериментальные данные / В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, И.Н.Толкачев // Труды НГТУ. 2011. №4(91).
Дата поступления в редакцию 19.02.2013
V.M. Galkin, L.N. Erofeeva, I.N. Tolkachev THE PROBABILITY CHARACTERISTICS OF A DETERMENING PROCESS
Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev
The aim of this paper is to give some information about the stochastic behavior of the sequence {xn}. This sequence is recurrent one and xn+1 = a(xn - x2 ),0 < a < 4. The histograms and central moments Mn (n<10) for some values of a are given. The remarkable class of the periodic sequences is founded.
Key words: Haos, asimptotic periodicy, periodicy windows, histogram, central moments.
