О свойствах динамических окон в дискретных отображениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.857

О СВОЙСТВАХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОКОН В ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

Д. С. Чернавский, А. П. Никитин, О. Д. Чернавская, Д. С. Щепетов

Проблема возникновения и исчезновения динамических окон в дискретных отображениях важна и интересна как в фундаментальном, так и в прикладном аспектах. В работе проведено аналитическое и компьютерное исследование возникновения динамических окон и их структурной (параметрической) устойчивости. На примере модели кубического отображения показано, что переход в окно и выход из него зависят от характера изменения управляющего параметра, от начальных условий и от деталей расчетной схемы. В реальных задачах точность исходной информации всегда ограничена, поэтому и точность расчета должна быть адекватна целям задачи. Показано, что обработка данных в рамках модели с большей точностью не только нецелесообразна, но может привести к артефактам.

Явление динамического хаоса в одномерных дискретных отображениях x,+i = F(xí) активно исследовалось как аналитически, так и в ходе компьютерных вычислительных экспериментов (см. обзор в [6]).

Кубическое отображение xt+i = z/(z, — xf) [4, 8] представляет особый интерес, так как может служить простой моделью такого понятия теории динамических систем как "перемешивающий слой" [2, 3, 5]. При 0 < и. < 1 имеется единственное устойчивое стационарное состояние х — 0. При 1 < v < 2 существуют два устойчивых состояния (положительное и отрицательное), а конечный результат определяется начальными условиями. При 2 < v < vcr = Зл/3/2 ~ 2.598 может иметь место хаотический режим, но смены знака х, не происходит. При и > vCT имеют.место как хаотические, так

и динамические режимы. При этом происходят перескоки от положительных к отрицательным значениям ж,- при любых начальных условиях, таких, что [гг:г | < ^(и + 1)/г/ и

1 ф 0; 1. При V > 3 величина |х,| неограниченно возрастает.

В [2] принималось, что управляющий параметр V медленно и монотонно уменьшается с возрастанием номера итерации, например, по экспоненциальному закону г/ = 1/0ехр(—где 7 << 1, исг < г/0 < 3. В настоящей статье мы акцентируем внимание на другом аспекте кубического отображения: при изменении управляющего параметра и в области V > 1/сг хаотическое поведение системы перемежается сравнительно узкими областями Аи (так называемыми "окнами"), в рамках которых возникают устойчивые циклы и поведение системы жестко детерминировано.

Проблема возникновения и исчезновения динамических окон важна как в фундаментальном, так и в прикладном аспектах. Дискретные модели часто используются в естественных и технических науках, в экономике и социологии. В хаотическом режиме горизонт прогнозирования поведения системы ограничен, а в случае образования "окна" - бесконечен. Переход в окно и выход из него зависит от изменения управляющего параметра, от начальных условий и, что важно, от деталей расчетной схемы (точности и характера округления).

Аналитическое исследование возникновения и устойчивости окон. Динамическим окном будем называть интервал Аи, внутри которого имеется притягивающий цикл, содержащий к итераций. Уместно сделать несколько замечаний.

I) Предполагается, что длина периода конечна и не велика. Дело в том, что в реальных задачах длина Ь наблюдаемой последовательности {х,} всегда ограничена. Если к > Ь, то такая последовательность неотличима от хаотической.

II) Слова "притягивающий цикл" означают, что существует конечный интервал начальных условий Ах, таких, что все траектории, выходящие из этого интервала, с течением времени выходят на один и тот же цикл длины к. Это означает, что окно динамически устойчиво (не исчезает при малых вариациях начальных условий).

III) Интервал управляющего параметра Аи конечен и достаточно велик. Это означает, что этот интервал должен быть больше допустимой в данной задаче погрешности измерений параметра (или компьютерного счета): Аи > 61/. В этом случае динамическое окно можно считать параметрически (или структурно) устойчивым.

IV) Понятие "цикл длины к" должно быть уточнено. В действительности, в окне имеет место квазипериодический режим. Он содержит два (или более) перемежающихся цикла одинаковой длины к с близкими промежуточными значениями ж,-.

Известно [5], что динамическая устойчивость периодических решений зависит от величины

А =

к-1

1, (1)

П П*) ¿=0

где .Р'(ж,-) - первая производная функции ^(х,) в точке х,-. При А < 0 цикл устойчив. Величина А играет ту же роль, что и число Ляпунова в континуальных динамических системах. Из (1) вытекает ряд следствий.

1) Если цикл содержит точку Хо, соответствующую вершине х„ функции ^(х), то

Р\ху) = 0 и А = — 1, т.е. цикл устойчив. Если точка хо близка к вершине, так что

к-1

|^'(хо)| = е < 1, то знак А зависит от величины П Производные -^'(х,) в осталь-

¿=1

ных точках хг не равны нулю и могут быть достаточно велики. Если цикл не содержит точек внутри интервала х„ =Ь Дх0 (|-Р'(х„ ± Ах0)| > 1), то цикл наверняка неустойчив.

2) Длина устойчивого цикла к должна быть достаточно мала. Из (1) следует, что в

таком цикле 1п|^'(х,)| < к\п(\Г(ху ± Дх0)|). Обозначив 1п|^'(х,)| = к{\п\Г(х{)\),

, . 1п(Йх,±Лх0)|)

получим оценку для длины устойчивого цикла к < --—————г-. Величина

(1п|^'(х,)|)

^(^'(хщ ± Дхо)|) зависит от точности определения величины Хо и/или точности счета. Величина (1п|^'(х,)|) в силу усреднения является грубой (в смысле Андронова), т.е. слабо зависит от малых девиаций начальных условий.

Структурная устойчивость динамических окон. Обсудим вопрос, при каких значениях параметра и могут возникать динамические окна и какова их структурная (параметрическая) Устойчивость. Пусть имеется отображение:

х,+1 =^(г/,х,)- (2)

Цикл длины к при данном и существует, если:

х0- хк = 0. (3)

Согласно (2), хк = ^^х^х) = .Р(г/, х*_2)) = ^(г/, Р(ь>, .Р(г/, х^_3))) = ... = _Р(г/, -Р(г/, F(^', х0)...). Тогда условие (3) приобретает вид

Р{у, к) = ^(г/, ^(г/, х0)...) - х0 = 0, (4)

где к) = х*_х).

Выражение (4) является алгебраическим уравнением, определяющим значения параметра. Цикл длины к существует при тех значениях и, которые являются вещественными и положительными корнями уравнения (4). Обозначим такие корни где ]-номер корня.

Цикл, соответствующий корню структурно устойчив при следующих

условиях.

1) При малых изменениях и величина Г(и,к) в области и = к) меняется мало.

к)

Отсюда следует условие ---

ди

дают два (или более) корня функции к). Далее такие точки будем обозначать как

= 0. Оно означает, что в точке Р3{к) совпа-

1У=и3(к)

1>^\к). Дополнительную информацию дает вторая производная а = ———-

Ширина окна Аи обратно пропорциональна корню из этой величины.

2) Точки существования и устойчивости других циклов г/''(/) (длины I ф к) не должны совпадать с точками (или располагаться вблизи них). Иначе может воз-

никнуть перемежаемость, т.е. непредсказуемые перескоки с цикла длины к на циклы длины I и обратно. Если / кратно к, совпадение корней неизбежно, но оно не приводит к перемежаемости.

Обсудим случай, когда корни уравнения (4) сближаются, так что между ними остается интервал Аи = е « 1. Внутри Аи функция К(х) не равна нулю, но мала в меру Р(х) = 2ае2. Это означает, что конечная точка цикла не совпадает с гь: Хк = хо + 8х (где 8х = 2ае2). Девиацию 8х можно компенсировать изменением х^ так, чтобы Р(иа, хо + <5жо) = гДе ^а- любое значение внутри А и, а величина ¿хо того же порядка, что и 8х. При этом должно соблюдаться условие динамической устойчивости цикла, т.е. К'(хо + 8хо) << 1- Последнее накладывает ограничение на величину 8хо и, следовательно, на ширину окна Ар.

На рис. 1 показан вид кривой Р{у < иСТ: к = 8) для кубического отображения. Видно, Нсщримср^ что окно в окрестности V ~

2.7 возникло в результате сближения двух корней, а окно при V и 2.84 - в результате скопления многих корней.

На рис. 2 показана экспериментальная зависимость А*(г/) = /--- х

\ Ь/ — Ь3

Ь/ \

У^ 1п|.Р'(г/, хг)| ), где усреднение выполнено по набору из М = 1000 последователь-

i=La+\ /

ностей {х{} с генерируемыми случайным образом начальными значениями, а^и!/ -достаточно велики.

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6

2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.95 3

v

Рис. 1. Вид функции F(v,k) при к = 8.

X*

2

Рис. 2. Усредненная характеристика устойчивости траекторий A*(i/).

Для визуальной оценки поведения системы может быть использована развертка ряда {х,}. На рис. 5а показан фрагмент модельной последовательности для кубического отображения при значении параметра г/, соответствующем хаотическому режиму. Для сравнения на рис. 7а показан вид последовательности при попадании в динамическое окно.

При v > vCT информативны события смены знака в парах {x,-_i;x,-} (перескоки между квадрантами диаграммы Ламерея [5]). Поэтому дополнительно к периоду цикла к можно ввести понятие "периодичность" Р, под которой ниже понимается характерное количество элементов последовательности, через которое происходит изменение знака Х{. Так, на рис. 7а период к — 6 сочетается с периодичностью Р = 3 элемента.

Численный эксперимент проводился путем сканирования по диапазону параметра v € [2.59...3.00) с различными шагами Av. Для каждого Vj в качестве базовой ста-

F(v, 8)

44^ fiUjiLLj ГтГт г-р-ц-а 104

!

h---------------

.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.

v

А(У), %

А(У), %

2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9 2.55 2.6 2.65 2.7 2.75 2.8 2.85 2.9

V V

Рис. 3. Зависимость А{ь>) при Аь> = Ю-5. Рис. 4. Влияние динамического округления до Ах = Ю-5 на зависимость А(и) (ср. с рис. 3).

Рис. 5. Реализация последовательности при и = 2.65, = 0.2 без округления (вверху, а), с динамическим округлением до Ах = Ю-4 (в середине, Ь), Ах = 10_3 (внизу, с).

тистики оценивалась величина А(1/), равная отношению числа перескоков к длине Ь анализируемой последовательности. Максимальное значение А(и) составляет 50%, т.е. соответствует ситуации, когда смена знака х происходит через каждые два элемента. Дополнительно проводилось усреднение А(и) по набору из X последовательностей (см. рис. 3).

A(v), %

Рис. 6. Зависимости Ат(у) при стохастическом округлении до Ах = 10 4 faj и до Ах =

ю-3 (Ь).

Отметим, что "идеализированное", моделируемое с помощью компьютерного представления вещественных чисел (например, 80-битный тип extended обеспечивает до '20 значащих цифр) кубическое отображение в закритической области и > vcr проявляет целый набор особенностей: чередование периодичностей и т.п. На самом деле, в практических измерениях такая точность не реализуется. Под "измерениями" здесь могут пониматься результаты любых наблюдений, опытов, анализов, получаемых в технических, естественно-научных, социально-экономических, медицинских и иных исследованиях.

Проблема точности измерений. Динамическое округление. Для описания любых реальных результатов достаточно конечного количества значений. Например, если принять предельную точность в 6 значащих цифр, то любые значения можно представить в виде (a, bcdef)l09. В этой записи a может варьироваться от 1 до 9, стоящие после запятой 6, с, d, е, / - от 0 до 9, а показатель степени g для любых мыслимых измерений не выходит за пределы интервала (-100, +100). Тогда общее количество возможных значений не превысит 9 • 105 • 201, т.е. составит менее 200 миллионов.

Рис. 7. Реализации при V = 2.7025, хх — 0.75 в пределах окна Иг3 без округления (а) и со стохастическим округлением до Ах = Ю-4 (Ь), Ах = 10_3 (с).

Изучение ошибок округления, влияющих на пространственную дискретность динамических систем с дискретным временем (отображений), является объектом значительного интереса за последние два десятилетия. Отметим, в частности, работы М.Л. Бланка из ИППИ РАН [1]. Был развит математический аппарат для теоретического исследования асимптотических свойств подобных систем. Показано, что влияние даже достаточно малых ошибок округления может кардинально изменить поведение сложной хаотической системы в рамках рассматриваемой модели. Результирующее поведение очень чувствительно к тонкой структуре фазового пространства дискретизации, соответствующей этим ошибкам [7, 9].

Нами были исследованы свойства окон в кубическом отображении при округлении до ближайшей значащей цифры при различных дискретностях Ах: 10~8...10~3 (так называемое "динамическое округление"). Из рис. 4 видно, что особенностью такого округления являются "размывание" тренда А{р) и появление многочисленных "выбросов". При грубом округлении фактически весь интервал V состоит из динамических процессов и хаос практически отсутствует.

Следует отметить, что формальное применение округления имеет существенный недостаток: значительная часть последовательностей (а при некоторых V все) фактически вырождается, когда на каком-либо шаге происходит округление хг- до 0, -1 или +1. Исключение составляют только те {хг}, в которых сравнительно быстро формируется какой-либо устойчивый цикл. В качестве альтернативы был, например, опробован алгоритмический вариант Ш(Ах) - округление х,- до ближайшей дискретности Ах, если окажется, что х, равен -1, 0 или 1, то округление до уровня Ах/10. Если и на этом уровне х,- оказывается равен -1, 0 или 1, то переход к уровню Ах/100 и т.д.

На рис. 5 приведены примеры последовательностей с динамическим округлением. На рис. 5Ь при Ах = Ю-4 выделяется цикл с периодом к = 42 и периодичностями Р =4, б, 7 и 15 элементов. При округлении до Ю-3 (рис. 5с) появляется цикл с периодом А: = 14 и периодичностью Р = 7 элементов. Это пример того, как в результате динамического округления возникают артефактные особенности в виде дополнительных устойчивых циклов.

Таким образом, при динамическом округлении хаос исчезает. Физический смысл этого явления прост. Если малая девиация в неустойчивом цикле при возвращении в исходную точку возрастает, но оказывается меньше Ах, то после округления полученное значение х, точно совпадает с исходным х,. Это означает, что эффект неустойчивости исчезает.

Еще раз подчеркнем, что при постоянном V и при любом динамическом округлении хаос, говоря математически строго, отсутствует. Например, при округлении до Ах = Ю-4 число возможных значений составляет порядка N ~ 2 • 104. Так как х, детер-минированно определяет х,+1, то максимальный период цикла составляет N элементов. Поэтому наличие "хаоса" можно постулировать только таким образом, что периодические циклы не обнаруживаются при наблюдении некоторого априорного заданного числа Ь элементов последовательности {ж,}.

Стохастическое округление. Под "стохастическим округлением" понимается вариант, при котором округление до кратности Ах вверх или вниз производится случайно и равновероятно. На рис. 6 показаны зависимости Ащ(1/, Ах) с различной дискретностью Ах на интервале и Е (2.63; 2.72), позволяющем отразить мелкомасштабные особенности поведения кривых.

Уже при округлении до Ах = Ю-4 зависимость становится гладкой и исче-

зают все артефакты (см. рис. 4), а также исходные особенности в виде "особых точек" (ср. рис. 3). При этом еще сохраняется устойчивый цикл У/2 в области и и 2.641 и ги-

перустойчивый цикл \¥3 в окрестностях V и 2.70. При Ах = Ю-3 окно \У2 полностью исчезает, а \УЗ сохраняется, хотя и несколько суженное. В качестве иллюстрации на рис. 7 приведены развертки для гиперустойчивого окна \УЗ. Видно, что при Ах — 10~1 цикл сохраняется, а при Ах = Ю-3 начинает "разрушаться" - при этом фрагменты из нескольких периодов цикла чередуются с интервалами "хаотического" поведения системы.

Итак, при грубом стохастическом округлении исчезают, во-первых, циклы-артефакты, проявившиеся при динамическом округлении, и, во-вторых, даже некоторые гиперустойчивые циклы. Физический смысл этого также прост. Если в гиперустойчивом цикле мы возвращаемся практически точно в исходное положение, то при стохастическом округлении мы приходим в соседнее положение, соответствующее кратности Ах. Причем это положение случайно в силу случайности направления округления. Таким образом, стохастическое округление по сути аналогично случайным внешним воздействиям на систему ("шумовому полю").

В работе показано, что рассматриваемое простое кубическое отображение демонстрирует целый ряд интересных эффектов, в частности, динамические окна в области хаотического поведения системы. Важно подчеркнуть, что характерные свойства этих окон существенно зависят от способа округления измерений.

В современной науке все большую роль при исследовании свойств динамических моделей играет компьютерный эксперимент. Он призван дополнить (или заменить) традиционный аналитический метод. Однако эти подходы иногда вступают в противоречие, чему посвящена обильная литература. Причина разногласия в том, что при компьютерных расчетах используется дискретное представление вещественных чисел и точность его всегда ограничена. При аналитических исследованиях фактически предполагается, что исходные данные (начальные условия и параметры) заданы с бесконечной точностью.

Если процесс, описываемый моделью, динамически и структурно устойчив, то оба подхода приводят к одинаковым результатам. Если же процесс неустойчив, то возникают противоречия, поскольку малые различия начальных условий и/или параметров нарастают со временем, приводя к большим расхождениям. В этом случае возникает вопрос: какой из подходов адекватен целям задачи. Дело в том, что в любой конкретной задаче параметры и начальные условия задаются с определенной конечной точностью. Последняя определяется целью постановки задачи и возможностями измерения физических величин. Превышение точности не целесообразно, это утверждение очевидно и

не ново. Менее очевидное утверждение: превышение точности может привести к артефактам, т.е. предсказанию эффектов, которые отсутствуют при менее и более точных расчетах.

Отметим, что проблема точности расчетов вставала в физике и ранее, еще до эры компьютеров, при описании неустойчивых процессов. Были введены понятия "гугол" (число Ю100) и "обратный гугол" (число порядка Ю-100). Показано [5], что все известные физические величины в нашей Вселенной не выходят за эти рамки. Характерная точность современных компьютерных вычислений существенно ниже (порядка Ю-20). В большинстве реальных задач целесообразная точность еще ниже (порядка 5-7 десятичных знаков).

Появление артефактов зависит также и от характера округления. Подчеркнем, что это замечание носит не математический, а скорее физический (или методологический) характер. В реальных задачах мы всегда имеем дело с округленными величинами. Любая реальная система погружена в шумовое поле, влияние которого и определяет достоверность последней значащей цифры. Поэтому значимы только те утверждения, которые сохраняют силу в шумовом поле, характерном для данной задачи. В частности, при округлении до Ах = Ю-3 утверждения об устойчивых циклах, порог устойчивости которых меньше Ах, к реальным задачам уже не относятся.

Работа выполнена при поддержке Российского гуманитарного научного фонда (грант РГНФ N 04-03-00069а).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Б л а н к М. Л. Успехи математических наук, 44(6), 3 (1989).

[2] К о л у п а е в А. Г., Ч е р н а в с к и й Д. С. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 1-2, 12 (1997).

[3] К у р д ю м о в С. П., Малинецкий Г. Г., Чернавский Д. С. Препринт ИПМ N (ИПМ, Москва, 2005).

[4] Л о с к у т о в А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. Наука, М., 1990.

[5] Ч е р н а в с к и й Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации). Изд. второе. Эдиториал УРСС, М., 2004.

[6] Чернавский Д. С., Никитин А. П., Чернавская О. Д. и др. Препринт ФИАН N 11 (ФИАН, Москва, 2006).

[7] G г е Ь о g i С., Ott Е., Y о г k е J. A. Phys. Rev. А 38, 3688 (1988).

г

[8] R о g е г s Т., Whitley D. С. Math. Model. 4, 9 (1983).

[9] V i v а 1 d i F. Experimental Mathematics 3(4), 303 (1994).

Поступила в редакцию 28 ноября 2006 г.