CC BY
18
УДК 544.05170
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПЕРЕМЕШИВАЮЩЕГО СЛОЯ МЕТОДОМ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
А. Г. Колупаев, Д. С. Чернявский
Обсуждаются свойства перемешивающего слоя г, динамических системах и его роль при генерации информации и эволюции ее ценности. Эти явления играют важную роль при биологической эволюции, принятии решении у творчестве. Исследование проводится на пример! математической модели типа кубического отображения. Показано, что в момент генерации информация ими-m нулевую ценность, но затем ее ценность возрастает. Предложен критерий эффективности и onpedt и н они -малъный момент принятия решения.
Явление "перемешивающий слой" играет важную роль в ряде актуальных проб:i> vi информатики и биофизики [1].
В науке об информации (информатике) сейчас актуальна проблема генерации ни формации и эволюции ее ценности.
Напомним: под генерацией информации понимается случайный выбор одного ич ноч можных вариантов и запоминание его. Под рецепцией информации понимается выбор, продиктованный извне. Ценность информации, согласно Бонгарту и Харкевичу [2, 3]. равна: V = log.¿(Pout/Р{п), где Pout и P¡n - вероятности достижения цели соответственно после получения (генерации или рецепции) информации и до этого.
Ясно, что в системе, способной генерировать информацию, должен иметь место ха отический режим (для того, ч тобы выбор был случайным), который затем сменяется динамическим (для запоминания), то есть должен быть перемешивающий слой.
13 биофизике генерация ценной информации происходила (и происходит) в гечепц< эволюции (начиная с возникновения жизни) и в нервной системе высших сущес тв.
Отсюда ясна актуальность исследования свойств перемешивающего слоя.
Перемешивающий слой определяется как область фазового пространства, обладаю щая следующими свойствами:
(!) Все траектории, выходящие из заданной области начальных условий, попадаю! в перемешивающий слой;
(2) Внутри перемешивающего слоя поведение траекторий хаотично, то есть ж I ро имя Колмогорова [4] достаточно велика, система глобально неустойчива и временной горизонт прогнозирования мал.
(3) Все траектории, попавшие в перемешивающий слой, выходят из него и попадаю т в динамический мультистационарный слой, в котором существуют, по меньшей мере, два устойчивых стационарных состояния.
От странного аттрактора перемешивающий слой отличается свойством (3).
В системах с перемешивающим слоем можно ввести два понятия: временной и про сгранственный горизонт прогнозирования. Временной горизонт прогнозирования широко используется в стохастических процессах. Временной горизонт прогнозирован и: представляет собой интервал времени Д/, в течение которого можно с вероятностью, близкой к единице, предсказать состояние системы в момент времени £ + Д<, если оно известно в момент /. По порядку величины Д£ = 1/А, где А - число Ляпунова, характеризующее неустойчивость системы. Временной горизонт прогнозирования являет ¡ я временем запоминания, если он мал по сравнению со временем процесса. IIрогI ран ственный горизонт прогнозирования 8х имеет смысл только в перемешивающем слое: величина 8х интервал начальных условий, которые приводят (с высокой вероятностью) к одному и тому же конечному состоянию.
Если перемешивающий слой достаточно велик и энтропия Колмогорова в нем до ста т очно велика, то пространственный горизонт прогнозирования очень мал1.
Отсюда следует, что зная начальные условия с точностью Ах (такой, что Д.г <*>./ ), практически невозможно предсказать, в какое именно конечное состояние попадае т система.
Простейший пример системы с перемешивающим слоем - китайский биллиард (рис. 1). Он представляет собой шарик, движущийся по наклонной плоскости, усе янной штырьками и имеющей две лунки ("красная" и "черная"). Движение шарика описывается законами Ньютона с учетом трения. Вначале (до первого соударения со
'Формально перемешивающий слой можно считать динамической системой со сложной структурой фазового пространства.
Рис. 1. Схема китайского биллиарда; а - входной динамический режим, Ь перемешивающаи слой, с - выходной динамический режим.
штырьком) поведение шарика динамично (входной динамический слой). В середине, когда шарик отражается от штырьков (которые играют роль выпуклой отражающей стенки в биллиарде Синая), движение шарика хаотично - это и есть перемешивающий слой. В конце, когда движение шарика замедляется, он попадает в область притяжения одной из лунок и скатывается в нее. В этой области поведение шарика динамично и предсказуемо (выходной динамический слой).
Математическая модель китайского биллиарда (так же как и биллиарда Синая) ■ держит четыре динамических переменных (две координаты и две скорости). Она может быть представлена в форме системы из четырех уравнений, исследование которой до статочно сложно.
Более простая модель, обладающая теми же свойствами, это одномерное кубиче ской отображение
хп+1 = 1у(п)хп(\ - х2п), г/(п) = 1У0е"уп: -у < 1; 1/0 > иСГ и 2,598, (1)
Птах — 7-11ш/о.
Поведение отображения (1) при постоянном значении параметра V исследовалось в рабо тах [о]. Удобным методом исследования одномерных отображений является диа! рамма
Ламерея. Начальное значение х0 задается на оси хп, затем восстанавливается перле и дикуляр до пересечения с функцией /(х„) = и{п)хп{\ - х2п), проводится линия, параллельная оси абсцисс, до пересечения с биссектрисой, и далее процедура повторяется. II, рис. 2 приведена диаграмма Ламерея при V — 2,698 > иСТ.
Рис. 2. Диаграмма Ламерея отображения (1) при и > 2,598.
В модели (1) имеют место следующие бифуркации. При и < 1 в нуле имеется един ственное устойчивое стационарное состояние. При 1 < и < 2 существуют два устойчивых стационарных состояния - одно в положительном квадранте и другое в очрина тельном. Конечный результат определяется начальными условиями. При 2 < V < и имеет место хаотический режим, но точка остается в одном и том же квадранте, го ее гь выбор квадранта так лее предопределен. При у > исг — 2,598 тоже имеет место хаотнче ский режим, в котором точка перескакивает из одного квадранта в другой при любых начальных.условиях. При и > 3 величина хп неограниченно возрастает с увеличением п.
В модели (1), благодаря зависимости I/ = ^(п), система с течением времени проходит все бифуркации, за исключением последней (г/ = 1). Перемешивающему слою соответствует интервал значений параметра uq : 3 > uq > vCT.
Исследование пространственного горизонта прогнозирования 6х проводилось в среде Obasic. Значение ¿х, при котором вероятность достоверного прогноза выше 0,5, завис» г от параметра и0 и уменьшается с увеличением последнего (рис. 3). Видно, что имеется достаточно узкий интервал 2,68 < vо < 2,8, в котором эта зависимость имеет резкий характер. При v0 > 2,68 величина 8х уменьшается с ростом i/0, но не так резко. При г/о < 2,68 величина 6х « 1.
Интерпретировать эти результаты удобнее всего на примере игры типа рулетки. Пусть некто, игрок, выбирает одно из возможных конечных состояний (делает ставку, для определенности, в положительный квадрант). Сделанный игроком выбор заломи нается до окончания игры (иначе выигрыш не получишь), и потому является макроин формацией. Количество ее в нашем случае невелико, Igen = log22 = 1 бит.
Рис. 3. Зависимость пространственного горизонта прогнозирования 6х от параметра и,, при значении параметра 7 = Ю-3. Интервал 2,68 < 1У0 < 2,8 соответствует выходу из перемешивающего слоя.
Пусть некто другой, крупье, знает расположение интервалов Ьхf и 6xJ, приводящих к положительному и отрицательному квадрантам, и может фиксировать положение том ки хп с точностью Ах в любой момент времени ■■■,tm ■■■,tmax- Последнее означаем. что наблюдаемая (рецептируемая) координата хп отличается от истинного значения х'п; распределение величин хп — х'п нормально, и вероятность застать данное значение хл — х'п равна:
- о = -4=г-(хп~х")2/2а; * = Д*2.
VZ7TCT
Информация о координатах рецептируется (не генерируется) и сохраняется в течение времени At. В начале процесса, когда At мало (At <С Т, где Т - полное время процесса), фиксация координаты является микроинформацией, в конце процесса At ~ Т. и она должна рассматриваться как макроинформация. Количество рецептируемой информации равно Irec = —log2(Ax/AX) 1, где АХ - весь интервал возможных значений координаты (АХ = 2).
Вероятность реализации выбранного игроком варианта P¿~ut можно оценить на основе рецептируемой информации
N Xj+0,5SX3
Kc(tn) = £ / Р(*п - x'n)dx'n, (2)
3 Xj-0,bSxj
где Xj - середина j-го интервала, из которого траектории попадают в положительный
N
квадрант. Сумма всех интервалов Sxj — АХ/2 а.
j+1
Вероятность P*ec(tn) зависит от момента рецепции tn. Если в момент времени tn зафиксирована координата хп, то Prec(tn) = Pout{tn)- Пусть в начале процесса, в момент ¿о = 0 зафиксирована координата Хо ~ 1 с погрешностью Ах 1. При t — 0 величина Ах Sx и, используя (2), получаем оценку
Pouí(0) = (1/2)[1 ± (Ф - 1)] « (1/2)[1 ± « 1/2,
V27TCT
где а — (Ах)2 (так что хЦ2сг > 1) и Ф - интеграл ошибок.
Ценность информации в момент t0 равна: V+(t0) — log2(Pout/P,n) = 0 с точностью до членов О(е-хо/2ст) (здесь, как упомянуто, принято Ptn = 1/2). Такова же ценность и рецептируемой информации.
В момент времени tn, когда параметр v(n) приближается к значению и{п) = ver и величина 8х Ах, в выражении (2) значимы только несколько членов, в которых (хп - хп) ~ Ах.
Если значение хп попадает в один из интервалов 8xJ, ведущих к положительному квадранту, то
PL = 1 - [2оЦбх)2} ехр[-(^)2/8<т]. (3)
При 8х* а вероятность ~ 1, то есть велика. Если же хп попадает в один из
интервалов, ведущих к отрицательному квадранту, то, напротив, велика вероятность P~ut(tn), а величина Pontón) = 1 — Р'М экспоненциально мала. В первом случае ценность генерированной информации равна
V+(tn) = log2 (^ЩЫ^ « = 1 бит.
Во втором случае
V+(tn) = log2(P?J/Pin) ~ ~8x]¡\a.
То есть ценность отрицательна и велика по абсолютной величине.
В конце процесса, когда результат очевиден (рецептируемая информация однознач на: Pjut^max) = 1 ИЛИ РЩтах) = 0), ценность информации равна: ^ (^moi) — ^тпх — 1 ■ либо V+(tmax) = —оо. В промежуточный момент времени, когда Ах ~ 8х, вероятность P0+Ut € (0,5, 1) (или P+t > 0,5).
Из этого примера видно, что ценность информации меняется со временем. В начале любая информация имеет нулевую ценность. В конце процесса она либо возрастает до максимального значения, либо становится отрицательной.
Рассмотрим более сложный пример. Пусть игрок способен рецептировать информацию о координате, то есть, фактически, оценивать вероятность Prec(tn), и. основы ваясь на своих оценках, делать выбор (генерировать информацию) в промежуточные моменты, до того, как крупье произнесет слова "игра окончена". При этом рецеитируется микро-, а генерируется макроинформация. Кроме того происходит свертка информации, поскольку количество первой больше чем второй. Эта ситуация моделир\ e i процесс принятия решения в условиях неопределенности, иначе говоря процесс творчества. Возникают вопросы: каково количество новой информации, какова ее ценность
в момент генерации, какова ценность рецептируемой информации и каков критерий эффективности творчества?
Количество генерируемой в момент времени tn информации равно:
п
W*») = - £ Pi(tn)log2Pi(tn), (4)
i
где п - число возможных конечных состояний (в нашем случае п = 2), Р, вероятность реализации информации до того, как сделан выбор, но после рецепции информации, то есть Рг = Рг+(*„); Р2 = P~c(t„) = 1 -Рр+. В начале процесса, при t = 0, Р+ес = Р~с = 0.5 и количество информации Igen(t0) = 1 бит, то есть максимально. В конце процесса, при t = tmax, возможны следующие варианты: либо P?ec(tmax) — 1, либо P~ec{tmax) = 1. В обоих случаях Igen(tmax) = 0. В любой промежуточный момент tn либо 0,5 < Р+с < 1. либо 0,5 < Р~ес < 1. Естественно, выбирается тот вариант, при котором Ртес > 0,5. Для определенности примем Р+с > 0,5. В этом случае ценность выбора равна: V+(tn) = log2(Pout(tn)/Pin{tn))- Однако в данном случае Pin(tn) ф 0,5, поскольку выбор сделан после рецепции информации, то есть = P+ec(tn). Она может быть вычислена по
формуле (2). Величина Pout(tn), как и в предыдущем случае, вычисляется на основе рецептируемой информации и тоже равна P*ut(tn) = РХА*»»)• Отсюда: V+n{tn) = 0.
С течением времени ценность информации V^n(¿„) может либо увеличиваться, либо уменьшаться независимо от "игрока". Ценность рецептируемой информации Vrcc(i, \ приобретает смысл только после того, как игрок сделал выбор и тем сформулировал цель. Тогда она равна:
Kec(ín)=log2(Prec(í„)/0,5). (5)
При t = t0 Predio) = 0,5 И Vrec(to) = 0; при t = tmax Prec{tmax) = 1 И Утес^тах) = V mar ¡ .
Оценка эффективности "принятия решения" зависит от двух факторов: способности оценивать вероятность Prec(ín) и, следовательно, VTec(tn) и количества генерируемой информации Igen(tn).
Из изложенного следует, что величины Vrec(tn) и Igen{tn) ведут себя антибагно. В начале количество генерируемой информации максимально, Igen(tо) — 1, но ее ценное i ь. равно как и Vrec(to), равна нулю. Принятие решения в этот момент неэффективно. В конце, когда t — tmax, Vrec(tmax) — 1, но Igen(tmax) = 0. В этом случае принятие ре шения тривиально. В игре такая ситуация исключается, поскольку крупье произнесет
"игра окончена" до этого момента. В качестве критерия эффективности решения можно выбрать величину
C(t0) = C(tmax) = 0. Величина C(tn) является функцией PTec{tn)- Используя выражения (6), (5) и (4), можно найти ее максимум и соответствующее значение Prec(tn)- Последнее равно Prec{tn) ~ 0,75 и при этом Стах ~ 0,5. Согласно (3), вероятность порядка 0,75 означает, что горизонт прогнозирования 6х ~ Ах, то есть система близка к выходу из перемешивающего слоя.
Таким образом, модель позволяет определить оптимальный момент принятия решения.
Из изложенного видно, какую роль играет перемешивающий слой в процессах гене рации информации, эволюции ее ценности и творчестве.
В заключение авторы выражают искреннюю благодарность профессору Г. Ю. Риз-ниченко за плодотворные обсуждения.
[1] Ч е р н а в с к и й Д. С. Синергетика и информация. М., Знание, 1990.
[2] Б о н г а р т М.М. Проблема узнавания. М., Наука, 1967.
[3] X а р к е в и ч А. А. Теория информации. Опознавание образов. М., Наука. 1973.
[4] Л о с к у т о в А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М., Наука.
С — ^rec(^ra) 1gen{t"n))
(6)
ЛИТЕРАТУРА
1990.
Поступила в редакцию 27 января 1997 г.
