Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей Текст научной статьи по специальности «Математика»

№2(8) 2007

Ю.А. Никандрова

Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей

Автокорреляционные функции — это важные количественные характеристики эволюции случайных и хаотических процессов. Объектом исследования работы являются одномерные хаотические модели, а именно, одномерные хаотические отображения, итерационная функция которых преобразует интервал области определения (единичный интервал) в себя, и при этом модель демонстрирует хаотическое поведение. В статье описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреляционной функции для подобных моделей. Показано, что точный расчет автокорреляционной функции рассмотренных одномерных хаотических моделей не требует знания полного набора собственных функций эволюционного оператора. Определены перспективы практического использования представленного в статье математического аппарата.

При создании математических моделей нелинейных явлений и программных реализаций этих моделей одной из главных задач является выбор методов отображения процессов. Значимость решения этой задачи обусловлена следующими факторами:

• используемая модель нелинейного процесса или явления должна обладать высокой точностью и в то же время быть достаточно простой для снижения временных и стоимостных затрат на ее создание;

• модель нелинейных явлений может использоваться для генерации состояний системы или отдельных ее параметров как начального состояния, так и в процессе функционирования (в имитационном моделировании) с соблюдением принципов случайности;

• модели нелинейных процессов могут применяться для тестирования качества построения различных систем с точки зрения эффективности и устойчивости (модели порождают значения факторов или показателей внешней среды, которые влияют на функционирование исследуемой системы).

Рассмотрим приведенные положения подробнее.

Соблюдение принципа точности и адекватности модели реальному процессу или системе является основополагающим принципом моделирования. При этом необходимо учитывать, что более точная модель системы, как правило, — более дорогая. Затраты могут быть определены как время разработки модели и ее тестирования или могут быть выражены через финансовую оценку процессов анализа явлений и моделирования. Именно данное положение (экономической обоснованности процесса моделирования) в совокупности с определенными трудностями построения самих моделей длительное время сдерживало широкое распространение использования нелинейных и стохастических моделей в различных областях экономики и биологии. Это приводило к низкой точности получаемых результатов при моделировании сложных динамических процессов.

Процесс создания сложных моделей часто связан с необходимостью генерации стартовых состояний параметров и элементов системы. Невозможность ручного решения проблемы обусловлена большим числом отдельных параметров системы или наличием взаимозависимостей между факторами. В случае создания динамических или имитационных моделей возникает по-

122

№2(8) 2007

требность генерации последовательности состояний отдельного показателя (фактора), где каждое значение соотносится с предыдущими состояниями особым образом. То есть существует некоторая зависимость между текущим и предыдущими состояниями фактора. Однако принцип формирования зависимости может быть как строго определенным, так и случайным. Возможность описания хаотический явлений представляет наибольшую ценность при создании имитационных моделей сложных динамических систем.

Последняя указанная область применения математических моделей нелинейных явлений — моделирование состояний внешней среды для оценки надежности и устойчивости модели системы в целом. Иными словами — модель случайных нелинейных явлений служит основой генерации состояний факторов внешней (по отношению к системе) среды, которые поступают на вход модели системы. Кроме того, возможна проверка устойчивости системы к внешним воздействиям или ее адаптации при возникновении случайных событий, как во внешней среде, так и внутри системы (моделирование сбоев или отказов элементов системы).

Традиционно нелинейные динамические системы описывали с помощью дифференциальных уравнений. В настоящее время все чаще для этих целей используют дискретные математические модели (отображения), заданные разностными уравнениями.

Объектом исследования в данной работе являются одномерные хаотические модели в форме разностных уравнений (отображения) — одни из базовых математических моделей, и вместе с тем, одни из простейших. В общем виде одномерные хаотические модели задаются с помощью итерационного соотношения:

хп+1 =ф(хп, X), п = 0,1,2,...; хпе [а, Ь]; (1)

где ф(хп, X) — кусочно-монотонная итерационная функция;

X — параметр.

В работе исследовались модели, итерационная функция которых преобразует интервал области определения [а, Ь] в себя, и при этом она демонстрирует хаотическое поведение. Итерационная функция обладает чувствительностью к начальным условиям х0, т.е. траектории (орбиты)х0, х1, х2, ..., хп, рассматриваемой модели не обладают устойчивостью по Ляпунову1 (соответствующие показатели Ляпунова положительны). Как следствие, одномерная модель (1) демонстрирует квазислучайное поведение (в этом контексте говорят о «детерминированном» хаосе), что делает в принципе невозможным траекторное описание математической модели. В связи с этим переходят от траекторного описания к вероятностному, вводят плотности распределения вероятности, с помощью которых описывают вероятность попадания хп (при п = 0,1,2,...) в тот или иной подынтервал области определения [а, Ь].

Подобные хаотические модели интенсивно исследуются последние 25-30 лет. Именно при исследовании их поведения и свойств были открыты и изучены явления, характерные для более сложных нелинейных систем. Например, на основе одномерных хаотических отображений открыты сценарии перехода в динамических системах от регулярного режима к хаотическому, впоследствии неоднократно подтвержденные многочисленными экспериментами для систем различной природы. Это говорит о важной практической значимости дискретных хаотических моделей при решении проблем в самых различных областях науки — в экономике, физике, химии, социологии и т.д. [4, 7, 8, 13, 15].

Приведем несколько примеров.

«

II Л

1 Устойчивость по Ляпунову: траектории, выходящие из Е-близких значений остаются 8(е)-близкими при всех последующих п > п0. (Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. М.: Постмаркет, 2001.)

123

Ив2(8) 2007

I §

¡и

0 Й

1

I

I

I

0

и

1

е

со

Одномерные хаотические модели используются в процессе:

• анализа эволюции стоимости акций, облигаций, процентных ставок [16];

• реализации датчиков псевдослучайных чисел, с заданным распределением;

• описания хаотических генераторов биологических ритмов [10];

• разработки новых методов реализации схем кодирования и обработки информации [5].

Основным математическим аппаратом описания и исследования подобных хаотических моделей является операторный подход — строится эволюционный оператор, описывающий трансформацию плотностей вероятности во времени, на основе которого исследуются хаотические модели. В случае, когда в качестве моделей исследуются одномерные хаотические отображения, эволюционным оператором является оператор Фробениуса-Перрона, который описывает трансформацию распределений вероятности во времени [17]: 1

Рп+1( х) = ^п (х) = 18(х -ф( $)) рп ((2)

с

где рп(x) — плотность вероятности на п-м

шаге итераций (начальное значениехс).

Неподвижная точка оператора Фробе-ниуса-Перрона называется инвариантной плотностью модели (1). В асимптотике, при итерациях, начальная плотность распределения стремится к инвариантной, это соотносится с понятием установления равновесного состояния модели.

Оператор Фробениуса-Перрона (знание его собственных функций и собственных чисел) позволяет исследовать одномерные хаотические модели, предсказывать их поведение во времени, а также изучать их свойства, например, исследовать

автокорреляционные свойства, скорость установления инвариантного распределения (инвариантной плотности). Автокорреляционные функции являются важными количественными характеристиками эволюции случайных и хаотических процессов. Например, автокорреляционные функции применяются в экономике при корреляционном анализе эволюции цен [16].

В статье демонстрируется техника расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических отображений посредством

2

неоднократного действия , ассоциированного с данным отображением оператора Фробениуса-Перрона нах. Успех подобных вычислений напрямую зависит от знания собственных функций данного оператора. Хотя, в случае некоторых симметричных отображений, конечный результат определяется однократным действием оператора Фробе-ниуса-Перрона (а, следовательно, не обязательно знание полного набора собственных функций), приводя к 8-образной автокорреляционной функции.

Отображения, имеющие 8-образные автокорреляционные функции, используются для моделирования генераторов дискретного белого шума, например, логистическое и пирамидальное отображения [3]. Алгоритм для аналитического расчета автокорреляционных функций опробован на примере простейших моделей хаотических систем — одномерных кусочно-линейных отображений, обладающих равномерным инвариантным распределением на единичном отрезке, а также на примере ф-отобра-жения (с кусочно-постоянным инвариантным распределением) и его базового эндоморфизма.

Дадим определение автокорреляционной функции (согласно [12]).

Автокорреляционной функцией одномерного хаотического отображения

хл+1 =ф(хп), п = 0,1,

(3)

2 Суть метода описана в работе [6], а в [9,11] он адаптирован для одномерных хаотических моделей (в частности, исключено требование нормировки величин).

124

№2(8) 2007

с кусочно-линейной итеративной функцией ф(х), определенной на некотором интервале (а, Ь), будем называть функцию Ж(п), определяемую соотношением:

Ж п) =

(хп хп )(х0 х0)

(х0 " х0)2

учитывая, что средние значения хп равны для любых допустимых значений п, т.е. хп = х0, получим формулу для автокорреляционной функции:

Ж п) =

(хп хп )(х0 х0)

(х0 " Х0)

. ХпХ0 - Х0 ' (Хп + Х0 ) + (х0 ) = ХпХ0 - (х0 )

х02 - 2(х0) + (х0)

(4)

хпх0 =| х' и(п)хбх = х0 и(п 1 х0.

Заметим, что при нахождении математического ожидания и дисперсии х0, х0, как правило, не возникает никаких сложностей. Затруднения часто появляются при вычислении хпх0, из-за того что п-я итерация задана функцией, зависящей в неявной форме от начального значения х 0.

Введем обозначение для п-й итерации отображения (3) х 1 =ф(х0), х2 =ф(ф(х0)) = = Ф(2)(х0),...,хп =ф(п)(х0), тогда можем записать

_ _ Ь

хпх0 =ф(п'(х0)х0 =|ф<п'(х)х' Г( х) бх,

а

где (*(х) — инвариантная плотность распределения;

(а, Ь) — интервал определения рассматриваемого отображения (3).

Обозначим и — оператор Фробениуса-Перрона, ип — п-е действие оператора. Оказалось, что [6]

_ Ь

хпх0 =|ф(п >( х)х' f *( х )бх =

а

ЬЬ

=| ф(ф(п-1)(х))'х' f*(х)бх =... =| х'ип(х' f*(х))бх. (5)

аа

В частном случае, когда инвариантная плотность является равномерной, соотношение (5) упрощается:

(6) ц

а Ц

Таким образом, задача о нахождении авто- | корреляционной функции сводится, по сути, * к нахождению п-го действия оператора Фро- ^ бениуса-Перрона на начальное значение.

Приведем результаты вычислений по формуле (4), с использованием соотношения (6), автокорреляционных функций ряда одномерных хаотических моделей с равномерными инвариантными распределениями и их нелинейных преобразований.

Сдвиг Бернулли. Итерационная функция (рис. 1)

ф(х) = {в'х}, х е [0,1], в > 2.

Оператор Фробениуса-Перрона

х 2 Г 2.

иР( х)=1 ^ V=в

в к=0 V в У в

Автокорреляционная функция(рис.2)

Ж п) ^ = е-Х1, (7)

в

где X = 1пв — показатель Ляпунова. В случае в = 2, получим Ж(п) = -1.

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований сдвига Бернулли представлены в табл.1.

Инверсный сдвиг Бернулли. Итерационная функция (рис. 3) [9]:

в /к-1 к ф( х) = {- в ' х}=£ (к - вх) '1 [к-1 < х < к

к=1 V в в

х е [0,1], в > 2. Оператор Фробениуса-Перрона

1

ир(х) = 1 £р(в \,ипх

в к=1 V в

-в)п

х 2\+ 2.

Автокорреляционная функция имеет вид

Ж п) =

-в)'

= (-1)"' е-

(8)

где X = 1пв — показатель Ляпунова инверсного сдвига Бернулли (рис. 4).

125

Ь

е=2 ад е=7 од б=15/?(л)

10 12 14 16 18 20

п

Рис. 1. Итерационная функция сдвига Бернулли (при б = 2)

Рис. 2. Автокорреляционная функция сдвига Бернулли

Таблица 1

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований сдвига Бернулли

I

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное Уп = *п2 1 п = 0 Я( п) = 1 АГ 1 ] 21--^ +15--г, п > 1 1 4П+2 2П+4

Кубическое У = 1 п = 0 П( п) = ] 4 1 77 1 14 1 14 ] ■ + ■ + ■ , п > 1 [ 45 8п 45 4п 15 2п 9

1

и

£ £ 0,9

0,8

£ 0,7

&

о 0,6

£

3 *л+1 0,5

5

1 0,4

0,3

<и

£ 0,2

*

0,1

1

1 С

£

£

е=2 од е=7 од е=15ад

Рис. 3. Итерационная функция инверсного сдвига Бернулли (при б = 2)

126

Рис. 4. Автокорреляционная функция инверсного сдвига Бернулли

Нв2(8) 2007

Таблица 2 §

л

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований =§

инверсного сдвига Бернулли ||

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное Уп = хп2 =1Г+15{-г- п >0

Кубическое У = =х„ Г1, п = 0

*п)=Ц.Г-1Г+^ЯГ+14.Г-1Т, п> 1 [ 45 ^ 8) 45 ^ 4) 15 ^ 2)

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований инверсного сдвига Бернулли представлены в табл. 2.

Пирамидальное отображение. Итерационная функция (рис. 5)

ф(х):

X p

1 - X

q '

х е (0^)

X е (p,1)

, p + q = 1.

Рис. 5. Итерационная функция пирамидального отображения |при р = д = 2

Оператор Фробениуса-Перрона Up(х) = p -р(pх) + q -р(1 - qх),

^х = (p - q)n [х - 2) + 2.

Автокорреляционная функция

r( п) = (p - q)п . (9)

Характер поведения автокорреляционной функции (9) будет зависеть от соотношения между p и q. При p > q автокорреляционная функция монотонно убывает, оставаясь положительной. При p < q автокорреляционная функция является знакопеременной, убывая по модулю. Когда эти параметры равны, что соответствует случаю симметричного распределения, автокорреляционная функция обращается в ноль для любых п > 1. Поэтому симметричное пирамидальное отображение может рассматриваться как хаотический генератор дискретного белого шума:

r( п) =

п = 0 п > 1.

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований пирамидального отображения представлены в табл. 3.

«^»-образное отображение. Итерационная функция (рис. 6)

ф( X) =

1 - 2х, 0 < х <

1

2х-1, - < х < 1 2

127

№2(8) 2007

Таблица 3

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований пирамидального отображения

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное Уп - хп2 [1, п - 0 Ж(П) - 1-14А, п > 1 1 4п+2

Кубическое у - =х„ [1, п - 0 ж(п)Ч-56 ~±, п > 1 1 45 4п

I §

¡и

0 Й И

!

1

I

0

1

I

е

со

Автокорреляционная функция

Г1, п - 0

Ж п) =

0, п > 1

(10)

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований «^»-образного отображения представлены в табл. 4.

Двойное пирамидальное отображение. Итерационная функция(рис. 7)

ф( *):

Рис. 6. Итерационная функция «^»-образного отображения

Оператор Фробениуса-Перрона

и«х) - 2 И 2 Н1 - 2

4х:

4х-1:

3 - 4х

4 - 4х

0 < х <1

4

11 4 < * < 2

1 < х < 3.

2 4

3 < х < 1

Оператор Фробениуса-Перрона

•« х) - 4 К 4 И ^ и ^ Н - 4

Таблица 4

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований «У»-образного отображения

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное Уп - хп2 [1, п - 0 Ж(п)4-1 п > 1 14п

Кубическое У - [1, п - 0 ж(п)• -1 + 35, п > 1 [18 4п 54

128

№2(8) 2007

Рис. 7. Итерационная функция двойного пирамидального отображения

Автокорреляционная функция

1 п = 0

Ж п) =

0, п > 1

ф(х) =

1 - 4х:

2 - 4х 4х - 2: 4х - 3:

0 < х <

1 4

11

— < х < — 4 2

1 ^ .3'

— < х < —

2 4

3 < х < 1

Рис. 8. Итерационная функция двойного «^»-образного отображения

(11)

Оператор Фробениуса-Перрона иР(х)

4 [рГтК-? ЬРГМ ^3

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований двойного пирамидального отображения представлены в табл. 5.

Двойное «^»-образное отображение.

Итерационная функция(рис. 8)

Автокорреляционная функция

1 п = 0

Ж п) =

0, п > 1

(12)

ф( х) = {Фх} =

фх,

фх-1, ф-1 < х < 1

где иррациональный коэффициентф=

¡1,618 — число Фидия.

(13) 1-к/Б ^

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований двойного пирамидального отображения

II Л

55

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований двойного «^»-образного отображения представлены в табл. 6.

ф-отображение. Итерационная функция ф-отображения (рис. 9)

0 < х < ф-1

Таблица 5

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное Уп = х- 1 п = 0 Ж(п) = |-29 А, п > 1 1 4

Кубическое 3 У = х3 У п п 1 п = 0 Ж(п) = |-119А п > 1 1 45 16п

129

№2(8) 2007

Таблица 6

Автокорреляционные функции нелинейных преобразований двойного «^»-образного отображения

Преобразование Формула Автокорреляционная функция

Квадратичное уп = ^ 1 п = 0 ^п) = к 11, п > 1 1 16

Кубическое Уп = ^ 1 п = 0 R(п) = ^133 п > 1 1 45 16п '

Рис. 9. ф-отображение. ^ График итерационной функции: а) 1-я итерация, б) 3-я итерация,

в) 7-я итерация, г) 1-я итерация, 100 реализаций (т = 0,...,99 — номер реализации)

130

№2(8) 2007

Фигурные скобки в соотношении (13) означают выделение дробной части числа. ф-отображение содержит две линейные ветви, из которых только одна переводит область задания (0,ф-1) на единичный интервал.

Оператор Фробениуса-Перрона ф-отоб-ражения

Щ х ) =

/ - -1

х + 1

0 < х <ф-

(14)

ф

1 < х < 1

Особенность оператора Фробениуса-Перрона (14) ф-отображения в том, что он действует избирательно на функцию f(x) в зависимости от того, к какому подынтервалу области определения принадлежит аргумент х.

В нашем случае инвариантная плотность оператора Фробениуса-Перрона (14) ф-отоб-ражения имеет вид

f'(х) =

ф

ф2 +1

2

ф- + 1

0 < х < ф-

ф-1 < х < 1

(15)

В отличие от моделей рассмотренных § выше, инвариантная плотность распреде- § ления (15) представляет собой кусочно-ли- | нейную функцию (рис. 10). На рис. 11 про- Зс иллюстрирована трансформация начально- ^ го распределения ^(х) = х + -к инвариантному (15), под действием оператора Фробе-ниуса-Перрона (14) ф-отображения.

Поскольку инвариантная плотность ф-ото-бражения не является равномерной, как это было в рассмотренных выше примерах, то формулу (6) использовать нельзя. Рассмотрим этот случай подробно. _

Найдем среднее значение хпх0 для ф-отображения, используя (5). Введем оператор Т, преобразующий х0 вх1, тогда п-ю итерацию можно выразить как хп = Тпх0, где Тп — представляет собой п-е действие на начальное значение х0, тогда

хпх0 = (Т%) ■ х0 =| (Тпх)■ х. Г(х)Сх =

с

р1 1 = | Тп-1( фх) ■ х ■ f *( х )Сх + | Тп-1( фх-1) ■ х ■ f *( х )с1х.

0 р 1

Выполнив замену переменных, в первом интеграле фх, а во втором фх -1, получим

Рис. 10. ф-отображение. Рис. 11. ф-отображение. Трансформация

Инвариантная плотность начального распределения /0(х)=х+2

131

ИЯ2(8) 2007

1

хл =| Тп-1( У) -ф-1у ■ f *( ф-1у )ф-1 сСу +

0

ф 1

+ | Тп-1( у) ■ ф-1(1 + у) ■ f *(ф-1(1 + у ))ф-1 Су=

0

1

= |Т п-1(у) ■ ф-1 ■ (ф-1у^ f *( ф-1у) + ф-1(1 + у) X

0

X f *(ф-1(1 + у)) ■©( у ))Су =

11 = 1 Тп-1( у) А[ф-1(ф-1у ■ f'(ф-1 у) -00 ^у)1

+ ф-1(1 + у) ■ f *( ф-1(1 + у)) ■©( у ))]■ f *( у )Су =

11 = | Тп-1( у) ■ -Ц [ф-1 ■ (ф-1у ■ f *( ф-1у) +

0 f (у) + ф-1(1 + у) ■ f *(ф-1(1 + у)) ■©( у))] ■ f *( у )Су,

где ©(х) =

1, 0 < х <ф-1 0, ф-1 < х < 1

I §

¡и

0 й и

и

1

I

о

и

!

£ со

1

иу = ^ О( *( у) ■ у) = [ф-1 ■ (ф-1у ■ f *( ф-1у) +

тогда

ф-1(1 + у) ■ f *(ф-1(1 + у)) ■©( у))]

хпх0 =| Тп-1( у) ■ иу ■ f *( у )Су.

ная функция (это легко проверить подстановкой).

Составим линейную комбинацию из первых трех собственных функций [11] модифицированного оператора Фробениуса-Перрона и выразим х:

х = -

ф

1 + ф2

-ф->1( х) + У-(х).

Теперь легко найти п-кратное действие модифицированного оператора Фробениу-са-Перрона на х:

их-

-ф-3ии¥1( х) + и5у-( х) =

1 + ф2

1 + ф2 О(п'х =

1 + <

-ф-3(-ф-2)¥1( х ) +ф-1О¥2( х ):

--ф-3(-1)п ф-2 п¥1( х) +ф->-(х).

Отметим, что подынтегральное выражение содержит в неявном виде модифицированный оператор Фробениуса-Перрона [6], который определяется следующим образом:

Выполним подстановку явного вида собственных функций [11]:

1

О(п )х =-

-3/ ч\п 1 -2 п

1 + <

--ф-3(-1)

1 + <

- + ©( х) 1 +

+ ф- п (-ф-1 + ф-3©( х) + х) =

1 + ф2

+ф~

'ф-3(1 - (-ф)-п) ■(©( х) 1 + х --+Ц

[ 1 + ф21 1 + ф2

Таким образом,

О(п х =ф-

ф -(1 -(-ф)-п)■(©(х)-1 +

(16)

(18)

Выполняя аналогичные преобразования, понижаем кратность действия оператора Т, одновременно повышая кратность действия модифицированного оператора Фробениуса-Перрона, из (16) выводим следующее соотношение:

_ _ 1

хпх0 = хО(п)х = | хО(п ^ f*(у)Су. (17)

0

Модифицированный оператор Фробе-ниуса-Перрона примечателен тем, что его инвариантной плотностью является единич-

-Аг 1 + Аг. 1 + ф21 1 + ф2

С помощью соотношения (18) не составляет труда рассчитать автокорреляционную функцию ф-отображения (рис. 12):

Жп) = ц - - ф-1(1 - (-ф)-п ))ф-п. (19)

Это же выражение можно записать с помощью показателя Ляпунова X = 1пф [6]:

Ж п) = ((1 -1 (1 - (-1)п е~Хп) ) е-хп. (20)

Базовый эндоморфизм ф-отображе-ния. Впервые данное отображение было

132

2

2

2

2

0

№2(8) 2007

II Л

55

п Я(п)

0 1

1 0,309

2 0,309

3 0,146

4 0,107

5 0,06

6 0,039

7 0,023

8 0,015

9 9,037 ■ 10-3

10 5,639 ■ 10-3

11 3,464 ■ 10-3

12 2,149 ■ 10-3

13 1,325 ■ 10-3

14 8,201 ■ 10-4

15 5,064 ■ 10-4

п е-Ш(ф)п

0 1

1 0,618

2 0,382

3 0,236

4 0,146

5 0,09

6 0,056

7 0,034

8 0,021

9 0,013

10 8,141 ■ 10-3

11 5,025 ■ 10-3

12 3,106 ■ 10-3

13 1,919 ■ 10-3

14 1,186 ■ 10-3

15 7,331 ■ 10-4

Рис. 12. Автокорреляционная функция ф-отображения

получено в работе [9]. Итерационная функция:

$(а) =

фа:

а +

1 + ф

Ф 2а -

0 < а <

Ф-1

1 + ф-2

1

ф

1 + ф

<а <-

1 + ф

(21)

1 + ф 2 1 + Ф

< а < 1

где иррациональный коэффициент ф= «1,618 — число Фидия.

1+л/5

График итерационной функции (21) представлен на рис. 13.

Оператор Фробениуса-Перрона базового эндоморфизма:

Up(а) =

ф 1р(ф 1а) + ф2р[ф2а- 1 I, 0<а< 1

1 + ф 2 ) 1 + ф 2

Р[а

1 + ф

1

(22)

1 + ф

г<а<1

2

1

2

2

2

133

Нв2(8) 2007

I §

¡и

0 Й И

!

1

I

о

и

!

£ со

Рис. 13. Базовый эндоморфизм ф-отображения. График итерационной функции: а) 1-я итерация, б) 3-я итерация, в) 7-я итерация, г) 1-я итерация, 100 реализаций (т = 0.....99 — номер реализации)

Задача определения автокорреляционной функции базового эндоморфизма ф-ото-бражения может быть успешно решена аналитически, если будет найдено п-кратное действие оператора Фробениуса-Перрона на а.

Выведем формулу для подсчета автокорреляционной функции базового эндоморфизма ф-отображения, используя методику, подробно рассмотренную выше, и, естественно, определение автокорреляционной функции (4).

Инвариантная плотность базового эндоморфизма [9] представляет собой равномерное распределение, и это обстоятельство несколько упрощает задачу. На рис. 14 проиллюстрирована трансформация начального

распределения р0(к) = x+1 к инвариантному

равномерному распределению р*М =1 под действием оператора Фробениуса-Перро-на базового эндоморфизма ф-отображения.

Найдем п-кратное действие оператора Фробениуса-Перрона на а. Для этого со-

134

№2(8) 2007

РоМ ■

Р1М -

РгМ -РзМ -Р*м ■

1,5 1,4 1,3 1,2 -1,1 "1,0 -0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4

/

^ 1 , 1+Ф-2

0,25

0,5 х

0,75

Рис. 14. Базовый эндоморфизм ф-отображения.

II Л

55

Трансформация начального распределения р0(х)=х

ставляем линейную комбинацию из первых трех собственных функций [9] оператора Фробениуса-Перрона, выражающую а:

ф-1а + 2Ь 1 + ф-2

= 0

а = ау 2(а) + Ьу 3(а) + с =

а Ь Ь Л ф-1а + 2Ь

------С 1 + --

1 + ф-2 2 1 + ф-2 ) 1 + ф-2

+ (а + Ь) а - (ф"2 а + 2ф-1Ь) а©(а),

а Ь Ь 1 1

--^----2 + с = -- + с = 0 ^ с = —,

1 + ф-2 2 1 + ф-2 2 2

(

где ©(а) = 1

0 < а <

1

©(а) + тогда а может быть представлен в виде 2 ф -1 1

а = --^^2(а)- ф -2 ¥з(а) + (24)

1 + ф 2 1 + ф 2 2

Поскольку а выражен через собственные функции этого оператора, то теперь легко найти результат п-кратного действия Находим неизвестные коэффициенты оператора Фробениуса-Перрона (22) на а, а, Ь и с, используя то, что коэффициент так как под его действием, эти функции бу-при а должен быть равен единице, а все дут воспроизводиться с соответствующими другие коэффициенты должны обращать- собственными числами:

1 +ф

ся в ноль (иначе не будет выполняться вышеописанное равенство). Рассмотрим выполнение условий для коэффициентов при а и а © (а):

иа

1 + ф

2

2 -1 ф ф ¥2(а) -

1 + ф

(-ф-3)¥ з(а) + 2

а + Ь = 1

ф-2 а + 2ф-1Ь = о'

а=

2

1 + ф-

и 2а=^-2(ф-1)2У2(а) 1 +ф 2

ф ^(-ф-3)2^з(а)+

1 +ф

(23)

Ь=

1 + ф

ипа=-

1 +ф

-ф ¥2(а)

1 +ф

-ф-3)п ¥з(а)+

Примечателен тот факт, что в случае таких коэффициентов а и Ь (23), выполняются и два других условия:

= Гу2(х) --1)пф-2п-1¥3(*)) + 1 (25) 1+ф I 2 ] 2

135

и

2

Ив2(8) 2007

Используя (25), получим

апа0 = |аипаСа = 2ф 2 х

0 1 +ф

(1 1 1 Л 11

х I |ау2(а)Са —(-1)пф-2п-1 |ау3(а)с1а 1+-|аСа.

Вычислим интегралы с учетом явного вида собственных функций, вывод которых представлен в работе [9].

|ау 2(а )Са

ф-1(1 + ф-7) 6(1 + ф-2)3,

Г , ^ 2-ф-3 | а¥3(а )Са= 12(1 + ф-2)3.

Таким образом,

а па 0 = . -2 х 1 + ф 2

ф-1(1 + ф-7) +1 ф-1(2 -ф-3) 6(1 + ф-2)3 2 12(1 + ф-2)3

-1)пф-2п |х

I §

¡и

0 Й И

и

1

I

о

и

!

£ со

х ф +

1 =_фЦ

4 12(1 + ф-

х | 4ф-1(1 + ф-7)+(-1)пф-2п(1 + ф-5)1 + 1.

Окончательное выражение для корреляционной функции базового эндоморфизма ф-отображения (22) имеет вид (рис. 15)

ЖП) = а^ Да0 = 12|ХпХ0 '0 - (а0)

4*" 1(1 + ф-7)+(-1)пф-2п(1 + ф-5)]- ф 4. (26)

(1 +ф 2)

Запишем выражение (26), используя показатель Ляпунова X = 1пф:

Ж П):

1

„-2 X \4

(1 + е-

х| 4е~Х(1 + е-7Х)+(-1)пе-2Хп(1 + е-5Х))■ е~Хп. (27)

Для сравнения на графиках автокорреляционной функции Ж(п) была построена экспоненциальная функция у = е~Хп. «Колебательный» характер кривой Ж(п) для малых п связан с влиянием множителя перед экспонентой е~Хп в выражении (27). При дальнейшем увеличении п функции практически совпадают.

Итак, используя собственные функции оператора Фробениуса-Перрона хаотических отображений были получены соотношения для подсчета автокорреляционной функции (7)-(12) кусочно-линейных отображений с равномерными инвариантными плотностями распределения. А также соотношения (19) и (20), (26) и (27) для расчета автокорреляционной функции при п-й итерации ф-отображения и его базового эндоморфизма (без показателя Ляпунова и с его использованием соответственно). Характер затухания автокорреляционных функций Ж(п) (19) и (20), (26) и (27) отражают рис. 12 и 15.

Суть, продемонстрированного в статье алгоритма расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических отображений, заключается в том, что независимая переменная х выражается линейной комбинацией собственных функций данного оператора. Показано, что точный расчет автокорреляционной функции рассмотренных одномерных хаотических моделей не требует знания полного набора собственных функций эволюционного оператора, для этого оказалось достаточно использовать первые три (для ф-отображения и его базового эндоморфизма) собственные функции. Таким образом, был адаптирован и усовершенствован подход, изложенный в работе [6]. Применяя алгоритм, описанный выше, нет необходимости нормировать независимую переменную, и результат п-крат-ного действия оператора Фробениуса-Пер-рона на х может быть легко найден. Поскольку действие оператора на линейную комбинацию собственных функций приводит к линейной комбинации тех же самых функций с измененными коэффициентами

136

0

0

0

2

№2(8) 2007

II Л

5Э

10 12 14 16 18 20 п

п Н(п)

0 1

1 0,363

2 0,284

3 0,162

4 0,103

5 0,063

6 0,039

7 0,024

8 0,015

9 9,223 ■ 10-3

10 5,701 ■ 10-3

11 3,523 ■ 10-3

12 2,177 ■ 10-3

13 1,346 ■ 10-3

14 8,317 ■ 10-4

15 5,14 ■ 10-4

п е-Ш(ф)п

0 1

1 0,618

2 0,382

3 0,236

4 0,146

5 0,09

6 0,056

7 0,034

8 0,021

9 0,013

10 8,131 ■ 10-3

11 5,025 ■ 10-3

12 3,106 ■ 10-3

13 1,919 ■ 10-3

14 1,186 ■ 10-3

15 7,331 ■ 10-4

Рис. 15. Автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф-отображения

(в их формировании участвуют собственные числа оператора). Выбор собственных функций оператора Фробениуса-Перрона не является случайным, именно они образуют базис в инвариантных подпространствах данного оператора. С помощью этого алгоритма найдены автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным

распределением: сдвига Бернулли, инверсного сдвига Бернулли, пирамидального, «^»-образного отображения, двойного пирамидального, двойного «^»-образного отображения, базового эндоморфизма ф-ото-бражения и автокорреляционная функция одномерного кусочно-линейного отображения (ф-отображения) с кусочно-постоянным инвариантным распределением (данный ре-

137

№2(8) 2007

зультат согласуется с результатом, полученным в работе [6]).

В заключение следует определить возможности практического использования представленного в статье математического аппарата.

В случае успешной доработки описанного подхода, а именно, формализации процесса нахождения представления независимой переменной x линейной комбинацией собственных функций эволюционного оператора, применение математического аппарата, использующего данный алгоритм, позволит получить точную и относительно дешевую программную реализацию расчета автокорреляционных функций одномерных хаотических моделей.

Создание инструментов отображения и математического моделирования хаотических процессов и явлений позволяет расширить возможности известных технологий моделирования информационных систем в части повышения точности (а зачастую, и адекватности) их математической и программной реализации.

Список литературы

§ 1. Driebe D.J., Ordonez G.E. Using Symmetries g of the Frobenius-Perron Operator to Determine 5 Spectral Decompositions//Physics Letters A. 1996. I Vol. 211.

2. Dorfle M. Spectrum and Eigenfunctions of the § Frobenius-Perron Operator of the Tent Map//Jour-§ nal of Statistical Physics. 1985. Vol. 40.

3. Grossman S., Thomae S. Invariant Distributing ons and Stationary Correlation Functions of One-di-^ mensional Discrete Processes//Z. Naturforsh. 1977.

s Vol. 32a. £

| 4. Lakshmibala, Satyanayana. Phase Estimati-

% on, Photon Cloning and the Bernoulli map//Physics

§ Letters A. 2002. Vol. 298.

g 5. Machado R. F, Baptista M. S., GrebogiC. Cry-

Ц ptography with Chaos at the Physical Level//Chaos,

<| Solitions and Fractals. 2004. Vol. 21.

^ 6. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation

be

£ Functions of One-dimensional Transformations// Progress in Theoretical Physics. 1981. Vol. 66. № 4.

138

7. Nagatani T. Chaotic Motion of Shuttle Buses in Two-dimensional Map Model//Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol. 18.

8. Sello S. Auto-Correlation Functions and Solar Cycle Predictability. Topic Note Nr.001004, Los Alamos National Laboratories Preprint Arhive, Astro-Ph/ 0010106. 2000.

9. Аникин В.М., Никандрова Ю.А. Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением топологически эквивалентное ф-отображению//Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Памяти А.Ф. Голубенцева /Под ред. Ю. В. Гуляева, Н.И. Синицына, ВЖ Аникина. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2004. Вып. 11.

10. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Никанд-рова Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов//Био-медицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. №1.

11. Голубенцев А.Ф., Аникин В. М, Никандро-ва Ю. А. Собственные функции эволюционного оператора ф-отображения//Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Памяти А. Ф. Голу-бенцева/Под ред. Ю.В. Гуляева, Н.И. Синицына, ВЖ Аникина. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2004. Вып. 11.

12. Колмогоров А. Н, Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. Mо-сква, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

13. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории/Пер. с англ. Т. Э. Кренкеля и А. А. Соловейчика под ред. Т.Э. Кренкеля. M.: Постмаркет, 2000.

14. Пригожин И, Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой / Пер. с англ. Изд. 3-е. M.: Едиториал УРСС, 2001.

15. ТрубецковД.И. Введение в синегретику. Хаос и структуры/Предисл. Г.Г. Mалинецкий. Изд. 2-е, испр. и доп. M.: Едиториал УРСС, 2004. (Синергетика: от прошлого к будущему.)

16.Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. M.: «ФАЗИС», 1998.

17. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение/Пер. с англ. M.: Mир, 1988.