CC BY
22МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВЕННЫХ, ТЕХНИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ НАУКАХ
УДК 53.072
В.М. Галкин, Л.Н. Ерофеева, И.Н. Толкачев
ЛОГИСТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ: НЕКОТОРЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева
Исследуется с точки зрения КБ анализа логистического отображения х = а(х — х2п ) в интервале
хаотичности 3,5699... < а < 1 + л/8. Экспериментально подсчитывается показатель Херста. Приводятся графики и таблицы, иллюстрирующие поведение последовательности {х }. Обнаружено странное поведение ее при а = 3,74, не похожее на стохастичность.
Ключевые слова: временной ряд, хаос, показатель Херста, бифуркация, окна периодичности.
Под логистическим отображением далее понимается разностное уравнение
х , = а(х — хп ). (1)
и+1 V п п / 4 '
Если номер п в х трактовать как временную переменную, то уравнение может служить в механике примером динамической системы, в биологии описывает модель Ферхюльста роста численности популяции. Наконец, в экономике это пример временного ряда. Временные же ряды появляются при прогнозировании течения финансовых потоков, котировок акций на бирже и т. п.
Особый интерес представляет случай а е [0,4], х1 е [0,1], в котором значения х при
п > 1 не покидают интервал [0,1]. Внимание исследователей привлекает поразительные свойства поведения последовательности {хи / п > 1} при указанных ограничениях. Отметим некоторые из них, в основном найденные Фейгенбаумом [1, 2].
1. В интервале [0,4] изменения параметра а выделяются непересекающиеся подин-тервалы - так называемые «окна периодичности». Их можно перенумеровать нечетными числами. В т — окне динамические траектории асимптотически периодичны с периодами тПк (к > 1). В окне периодичности содержатся точки бифуркации такие, что при переходе через них период предельной траектории удваивается. Для 2 - окна в [1] приводятся следующие значения точек бифуркации
а/ = 0,75; 0,86237...; 0,88602....; 0,8924728....; (2)
Ч
Конец 2 - окна соответствует значению a = 3,56994567.... При a < 1 lim= 0, а при
1 < a < 3 для почти всех траекторий lim x = 1 -1.
n a
В литературе авторы на методах вычислений точек бифуркаций обычно не останавливаются. Но, так или иначе, все алгоритмы должны использовать следующую идею: для тра-
© Галкин В.М., Ерофеева Л.Н., Толкачев И.Н., 2011.
ектории периода к имеет место система алгебраических уравнений
*2 = а(Х1 - Х2 ) Х3 = 4Х2 " Х22 ) Хк = а(Хк-1 " х2-1 1 Х1 = а(Хк " Хк2 ) (3)
и точка бифуркации есть нижняя грань значений а, при которых система (4) не имеет решений с меньшим периодом, т.е. среди х1, х2,..., х^ нет одинаковых.
В [5] система (4) изучалась при некоторых к. В частности, найдено, что траектории периода 2 появляются при 3 < а < 1 + 46, 4 - траектории - при 1 + 46 < а < 3,544090359... = + 4 г, где г - корень уравнения 6-й степени
4096 г6 -12288 г5 +12032 г4 -12032г3 + 8432 г2 + 4913 = 0.
Начало 3 - окна есть а = 1 + л/8 и ближайшая точка бифуркации, ведущая к удвоению периода, есть а = 3,841499013... - корень уравнения
a
- 6а5 + 4а4 + 24а3 - 14а3 - 14а2 - 36а - 81 = 0.
2. Длины интервалов между соседними точками бифуркаций асимптотически образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1, где / = 4,б669201609... - так называемая постоянная Фейгенбаума. Практическую ценность этого утверждения можно проиллюстрировать на примере 2-окна периодичности: его длина приблизительно равна
(а2 - а )(1 + q + q2 + ..) = ——— = 0,1209, где а = 1 + ^ - начало 2 - окна, а2 = 3,544090... -
1 - q
ближайшая к а точка бифуркации. Для конца 2 - окна получаем а + 0,1209 « 3,57
3. В интервалах между окнами периодичности траектории демонстрируют хаотичность своего поведения. Именно это обстоятельство больше всего поражает в столь простой модели, как логистическая. Хаотичность проявляется в том, что траектории сильно зависят от выбора начального значения х1. Траектории, соответствующие «близким» начальным
значениям, в дальнейшем становятся весьма отличающимися друг от друга. Приводимые в книгах рисунки (например, в [1]), на наш взгляд, не очень наглядно иллюстрируют хаотичность. Н а прилагаемых далее графиках свойство хаотичности проявляется более явно.
В этой статье логистическое отображение (1) рассматривается как временной ряд и исследуется с точки зрения так называемого Я Б - анализа [4]. В Я Б отправной точкой является
ХРХ2-V.., (4)
разумеется, не обязательно хаотический. Из его отрезка х , х ,... , х строится конечная последовательность
У^У2,...,Уп . (5)
В ней у = х1 + х2 +... + х -гх, х = — — + х2 + ...х ). Далее в (5) выделяются М = maxу и
1 1 П П г 1
т = тт у . Разность М - т обозначается через Я. Полагая Б2 =1 Г(х1 - х)2 +(х2 - х)2 +... + (хи - х составляем частное Я Б . Собственно, Я Б - ана-
лиз занимается изучением зависимости Я/Б от n [4].
Величину RБ ввел в 1951 году Херст, обрабатывая данные по разливам Нила за ряд лет. По-видимому, руководствуясь формулами из теории броуновского движения, Херст предположил, что при больших n имеет место следующая асимптотика
RБ - const nh. (6)
Показатель к принято называть показателем Херста. Из определения следует, что этот показатель принимает значение из интервала [0,1].
В своей практике экономисты некритически используют для прогнозирования следующие утверждения относительно показателя к . Если члены временного ряда независимые случайные величины (т.е. фактически мы имеем дело с множеством реализаций некоторого случайного процесса), то к = —. Обратно, если при обработке экспериментальных данных получается
к « —, то считается, что члены временного ряда независимы. При к > — прогнозируется тенденция к возрастанию членов временного ряда, когда таковая выявлена при наблюдении его отрезка. При к < — прогнозируется противоположная тенденция. Теоретическое изучение показателя Херста крайне затрудняется экзотическим выбором Я/Б в качестве статистики, резко отличающейся от классических полиномиальных (математическое ожидание, дисперсия и т.п.).
Эвристические соображения, на которых мы здесь не останавливаемся, приводят к
предположению, что асимптотики RS и D(y) = i
(Vi " У )2 " У N ••• +
У,
У
n
ес-
ли они существуют и имеют вид (8), должны иметь один и тот же показатель к. Здесь у = — (у +... + уп ). Если предположение верно, то показатель Херста должен быть равен ну-
n
лю, если у временного ряда существует предел lim хп или он асимптотически периодичен.
Для логистического отображения это означает, что численные эксперименты следует проводить для интервалов хаотичности. В этой работе исследовался первый интервал хаотичности
3,5699 < a < i + л/8. Ниже приводятся иллюстрированные и графики и таблицы. Буквой b
обозначен Xj - начальный член логистического отображения.
2
i
Рис. 2. (a=3.5; n=100; b=0.4)
10 20 к ЗО АО ВО
Рис. 4. (а=3.845; п=50; 6=0.5)
Рис. 1 -4 изображают типичные примеры графического изображения последовательности х1,х2,...х для значений а из окон периодичности. Рис. 1 и рис. 2 иллюстрируют 4 -0 периодичность, рис. 3 и рис. 4 соответственно 3 - и 6 - периодичность.
Л I МИ >¡11 1111 11111 ГУМ 1 11 I 11111 11111 '.VI III
Рис 5. (а=3.74; п=200; Ь=0.5)
лЬ ' ' ТЗо ' ' ' Ип ' ' ' ?г1п ' ' лг!п
к
Рис. 6. (а=3.82; п=300; 6=0.5)
Рис. 6 демонстрирует хаотичность поведения последовательности х1,х2,...* . Рис. 5 оказался для авторов совершенно неожиданным. Поскольку здесь а = 3,74 входит в интервал хаотичности, то следовало ожидать, что соответствующий график должен иметь то же характер, что и на рис. 6. Однако он скорее относится по типу к графикам рис. 1-4.
Рис. 7. (а=3.4; п=100; 6=0.6)
Рис. 8. (а=3.5; п=50; 6=0.5)
Рис. 9. (а=3.8; п=100; 6=0.4)
Рис. 10. (а=3.82; п=300; 6=0.5)
Рис. 11. (а=3.83; п=50; 6=0.5)
Рис. 12. (а=3.845; п=50; 6=0.5)
Рис. 7-12 изображают последовательность у , у2,...уп для различных а,п, Ь = х1.
На них также хорошо видна разница между стохастическими траекториями и траекториями из окон периодичности.
Рис. 13. (6=0.4; а=3.66)
Рис. 14. (6=0.4; а=3.74)
Рис. 15. (6=0.4; а=3.78)
Рис. 16. (6=0.4; а=3.8)
Рис. 17. (6=0.4; а=3.82)
Уравнение линейной регрессии, получаемое при построении графиков из рис. 13-17 имеет вид 1п ) = к{а) 1п п + с, в котором к{а) и есть приближенное значение показателя
Херста в предположении его существования.
Табл. 1, 2, 3 приводят эти значения. Здесь опять следует обратить внимание на случай а = 3,74, в котором к{а) ^ 0.
Таблица 1
Зависимость h=h(a) (6=0,4)
a 3,6 3,62 3,64 3,66 3,68 3,7 3,72 3,74 3,76 3,78 3,8 3,82
h 0,254 0,335 0,212 0,497 0,193 0,352 0,277 0,018 0,274 0,165 0,564 0,546
Таблица 2
Зависимость h=h(a) (6=0,5)
a 3,6 3,62 3,64 3,66 3,68 3,7 3,72 3,74 3,76 3,78 3,8 3,82
h -0,232 0,323 0,327 0,257 0,614 0,128 0,521 0,162E-08 0,494 0,648 0,641 0,463
Таблица 3
Зависимость h=h(a) (b= =0,6)
a 3,6 3,62 3,64 3,66 3,68 3,7 3,72 3,74 3,76 3,78 3,8 3,82
h -0,393 0,027 0,121 0,327 0,154 0,293 0,271 -4,894E-04 0,258 0,211 0,461 0,395
Библиографический список
1. Берже, П. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. - М.: Изд. «Мир», 1991.
2. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. «Меркурий Пресс». 2000.
3. Мун, Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун. - М. Изд.: «Мир», 1990.
4. Петерс, Э. Фрактальный анализ финансовых рынков / Э. Петерс. - М.: Интернет - Трейдинг», 2004.
5. Галкин, В.М. Хаос и две задачи Рамануджана. Прогрессивные технологии в машино- и приборостроении / В.М. Галкин [и др.]. - Н. Новгород - Арзамасс, 2010.
Дата поступления в редакцию 20.10.2011
V.M. Galkin, L.N. Erofeeva, I.N. Tolkachev LOGISTIC MAPPING: SOME EXPERIMENTAL DATA
Logistic mapping x = a{x - x2) is investigating from the Я/Б - analysis viewpoint for
3,5699 < a < 1 + . The Hurst's exponent is calculated experimentally. The graphics and the tables that are illustrating the behaviour of the sequence X } are given . Strange behaviour of the \xn } for a = 3,74 is discovered.
Key words: time series, Chaos, Hurst exponent, bifurcation, periodicity box.
