CC BY
58
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЙ
УДК 624.04 DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.1249-1261
Вероятностно-статистическое моделирование нагрузок
и воздействий
К.В. Кургузов, И.К. Фоменко, Д.Д. Шубина
Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ);
г. Москва, Россия
АННОТАЦИЯ
Введение. Сегодня численные методы нашли широкое применение в практике строительства. Они позволяют без чрезмерных аналитических процедур выполнять и рассчитывать сложные нелинейные, многофакторные модели. Однако, как правило, самые сложные задачи, выполняемые в пространственной схеме с учетом физических, геометрических и прочих нелинейностей, выполняются в детерминированных постановках без анализа стохастической природы физических процессов. Это кажется особенно странным, учитывая, что численным методам хорошо поддается моделирование случайных процессов. С помощью численных вероятностно-статистических подходов (ВСП) возможно моделировать и учитывать различные пространственно-временные аспекты вероятностной природы нагрузок и воздействий, сопротивлений конструкционных систем, материалов и геологических сред. Даже самые продвинутые численные модели физических систем детерминированного характера являются всего лишь частным случаем вероятностно-статистического моделирования — они позволяют получить только одно значение (точку) на всем поле возможных реализаций, они не способны показать объективную, максимально полную картину вероятных исходов. Статья < В показывает пример выполнения численных вероятностно-статистических расчетов нагрузок и воздействий. s с Методы исследования. В качестве вводных параметров были использованы материалы из различных источников: J ^ справочники, нормативная литература, результаты лабораторных испытаний, а также имеющиеся опытные данные. k и Основной расчет и анализ интегральной функции нагрузок выполнялся с помощью численного метода вероятност- g но-статистического моделирования Монте-Карло, при использовании различных теоретических (статистических) О Г и эмпирических распределений, с последующей количественной оценкой расчетных значений нагрузки при различ- U о ных значениях доверительной вероятности. . • Результаты. В работе показан пример вероятностно-статистического расчета (определения) интегральной функции o S нагрузок и воздействий с учетом различной природы нагрузок при разнообразном распределении исходных параме- § s тров, включая эмпирические распределения. Показана высокая важность точного описания исходных распределе- l 2
y
ний случайной величины для определения достоверного расчетного значения нагрузок. _ 9
Выводы. Вероятностно-статистические подходы имеют возможность объективно оценивать работоспособность ° -
строительных систем на базе количественного учета вероятностной природы факторов нагрузок. Данные подходы a g
несут огромный потенциал и повышение уровня надежности зданий и сооружений, и увеличение экономической 2 5
эффективности строительных проектов. § (
О i
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вероятностно-статистическое моделирование, функции распределения, нагрузки и воздей- § ) ствия, оценка надежности, функция работоспособности, метод Монте-Карло
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Кургузов К.В., Фоменко И.К., Шубина Д.Д. Вероятностно-статистическое моделирование О 2
нагрузок и воздействий // Вестник МГСУ. 2020. Т. 15. Вып. 9. С. 1249-1261. DOI: 10.22227/1997-0935.2020.9.1249-1261 ^ 0
§ 4
r 66 § (
_¡i
Konstantin V. Kurguzov, Igor K. Fomenko, Daria D. Shubina 2 )
Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting (MGRI); < •
Moscow, Russian Federation 1 О
e 5
ABSTRACT ® Oi
л *
Introduction. At present, numerical methods enjoy widespread ¡se in construction practice. They enable performing and . DO
analyzing complex non-linear, multi-factor models without excessive analytical procedures. However, as a rule, the most s П
complex tasks, performed in a three-dimensional setting with account taken of physical, geometric and other nonlinearities, s у
are performed in deterministic formulations without the analysis of the stochastic nature of physical processes. This seems ф £
particularly strange, given that numerical methods are well-suited for modeling stochastic processes. Numerical probabilistic <0 <0 and statistical approaches (PSA) can be applied to simulate and take into consideration various spatiotemporal aspects of 22
the probabilistic nature of loads and forces, structural system resistances, materials and geological terrains. Even the most О О
advanced numerical models of deterministic physical systems are merely a specific case of probabilistic and statistical mod- о О eling: they enable obtaining only one value (point) on the whole field of possible implementations, being unable to demon-
Probabilistic and statistical modeling of loads and forces
CO CO
© К.В. Кургузов, И.К. Фоменко, Д.Д. Шубина, 2020
Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)
strate an objective and exhaustive variety of probable outcomes. This article presents a case study of numerical probabilistic and statistical analyses of loads and forces.
Methods of research. Materials from different sources, such as reference books, regulatory documents, laboratory test results, as well as available experimental data, were used as input parameters. The principal calculation and analysis of the integral function of loads was performed using the Monte Carlo numerical method of probabilistic and statistical modeling and various theoretical (statistical) and empirical distributions, followed by the quantitative assessment of design loads at various confidence probability values.
Results. This study provides an example of the probabilistic and statistical calculation (determination) of the integral function of loads and forces with account taken of different origins of loads and varied input parameter distribution patterns, including empirical distributions. It has proven great importance of accurate description of initial distributions of a random value for the determination of reliable design load values.
Conclusions. Probabilistic and statistical approaches have the ability to objectively assess the performance of structural systems based on the quantitative assessment of the probabilistic nature of load factors. These approaches have huge potential for increasing the reliability of buildings and structures and the cost effectiveness of construction projects.
KEYWORDS: probabilistic and statistical modeling, distribution functions, loads and forces, reliability assessment, performance function, the Monte Carlo method
FOR CITATION: Kurguzov K.V., Fomenko I.K., Shubina D.D. Probabilistic and statistical modeling of loads and forces. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2020; 15(9):1249-1261. DOI: 10.22227/19970935.2020.9.1249-1261 (rus.).
ВВЕДЕНИЕ
Надежность конструктивных и геотехнических систем, а также отдельных элементов невозможно оценить, пренебрегая вероятностными законами распределения внешних нагрузок и воздействий оо [1, 2, с. 72-75]. Если надежность конструкций, ра° ° ботающих под статической нагрузкой в нормальных условиях, может быть очень высокой, то обеспечение ® ность тех же параметров системы в условиях агрес-> ¡Я сивной среды или сейсмического воздействия может
2 быть существенно снижена. Параметры функции и ю
. нагрузок и воздействий зависят от природы воз-ш м
^ действия, времени, места расположения и от других о .2 факторов, которые по своей сути являются случай-¡¡> ными величинами. Это означает, что в действитель-'<и ности функции нагрузок и воздействий представ--3 ляют собой сложные стохастические процессы, постоянно изменяющиеся в структурах многомерен У ных случайных полей. Описание, моделирование -о и расчет таких процессов являются комплексной
° задачей, которая, очевидно, не может быть решена
см ^
2 ■.§ без развития численных методов. Сложность апри-
$ Е орной оценки и анализа является характерной осо-
с бенностью при моделировании случайных функций
□[ о нагрузок и воздействий, т.е. если элементы стоха-
ю ° стических функций сопротивления (например, фи-
§ с зико-механические параметры) могут быть подвер-
^ о гнуты непосредственным исследованиям (полевым,
? лабораторным) и даже технологическому проекти-
^ с рованию (металлургия, петрургия и пр.), то с веро-
— 2 ятностными функциями нагрузок и воздействий за-
з частую такой определенности просто нет. Поэтому
I_ Ю данные функции по праву могут считаться наибо-
^ 5 лее существенным фактором неопределенности из-
| £ учаемых конструктивных и геотехнических систем
¡3 -ц [3-5]. Сильная зависимость конечного расчетного
щ ¡¡> результата от правильного учета многопараметрических функций воздействий предопределяет
особую необходимость изучения стохастической природы нагрузок и воздействий [6-8].
Одной из существенных проблем использования стохастических параметров нагрузок и воздействий является чрезвычайно малое количество наблюдений и широкий разброс исходной информации как о параметрах нагрузок, так и об их вероятностной природе. Переменные нагрузки и воздействия могут являться дискретными, непрерывными или смешанными процессами со сложными эмпирическими функциями распределений (рис. 1) [9, 10]. Нагрузки и воздействия, которые могут быть дискретными и непрерывными, характеризуются случайной природой, описание которой может быть произведено с помощью различных аспектов и количественных параметров, которые в конечном счете могут быть сведены к трем базовым кластерам функций распределения случайных величин: временные, пространственные функции и функции интенсивности [11, 12].
1. Временные функции распределения направлены на определение моментов возникновения и продолжительности воздействий. Данные функции позволяют решать краевые задачи по комбинациям различных воздействий, т.е. определять функции сочетаний.
2. Пространственные функции позволяют определять геометрические координаты нагрузок и воздействий.
3. Распределение интенсивности нагрузок и воздействий также имеет стохастическую природу, которая может быть описана различными линейными и нелинейными по форме функциями.
Существенным фактором в исследованиях нагрузок и воздействий является происхождение (природа) воздействий. При изучении кратковременных (полезных) нагрузок установлено, что значения кратковременных нагрузок изменяются не только от назначения помещения (которое, кстати, тоже может не быть окончательно определено на этапе проектирования и изменяться в период эксплуатации), но также и от количества находящихся в нем
Рис. 1. Динамическая модель суммарных нагрузок и воздействий L(t) Fig. 1. Dynamic model of total loads and forces L(t)
людей, мебели, оборудования, от сроков эксплуатации помещений (количество резких перепадов интенсивности нагрузки зависит от рассматриваемого диапазона времени), от размера помещения (см. график), от других случайных факторов (случайное скопление людей по поводу праздников, годовщин и пр.). Интенсивность длительных нагрузок может существенно изменяться в периоды ремонтов или переоборудования производств. Постоянные нагрузки существенно зависят от качества используемых материалов, а также культуры производства работ.
Например, плотность железобетонных конструкций, изготовленных на заводах, имеет меньшие значения изменчивости по сравнению с плотностью конструкций, изготовленных на строительной площадке.
Вероятность возникновения того или иного воздействия всегда связана с функцией времени (рис. 2) [13]. Например, длина отрезка времени будет влиять на количественное значение вероятности
появления воздействия, т.е. физические процессы окружающей среды (скорость воздушных масс, градиент температур, мощность осадков, колебания подземных уровней грунтовых вод и пр.) имеют различные значения вероятности возникновения на различных отрезках времени.
МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ
Условием применения вероятностно-статистического подхода в расчете надежности систем является функциональное описание и сопоставление процессов сопротивления и нагружения систем. Результатом сопоставления этих функций является определение интегральной функции работоспособности. При этом категорически необходимо рассмотрение всех нагрузок и воздействий через природу случайных процессов. То есть вероятностно-статистические расчеты надежности систем основываются не на частных (детерминированных) значениях нагрузок, а на дискретных или непрерывных функциях распределений случайных величин.
< п
iH k|
G Г
S 2
0 w
t CO
1 z У 1
J to
> i
n °
о 3
о О
о i
о n
CO CO
n NJ
о 0
о £
> §
• ) тм
ф
01
W DO ■ T
s У с о
<D Ж 9090
О О 10 10 О О
ti
\JÂr\t = tb)
?1 y m i Спектрограмма воздействий X ^ ^
Exposure spectrogram
Рис. 2. Динамическая модель функции работоспособности системы Fig. 2. Dynamic model of the system performance function
о о
N N О О
сч сч
СП СП К (V U 3 > (Л
с и m in
i!
<D dj
Целью стохастического расчета нагрузок является определение интегральной функции распределения нагрузок и воздействий, а также ее вероятностных (расчетных) параметров. При этом возможно решение прикладных задач, например, по оценке (калибровке) коэффициентов надежности, для сопоставления и анализа и для дальнейшего применения в рамках теории предельных состояний. Данному расчетному анализу подлежат нагрузки от веса типового перекрытия и конструкции пола в многоэтажном здании, принятые в одном из проектов авторов. В данной работе было выполнено три типа расчета нагрузок:
1) детерминированный расчет (сбор) нагрузок в соответствии с требованиями действующих нор-
мативных документов (СП 20.133301), в рамках концепции расчета конструкций методами предельных состояний (табл. 1);
2) вероятностно-статистический расчет нагрузок в предположении распределения случайных величин по нормальному (гауссову) закону, с учетом справочных исходных вероятностно-статистических параметров;
3) вероятностно-статистический расчет нагрузок с учетом различных эмпирических распределений случайных величин на основе данных лабораторных исследований и других опытных данных.
В табл. 1 представлен сбор нормативных и расчетных значений нагрузок в соответствии
1 СП 20.13330-2016. Нагрузки и воздействия.
О ё
Табл. 1. Детерминированные и стохастические параметры исходных нагрузок Table 1. Deterministic and stochastic initial load parameters
со " со EE — -b^
ï §
CL° ^ с Ю °
S g
о E
fee
СП ^ т-
~Z. ZÎ5 £
ОТ °
si
Si
О И
Расположение Location
Наименование нагрузки Load type
S с
S и
В E Й S
£ E
к
H с § j
м d
р
о Но
s fc
й c К с
о -.и
•3 й H > е d О "P
M
& с а
« -S Я m
ат С
5 c я с
'-S s -Г
6 s
и > H ^
нт o
g. i=
a
S О
E ■&1 <u
m с
£ °
^ S
D О g £
à
Kra 'T,
2 тэ G й
o L
к
з
у
р d
г a
а г;
н
я й
ая
н к
т e
^ с
с
а
(X
Постоянные нагрузки / Constant loads
Ж/б перекрытие Керамическая плитка на клею Glued ceramic tile 0,015 20 0,3 0,0015 0,05 1,2 0,360
Reinforced concrete floor Экструдированный пенополистирол Extruded polystyrene foam 0,04 0,4 0,016 0,0048 0,3 1,2 0,019
Стяжка с разуклонкой Sloping screed 0,04 18 0,72 0,065 0,09 1,1 0,792
Окончание табл. 1 / End of Table 1
Расположение Location Наименование нагрузки Load type Толщина элемента, м Element thickness, m Плотность материала, кН/м3 Material density, kN/m3 Нормативная нагрузка, кН/м2 Standard load, kN/m2 Стандартное отклонение ст Standard deviation ст Коэффициент вариации V Coefficient of variation V Коэффициент надежности по нагрузке yt Load safety factor yt Расчетная нагрузка, кН/м2 Design load, kN/m2
Ж/б перекрытие Reinforced concrete floor Ж/б плита из бетона В25 Reinforced concrete slab, B25 concrete 0,2 25 5,0 0,4 0,08 1,1 5,500
Гипсокартонные перегородки t = 125 мм Gypsum cardboard partitions t = 125 mm 0,5 0,1 0,2 1,3 0,650
7,321
Временные нагрузки / Temporary loads
Равномерно распределенная Evenly distributed 1,5 0,6 0,4 1,3 1,950
Итого Total 8,036 9,271
с СП 20.13330, а также параметры для выполнения вероятностно-статистического расчета. Исходные стохастические параметры нагрузок принимались по данным справочно-нормативной литературы, а также по данным научных источников.
Коэффициент вариации бетона по плотности составляет 7-9 % (ГОСТ 27005-2014).
По данным ГОСТ 7025-91 коэффициент вариации плотности керамических изделий в среднем составляет 5 %.
Вид распределения полезной нагрузки мало отличается от логнормального, а коэффициент вариации V имеет широкий размах значений и сильно зависит от назначения эксплуатируемого помещения [14, 9, 15]:
• коммерческого назначения (банки, торговые центры, больницы и пр.): V от 0,4 до более 1,0;
• офисного назначения: V от 0,8 до более 1,0;
• гостиницы: V от 0,33 до более 1,0;
• жилого назначения: V > 1,0.
Нагрузку от собственного веса конструкций можно разделить на нагрузку от веса несущих конструкций, которая не зависит от времени и может быть представлена случайной величиной, и нагрузку от веса ненесущих элементов, подверженную изменениям в течение срока службы. Период обновления для этой нагрузки может составлять раз в 10-50 лет. Возможными причинами неопределенности в предсказании нагрузки от собственного веса могут быть разбросы плотности материалов, отклонения геометрических размеров, неопределенность окончательного выбора материала, дополнительные
нагрузки от соединений и креплений, последующие перестройки и реконструкции, влияние окружающей среды (например, на содержание воды) [16, с. 40-45].
Стохастические расчеты нагрузок и воздействий проводились численным методом вероятностно-статистического моделирования, основанным на методе Монте-Карло. Численная методика Монте-Карло позволяет получать решение математических или физических задач на основе моделирования случайных величин и построения статистических оценок, а также позволяет отрабатывать возможные (вероятные) процессы или результаты при использовании различных методов генерации случайных чисел, которые потом переносятся на реальную модель [17-19].
Данные расчеты выполнялись с учетом следующих предположений:
1) нормального закона распределения случайных величин;
2) поля случайных величин стационарны и статистически однородны.
В процессе расчетов на основе исходных вероятностно-статистических параметров производилось моделирование эмпирических распределений (рис. 3-5) с последующим интегрированием и построением итогового распределения. На основе полученного распределения выполнялась статистическая аппроксимация и рассчитывались интегральные вероятностно-статистические параметры (рис. 6).
Расчетные вероятностно-статистические параметры представлены в табл. 2.
< п
iH G Г
S 2
0 M
t СО
1 » y 1
J со
u s
> I
n ° »8 о »
oî
о n
со со
n M » 0
o 66
• ) iï
<D
01
« DO
■ £
s □
s У
с о
<D *
M 2
О О
10 10
О О
Рис. 3. Функциональная плотность нормального распределения нагрузки от веса ж/б плиты Fig. 3. Function density of the normal distribution of the weight load induced by a reinforced concrete slab
Рис. 5. Функциональная плотность нормального распределения нагрузки от пенополистирола Fig. 5. Function density of the normal distribution of the load induced by polystyrene foam
о о
N N О О N N
СП СП
к ai
U 3
> (Л
с и ta in
Ü!
Ф О)
О S
Рис. 4. Функциональная плотность нормального распределения нагрузки от ц.п. стяжки Fig. 4. Function density of the normal distribution of the load induced by a cement sand screed
Рис. 6. Функциональная плотность нормального
распределения суммарных нагрузок
Fig. 6. Function density of the normal distribution of total loads
£= о
CL° ^ с Ю °
si
о E
fee
CO ^
M (Л
I ^ Si
О И
Табл. 2. Описательная статистика результатов расчета численным методом
Table 2. Descriptive breakdown of calculation results obtained using the numerical method
Наименование нагрузки Load type Размер реализации Implementation size Среднее значение, кН/м2 Average value, kN/m2 Минимальное значение, кН/м2 Minimum value, kN/m2 Максимальное значение, кН/м2 Maximum value, kN/m2 Дисперсия a2 Dispersion a2 Стандартное отклонение a Standard deviation a Коэффициент вариации V Coefficient of variation V Стандартная ошибка Standard error
Ж/б плита / Reinforced concrete slab 150 5,0187 3,8908 6,0969 0,1449 0,3807 7,5847 0,0311
Стяжка / Screed 0,7196 0,5658 0,8490 0,0031 0,0558 7,7538 0,0104
Пенополистирол / Polystyrene foam 0,0157 0,0023 0,0304 0,0000 0,0044 28,230 0,0004
Окончание табл. 2 / End of Table 2
Наименование нагрузки Load type Размер реализации Implementation size Среднее значение, кН/м2 Average value, kN/m2 Минимальное значение, кН/м2 Minimum value, kN/m2 Максимальное значение, кН/м2 Maximum value, kN/m2 Дисперсия a2 Dispersion a2 Стандартное отклонение a Standard deviation a Коэффициент вариации V Coefficient of variation V Стандартная ошибка Standard error
Плитка / Tile 150 0,3045 0,1715 0,4481 0,0034 0,0581 19,093 0,0047
Перегородки / Partitions 0,5060 0,2759 0,8234 0,0095 0,0973 19,233 0,0079
Полезная нагрузка / Imposed load 1,5057 -0,2531 2,8260 0,3217 0,5672 37,668 0,0304
Суммарные нагрузки / Total loads 8,0701 5,7639 9,7658 0,4559 0,6752 8,3666 0,0659
Табл. 3. Расчетные значения нагрузок в зависимости от доверительного уровня вероятности Table 3. Design load values based on confidence level
Доверительная вероятность, % / Confidence probability, % 85,00 90,00 95,00 99,00 99,99
Коэффициент доверия в / Confidence coefficient в 1,439 1,645 1,960 2,576 3,300
Максимальные (расчетные) значения нагрузок, кН/м2 Maximum (design) load values, kN/m2 8,769 8,935 9,180 9,640 10,581
Получив стохастические характеристики суммарных нагрузок, мы рассчитали математическое ожидание максимального значения суммарной нагрузки (расчетные значения) в зависимости от доверительного уровня вероятности (табл. 3).
Таким образом, очевидно, что расчетное значение нагрузок напрямую зависит от уровня доверительной вероятности. В практических расчетах уровни доверительной вероятности могут быть приняты исходя из требований конкретного проекта, уровня ответственности проектируемого сооружения или допустимых уровней социально-экономических рисков.
Широкая популярность нормального распределения с относительно простой гауссовой математикой не может являться основанием для его повсеместного применения. Большинство случайных процессов в природе не является однородным, и, соответственно, их распределения не могут быть аппроксимированы гауссовой функцией. Особенно это касается небольших по своим объемам статистических наблюдений, когда не находит свое применение центральная теорема [20-22]. К тому же широко известна особенность нормального распределения принимать отрицательные значения случайных величин (например, см. столбец 4 в табл. 2), что противоречит природе многих физических параметров. В этом случае было бы более корректным использовать различные непрерывные теоретические функции — экспоненциальную, гамму, Вэйбулла, Релея,
логнормальную, равномерную и пр. Характер конструктивной системы здания, размеры помещений, условия эксплуатации влияют на функции распределения кратковременных нагрузок и воздействий. Например, очевидно, что функции распределения для офисных помещений кабинетного типа и помещений с открытой планировкой (опен-спэйс) будут различны. Однако аналитические взаимодействия различных по природе функций являются весьма затруднительными и сводятся, как правило, к математическим процессам стандартизации и нормализации, что существенно отражается на точности конечного решения. К тому же в этом случае в процессе расчетов неизбежно накопление погрешности за счет промежуточных аппроксимаций. Таким образом, более целесообразным представляется использование эмпирических (полимодальных) функций распределений случайных величин, что достигается за счет применения численных методов [23, 24].
Возможность применения различных теоретических и эмпирических функций в практических расчетах показана в следующем примере.
Здесь для расчета функции нагрузок и воздействий были использованы исходные вероятностно-статистические параметры плотности материалов, полученные в результате лабораторных испытаний для тяжелого бетона (класс прочности В25), для цементно-песчаного раствора, используемого для устройства стяжки для полов, а также экструдиро-ванного пенополистирола. По результатам лабо-
< п
8 8 ÍH
о
t со I o
y 1
J со
u i
r i
n o
03
o o
O? n
СО
со
м
СО
о
об >66 о о
0)
о
cn
• ) ÍM
(D
(Л
№ П
■ Т
s S
s у с о (D *
0000 M M
о о 10 10 о о
раторных испытаний выполнялась статистическая обработка, результаты которой приведены в табл. 5. Функции распределения результатов испытаний в целом соответствуют логнормальному распределению. Необходимо отметить, что результаты испытаний показали более однородные структуры тяжелого бетона и ц/п раствора по сравнению со справочными данными. Также, как ожидалось, фактические значения нагрузок от веса конструкций оказались ниже нормативных значений, принимаемых в практических расчетах по СП 20.1333. Исходные расчетные параметры для керамической плитки и веса перегородок принимались по справочным данным.
Для анализа вероятностной природы полезных нагрузок неоднократно предпринимались специаль-
ные обследования, имевшие целью уточнение значений полезных нагрузок в жилых, административных и производственных зданиях. Так, по данным одной из таких работ [15], где было обследовано 2652 помещения, были приняты вероятностно-статистические параметры с логнормальным распределением (рис. 7). Здесь необходимо отметить, что некорректная аппроксимация статистического распределения приводит к существенному искажению расчетных значений. В случае применения различных функций для аппроксимации данного распределения расчетные значения нагрузки при различных доверительных интервалах изменяются в значимых пределах (табл. 4). Для проверки гипотезы о соответствии статистического распределения выбранному применялся критерий согласия Пирсона.
о о
N N
О О
N N
СП СП
К <D
U 3
> (Л
с и 2
U in
!!
Ф О)
О ё ---- "t^
§1 g<
8 « от*
от ЕЕ
— -ь^
^ ¡5
с
ю ° о Е
fe ° СП ^ т- ^
£
от °
■8 £
El
О (Я
Рис. 7. Различные аппроксимации распределения кратковременной нагрузки Fig. 7. Various approximations of short-term load distribution
Табл. 4. Расчетные значения кратковременной нагрузки при различных аппроксимациях, кг/м2 Table 4. Various approximations of design values of the short-term load, kg/m2
Функция распределения Distribution function Критерий согласия Пирсона x2 Pearson's chi-squared test x2 Степени свободы df Degrees of freedom df Вероятность p Probability p Уровень доверительной вероятности Confidence level
95 % 99,0 % 99,99 %
Нормальная / Normal 10,19213 6 0,11679 124,07 140,88 175,24
Логнормальная / Lognormal 7,76795 0,25560 129,79 158,59 238,83
Гамма / Gamma 7,24644 0,25560 126,81 149,73 204,33
Табл. 5. Статистическая обработка данных лабораторных испытаний Table 5. Results of statistical analysis of laboratory tests
Наименование материала Material type Функция распределения Distribution function Дисперсия с>2 Dispersion с>2 Стандартное отклонение с> Standard deviation с> Коэффициент вариации V Coefficient of variation V Минимальное значение, кг/м3 Minimum value, kg/m3 Максимальное значение, кг/м3 Maximum value, kg/m3 Среднее значение (.и кг/м3 Average value, kg/m3 Расчетное значение при доверительной вероятности, кг/м3 Design value in case of confidence probability, kg/m3
Наименование функции Function Параметры распределения Distribution parameters
И- с> 95,00 % 99,00 % 99,99 %
Тяжелый бетон / Heavy concrete Логнормальная / Lognormal 7,7749 0,0267 2834,06 53,23 2,23 2270 2454 2380 2470 2508 2588
Легкий бетон (стяжка пола) Lightweight concrete (floor screed) Логнормальная / Lognormal 7,4929 0,0146 690,66 26,28 1,46 1766 1822 1795 1838 1857 1895
Пенополистирол ПСБ-25 / PSB-25 polystyrene foam Табл. 6. Исходные параметры для вероятное! Table 6. Input parameters for probabilistic and s Логнормальная / Lognormal но-статистического расчет tatistical analysis 2,9636 а 0,0213 0,16 0,41 2,12 18,88 19,82 19,37 20.0 20.3 20.9
Наименование материала Material type Функция распределения Distribution function Дисперсия с>2 Dispersion с>2 Стандартное отклонение с> Standard deviation с> Коэффициент вариации V Coefficient of variation V Минимальное значение, кг/м3 Minimum value, kg/m3 Максимальное значение, кг/м3 Maximum value, kg/m3 Среднее значение (.и кг/м3 Average value, kg/m3 Расчетное значение при доверительной вероятности, кг/м3 Design value in case of confidence probability, kg/m3
Наименование функции Function Параметры распределения Distribution parameters
И- с> 95,00 % 99,00 % 99,99 %
Ж/б плита перекрытия (f = 0,2 м) Reinforced concrete floor (f = 0.2 m) * Логнормальная / Lognormal 6,1654 0,0267 163,33 12,78 2,68 452,58 511,01 476,17 497,36 506,49 525,68
Теплозвукоизоляция (f = 0,04 м) Thermal and sound insulation (f = 0.04 m) * Логнормальная / Lognormal 0,2542 0,0211 0,00026 0,016 2,10 0,73 0,81 0,77 1,33 1,35 1,39
Стяжка пола (f = 0,04 м) Floor screed (f = 0.04 m) * Логнормальная / Lognormal 4,2747 0,0149 1,13 1,06 1,48 69,41 74,62 71,86 73,64 74,39 75,95
Керамическая плитка / Ceramic tile ** Гаусса / Gauss — — 33,75 5,81 19,09 17,15 44,81 30,45 40,00 43,96 52,05
Перегородки / Partitions * * Гаусса / Gauss — — 94,67 9,73 19,23 27,59 82,34 50,60 66,60 73,23 86,78
Полезная нагрузка / Imposed load * * * Гамма / Gamma 11,9358 6,996 608,46 24,66 29,54 40,75 154,37 83,50 126,81 149,73 204,33
и Примечания: *По данным лабораторных испытаний. **По справочным данным. ***Опытные данные, ю
Н] Notes: *Based on laboratory test data. "Based on reference data. ***Experiment data [15].
OZOZ '6 anssi 'gi эшп|од • ajnpa^qoJVPUB uojpnjjsuoQ uo |ешпор Л|щио|/\| • nSOIAI Ч!и*5ЭЛ OZOZ '6 мэЛшяя -g|, woi. (эицио) 0099"t70££ NSSI (juud) SC60-/66I. NSSI • AOJI/II иишээд
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
Результаты численных расчетов интегральной функции распределения случайной величины нагрузок на плиту перекрытия представлены на графике (рис. 8). Данная плотность распределения представляет собой главный вектор случайной величины нагрузки от перекрытия, который учитывает случайную природу кратковременной нагрузки, нагрузки от веса ж/б, от веса ц.п. стяжки и других компонент конструкций пола. Из данных расчета видно, что среднее вероятное значение нагрузки ц = 715,9 кг/м2 (табл. 7), при этом нормативное значение при 95%-м
уровне доверительной вероятности составляет порядка N = 768,6 кг/м2. Расчетное же значение в данном случае напрямую зависит от требований к доверительному уровню и может достигать N = 843,21 кг/м2 при р = 99,99 %. Таким образом, в случае необходимости применения коэффициентного подхода коэффициент надежности по нагрузке составил бы у = 843,21/768,6 = 1,09.
Высокая однородность исходных данных (коэффициент вариации определяющих воздействий не превышает 3 %) и близкий характер распределений к теоретическому гауссову распределению
о о
N N
О О
N N
СП СП
К <D
U 3
> (Л
с и
m in
Ф О)
О ë
Рис. 8. Аппроксимация интегрального распределения с помощью функций Гаусса, логнормальной и гамма-функции Fig. 8. Approximation of integral distribution using Gauss, lognormal and gamma functions
Табл. 7. Результаты вероятностно-статистического расчета Table 7. Probabilistic and statistical analysis results
Аппроксимирующая функция распределения Approximating distribution function Критерии согласия Chi-squared test b u § b a « S ö a -S3 Минимальное значение, кг/м2 Minimum value, kg/m2 Максимальное значение, кг/м2 Maximum value, kg/m2 Среднее значение ц, кг/м2 Average ц value, kg/m2 Расчетное значение при доверительной вероятности, кг/м2 Design value in case of confidence probability, kg/m2
Наименование функции Параметры распределения Distribution parameters К о о -.a Sa S3 p '> о ^ S J 5 6 S и > H ^ S ° Ö -M îM
Function а ß X2 K-S g К oo га H О ■&SË ■&1 u m о 95,00 % 99,00 % 99,99 %
Гаусса / Gausse — — 6,32 0,052 768,20 789,85 834,10
Гамма / Gamma 11,9358 6,996 6,77 0,051 31,77 4,43 643,5 813,4 715,9 768,66 791,44 839,37
Логнормальная Lognormal 6,5726 0,044 7,01 0,053 769,24 792,80 843,21
£= о
CL° ^ с ю °
si
о E
CO ^
M (Л
предопределили результаты интегрального распределения. Результаты аппроксимации интегрального распределения с помощью функций гамма, логнор-мальной и гаусса показали близкие значения критериев согласия. Определение расчетных значений нагрузок при различных уровнях доверительной вероятности (табл. 7) также показало сопоставимые значения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ
По результатам данного исследования можно сделать следующие выводы.
1. В статье показана возможность учета и интегрирования различных функций распределений, включая эмпирические, с помощью численных методов вероятностно-статистического моделирования.
2. Общий коэффициент надежности по нагрузке при доверительной вероятности 99,99 % по первому стохастическому расчету составил уи = 1,31, по второму расчету = 1,09.
3. Важнейшую роль в вероятностно-статистических расчетах играют исходные параметры. Использование справочных данных и грубая аппроксимация различных распределений одной функцией Гаусса увеличило расчетные значения нагрузок более чем на 20 % (N1 = 1058 кг/м2 > N¿3 = 843,2 кг/м2).
4. Действующие нормативные документы допускают применение вероятностно-статистических расчетов (ГОСТ Р 54257), однако в строительной практике наиболее популярным является детерминированный расчет (сбор) нагрузок и воздействий, основанный на концепции предельных состоянии. Коэффициентный подход в расчете нагрузок не в состоянии учесть отдельные, уникальные аспекты различных объектов строительства, в том числе различную случайную природу многочисленных факторов, влияющих на конечное значение. Детерминированные расчеты являются частным случаем вероятностно-статистических расчетов, так как даже при учете многокомпонентных факторов в пространственных, нелинейных постановках они позволяют получить лишь единственное, точечное значение, а не представлять целостную картину вероятных значений — картину распределения многомерных полей векторов случайных величин. С развитием цифровых технологий, с возрастающими возможностями численных расчетов появляется острая необходимость в развитии стохастических подходов в строительстве на базе математической статистики, теории вероятности, теории надежности и других дисциплин.
ЛИТЕРАТУРА
< п
iH G Г
1. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М. : Изд-во литературы по строительству, 1965. 280 с.
2. Пшеничкин А.П., Гарагаш Б.А. Исследование статистических характеристик внешних воздействий на здания в г. Волгограде // Надежность и долговечность строительных конструкций : сб. науч. тр. Волгоград, 1974. С. 72-75.
3. Кургузов К.В., Фоменко И.К., Сиротки-на О.Н. Вероятностно-статистические подходы при оценке неопределенности литотехнических систем // Геоэкология. Инженерная геология. Гидрогеология. Геокриология. 2020. № 2. С. 65-74. DOI: 10.31857/ S0869780920020071
4. Russelli C. Probabilistic methods applied to geotechnical engineering. Paris, 2005. URL: https:// ru.scribd.com/document/428302702/PEM-Method-Geotech
5. Einstein G.B., Baecher H.H. Probabilistic and statistical methods in engineering geology // Rock Mechanics and Rock Engineering. 1983. Vol. 16. Pp. 39-72. DOI: 10.1007/BF01030217
6. EllingwoodB., Galambos T.V., MacGregor J.G., Cornell C.A. Development of a probability based load criterion for american national standard A58. Washington : U.S. Department of Commerce, National Bureau of
Standards, 1980. 222 p. URL: https://nvlpubs.nist.gov/ nistpubs/Legacy/SP/nbsspecialpublication577.pdf
7. Santos N.D. dos, Siqueira G.Y., Vieira Junior L.C.M. A stochastic approach for the wind load effect on steel structures // Rem: Revista Escola de Minas. 2016. Vol. 69. No. 2. Pp. 137-145. DOI: 10.1590/037044672015690203
8. Hui Y., Tamura Y., Yang Q. Estimation of extreme wind load on structures and claddings // Journal of Engineering Mechanics. 2017. Vol. 143. No. 9. DOI: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0001304
9. Honfi D. Serviceability floor loads // Structural safety. 2014. Vol. 50. Pp. 27-38. DOI: 10.1016/j.stru-safe.2014.03.004
10. Шпете Г. Надежность несущих строительных конструкций. М. : Стройиздат, 1994. 288 c.
11. Melchers R.E., BeckA.T. Structural reliability analysis and prediction. 3rd ed. New Jersey : John Wiley & Sons Ltd, 2018. 515 p.
12. Fenton G.A., Griffith D.V. Risk assessment in geotechnical engineering. New Jersey : WILEY, 2008. 480 p.
13. Кургузов К.В. Стохастическое моделирование литотехнических систем : дисс. ... канд. геол.-минерал. наук. М., 2019. URL: https://www.dissercat.
0 сл
t СО
1 z У 1
J со
U > i
n °
»8
о »
О? о n
CO CO
n NJ » 0
О 66
•) iM
<D
01
W DO ■ T
s У с о
<D Ж 9090
О О 10 10 О О
о о
сч N
о о
сч N
СП СП
¡г <и
U 3 > (Л С И
U in
Ü!
<D <D
О ig
(Л W
com/content/stokhasticheskoe-modelirovanie-litotekh-nicheskikh-sistem
14. Corotis R.B., Tsay W.-Y. Probabilistic load duration model for live loads // Journal of Structural Engineering. 1983. Vol. 109. No. 4. Pp. 859-874. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1983)109:4(859)
15. Гордеев В.Н., Лантух-Лященко А.И., Па-шинский В.А., Перельмутер А.В., Пичугин С.Ф. Нагрузки и воздействия на здания и сооружения. М. : Изд-во АСВ, 2006. 476 c.
16. Городецкий Б.Л., Котлов Г.Г., Сокол-кин А.Ф. Статистические исследования постоянных нагрузок от собственной массы покрытий в промышленных зданиях // Проблемы надежности в строительном проектировании : к конф. в г. Свердловске (окт., 1972) / под общ. ред. канд. техн. наук С.А. Ти-машева. Свердловск, 1972. С. 40-45.
17. Жданов Э.Р., Маликов Р.Ф., Хисматул-лин Р.К. Компьютерное моделирование физических явлений и процессов методом Монте-Карло. Уфа, 2005. 124 с.
18. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М. : Издательский центр «Академия», 2006. 366 с.
Поступила в редакцию 16 июня 2020 г. Принята в доработанном виде 6 августа 2020 г. Одобрена для публикации 28 августа 2020 г.
Об авторах: Константин Владимирович Кургузов — кандидат геолого-минералогических наук, инженер-проектировщик; Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ); 117997, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 23; SPIN-код: 8725-6560, ORCID: 0000-00017220-4086; kurgusov@yandex.ru;
Игорь Константинович Фоменко — профессор, доктор геолого-минералогических наук, профессор кафедры инженерной геологии; Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ); 117997, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 23; РИНЦ ID: 63706, Scopus: 56975492900, ResearcherlD: L-5467-2016, ORCID: 0000-0003-2318-6015; ifolga@gmail.com;
Дарья Дмитриевна Шубина — старший преподаватель кафедры инженерной геологии; Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе (МГРИ); 117997, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 23; РИНЦ ID: 942206, Scopus: 57194526139, ORCID: 0000 0003 2161 2500; ddshubina@ gmail.com.
19. Биндер К., Хеерман Д.В. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике : Введение / пер. с англ. В.Н. Задкова. М. : Физмат-лит, 1995. 141 с.
20. Земцов В.М., Земцова И.В. Элементы теории вероятностей и математической статистики. М. : Изд-во АСВ, 2013. 545 c.
21. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика. 4-е изд. испр. М. : ЛЕНАНД, 2015. 384 с.
22. Marques de Sa J.P. Applied statistics using SPSS, Statistica, Matlab and R. New-York : Springer, 2007. DOI: 10.1007/978-3-540-71972-4
23. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. М. : Стройиздат, 1978. 239 с.
24. Lauterbach S., Fina M., Wagner W. Influence of stochastic geometric imperfections on the load-carrying behaviour of thin-walled structures using constrained random fields // Computational Mechanics. 2018. Vol. 62. No. 5. Pp. 1107-1125. DOI: 10.1007/s00466-018-1554-0
£= О
CL° ^ с Ю °
si
о E
fee
CO ^
<л
(Л
■8 £
El
о И
REFERENCES
1. Bolotin V.V. Statistical methods in structural mechanics. Moscow, Publishing house of literature on construction, 1965; 280 (rus.).
2. Pshenichkin A.P., Garagash B.A. Study of the statistical characteristics of external influences on buildings in Volgograd. Reliability and durability of building structures: collection of scientific papers. Volgograd, 1974; 72-75. (rus.).
3. Kurguzov K.V. Fomenko I.K., Sirotkina O.N. Probabilistic and statistical approaches to uncertainty assessment in lithotechnogenic systems. Geoecology. En-
gineering geology. Hydrogeology. Geocryology. 2020; (2):65-74. DOI: 10.31857/S0869780920020071 (rus.).
4. Russelli C. Probabilistic methods applied to geotechnical engineering. Paris, 2005. URL: https:// ru.scribd.com/document/428302702/PEM-Method-Geotech
5. Einstein G.B., Baecher H.H. Probabilistic and statistical methods in engineering geology. Rock Mechanics and Rock Engineering. 1983; 16:39-72. DOI: 10.1007/BF01030217
6. Ellingwood B., Galambos T.V., MacGregor J.G., Cornell C.A. Development of a probability
based load criterion for American national standard A58. Washington, U.S. Department of Commerce, National Bureau of Standards, 1980; 222. URL: https:// nvlpubs.nist.gov/nistpubs/Legacy/SP/nbsspecialpubli-cation577.pdf
7. Santos N.D. dos, Siqueira G.Y., Vieira Junior L.C.M. A stochastic approach for the wind load effect on steel structures. Rem : Revista Escola de Minas. 2016; 69(2):137-145. DOI: 10.1590/037044672015690203
8. Hui Y., Tamura Y., Yang Q. Estimation of extreme wind load on structures and claddings. Journal of Engineering Mechanics. 2017; 143(9). DOI: 10.1061/ (ASCE)EM.1943-7889.0001304
9. Honfi D. Serviceability floor loads. Structural safety. 2014; 50:27-38. DOI: 10.1016/j.stru-safe.2014.03.004
10. Shpete G. Reliability of load-bearing building structures. Moscow, Stroyizdat publ., 1994; 288. (rus.).
11. Melchers R.E., Beck A.T. Structural reliability analysis and prediction. 3rd ed. New Jersey, John Wiley & Sons Ltd, 2018; 515.
12. Fenton G.A., Griffith D.V. Risk assessment in geotechnical egnineering. New Jersey, WILEY, 2008; 480.
13. Kurgozov K.V. Stochastic modeling of lithotechnical systems : cand. geological and miner-alogical sci. diss. Moscow, 2019. URL: https://www. dissercat.com/content/stokhasticheskoe-modelirovanie-litotekhnicheskikh-sistem
14. Corotis R.B., Tsay W.-Y. Probabilistic load duration model for live loads. Journal of Structural Engineering. 1983; 109(4):859-874. DOI: 10.1061/ (ASCE)0733-9445(1983)109:4(859)
15. Gordeev V.N., Lantukh-Lyashchenko A.I., Pashinskiy V.A., Perel'muter A.V., Pichugin S.F. Loads
and impacts on buildings and structures. Moscow, ASV publ., 2006; 476. (rus.).
16. Gorodetskiy B.L., Kotlov G.G., Sokolkin A.F. Statistical studies of permanent loads from the dead weight of coatings in industrial buildings. Reliability problems in construction design : to the conf. in Sverdlovsk (Oct., 1972) / S.A. Timasheva (ed.). Sverdlovsk, 1972; 40-45. (rus.).
17. Zhdanov E.R., Malikov R.F., Khismatul-lin R.K. Computer simulation of physical phenomena and processes by the Monte-Carlo method. Ufa, 2005; 124. (rus.).
18. Mikhaylov G.A., Voytishek A.V. Numerical statistical modeling. Monte Carlo methods. Moscow, Publishing Center "Academy", 2006; 366. (rus.).
19. Binder K., Heermann D.W. Monte Carlo simulation in statistical physics: An introduction. SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 1992; 129.
20. Zemtsov V.M., Zemtsova I.V. Elements of probability theory and mathematical statistics. Moscow, ASV publ., 2013; 545 (rus.).
21. Vatutin V.A., Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Chistyakov V.P. Theory of probability and mathematical statistics. 4th ed. rev. Moscow, LENAND publ., 2015; 384. (rus.).
22. Marques de Sa J.P. Applied statistics using SPSS, Statistica, Matlab and R. New-York, Springer, 2007. DOI: 10.1007/978-3-540-71972-4
23. Rzhanitsyn A.R. The theory of calculating building structures for reliability. Moscow, Stroyizdat publ., 1978; 239. (rus.).
24. Lauterbach S., Fina M., Wagner W. Influence of stochastic geometric imperfections on the load-carrying behaviour of thin-walled structures using constrained random fields. Computational Mechanics. 2018; 62(5):1107-1125. DOI: 10.1007/s00466-018-1554-0
Received June 16, 2020.
Adopted in revised form on August 6, 2020.
Approved for publication on August 25, 2020.
B ionotes : Konstantin V. Kurguzov — Candidate of Geological and Mineralogical Sciences, Design Engineer; Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting (MGRI); 23 Miklukho-Maklaya st., Moscow, 117997, Russian Federation; SPIN-code: 8725-6560, ORCID: 0000-0001-7220-4086; kurgusov@yandex.ru;
Igor K. Fomenko — Professor, Doctor of Geological and Mineralogical Sciences, Professor the Department of Engineering Geology; Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting (MGRI); 23 Miklukho-Maklaya st., Moscow, 117997, Russian Federation; ID RISC: 63706, Scopus: 56975492900, Re-searcherID: L-5467-2016, ORCID: 0000-0003-2318-6015; ifolga@gmail.com;
Daria D. Shubina — Senior Lecturer of the Department of Engineering Geology; Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting (MGRI); 23 Miklukho-Maklaya st., Moscow, 117997, Russian Federation; ID RISC: 942206, Scopus: 57194526139, ORCID: 0000 0003 2161 2500; ddshubina@gmail.com.
< П
iH G Г
0 w
t CO
1 z У 1
J to
u s
r I n °
08
о О
О? о n
CO CO
n NJ О 0
О 66
•) (I
<D
01
W DO ■ T
(Л У
с о
<D * 9090
2 2 О О 2 2 О О
