CC BY
18
2020. 16(4). 243-249 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings
HTTP://JOURNALS.RUDN.RU/STRUCTURAL-MECHANICS
Расчет и проектирование строительных конструкций Analysis and design of building structures
DOI 10.22363/1815-5235-2020-16-4-243-249 УДК 624.046.5
НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
История статьи:
Поступила в редакцию: 3 июня 2020 г. Доработана: 4 июля 2020 г. Принята к публикации: 15 июля 2020 г.
Моделирование случайной статической нагрузки на покрытия сооружений при неполной статистической информации
С.А. Соловьев
Вологодский государственный университет, Российская Федерация, 160000, Вологда, ул. Ленина, 15 solovevsa@vogu35.ru
Аннотация
Актуальность. Нагрузки на сооружения представляют собой сложные стохастические структуры, включающие в себя несколько типов неопределенностей одновременно. В статье разработан подход к вероятностному моделированию нагрузки на покрытие сооружений с учетом неполной статистической информации, когда параметры функций распределения представлены в интервальной форме. Цель исследования - разработка подхода к моделированию вероятностного распределения случайной нагрузки на покрытие сооружений в условиях ограниченной (неполной) статистической информации о нагрузке. Методы. Распределение вероятностей отдельного вида нагружения представлено в виде p-блоков (probability boxes). На численном примере показан алгоритм определения p-блока, состоящего из суммы p-блоков, характеризующих различные нагружения с различными граничными функциями распределения. Результаты. На основе предложенного подхода можно определить интервалы нормативной и расчетной нагрузки с заданной обеспеченностью, рассчитать вероятность безотказной работы элемента сооружений, произвести оценку риска аварии рассматриваемого элемента сооружений, а также подбор сечения элемента по заданному уровню надежности.
Ключевые слова: проектирование, случайная величина, покрытие, теория свидетельств, p-блоки, интервал значений, расчетная нагрузка, ферма, балка покрытия
Для цитирования
Соловьев С.А. Моделирование случайной статической нагрузки на покрытия сооружений при неполной статистической информации // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2020. Т. 16. № 4. С. 243-249. http:// dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-4-243-249
Введение
В соответствии с Межгосударственным стандартом ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований» рекомендуется применять вероятностно-статистические методы для обоснования нормативных и расчетных характери-
Соловьев Сергей Александрович, доцент кафедры промышленного и гражданского строительства, кандидат технических наук, eLIBRARY SPIN-код: 4738-8927; Scopus ID: 57191529586; Web of Science ResearcherlD: AAJ-1708-2020. © Соловьев С.А., 2020
_ This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0
© I International License
https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/
стик нагрузок и коэффициентов сочетаний. Применение таких методов допускается при наличии эффективных вероятностных методик учета случайной изменчивости основных параметров. При моделировании нагрузки на сооружение на основе вероятностно-статистических методов необходимо учитывать два типа неопределенности: алеа-торную, обусловленную естественной природой изменчивости климатических нагрузок и неоднородностью физико-механических свойств, и эпистемологическую, связанную с использованием ограниченной по объему статистической выборки и принятием отдельных статистических гипотез.
В исследовании [1] отмечается, что фактическая надежность конструкций покрытия в ряде случаев получается ниже расчетного уровня надежности вследствие изменчивости снеговой нагрузки. В работе [2] приведены различные подходы к описанию снеговой нагрузки на конструкции покрытий сооружений. В [3] также отмечается многообразие подходов к вероятностно-статистическому моделированию снеговой нагрузки на покрытие.
Проблема выбора конкретных вероятностно-статистических распределений для снеговой нагрузки может быть решена путем использования математических методов моделирования при неполной статистической информации. Широкое распространение получили методы вероятностного проектирования и расчета надежности в условиях неопределенности на основе /»-блоков [4]. В работе [5] рассматривается перспективное направление использования топологической оптимизации с учетом неопределенности в параметрах нагрузки.
1. Цель исследования
Множество различных подходов к моделированию эксплуатационной нагрузки как случайной величины формирует эпистемологическую неопределенность в рамках анализа надежности элементов покрытия сооружения. В данной работе предлагается рассмотреть подход к моделированию случайной статической нагрузки на конструкции покрытий сооружений с учетом неопределенности в виде неточных (интервальных) оценок статистических параметров в математической модели нагрузки.
2. Материалы и методы
В общем виде условие прочности изгибаемой конструкции покрытия можно записать в виде:
М(( ••• Яп)Мut. (1)
где М(( q2, ... qn) - функция изгибающего момента, зависящая от случайных (по значению) нагрузок на конструкцию покрытия ql3 q2, ... qn;
Мult - предельный допустимый изгибающий момент.
В общем виде нагрузки на покрытие можно классифицировать на нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия, климатические нагрузки и технологические нагрузки. Нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия могут быть описаны нормальным законом распределения. Так, в приложении С Eurocode 0 «Basis of structural design» отмечено, что нормальное рас-
пределение допустимо использовать для описания распределения собственного веса конструкций. Для моделирования снеговой нагрузки чаще используется закон распределения Гумбеля (или двойной экспоненциальный) [6]:
Fx (x) = exP
exp
^ а - x ^
(2)
где
Sx46
п
мера рассеяния распределения
Гумбеля, - среднеквадратическое отклонение случайной величиныX; а=тх — у-в«тх-0,45-£х -мера центра распределения Гумблея, у - постоянная Эйлера - Маскерони.
В случае ограниченной по объему выборки возможно ввести поправки для оценки коэффициентов р и а в виде а = тх — (0,45 + 0,34и~0 69 £х
и р = (0,78 +1,54и~0'75 )£х.
Числовые параметры математического ожидания и стандартного отклонения для снеговой нагрузки содержатся в работе [6]. Эти параметры представляют собой некоторую неопределенность, одним из способов оценки которой является представление данных параметров в виде интервалов
и £х; £х . Предположим,
значений
mx ; mx
что по результатам статистического анализа данных о снеговой нагрузке получены следующие довери-
тельные интервалы
Sx; Sx
: |тх; тх е[140; 150] кгс/м2
[20; 30] кгс/м2. Различные возможные функции распределения (2) по граничным значениям параметров приведены на рис. 1.
Рис. 1. Граничные функции распределения, формирующие /-блок для снеговой нагрузки [Figure 1. Boundary distribution functions as a/-box for snow load]
Подмножество возможных функций распределения формируют область, которая называется p-box (probability box), или p-блоки. Предполагается, что действительная функция распределения снеговой нагрузки будет проходить внутри данной области. Таким образом, для снеговой нагрузки можно сформировать две граничные функции распределения:
Fx (x) =
exp
f
exp
mX - 0,45 • Sx
- X
Y
0,78 • S
X
если x < m
.X
exp
exp
[m_x - 0,45 • Sx ]-• 0,78 • Sx
если x > mX
Fx (x) = <
exp
exp
mx - 0,45 • S
.X
- X
0,78 • S
.X
если x < mx
f
exp
v
exp
mx - 0,45 • Sx
- X
0,78 • S
X
если x > mx
Нагрузка от собственного веса конструкций, как было отмечено выше, зачастую описывается нормальным законом распределения, для которого в условиях интервальных оценок его параметров также может быть построена модель р-Ьох. Так как нагрузка от собственного веса представлена суммой нагрузок от собственных весов элементов конструкции покрытия со своими доверительными оценками, то параметры для нормального распределения вычисляются по общеизвестным форму-
лам: m
X
= 1 m^ и Sx = £ S2 . В
интерваль-1=1 V 2=1
ной форме значения параметров суммируются по правилам интервальной арифметики [7]:
mX; mx
n г _
и
Sx; SX
£
S 2. S 2
С учетом вышеизложенного математическую модель предельного состояния (1) запишем в виде
М (( — + д - )< Мш, (3)
где д - снеговая нагрузка; д - нагрузка от
веса конструкций.
Случайные статические нагрузки в модели (3) представлены р-блоками. Для суммирования р-бло-ков необходимо их преобразовать в структуру типа Демпстера - Шефера [8]. Непрерывные граничные функции распределения в р-блоках дискретизиру-ются на определенное число блоков (рис. 2).
Распределения при дискретизации ограничиваются 0,05 и 99,5 перцентилями [9].
FxW
99,5 перцентиль
0,05 перцентиль
Рис. 2. Дискретизация p-блока на фокальные элементы A, с базовыми вероятностями mi [Figure 2. P-box discretization to focal elements Ai with basic probabilities m,]
Шаг дискретизации mi обычно принимают 0,01
n
с учетом £ mi = 1. В данном случае мы получаем
i=1
100 интервальных оценок Ai случайной величины x. Следовательно, дискретизируя p-блоки для снеговой
нагрузки, получим 100 интервалов:
snow —snow
4 2 ; q 2
snow
q100 ; q
snow 100
1 ; q1 Аналогично
можно получить 100 интервалов для нагрузки от собственного веса элементов конструкции покры-
w ~w w ~w w . ~w
тия q1; q1 ? q2; 42 _ ? ' ' ' 4100; q100
Для построения р-блока суммарной статической нагрузки необходимо каждый интервал снеговой нагрузки сложить с каждым интервалом нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия. Табличная форма решения продемонстрирована в табл. 1.
Объединение двух структур (комбинация) Демпстера - Шефера [8] [Table 1. Combination of two Dempster - Shafer structures]
Таблица 1
ql ; qi
, 0,0l
snow
% ; q г
, 0,0l
snow
q,„„ ; q
snow 100
, 0,0l
q, ; qi
, 0,0l
q + q ; qi + ql
0,000l
"snow — w
q, + q.; q г + qi
, 0,000l
"snow — w
q,o + q/; qioo + qi
, 0,000l
q„ ; q г
, o,oi
q + q ; qi + q2
0,000l
"snow — w
q„ + q„ ; q г + q г
, 0,000l
snow
q,„„ + q, ; qioo + q
snow — w
i00
, 0,000l
q,m ; qio
, o,oi
snow w _snow
îl + Îl00; qi + qi
0,000l
+q,„„ ; q г + q«
, 0,000l
snow w _snow _w
qioo + ioo; qioo + qi
, 0,000l
Элементы в табл. 1 записаны по принципу
G
q, ; q,
m
где q ; qt - нижняя и верхняя
границы интервала фокального элемента At; mt -базовая вероятность для фокального элемента A¡.
В итоге получим 100 х 100 = 10 000 интервалов. По этим интервалам можно построить нижнюю и верхнюю граничные функции распределения на основе положений теории свидетельств Демпстера -Шефера [10]. Данные граничные функции распределения будут создавать /-блок суммарной нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия и снеговой нагрузки.
3. Результаты
Пусть для стального прогона покрытия даны статистические характеристики нагрузок:
1. Собственный вес x: математическое ожидание [0,14; 0,15] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0,005; 0,010] кН/м.
2. Панель покрытия x2: математическое ожидание [0,50; 0,55] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0,02; 0,04] кН/м.
3. Снеговая нагрузка x3: математическое ожидание [2,20; 2,50] кН/м; среднеквадратическое отклонение [0,10; 0,30] кН/м.
Математическое ожидание нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия: mqw = [0,14; 0,15] + [0,50; 0,55] = [0,64; 0,70] кН/м.
Среднеквадратическое отклонение нагрузки от собственного веса элементов конструкции покрытия: Sqw = ^[0,0052; 0,0102 ] + [0,0202; 0,0402 = [0,021; 0,041] кН/м.
В общем виде граничные функции для нормального распределения нагрузки от собственного веса элементов покрытия можно записать в виде
Fn0m (mqw , Sq,w ) , если qw < mqw Fnorm (m S ) если qw > mqw
Fqw (qw ) 4
Fq,w (qw ) H
Fnorm (mqw, Sqw ),
если qw < mq,w Fn0rm ((qw , Sqw ), ' если qw > mq,w
Fnorm 1
функция закона нормального распределения.
В примере рассмотрим дискретизацию /»-блоков нагрузок на 10 элементов (рис. 3).
В рамках дискретизации на 10 элементов получим следующие интервалы: [0,535 (0,05 перцен-тиль); 0,673]; [0,588; 0,682]; [0,606; 0,689]; [0,619; 0,695]; [0,630; 0,700]; [0,640; 0,710]; [0,646; 0,722]; [0,651; 0,735]; [0,658; 0,752]; [0,668; 0,805 (99,5 пер-центиль)] кН/м.
При дискретизации распределения снеговой нагрузки на 10 элементов получим следующие интервалы: [1,680 (0,05 перцентиль); 2,390]; [1,870; 2,418]; [1,954; 2,440]; [2,022; 2,462]; [2,084; 2,484]; [2,150; 2,522]; [2,208; 2,607]; [2,236; 2,716]; [2,272; 2,891]; [2,330; 3,600 (99,5 перцентиль)] кН/м.
Рис. 3. Дискретизация p-блоков снеговой нагрузки (а) и нагрузки от собственного веса конструкций (б), кН/м [Figure 3. The snow load (a) and self-weight load (б)p-boxes discretization, kN/m]
ад
/ Г
Ыя) \ /
/
/
/
/
/
J /
1 /
Рис. 4. Граничные функции распределения F, (,) и F, (q), формирующиеp-блок суммарной нагрузки на покрытие [Figure 4. Boundary distribution functions F (,) and F, (q) asp-box of common load on structural surface]
Объединение двух нагрузок в общую структуру [Table 2. Combinations of two types of loads in common structure]
Таблица 2
[0,535; 0,673] [0,588; 0,682] [0,606; 0,689] [0,619; 0,695] [0,630; 0,700] [0,640; 0,710] [0,646; 0,722] [0,651; 0,735] [0,658; 0,752] [0,668; 0,805]
[1,680; 2,390] [2,215; 3,063] [2,268; 3,072] [2,286; 3,079] [2,299; 3,085] [2,310; 3,090] [2,320; 3,100] [2,326; 3,100] [2,331; 3,125] [2,338; 3,142] [2,348; 3,195]
[1,870; 2,418] [2,405; 3,091] [2,458; 3,100] [2,476; 3,107] [2,489; 3,113] [2,500; 3,118] [2,510; 3,128] [2,516; 3,128] [2,521; 3,153] [2,528; 3,170] [2,538; 3,223]
[1,954; 2,440] [2,489; 3,113] [2,542; 3,112] [2,560; 3,219] [2,573; 3,135] [2,584; 3,140] [2,594; 3,150] [2,600; 3,150] [2,605; 3,175] [2,612; 3,192] [2,622; 3,245]
[2,022; 2,462] [2,557; 3,135] [2,610; 3,144] [2,628; 3,151] [2,641; 3,157] [2,652; 3,162] [2,662; 3,172] [2,668; 3,172] [2,673; 3,197] [2,680; 3,214] [2,690; 3,267]
[2,084; 2,484] [2,619; 3,157] [2,672; 3,166] [2,690; 3,173] [2,703; 3,179] [2,714; 3,184] [2,724; 3,194] [2,730; 3,194] [2,735; 3,219] [2,742; 3,236] [2,752; 3,289]
[2,150; 2,522] [2,685; 3,195] [2,738; 3,204] [2,756; 3,211] [2,769; 3,217] [2,780; 3,222] [2,790; 3,232] [2,796; 3,232] [2,801; 3,257] [2,808; 3,274] [2,818; 3,327]
[2,208; 2,607] [2,743; 3,280] [2,796; 3,289] [2,814; 3,296] [2,827; 3,302] [2,838; 3,416] [2,848; 3,317] [2,854; 3,317] [2,859; 3,342] [2,866; 3,359] [2,876; 3,412]
[2,236; 2,716] [2,771; 3,389] [2,824; 3,398] [2,842; 3,405] [2,855; 3,411] [2,866; 3,416] [2,876; 3,426] [2,882; 3,426] [2,887; 3,451] [2,894; 3,468] [2,904; 3,521]
[2,272; 2,891] [2,807; 3,564] [2,860; 3,573] [2,878; 3,580] [2,891; 3,586] [2,902; 3,591] [2,912; 3,601] [2,918; 3,601] [2,923; 3,626] [2,930; 3,643] [2,940; 3,696]
[2,330; 3,600] [2,865; 4,273] [2,918; 4,282] [2,936; 4,289] [2,949; 4,295] [2,960; 4,300] [2,970; 4,310] [2,976; 4,310] [2,981; 4,335] [2,988; 4,352] [2,998; 4,405]
Пример объединения нагрузки от собственного веса и снеговой нагрузки в единую структуру типа Демпстера - Шефера для заданных значений приведен в табл. 4
На рис. 4 представлен /-блок, который характеризует граничные функции распределения суммарной случайной нагрузки на покрытие.
4. Обсуждение
Полученные граничные функции распределения могут быть использованы при анализе надежности элементов покрытия [1; 11; 12]. Если несущая способность элемента покрытия может быть представлена в виде плотностей распределения с
граничными функциями Iч и11 и / ^, то верхняя
и нижняя границы вероятностей безотказной работы вычисляются по формулам
P = J Fq (q)fqMt(q)dx,
0
P = J Fq(q)fqMt(q)dx,
где Fq (ч) и ^ (ч) - граничные функции распределения случайной нагрузки на элемент; /ч и11(ч) и I й(ч) - функции плотности граничных распределений несущей способности элемента.
Информацию о допустимых значениях вероятностей безотказной работы и вероятностей отказа можно найти в работах [13; 14].
Заключение
В статье описан подход к моделированию случайной нагрузки на конструкции покрытий сооружений при ограниченной статистической информации о нагрузках.
Интервальная оценка параметров функций распределения и формирование /-блоков позволяют более осторожно подойти к вероятностным задачам строительной механики.
Продемонстрирован способ суммирования случайных нагрузок, характеризующихся различными /-блоками, путем их дискретизации в структуры Демпстера - Шефера;
Представление нагрузки в виде /-блоков может быть использовано в задачах по расчету вероятности безотказной работы элемента сооружений, при оценке риска аварии рассматриваемого элемента сооружений, а также при подборе сечения элемента по заданному уровню надежности (индексу надежности).
Список литературы / References
1. Kozak D.L., Liel A.B. Reliability of steel roof structures under snow loads. Structural Safety. 2015;(54):46-56.
2. Rozsas Ä., Sykora M. Propagating snow measurement uncertainty to structural reliability by statistical and interval-based approaches. 7th International Workshop on Reliable Engineering Computing, REC2016. Computing with Polymorphic Uncertain Data. 2016:91-110.
3. Qiang S., Zhou X., Gu M. Research on reliability of steel roof structures subjected to snow loads at representative sites in China. Cold Regions Science and Technology. 2018;(150):62-69.
4. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Structural analysis with probability-boxes. International Journal of Reliability and Safety. 2012;6(1-3):110-129.
5. Guest J.K., Igusa T. Structural optimization under uncertain loads and nodal locations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2008;198(1):116-124.
6. Zolina T.V., Sadchikov P.N. Modelirovanie snegovoy nagruzki na pokrytie promyshlennogo zdaniya [Modeling of the Snow Load on the Roofs of Industrial Buildings]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2016;(8):25-33. (In Russ.)
7. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics; 1979.
8. Ferson S., Kreinovich V., Grinzburg L., Myers D., Sentz K. Constructing probability boxes and Dempster -Shafer structures (No. SAND-2015-4166J). Sandia National Lab. (SNL-NM), Albuquerque; 2003.
9. Zhang H., Mullen R.L., Muhanna R.L. Finite element structural analysis using imprecise probabilities based on p-box representation. 4th International Workshop on Reliable Engineering Computing. Professional Activities Centre, National University of Singapore; 2010. p. 211-225.
10. Sallak M., Schön W., Aguirre F. Reliability assessment for multi-state systems under uncertainties based on the Dempster - Shafer theory. IIE Transactions. 2013;45(9): 995-1007.
11. Melchers R.E., Beck A.T. Structural reliability analysis and prediction. John Wiley & Sons; 2018.
12. Utkin V.S., Solovyev S.A. Reliability analysis of reinforced concrete elements with normal cracks (on RC beam example). International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2018;14(3):142-152.
13. Holicky M., Markova J., Sykora M. Target reliability levels in present standards. Transactions of the VSB -Technical University of Ostrava, Civil Engineering Series. 2014;14(2):46-53.
14. Marano G.C., Quaranta G. A new possibilistic reliability index definition. Acta mechanica. 2010;210(3-4):291-303.
DOI 10.22363/1815-5235-2020-16-4-243-249
RESEARCH PAPER
Modeling of random static loads on a structural cover with limited statistical data
Sergey A. Solovev
Vologda State University, 15 Lenina St, Vologda, 160000, Russian Federation solovevsa@vogu35.ru
Article history: Received: June 3, 2020 Revised: July 4, 2020 Accepted: July 15, 2020
For citation
Solovev S.A. Modeling of random static loads on a structural cover with limited statistical data. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2020;16(4): 243-249. http://dx.doi.org/10.22363/1815-5235-2020-16-4-243-249 (In Russ.)
Abstract
Relevance. Loads on structures are complex stochastic elements that include several types of uncertainties simultaneously. The article describes a probabilistic approach to the load modeling on structural covers taking into account limited statistical data, when the parameters of distribution functions are presented in an interval form. The aim of the work is development of an approach to modeling the probabilistic distribution of random load on the structural surface in conditions of limited (incomplete) statistical information about the design load. Methods. The probability distribution of a particular type of loading is represented as p-boxes (probability boxes). A numerical example shows an algorithm for determining a p-box consisting of a sum of />-boxes that characterize different loads with different boundary distribution functions. Results. Based on the proposed approach, it is possible to define the intervals of normative and design loads with a given confidence level, to estimate the failure probability of structural elements, to assess the risk of an accident and also to make selection for structural element cross-section at the target level of reliability.
Keywords: structural design, random variable, cover, evidence theory, p-boxes, interval value, design load, truss, roof beam
Sergey A. Solovev, Associate Professor of the Department of Industrial and Civil Engineering, Candidate of Technical Sciences, eLIBRARY SPIN-code: 4738-8927, Scopus ID: 57191529586, Web of Science Researcher ID: AAJ-1708-2020.
