CC BY
67
ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ
Вестн. Ом. ун-та. 2GG7. № 2. С. 127-134.
УДК 37.01
Т.А. Полякова, Т.А. Ширшова
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ВЕРОЯТНОСТНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ГУМАНИТАРНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
The Methods probabilistic-mathematical modeling deeply get into humanitarian studies. The Analysis of the possibility of the study to one or another models in school course mathematicians, as well as accessibility of the mathematical device required for correct perception of the mathematical models for senior schoolboy, has allowed to conduct their categorization. Besides, row example using probabilistic-statistical methods is considered in humanitarian study, acquaintance with which useful comprise of contents optional course on theory of chances and mathematical statistics for classes of the humanitarian profile.
А. Реньи в своей книге «Трилогия о математике», отвечая на вопрос «Для чего необходимо преподавать теорию вероятностей?», среди прочих ответов выделяет следующий: «Изучение теории вероятностей способствует лучшему пониманию взаимосвязей между действительностью и математикой, математических моделей действительности...». По словам А. Плоцки, «концепция обучения теории вероятностей и математической статистике трактует это обучение как процесс, при котором стохастические понятия и идеи служат математическим аппаратом для решения конкретных проблем. При этом этот процесс представляет собой процесс построения математической (вероятностной) модели реальной ситуации.» [1]. В обоих высказываниях мы сталкиваемся с понятием математической модели, которое имеет важное значение при изучении стохастической линии.
Сама по себе цель преподавания математики как элемента профессиональной и предпрофессиональной подготовки непосредственно связана с принципом прикладной направленности обучения математике. При решении задач прикладного характера учащиеся получают представление о необходимости и универсальности математики и ее методов. Что же касается стохастических задач, то их ценность определяется не столько тем аппаратом, который используется при их решении, сколько возможностями продемонстрировать процесс применения математики для решения внематематических задач [1]. Эти задачи должны знакомить учеников с реальными применениями стохастических идей и методов, а также служить для организации специфической деятельности, необходимой в процессе применения математики.
Вероятностно-статистическая содержательно-методическая линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам детей. Одним из основных организационных средств формирования первоначальных статистических представлений является моделирование (имитация). Имитация - важней-
© Т.А. Полякова, Т.А. Ширшова, 2007
ший промежуточный этап на пути от реальной действительности к вероятностным моделям. Построение учениками имитационной схемы изучаемого явления, открытие и обоснование аналогий, анализ взаимоотношений между разными моделями одной и той же ситуации требует компетентной помощи учителя. Вероятностно-статистические понятия и методы в школьном обучении становятся средством описания окружающей действительности и решения конкретных проблем, интересующих школьников. Поэтому математическая деятельность школьников не ограничивается изучением только готовых вероятностных моделей, напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы деятельности. В связи с этим очень важно осуществлять прикладную направленность обучения стохастике, использовать формы активизации математической деятельности учащихся, связанные с процессом создания вероятностных моделей.
Математическое моделирование определенных явлений и процессов общественной жизни имеет давнюю традицию. Исследования показывают, что среди математических методов, используемых в гуманитарных профессиях, на одно из первых мест выходят вероятностностатистические [2-4].
Качественный анализ позволяет выделить 4 типа математических моделей, используемых в гуманитарных исследованиях.
1. Непосредственно математическая модель изучается в основном школьном курсе математики, постановка этой модели позволяет доступно изложить ее старшеклассникам, а результаты математического моделирования имеют наглядную и поучительную, содержательную, профессиональную интерпретацию.
2. Математическая модель не изучается в основном школьном курсе математики, но существует методика, позволяющая сделать ее доступной для восприятия старшеклассниками с гуманитарными склонностями. При этом специальные знания, используемые при постановке математической модели, не требуют длительного по времени изложения, а содержательная интерпретация итогов математического моделирования доступна для старшеклассников и поучительна.
3. Непосредственно математическая модель доступна старшеклассникам, однако ее постановка требует достаточно длительного по времени изложения нематематических профессиональных требований.
4. Математическая модель опирается на вузовские разделы математики, не позволяющие адаптировать ее для преподавания старшеклассникам.
Рассмотрим несколько математических моделей, используемых в гуманитарных дисциплинах, таких как лингвистика, литературоведение и история, знакомство с которыми полезно включать в содержание элективных курсов по теории вероятностей и математической статистике для классов гуманитарного профиля. При этом важно отметить тот факт, что систематическое знакомство с математическими моделями, применяемыми в гуманитарных науках и искусстве, позволяет полноценно реализовать все три основные цели преподавания математики, а не только предпрофессиональную подготовку.
1. Математические модели в лингвистике
Выдающийся русский математик
В.Я. Буняковский (автор первого учебника по теории вероятностей на русском языке) еще в 1847 г. писал в журнале «Современник»: «Да позволено будет мне
прибавить несколько слов о другом приложении анализа вероятностей, на которое, кажется, еще никто не указывал. Новое применение относится к грамматическим и этимологическим исследованиям о каком-либо языке, также к сравнительной филологии». Как видно из этого высказывания, уже в то время В.Я. Буняковский не сомневался в полезности использования теории вероятностей в лингвистике.
Какие же задачи можно решать с помощью вероятностно-статистической методики в области фонетики языка и звуковой организации речи? Возможны ли математические оценки таких качеств речи, как богатство, разнообразие, выразительность и т. д.?
Каждый язык является развитой структурной системой, обладающей внутренней организацией, подчиненной определенным законам. Часть этих законов носит категориальный характер и напоминает аксиоматическое построение раз-
личных математических теорий. Этот факт позволяет применять в исследованиях развитые в математике методы описания и анализа структур.
С другой стороны, каждый язык -развивающаяся система, связанная с родственными языками, наречиями, диалектами. Эти связи лишь частично имеют детерминированный характер и проявляются на статистическом уровне. Поэтому описание связей удобно делать с помощью вероятностно-статистического аппарата. Изучение такого рода закономерностей играет далеко не узкую роль, а позволяет приблизиться к пониманию строения речи.
Пример 1. Частотная модель языка. В результате широких исследований, произведенных над литературными текстами, были получены частотные таблицы, в которых описывается частота использования букв алфавита. Например, чаще всего в русском языке встречается буква «о», ее частота появления 0,090, а частота появления букв «э» и «ф» - 0,002. Таким образом, частотный анализ текстов, написанных на одном из естественных или искусственных языков, показал, что в основе письменного или устного текста лежит закономерность каждого языка, определенная упорядоченность символов (букв, звуков и иероглифов). Подобные закономерности можно обнаружить в английском или японском языках, в искусственных языках для межличностного общения, типа эсперанто, и машинных языках программирования типа Паскаль и др.
Наряду с теоретическим значением приведенные закономерности имеют большое прикладное значение. Например, конструкторы первых пишущих машинок, пользуясь информацией о том, что некоторые буквы (а, и, о, с) встречаются в тексте чаще других, располагали самые «распространенные» буквы в центре клавиатуры. Очевидно, и запасные буквы шрифта пишущей машинки следует изготовлять в соответствии с частотой их применения (наиболее употребляемые буквы изнашиваются быстрее). И для типографий литеры букв изготавливаются обычно в количествах, пропорциональных частотам их использования в тексте.
В то же время выяснение частоты появления звуков в устной и письменной
речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи сообщений. На данный момент установлено, что отсутствие такого рода исследований в свое время привело к тому, что телеграфная азбука Морзе на 10-12 % хуже оптимально возможной. А частотный анализ шифров - один из основных способов декодирования, применяемых в криптографии.
Пример 2. Частотный анализ словоформ также позволяет выделить важные закономерности различных языков
[5]. Например, для того, чтобы определить наиболее употребительные русские слова, были составлены частотные словари, в которых указана частота появления в тексте каждого встретившегося слова. В 1 млн слов, набранных в различных текстах, оказалось всего около 40 тыс. различных слов, половина из которых встретилась 1-2 раза. При этом предлог «в» (или «во») встретился почти 43 тыс. раз, союз «и» - более 36 тыс., отрицание «не» - около 20 тыс., предлог «на» - 17 тыс., местоимение «я» - 14 тыс. раз. 120 наиболее часто встречающихся слов составили половину в отобранных текстах, тысяча слов - две трети миллиона. Эта тысяча слов вполне достаточна для того, чтобы иностранец мог вести обиходный разговор на русском языке, понимая своего собеседника. Например, если иностранец не знает слова «пруд», он может сказать «яма, наполненная водой», и его поймут.
Таким образом, составление частотных словарей (как общих для языка, так и специализированных для отраслей человеческой деятельности) позволяет решать ряд крупных общенаучных и прикладных проблем. Например, с помощью частотных словарей отбирается словарный минимум для курсов иностранных языков, для языковых и технических вузов.
Пример 3. Различная частота встречаемости букв и их взаимосвязь, т. е. корреляция между буквами, позволяет вести речь о таком понятии, как информативность языка [4]. Речь идет не о смысловой связи между элементами, а о чисто статистических закономерностях языка. Например, по данным В.Н. Тростникова, средняя информация на букву русского текста, вычисленная с учетом частоты (правда, без учета корреляции между буквами) оказалась равной 4,35 бита. Еще
более поразительный результат был получен А.Н. Колмогоровым, который определял реальную информативность букв по своей методике. Оказалось, на каждую букву русского языка приходится около одной единицы информации.
Тот факт, что реальная информативность языка значительно ниже цифровых подсчетов, которые получаются в результате математико-статистических подсчетов, подтверждается также многими примерами из художественной литературы. В романе Ж. Верна «Дети капитана Гранта» в записке, извлеченной капитаном Гле-нарваном из бутылки, было смыто более
150 букв из 250. В.Н. Тростников подсчитал, что при абстрактно-статистическом подходе количество вариантов истолкования записки было бы приблизительно равно числу с 200 знаками. Понятно, что перебрать все эти варианты невозможно за многие миллионы лет. Однако Паганель и его друзья почти полностью воспроизвели текст за очень короткий срок. Это оказалось возможным благодаря корреляции между сохранившимися словами и теми, которые нужно было восстановить.
Рассмотренное в этом примере свойство языка называется избыточностью. Это свойство заключается в том, что некоторые слоги и даже слова мы можем угадывать по смыслу предыдущего текста, что свидетельствует о наличии избыточной информации. Мерой избыточно-
сти языка служит величина и = 1 —
Н
1с
1о§ п
где Н1с - средняя фактическая энтропия,
приходящаяся на одну букву, п - число применяемых символов.
Анализ текстов наиболее распространенных европейских языков показывает, что избыточность составляет примерно 50 %
2. Математические модели в литературоведении Известны интересные исследования, связанные со статистическими особенностями языка отдельных писателей. Оказывается, статистический стиль речи писателя очень устойчив, и статистические методы к настоящему времени позволили в ряде случаев установить литературные подделки, а также истинных авторов безымянных произведений. Другие направления изучения статистических закономерностей языка связаны с исследовани-
ем повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтов. Исследованию ударений в русских поэтических произведениях посвящен ряд работ академика А.Н. Колмогорова (см. пр. 1).
Вопросом применения статистических методов исследования в гуманитарных науках, прежде всего в лингвистике и литературоведении, занимался В.Я. Пропп. Понимая большие возможности использования данного метода, более широко - точных методов анализа художественных произведений, В.Я. Пропп, однако, четко представлял себе и границы их применения. Точные методы изучения художественной литературы, отмечал он, «возможны и плодотворны там, где имеется повторяемость в больших масштабах. Это мы имеем в языке, это мы имеем в фольклоре» (см. пр. 3).
Пример 1. Академик А.Н. Колмогоров большое внимание уделял математическому изучению стиха. Анализ стихотворных размеров, ритмов некоторых видов поэзии позволяет выстроить математическую теорию стиха. Так, знакомство со звуковым образом метра (метр - любая четкая закономерность, которой подчиняется ритм стиха) позволяет определить вероятность того или иного ритмического компонента стиха у данного поэта.
Ученым удалось получить статистическую характеристику звукового образа метра. Для этого выяснили, насколько часто встречаются в русской речи односложные, двусложные и многосложные слова с ударением на первом, втором и остальных слогах. По этим двум признакам - длине и положению ударения - слова подразделяются на ритмические типы. Оказалось, например, что трехсложные слова с ударением на первом слоге составляют примерно 5 % всех слов, а удельный вес односложных - около 20 %. Далее, так как обычно речь ритмически не организована, было сделано допущение, что слово данного ритмического типа появляется независимо от того, к какому ритмическому типу принадлежит предыдущее слово.
На этом этапе «появляется» теория вероятностей. Строка четырехстопного ямба состоит из 8 (мужское окончание) или 9 (женское окончание) слогов, причем происходит чередование слабых (нечет-
ных) и сильных (четных) слогов. Зная частоту появления в речи слов различного ритмического звучания, можно на основе сделанного допущения найти вероятность каждого из всех восьми- и девятисложных сочетаний ритмических типов русских слов, которые «укладываются» в ямб. Так была создана модель «идеального» четырехстопного ямба [6]. С ее помощью можно выявить действительные индивидуальные ритмические особенности у того или иного поэта.
Работы А. Белого (см. об этом [7]) по анализу четырехстопного ямба наглядно показали, что употребление поэтом различных вариантов, возможных в пределах одного метра, создает своеобразный ритмический «климат», свойственный поэтам данной эпохи и каждому большому поэту в отдельности, некий обобщенный звуковой образ. Воздействие этого образа-ритма воспринимается читателем интуитивно; аппарат статистики позволяет подтверждать эту интуицию объективно, числами.
Пример 2. Аппарат статистики также может быть применен для доказательства интуитивных предположений, статистического описания образа-звука, образа-слова и т. д. С помощью данного аппарата можно также вычислить «степень трудности» для различных типов рифм [7]. Сначала вычисляется «степень трудности» автоматического возникновения того или иного типа рифмы в обычной речи, а затем сравниваются теоретические частоты с частотами этих же типов рифм у различных поэтов. Методика вычисления «степеней трудности» рифм была также предложена А.Н. Колмогоровым. Выбор тех или иных типов рифм создает особенности стиля поэтических школ и отдельных поэтов. Эти особенности могут быть выделены с помощью аппарата математической статистики.
Пример 3. Математическая модель волшебной сказки. Сказковедческие работы занимают ведущее место в научном наследии В.Я. Проппа, начавшего свою фольклористическую деятельность с изучения волшебной сказки. В своей работе «Морфология волшебной сказки», а также в книге «Исторические корни волшебной сказки» автор предлагает исследование, посвященное сравнению волшебных сказок с точки зрения их строения. И здесь
не обошлось без вероятностно-статистических методов исследования. В.Я. Пропп исходит из наблюдения, что самые разнообразные сказочные персонажи в различных сказках действуют одинаково [8]. Так, испытывать и награждать героя могут и Баба-яга, и леший, и медведь, и встречный старичок и т. д. Меняются атрибуты действующих лиц, способ осуществления функций (различны, например, способы испытания), но функции как таковые повторяются. Одинаковые функции встречаются в самых разнообразных сюжетах. Это наблюдение заставляет изучать сказки по функциям действующих лиц. Наблюдаемая повторность их приводит к предположению, что число этих функций для волшебной сказки вообще весьма ограничено. Чтобы проверить это предположение, следует прежде всего выделить эти функции. На анализе 100 сказок афанасьевского сборника (№ 50 по
151 включительно) выясняется, что можно зафиксировать лишь около 30 функций. Эти данные подтверждаются материалом других сборников.
Наблюдение показывает, что последовательность этих функций всегда одинакова, есть колебания, но система одна. Таким образом, все сказки данного разряда оказываются однотипными по своему строению и должны рассматриваться как цепь вариантов. В связи с этими наблюдениями можно поставить вопрос о распределении на разряды действующих лиц. Оказывается, что можно установить 6 категорий их: 1) вредители; 2) посредники (взывают о помощи и пр.); 3) носители движения или герои; 4) дарители; 5) помощники; 6) искомые персонажи. После того, как определены разряды действующих лиц, сказки определенного типа будут отличаться друг от друга только комбинаторными перестановками времени, места действия и героев.
Такой анализ В.Я. Проппа вызвал повышенный интерес кибернетиков в начале 1960-х гг. в связи с обучением ЭВМ «творческим способностям». К настоящему времени имеются сотни сказок-имитаций, написанных по разработанным математическим моделям компьютером.
3. Математические модели в истории
Роль математики в исторических исследованиях состоит в том, что она пред-
лагает общие и достаточно четкие абстрактные модели сложных общественных явлений [2; 3]. Подобное моделирование заключается в упрощенном описании той или иной стороны явления, выражении его в графической, аналитической, числовой, логической и других формах.
При установлении тенденций и динамики исторического развития стран, регионов часто возникает необходимость сравнения количественных данных, относящихся к различным хронологическим периодам. Изменение территориальных границ регионов, хронологическая несопоставимость имеющихся по ним сведений, разночтения в обработке количественных характеристик разнообразными учреждениями создают для обычных исторических методов сложнейшие проблемы даже при наличии статистического материала. Его отсутствие чаще всего означает невозможность социально-экономических исследований по данному периоду обычными методами. Попытки перешагнуть через эту проблему, применить неполноценный статистический материал в качестве материальной базы исследований или сделать обобщающие выводы на основе единичных сохранившихся документов приводят, как правило, к серьезным ошибкам в конечных результатах. Преодолеть подобные трудности во многих случаях помогают методы моделирования статистического материала. Под «моделированием» здесь имеется в виду математически обоснованное формирование количественных данных, представляющих отсутствующий или утраченный статистический материал, а также их стандартизация.
Пример 1. Корреляционный анализ взаимосвязи между повинностями - налогами и факторами крестьянского хозяйства в некоторых случаях может ответить на вопрос о принципе налогообложения, если последний неизвестен [9]. С подобной задачей столкнулся исследователь аграрно-правовых отношений в Византии XIV в. С целью выяснения принципа налогообложения подсчитывались коэффициенты корреляции между налогом с крестьянского хозяйства и разными видами имущества, тягловым скотом, числом членов семьи, размером пахотной земли, количеством плодовых деревьев и т. д. Сравнительная величина коэффициентов
корреляции свидетельствует о важности очередности учета отдельных податных объектов. Корреляционный анализ соответствующих сведений показал, что наибольшее влияние на высоту налога оказывали число членов семьи и тот вид имущества, который являлся основным источником дохода в крестьянском хозяйстве. Отсюда следовал вывод, что в Византии XIV в. господствовал подушнопоимущественный принцип обложения, характерный для обложения зависимого и непривилегированного населения позднеримской эпохи. Вывод, сделанный на основе корреляционного анализа, внес существенные уточнения в установившееся в исторической литературе представление, согласно которому римские принципы взимания поземельного налога Византии XIV в. не сохранились.
Пример 2. Очень важные и интересные результаты о развитии помещичьего и крестьянского хозяйств в XVII-XIX вв. получили эстонские историки, активно применяющие математические методы анализа (в частности, корреляционные модели) [9]. С помощью корреляционного анализа они установили, что между помещичьим и крестьянским посевами и между крестьянским и помещичьим посевами вместе взятыми, и крестьянским посевом существовала прямая, а не обратная, как предполагалось прежде, и тесная связь - коэффициенты корреляции составили соответственно 0,83 и 0,84. Это показывает, что возрастание помещичьего посева не было связано с сокращением крестьянского, а наоборот, сопровождалось ростом последнего. Наконец, размеры барщины и размеры крестьянских посевов тоже находились в прямой и тесной связи - коэффициент корреляции между ними равнялся 0,81, что подтверждает наблюдение о том, что увеличение повинностей сопровождалось расширением крестьянского хозяйства.
Таким образом, на основании корреляционного анализа эстонские исследователи сделали вывод о том, что в Эстонии XVII - первой половины XIX в. помещик материально заинтересовывал крестьянина в развитии как барского, так и крестьянского хозяйства, сочетая внеэкономическое принуждение с экономическим. Именно это сочетание обеспечивало непрерывный рост сельскохозяйственного
производства в Эстонии в крепостную эпоху.
Пример 3. Вероятностное моделирование боевых действий. Историки подсчитали, что за последние 5 тыс. лет мир на Земле царил только 292 года. Все остальное время было занято войнами, которых насчитывается 14 513. Войны унесли 3 млрд 640 млн человеческих жизней (данные на период до 1976 г.). В наши дни, когда армии прекрасно оснащены передовой техникой, бой стал чрезвычайно динамичным: каждую минуту меняется ситуация. Не случайно в настоящее время широко используются ЭВМ и различные математические методы для анализа и управления боевыми действиями.
В основе разработки и использования «математической теории войны» лежит вероятностное моделирование военных действий [4]. Этот метод отнюдь не нов, так как еще в 1790 г. перед штурмом Измаила великий русский полководец А.В. Суворов использовал модель крепостных стен, на которой отрабатывались наилучшие приемы штурма. Во время Второй мировой войны перед нападением на Перл-Харбор японцы построили модель этой базы со всеми имевшимися на ней заграждениями и отрабатывали на этой модели наилучший вариант внезапной атаки. В наше время при проведении командно-штабных учений и военных игр также применяются различные модели. Существенным недостатком многих из них является то, что они не учитывают элемент случайности, который неизбежен в таких сложных событиях, как боевые действия. После появления ЭВМ такой подход приобретает все большую роль в военной науке.
Одной из первых работ по вероятностно-математическому моделированию явилась работа английского математика и священника Ланчестера, выполненная в 1916 г. В ней рассматривались боевые действия авиации. Значительный интерес к математическому и, в частности, вероятностному моделированию боевых действий возник в ходе Второй мировой войны и в послевоенный период. Здесь можно отметить одну из простейших моделей столкновений, так называемую дуэльную модель, примером которой служит модель поединка между двумя противниками, из которых,
например, один имеет танк, а другой - противотанковое орудие. Дуэльные модели могут оказаться полезными при решении целого ряда вопросов, связанных с анализом наиболее простых тактических приемов ведения боя.
Подводя итог, скажем следующее, мы рассмотрели несколько примеров, наглядно демонстрирующих то, насколько глубоко математические методы (в частности, методы теории вероятности и математической статистики) проникают в гуманитарные дисциплины, и то, насколько полезно построение математических моделей при проведении гуманитарных исследований. Само по себе внедрение в терминологию гуманитарных наук емких и единообразных математических символов и понятий, а в методику исследований - математических приемов и моделей, описывающих сложные явления, значительно интенсифицирует процесс мышления как в плане меньшей затраты интеллекта на получение конечного результата, так и в плане сокращения времени. Но нельзя забывать, что применение названных методов обязательно должно сочетаться с всесторонним теоретическим анализом изучаемого явления.
Сейчас, когда элементы теории вероятностей и статистики становятся компонентом содержания школьного образования, перед методистами стоит задача естественно связать новую содержательную линию курса математики с другими. Стержнем, связывающим эту линию с традиционными линиями школьного курса математики, является метод математического моделирования. Ведь, как мы уже успели заметить, многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, а большинство реальных явлений и процессов описываются вероятностными моделями. Навыки построения конкретных математических моделей, формирование культуры профессионального математического моделирования, психологической нацеленности на математические выкладки как способ формирования и оценки гуманитарных гипотез позволяет сформировать психологическую и технологическую подготовленность старшеклассников - гуманитариев к содержательному и творческому использованию математики.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Плоцки А. Стохастические задачи и прикладная
направленность в обучении математике // Математика в школе. 1991. № 3. С. 69-71.
[2] Абрамов В.К. Математические методы в исто-
рических исследованиях: Учеб. пособие. Саранск: Мордовский ун-т, 1988. 92 с.
[3] Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе. 1968. № 1. С. 8-15.
[4] Чубарев А. М., Холодный В.С. Невероятная ве-
роятность. М.: Знание, 1976. 128 с.
[5] Халамайзер А.Я. Математика гарантирует вы-
игрыш. М.: Московский рабочий, 1981. 248 с.
[6] Прохоров А. Эталонный ямб // Наука и жизнь.
1964. № 3. С. 110.
[7] Кондратов А.М. Статистика типов русской рифмы
// Вопросы языкознания. 1968. № 6. С. 96-106.
[8] Пропп В.Я. Сказка. Эпос. Песня. М.: Лабиринт, 2001. 381 с.
[9] Миронов Б.Н., Степанов З.В. Историк и математика. Л.: Наука, 1976. 184 с.
